传热学导热问题的数值解法
传热学考研题库【名校考研真题】(导热问题的数值解法)【圣才出品】
第 4 章 导热问题的数值解法
一、选择题
已知如图 4-1 所示中 t1 20C ，t2 23C ，t3 30C ，t4 20C ，且 x 1.5 y ，
则采用数值法可以估算出下图中 t 处的温度为（ ）。[湖南大学 2006 研] A．t＝26.5℃ B．t＝23.25℃ C．t＝22.5℃ D．t＝22℃
如图 4-2 所示的一根长圆管，管壁内有均匀内热源 W / m3 ，管外壁与温度为 t∞
的流体对流换热，表面传热系数为 h，管壁内温度分布只是半径 r 的函数。若用数值解法求 解稳态时管壁内的温度分布，请根据热平衡法写出外节点 N 的离散方程式。设管壁材料的 导热系数 λ 为常数，径向步长为 Δr。（不需化简）[重庆大学 2012 研]
f
A
2
B
y x
x y
hx
图 4-5
3．试导出二分方程式（不
需要展开、化简）。已知右侧壁绝热；顶端处于温度为 t f ，换热系数为 h 的冷流体环境，同 时受到外界热辐射 qr[W/m2]照射；有内热源Φ[W/m3]；网格 x y ；材料热导系数为 λ。
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ti1, j ti, j y ti, j1 ti, j x h x
x 2
y 2 2
t f ti, j
qr
x 2
xy 4
0
4．图 4-7 为一维平壁的非稳态导热，已知边界面周围流体温度 tf 和边界面与流体之间
[上海交通大学 2000 研] 解：本问题的简化模型如图 4-6 所示。
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传热学第二章导热问题数学描述
由Fourier定律：
qn
t
n
w
t nw
h
twtf
当: h , twtf 转化为第一类边界条件
当: h0,nt w0qw0
（绝热）转化为第 二类边界条件
导热微分方程＋定解条件 求解温度场热流场
补充：其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
grt aL dim n i j k
n 0 n n x y z
梯度的性质：
1．方向导数等于梯度在该方向上的投影；
2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向
（法线方向）。
4）傅里叶定律 一般形式：
A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
b.第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流
密度或温度变化率，
q s
qw或 n t s
qw
最简单的形式：恒热流， qw const
恒热流的特例是绝热边界条件：
t 0 n s
c.第三类边界条件:已知物体边界与周围流体间的表
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
传热学讲义-2
导热基本定律及稳态导热
• 导热基本定律 • 导热微分方程式及定解条件 • 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变 截面物体的导热 • 通过肋壁的导热 • 具有内热源的导热和多维导热 • 例题与小结
导热基本定律
基本概念 基本定律—傅立叶定律 导热系数
基本概念
温度场
温度场是某一时刻导热物体中各点温度分布的总称，一般 是空间坐标和时间坐标的函数，在直角坐标系下，有： t=f（x，y，z，τ）
导热系数
t q / nn
导热系数 λ表示在单位温度梯度作用下物体内所产 生的热流密度，它表征了物质导热本领的大小。 导热系数是物性参数，它取决于物质的种类和热力 状态(即温度、压力等)。变化特征和机理见下页。 四种典型物质的导热系数数值（t=20 ℃。） 纯铜 λ =399W／(m· K)；
热流密度：q=λ0 [1+b/2（t2+t1）]（t1 - t2）/δ
曲线凹凸向判断
根据稳态导热的特点，沿热量传递方向，热流量为 常数，即 Φ=-λAdt/dx=const 则有： λdt/dx=const ？？ 设t1＞t2，当b＞0时，λ（t1）（ ＜＞？ ）λ（t2） x=0处的dt/dx， x=δ处的dt/dx 相对大小 曲线的凹凸向与斜率的关系 结论：
导热微分方程式 定解条件 求解思路
导热微分方程式
依据：能量守恒定律、傅里叶定律 假设：
各向同性的连续介质 比热容、密度、导热系数为已知 物体内具有内热源φ（w/m3）***
方程组成：导热项、内热源生成项***及非稳态项组成 适应范围：满足傅里叶定律的导热过程 目的：具体实际问题经简化后能得到解决的具体表达式 。
多层壁
复合壁
通过单层平壁的导热
传热学——概念汇总
概念汇总1.绪论1.传热学：研究热量传递规律的科学。
2.热量传递的基本方式：导热、对流、辐射。
3.热传导（导热）：物体的各部分之间不发生相对位移，依靠微观粒子的热运动产生的热量传递现象。
4.纯粹的导热只能发生在不透明的固体之中。
5.热流密度：通过单位面积的热流量（W╱m2）。
6.热对流：由于流体各部分之间发生相对位移而产生的热量传递现象。
7.热对流只发生在流体之中，并伴随有导热现象。
8.自然对流：由于流体密度差引起的相对运动。
9.强制对流：由于机械作用或其他压差作用引起的相对运动。
10.对流换热：流体流过固体壁面时，由于对流和导热的联合作用，使流体与固体壁面间产生热量传递的过程。
11.辐射：物体通过电磁波传播能量的方式。
12.热辐射：由于热的原因，物体的内能转变成电磁波的能量而进行的辐射过程。
13.辐射换热：不直接接触的物体之间，由于各自辐射与吸收的综合结果所产生的热量传递现象。
14.传热过程：热流体通过固体壁面将热量传给另一侧流体的过程。
15.传热系数：表征传热过程强烈程度的尺寸，数值上等于冷热流体温差1K时所产生的热流密度[W╱（m2•K）]16.单位面积上的{传热热阻：R k=1k。
导热热阻：Rλ=δλ。
对流换热热阻：R h=1h。
17.热流量：单位时间内所传递的热量。
18.对比串联热阻大小就可以找到强化传热的主要环节。
19.单位：物理量的度量标尺。
20.基本单位：基本物理量的单位。
21.导出单位：由物理含义导出，以基本单位组成的单位。
22.单位制：基本单位与导出单位的总和。
23.导热系数，表面传热系数和传热系数之间的区别：导热系数是表征材料导热性能优劣的参数，即是一种物性参数。
不同材料的导热系数值不同，即使是同一种材料，导热系数值还与温度等因素有关。
表面传热系数是表征对流换热强弱的参数，它不仅取决于流体的物性以及换热表面的形状、大小与布置，而且还与流速有密切的关系，是取决于多种因素的复杂函数。
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
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(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
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第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
V4-第四章-导热数值解法-2014
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体
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导热问题的数值解法
1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2 、掌握内容：数值解法的实质。
3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法
数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：
相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。
不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立
实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。
由此可见：
1 ）物理模型简化成数学模型是基础；
2 ）建立节点离散方程是关键；
3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
一数值求解的步骤
如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：
1 建立控制方程及定解条件
控制方程：是指描写物理问题的微分方程
针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时，
x=H 时，
当y=0 时，
当y=W 时，
区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点( 结点) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ，n 表示。
相邻两节点间的距离称步长。
△x, △y 每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点代表的小区域称为元体（又叫控制容积），如图4-2(b) 。
2 建立节点物理量的代数方程（离散方程）
节点上物理量的代数方程称离散方程。
其过程如下：
3 首先划分各节点的类型；
4 其次，建立节点离散方程；
5 最后，代数方程组的形成。
对节点(m,n) 的代数方程，当△x=△y 时，
有：（ b ）
6 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。
采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
7 求解代数方程组
求解时遇到的问题：① 线性；② 非线性；③ 收敛性等。
如图4-2 （b ），除m=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余(M-1)N 个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N 个方程，则构成一个封闭的代数方程组。
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；
2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不断更新。
3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。
关于变物性( 物性为温度的函数) 导热问题，建立的离散方程，四个邻点温度的系数不是常数，而是温度的函数。
在迭代计算时，这些系数应不断更新，这是非线性问题。
解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。
因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法
1 、基本概念
•内节点：位于计算区域内部的节点，称内节点；
•差分格式：差商中的差分可以用向前、向后、中心差分表示的格式称差分格式。
2 、基本方法
方法：① 泰勒级数展开法；② 热平衡法，以下分述之。
1 ）泰勒级数展开法
如图4-3 所示，以节点(m,n) 处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n) 及(m-1,n) 分别写出函数t 对(m,n) 点的泰勒级数展开式：
对(m+1,n) ：
（ a ）
对（m-1,n ）：
（ b ）
（a ）+ （ b ）得：
变形为的表示式得：
上式是用三个离散点上的值计算二阶导数的严格表达式，其中：―― 称截断误差，误差量级为，即表示未明确写出的级数余项中
的最低阶数为2 。
在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去。
于是得：（ 4 -1a ）
同理：（4-1b ）
根据导热问题的控制方程( 导热微分方程) 得：
(4-2)
若△x=△y 则有：
2) 平衡法：
其本质是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。
对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的表达式。
如图4-3 所示，元体在垂直纸面方向取单位长度，通过元体界面(w,e,n,s) 所传导的热流量可以对有关的两个节点根据傅里叶定律写出：
从节点(m-1,n) 通过界面w 传导到节点(m,n) 的热流量：
（ a ）
同理：通过界面e,n,s 传导给节点（m,n ）的热流量：
（ b ）
（ c ）
（ d ）
对元体(m,n). 根据能量守恒定律可知：（4-3 ）
其中，规定：导入元体（m,n ）的热流量为正；
导出元体（m,n ）的热流量为负。
说明：① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的；
② 热平衡法概念清晰，过程简捷；
③ 热平衡法与§2 — 2 建立微分方程的思路与过程一致，但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体。