归纳猜想高考题纔

归纳猜想高考题例析
山东 尹承利
“观察———归纳———猜想———证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型.由于这类问题能培养同学们探索问题的能力，因而成为高考命题的热点.解这类问题，需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明.其中解题的关键在于正确的归纳猜想.下面以几道高考题为例加以说明.
例１ （2002年全国高考题改编）设数列{}n a 满足211n n n a a na +=-+，1
23n = ，，，．当12a =时，求234a a a ，，，由此猜想出n a 的一个通项公式，并给出证明．
分析：由12a =及递推关系式得234a a a ，，的值，猜想n a 并用数学归纳法证明．
解：由12a =，得221113a a a =-+=；
由23a =，得2322214a a a =-+=；
由34a =，得2433315a a a =-+=．
由此猜想n a 的一个通项公式：1n a n =+．
下面用数学归纳法证明．
（1）当1n =时，左边12a ==，右边112=+=，猜想成立．
（2）假设当n k =时，猜想成立，即1k a k =+．
那么2211(1)(1)1(1)[(1)]1(1)1k k k a a ka k k k k k k k +=-+=+-++=++-+=++，
所以，当1n k =+时，猜想成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何n *∈N 都成立．
例2 （1993年全国高考文科题）已知数列222222
818281335(21)(21)n n S n n ⨯⨯⨯⨯-+ ，，，，，为其前n 项的和，计算得189S =，22425S =，34849S =，48081
S =．观察上述结果，推测出n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 分析：观察分母得2222357(21)n + ，，，，，分子为分母减1，用数学归纳法证明时要利用递推关系11k k k S S a ++=+．
解：由已知推测22
(21)1(21)n n S n +-=+． 用数学归纳法证明如下：
（1） 当1n =时，左边89
=，右边2222(211)1318(211)39⨯+--===⨯+，推测成立． （2） 假设当n k =时推测成立，即22
(21)1(21)k k S k +-=+， 那么211222
(21)18(1)(21)(21)(23)k k k k k S S a k k k +++-+=+=++++ 2222
[(21)1](23)8(1)(21)(23)k k k k k +-+++=++
222
22(21)(23)(23)8(1)(21)(23)k k k k k k ++-+++=++ 222
22
(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k ++-+=++ 22
(23)1(23)k k +-=+ 22
[2(1)1]1[2(1)1]k k ++-=++． 即当1n k =+时，推测也成立．
根据（1）和（2）可知，推测对任何n *∈N 都成立．
例3 （2002年北京春季高考题）已知点的序列(0)n n A x n *∈N ，，，其中 120(0)x x a a ==>，，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点， ，n A 是线段21n n A A --的中点
（1）写出n x 与1n x -，2n x -之间的关系式(3)n ≥；
（2）设1n n n a x x +=-，计算123a a a ，，，由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明． 分析：利用递推公式及归纳假设是解题的关键．
解：（1）当3n ≥时，122
n n n x x x --+=． （2）121a x x a =-=；
2123222111()222x x a x x x x x a -=-=
-=--=-； 3234333211()224
x x a x x x x x a +=-=-=--=， 由此推测11()2n n a a n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ．
下面用数学归纳法证明：
① 当1n =时，012112a x x a a ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭
，推测成立． ②假设当n k =时，推测成立，即112k k a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．
那么，当1n k =+时，
11121111111()22222k k k k k k k k k k x x a x x x x x a a -+++++++⎛⎫=-=-=--=-=-- ⎪⎝⎭· (1)112k a +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
即当1n k =+时，推测也成立．
根据①和②可知，推测对任何n *∈N 都成立．。