4第四章导热问题的数值解法
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第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
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第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
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No.08 1013 4 导热问题的数值解法
Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格
导热数值解法
8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y
t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y
第四章热传导问题的数值解法
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
第四章热传导热问题的数值解法
数值求解的高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想(见P162)： 把原来在时间、空间坐标系中连续的
物理量的场，用有限个离散点上的值的集 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解）
t2(℃)
t3(℃)
0
0
5.675
3.769
4.545 (-1.13) 4.996 (1.227)
4.029 (-0.516) 5.061 (0.065)
3.979 (-0.05) 5.013 (-0.048)
3.994 (0.015) 5.000 (-0.013)
4.000 (0.006) 5.000 (0.000)
y
t4
t0
•
xy
0
x
△x=△y，且无内热源时，有
t1 t2 t3 t4 4t0 0
即：
t0
1 4
(t1
t2
t3
t4 )
一维问题 推广
三维问题
t0
1 2
(t1
t2
)
t0
1 6
(t1
t2
t3
t4
t5
t6)
一维问题 : t1 t2 2t0 0 二维问题 : t1 t2 t3 t4 4t0 0 三维问题 : t1 t2 t3 t4 t5 t6 6t0 0
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
如图, 以元体(m,n)为研究对象
(1) 元体(m,n)的能量守恒方程为：
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想(见P162)： 把原来在时间、空间坐标系中连续的
物理量的场，用有限个离散点上的值的集 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解）
t2(℃)
t3(℃)
0
0
5.675
3.769
4.545 (-1.13) 4.996 (1.227)
4.029 (-0.516) 5.061 (0.065)
3.979 (-0.05) 5.013 (-0.048)
3.994 (0.015) 5.000 (-0.013)
4.000 (0.006) 5.000 (0.000)
y
t4
t0
•
xy
0
x
△x=△y，且无内热源时，有
t1 t2 t3 t4 4t0 0
即：
t0
1 4
(t1
t2
t3
t4 )
一维问题 推广
三维问题
t0
1 2
(t1
t2
)
t0
1 6
(t1
t2
t3
t4
t5
t6)
一维问题 : t1 t2 2t0 0 二维问题 : t1 t2 t3 t4 4t0 0 三维问题 : t1 t2 t3 t4 t5 t6 6t0 0
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
如图, 以元体(m,n)为研究对象
(1) 元体(m,n)的能量守恒方程为：
热传导问题的数值解法
热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布
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每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域 的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成，这 个小区域称作元体或控制体。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
用数值解法求解二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
y
h3t f
t0
h2t f
• 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程， 当 △x=△y 时，有：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
（4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法， 传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用 迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个 解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
2t
m,n
将上式改写成 x2 的表达式，有 m,n
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm, 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
这是二节导数的差分表达式
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n 2tm,n tm1,n tm,n1 2tm,n tm,n1 0
x2
y2
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。
h1t f
x
（1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方 程）为：
2t x2
2t y 2
0
（2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分 成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定 温度值的空间位置，称为节点 (结点)，节点的位 置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。相 邻两节点间的距离称步长。
§4.2内节点离散方程的建立方法
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的 温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度ti-1,j
2）如果物性为温度的函数，则方程的系数不再是 常数，而是温度的函数，这些系数在迭代过程中要 不断更新——非线性代数方程：
3）是否收敛判断：用迭代法求解代数方程是否收 敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所 得之解的偏差是否小于允许值。
（6）解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分 布，根据温度场应进一步计算通过的热流量， 热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算 所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以 获得定性或定量上的结论。
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2
m,n
6
x3
24 x4
m,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n
x2
2t x2
x4 4t 12 x4
对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的
表达式。如图所示，从节点 (m-1,n) 通过界面 w 传
导到节点 (m,n) 的热流量：
w
y
tm1,n tm,n x
同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热流量也可
求得（省略）
n
w
m 1, n
s
m, n 1 m, n m 1, n
m, n 1 e
第四章 热传导问题的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
主要内容
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方 程。
对元体 (m,n), 根据能量守恒定律可知：
2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式
及其稳定性。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
导热问题一般为:
c t (t)
0 t f (x, y.z)
边界条件
上述问题的解法有以下两种:
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
用数值解法求解二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
y
h3t f
t0
h2t f
• 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程， 当 △x=△y 时，有：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
（4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法， 传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用 迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个 解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
2t
m,n
将上式改写成 x2 的表达式，有 m,n
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm, 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
这是二节导数的差分表达式
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n 2tm,n tm1,n tm,n1 2tm,n tm,n1 0
x2
y2
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。
h1t f
x
（1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方 程）为：
2t x2
2t y 2
0
（2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分 成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定 温度值的空间位置，称为节点 (结点)，节点的位 置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。相 邻两节点间的距离称步长。
§4.2内节点离散方程的建立方法
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的 温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度ti-1,j
2）如果物性为温度的函数，则方程的系数不再是 常数，而是温度的函数，这些系数在迭代过程中要 不断更新——非线性代数方程：
3）是否收敛判断：用迭代法求解代数方程是否收 敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所 得之解的偏差是否小于允许值。
（6）解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分 布，根据温度场应进一步计算通过的热流量， 热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算 所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以 获得定性或定量上的结论。
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2
m,n
6
x3
24 x4
m,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n
x2
2t x2
x4 4t 12 x4
对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的
表达式。如图所示，从节点 (m-1,n) 通过界面 w 传
导到节点 (m,n) 的热流量：
w
y
tm1,n tm,n x
同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热流量也可
求得（省略）
n
w
m 1, n
s
m, n 1 m, n m 1, n
m, n 1 e
第四章 热传导问题的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
主要内容
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方 程。
对元体 (m,n), 根据能量守恒定律可知：
2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式
及其稳定性。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
导热问题一般为:
c t (t)
0 t f (x, y.z)
边界条件
上述问题的解法有以下两种:
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。