传热学导热问题的数值解法
17
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 3.内部角点
T(i,j 1)
y 2
L (i 1 ,j)
(i 1,j)
P(i,j ) R
B (i,j 1)
ti 1, j ti , j x
y 1
ti , j 1 ti , j y
ti , j 1 ti , j x x 1 1 y 2
用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）
建立节点离散方程的方法有两种：
泰勒级数展开法
热平衡法
7
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 一、内节点 1.泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j
来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
ti 1 , j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
若有内热源，则可在上式左边加上内热源项： x v ,i , j ( ) y 1 2
绝热边界，只要令h=0，即可。
15
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于第二类边界条件，设为qw 则上式中的对流 换热项,用热流密度qw来替代
ti 1,j ti ,j ti ,j 1 ti ,j x ti ,j 1 ti ,j x y 1 1 1 x y 2 y 2 qw y 1 0
2
ti , j 1 2ti , j ti , j 1
y 2
v ,i , j 0
ti 1 ti t ox x i x ti ti 1 t ox x i x
ti 1 ti 1 t o x 2 x i 2x
K 对非稳态导热，从 能量关系来看网格单 k 1 元不仅与相邻的网格 k 单元之间有热量传递， k 1 本身的内能也将随时 间发生变化。 z
z
(i , k 1)
(i 1,k ) (i 1, k )
(i , k 1)
O
x x i 1i i 1 I
一维非稳态导热问题用有限差分法求解 空间，时间的坐标的划分
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
9
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 v 2t 2t 0 微分方程为： 2 2 x y 其节点方程为：
向前差分 格式
ti 1, j 2ti , j ti 1, j
x
19
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
迭代过程是否已经收敛的判据：
K代表迭代次数 迭代过程能否收敛的判据：
对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的 选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中 其它变量系数绝对值之和，即对角占优，此时用迭代法 求解代数方程一定收敛。
20
4.3 非稳态导热问题的数值解法
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
ti 1, j t 2t x 2 3t x 3 ti , j ( )i , j x ( 2 )i , j ( 3 )i , j x x 2! x 3!
8
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
x( i 1 )
i x ( i 1 ) x ( i, j 1 )
x
5
4.1 导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件 求解域离散化
设立迭代初场
建立节点温度代数方程
求解代数方程组 改进初场
否
是否收敛？
是
解的分析
导热问题数值解法的流程图
6
4.2 稳态导热离散方程的 建立和求解
第四章 导热问题的数值解法
主讲人：孙晴
本章知识结构
第四章 导热问 题的数值解法
1、导热问题 数值求解的基 本思想
2、稳态导热 离散方程的建 立和求解方法
3、非稳态导 热的数值解法
2
4.1 导热问题数值求解的基本思想
数值解法的基本思想: 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离 散点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值 的求解问题。 通过对各离散节点建立代数离散方程，将导热微 分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问 题。
16
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
2.外部角点
C
D
x
2
E
y
2
T ( i, j 1 )
L ( i 1, j )
B
ti 1, j ti , j
A( i , j )
h1
tf1
h2
tf2
ti , j 1 ti , j x y 1 1 x 2 y 2 y x 1 h1 (t f 1 ti , j ) 1 h2 (t f 2 ti , j ) 1 xy v ,i , j 0 2 2 4
(i 1,j )
T (i,j 1)
(i 1,j )
L
R
B (i,j 1)
11
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 根据傅里叶定律，L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
3
4.1 导热问题数值求解的基本思想 数值解法的基本内容与步骤: （1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 建立控制方程及定解条件。 （2）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将 所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网 络线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的 子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子 区域的温度。 （3）建立节点温度代数方程。 （4）设立迭代初场。
优缺点：隐式格式计算工作量大，但对步长无限制，不 会出现解得震荡；显式格式计算量小，但易出现震荡。
26
4.3 非稳态导热问题的数值解法 用热平衡法建立边界节点的节点方程
如图是一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针 对边界节点，其节点方程
k k 1 k t1k t2 t t x k 1 1 h( tf t1k ) c x 2
t ht ht f x
T ti , j 1
P
ti , j
ti , j 1 B
14
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
红色框内为平直边界上P点的网格单元。 边界条件： 第三类边界热平衡式为：
ti , j 1 ti , j x ti , j 1 ti , j x y 1 1 1 x y 2 y 2 ht f ti , j y 1 0 ti 1, j ti , j
若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则
tik tik 1
tik1 2tik tik1 a x 2
25
4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理后可得隐式差分格式：
k 1 1 k 1 k (1 2F ) ti F( tik t ) t 1 i 1 i
22
4.3 非稳态导热问题的数值解法
tik 1 tik
t 2t 2 ( ) k i, k 2 i, 2 !
舍去上式中左边第三项及以后各尾项，移项整理
tik 1 tik t ( ) o( ) i ,k
此式是一阶导数向前差分的表达式。
13
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 二、边界节点离散方程的建立
1. 位于平直边界上的节点
P(i ,j ) ti ,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1 L(i 1,j ) ti 1,j
t i 1 , j L
x 2
y 2
类似可得向后差分的表达式： k 1 k t t t i i （ ） 0( ) i ,k 同理可得中心差分的表达式：
tik 1 tik 1 t 2 （ ） 0 ( ) i ,k 2
23
4.3 非稳态导热问题的数值解法 若温度对时间的一阶导数采用向前差分，则导热 微分方程可改写为： k k tik 1 tik tik 2 t t i i 1 a 1 x 2
边界的热容项
1
t ht ( t f) x
x
2
3
4
O
x
X
27
4.3 非稳态导热问题的数值解法
整理上式：
t2 t1 Bi ( t
x
y 1 y 1
Z方向取单位长度
x
y
x 1 x 1
12
y
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解
则内热源发热量
v , p v ,i , j x y 1
在稳态导热下：
LP QP BP TP VP 0
则
v ,i , j ti 1, j 2ti , j ti 1, j ti , j 1 2ti , j ti , j 1 0 2 2 x y
中心差分 格式
向后差分 格式
10
4.2 稳态导热离散方程的建立和求解 2. 热平衡法
P(i ,j ) ti ,j R(i 1,j ) ti 1,j L(i 1,j ) ti 1,j T(i ,j 1) ti ,j 1 B(i ,j 1) ti ,j 1
合集下载
传热学考研题库【名校考研真题】(导热问题的数值解法)【圣才出品】
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
5/7
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
4/7
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
5/7
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
4/7
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
传热学第二章导热问题数学描述
由Fourier定律：
qn
t
n
w
t nw
h
twtf
当: h , twtf 转化为第一类边界条件
当: h0,nt w0qw0
（绝热）转化为第 二类边界条件
导热微分方程＋定解条件 求解温度场热流场
补充：其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
grt aL dim n i j k
n 0 n n x y z
梯度的性质：
1．方向导数等于梯度在该方向上的投影；
2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向
（法线方向）。
4）傅里叶定律 一般形式：
A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
b.第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流
密度或温度变化率，
q s
qw或 n t s
qw
最简单的形式：恒热流， qw const
恒热流的特例是绝热边界条件：
t 0 n s
c.第三类边界条件:已知物体边界与周围流体间的表
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
传热学讲义-2
导热基本定律及稳态导热
• 导热基本定律 • 导热微分方程式及定解条件 • 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变 截面物体的导热 • 通过肋壁的导热 • 具有内热源的导热和多维导热 • 例题与小结
导热基本定律
基本概念 基本定律—傅立叶定律 导热系数
基本概念
温度场
温度场是某一时刻导热物体中各点温度分布的总称，一般 是空间坐标和时间坐标的函数，在直角坐标系下，有： t=f（x，y，z，τ）
导热系数
t q / nn
导热系数 λ表示在单位温度梯度作用下物体内所产 生的热流密度，它表征了物质导热本领的大小。 导热系数是物性参数，它取决于物质的种类和热力 状态(即温度、压力等)。变化特征和机理见下页。 四种典型物质的导热系数数值（t=20 ℃。） 纯铜 λ =399W／(m· K)；
热流密度：q=λ0 [1+b/2（t2+t1）]（t1 - t2）/δ
曲线凹凸向判断
根据稳态导热的特点，沿热量传递方向，热流量为 常数，即 Φ=-λAdt/dx=const 则有： λdt/dx=const ？？ 设t1＞t2，当b＞0时，λ（t1）（ ＜＞？ ）λ（t2） x=0处的dt/dx， x=δ处的dt/dx 相对大小 曲线的凹凸向与斜率的关系 结论：
导热微分方程式 定解条件 求解思路
导热微分方程式
依据：能量守恒定律、傅里叶定律 假设：
各向同性的连续介质 比热容、密度、导热系数为已知 物体内具有内热源φ（w/m3）***
方程组成：导热项、内热源生成项***及非稳态项组成 适应范围：满足傅里叶定律的导热过程 目的：具体实际问题经简化后能得到解决的具体表达式 。
多层壁
复合壁
通过单层平壁的导热
传热学——概念汇总
概念汇总1.绪论1.传热学：研究热量传递规律的科学。
2.热量传递的基本方式：导热、对流、辐射。
3.热传导（导热）：物体的各部分之间不发生相对位移，依靠微观粒子的热运动产生的热量传递现象。
4.纯粹的导热只能发生在不透明的固体之中。
5.热流密度：通过单位面积的热流量（W╱m2）。
6.热对流：由于流体各部分之间发生相对位移而产生的热量传递现象。
7.热对流只发生在流体之中，并伴随有导热现象。
8.自然对流：由于流体密度差引起的相对运动。
9.强制对流：由于机械作用或其他压差作用引起的相对运动。
10.对流换热：流体流过固体壁面时，由于对流和导热的联合作用，使流体与固体壁面间产生热量传递的过程。
11.辐射：物体通过电磁波传播能量的方式。
12.热辐射：由于热的原因，物体的内能转变成电磁波的能量而进行的辐射过程。
13.辐射换热：不直接接触的物体之间，由于各自辐射与吸收的综合结果所产生的热量传递现象。
14.传热过程：热流体通过固体壁面将热量传给另一侧流体的过程。
15.传热系数：表征传热过程强烈程度的尺寸，数值上等于冷热流体温差1K时所产生的热流密度[W╱（m2•K）]16.单位面积上的{传热热阻：R k=1k。
导热热阻：Rλ=δλ。
对流换热热阻：R h=1h。
17.热流量：单位时间内所传递的热量。
18.对比串联热阻大小就可以找到强化传热的主要环节。
19.单位：物理量的度量标尺。
20.基本单位：基本物理量的单位。
21.导出单位：由物理含义导出，以基本单位组成的单位。
22.单位制：基本单位与导出单位的总和。
23.导热系数，表面传热系数和传热系数之间的区别：导热系数是表征材料导热性能优劣的参数，即是一种物性参数。
不同材料的导热系数值不同，即使是同一种材料，导热系数值还与温度等因素有关。
表面传热系数是表征对流换热强弱的参数，它不仅取决于流体的物性以及换热表面的形状、大小与布置，而且还与流速有密切的关系，是取决于多种因素的复杂函数。
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
V4-第四章-导热数值解法-2014
为什么要建立边界节点的离散方程？
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
导热问题数值解法
W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室
传热学第四章
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
4-3 一维非稳态导热问题的数值求解
在非稳态导热问题中，不但需要对空间区域进 行离散，还需要对时间变量进行离散，接下来以一 个一维非稳态导热问题为例，重点介绍对非稳态项 的离散方法，以及不同离散方法对计算带来的影响 等。
n
y
m
x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2.建立节点物理量的代数方程
每一个节点都与它周围相邻的节点存在一定的 关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关 系式（属于代数方程式），此关系式又称作节点的 离散方程。
(m,n+1)
(m,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
华北电力大学
(m,n-1)
h,tf
0 q=0 H x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
二、数学描述
华北电力大学
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
Φ& λ
=
0
x=0 x=H y=0
−
∂t ∂x
=
0
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−tf
)
−
∂t ∂y
=
0
y =W
−
λ
∂t ∂y
=
h(t
−tf
)
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
tm,n+1 −tm,n ∆y
(m,n+1)