2020高中数学人教A版必修4课时达标检测(五) 同角三角函数的基本关系 Word版含解析

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2022人教版高中数学必修四课时提升作业(五) 1.2.2 同角三角函数的基本关系

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课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin α=√55，则sin 2α-cos 2α的值为( )A.-15B.-35C.15D.35【解析】选B.由于sin α=√55，所以cos 2α=1-sin 2α=45，则原式=15-45=-35.【延长探究】本题条件下，求sin 4α-cos 4α的值. 【解析】由sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α =-35.2.(2021·福建高考)若sin α=-513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.-125C.512D.-512【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sin α=-513，且α为第四象限角可知cos α=1213，故tan α=sinαcosα=-512.3.(2021·葫芦岛高一检测)已知α是其次象限角，cos α=-13，则3sin α+tan α=( )A.-√2B.√2C.-1D.0 【解析】选D.由于cos α=-13，α是其次象限角，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−13)2=2√23. 所以tan α=sinαcosα=2√23−13=-2√2.所以3sin α+tan α=3×2√23-2√2=0. 4.(2021·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tan θ=-34，则sin θ- cos θ=( )A.15B.75C.-15D.-75【解析】选D.由已知得{sinθcosθ=−34,sin 2θ+cos 2θ=1,所以(−34cosθ)2+cos 2θ=1，cos 2θ=1625，又角θ为第四象限角，所以cos θ=45.所以sin θ=-34cos θ=-34×45=-35. 所以sin θ-cos θ=-35-45=-75.5.已知sin α-cos α=-√52，则tan α+1tanα的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.由于sin αcos α=1−(sinα−cosα)22=-18，所以tan α+1tanα=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2021·北京高一检测)已知α是其次象限的角，且sin α=513，则cos α=________.【解析】由于α是其次象限的角，且sin α=513，所以cos α=-√1−sin 2α=-√1−(513)2=-1213.答案：-12137.若sin θ=k+1k−3，cos θ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________.【解析】由于sin 2θ+cos 2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=1，所以k 2+6k-7=0，所以k 1=1或k 2=-7.当k=1时，cos θ不符合，舍去. 当k=-7时，sin θ=35，cos θ=45，tan θ=34.答案：348.已知sinx=3cosx ，则sinxcosx 的值是________. 【解析】将sinx=3cosx 代入sin 2x+cos 2x=1中得9cos 2x+cos 2x=1，即cos 2x=110，所以sin 2x=1-cos 2x=910，由于sinx 与cosx 同号，所以sinxcosx>0，则sinxcosx=√sin 2xcos 2x =310.答案：310三、解答题(每小题10分，共20分) 9.(2021·武汉高一检测)已知tan 2α1+2tanα=13，α∈(π2,π). (1)求tan α的值. (2)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值.【解析】(1)由tan 2α1+2tanα=13，得3tan 2α-2tan α-1=0，即(3tan α+1)(tan α-1)=0，解得tan α=-13或tan α=1.由于α∈(π2,π)，所以tan α<0，所以tan α=-13.(2)由(1)，得tan α=-13，所以sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−13+25−(−13)=516.【延长探究】本例条件下，计算sin 2α+sin αcos α的值.【解析】sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=(−13)2+(−13)(−13)2+1=-15.10.求证：3-2cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1.【证明】右边=3(tan 2α+1)−2tan 2α+1=3-2tan 2α+1=3-2sin 2αcos 2α+1=3-2cos 2αsin 2α+cos 2α=3-2cos 2α=左边，所以原式得证. 【一题多解】左边=3(sin 2α+cos 2α)−2cos 2αsin 2α+cos 2α=3sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1=右边，所以原式得证.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14B.12C.1D.32【解析】选C.原式=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α)=sin 2α+cos 2α=1.【补偿训练】若sin α+sin 2α=1，则cos 2α+cos 4α等于________.【解析】由于sin α+sin 2α=1，sin 2α+cos 2α=1，所以sin α=cos 2α，所以cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1. 答案：12.(2021·宣城高一检测)已知sin θ=2cos θ，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( )A.-43B.54C.-34D.45【解题指南】关于sin θ，cos θ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值. 【解析】选D.由于sin θ=2cos θ，所以tan θ=sinθcosθ=2， sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ =sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−2tan 2θ+1=22+2−222+1=45.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2021·龙岩高一检测)化简：α为其次象限角，则cosα√1+tan 2α+√1+sinα1−sinα-√1−sinα1+sinα=__________.【解析】原式=cosα√1+2cos 2α+√(1+sinα)21−sin 2α-√(1−sinα)21−sin 2α=cosα·√1cos 2α+|1+sinαcosα|-|1−sinαcosα|.又由于α为其次象限角，所以cos α<0，1+sin α>0，1-sin α>0，所以原式=1cosα·1−cosα-1+sinαcosα-(−1−sinαcosα)=-1-1+sinαcosα+1−sinαcosα=-1+−2sinαcosα=-1-2tan α.答案：-1-2tan α 【补偿训练】√1−2sin70°cos70°sin70°−√1−sin 270°=________.【解析】原式=√sin 270°+cos 270°−2sin70°cos70°sin70°−√cos 270°=√(sin70°−cos70°)2sin70°−|cos70°|=|sin70°−cos70°|sin70°−|cos70°|由于sin 70°>cos 70°>0，所以原式=sin70°−cos70°sin70°−cos70°=1.答案：14.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________. 【解析】设直角三角形中的该锐角为β，由于方程4x 2-2(m+1)x+m=0中， Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根. 又由于sin β+cos β=m+12，sin βcos β=m4，所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1，得1+2·m4=(m+12)2，解得m=±√3.当m=√3时，sin β+cos β=√3+12>0，sin β·cos β=√34>0，满足题意，当m=-√3时，sin β+cos β=1−√32<0，这与β是锐角冲突，舍去. 综上，m=√3. 答案：√3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2021·盐城高一检测)已知sin α+cos α=12(0<α<π)，(1)求sin αcos α.(2)求sin α-cos α.【解析】(1)平方得1+2sin αcos α=14，所以sin αcos α=-38.(2)由(1)式知sin αcos α<0，0<α<π，所以π2<α<π，所以sin α-cos α>0，由于(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=74，所以sin α-cos α=√72.【补偿训练】在△ABC 中，sinA+cosA=15，求(1)sinA ·cosA. (2)tanA. 【解析】(1)由于sinA+cosA=15，所以(sinA+cosA)2=125，即1+2sinAcosA=125，所以sinAcosA=-1225.(2)由于sinA+cosA=15，①A ∈(0，π)，所以A ∈(π2,π)，所以sinA-cosA>0，又由于(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA =1-2×(−1225)=4925，所以sinA-cosA=75②联立①②解得，sinA=45，cosA=-35，所以tanA=sinAcosA=45−35=-43.6.已知sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=√a 2−1b 2−1.【证明】由sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，得sinθtanθ=asinφbtanφ，即acos φ=bcos θ，而asin φ=sin θ，得a 2=b 2cos 2θ+sin 2θ，即a 2=b 2cos 2θ+1-cos 2θ，得cos 2θ=a 2−1b 2−1，而θ为锐角，所以cos θ=√a 2−1b 2−1.关闭Word 文档返回原板块。

2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：1.2.2 同角三角函数的基本关系 Word版含解析

用商数关系求解该角的正切值即可．
(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以 cos2α，把正弦、余弦
化成正切．
方法归纳
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．
(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．
(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．
sin α－cos α
3 × 3cos α－cos α 8cos α 8
原式＝
＝＝.
2 × 3cos α＋3cos α 9cos α 9
sin α＋cos α
法二：由
＝2 得 tan α＝3，
sin α－cos α
3tan α－1 3 × 3－1 8
原式＝
＝
＝.
2tan α＋3 2 × 3＋3 9
4sin2α－3sin α·cos α－5cos2α (2)原式＝
sin2α＋cos2α
4tan2α－3tan α－5 4 × 9－3 × 3－5 11
＝
＝
＝.
tan2α＋1
9＋1
5
形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即
利用分式的性质将式子变为关于 tanα 的代数式，从而代入求值．
·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：C
类型一利用同角基本关系式求值
例 1 (1)已知 sin α＝1，求 cos α，tan α；
5
3sin2α－cos2α
(2)已知 tan α＝3，求
.
2sin2α－6cos2α
【解析】 (1)因为
sin
1 α＝ >0，且
sin

2017-2020学年高中数学人教A版必修4：(五) 同角三角函数的基本关系

2020年精品试题芳草香出品课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系层级一学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．－125C ．512D ．－512 解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D. 2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3. 3．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35 解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22. 答案：－22 7．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________.解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝ (sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________. 解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36° ＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2 ＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|。

高中数学课时作业5 同角三角函数的基本关系新人教A版必修4

解析：由sinα－cosα＝ ①，两边平方得1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1，故(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0②，联立①②得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝＝－1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简：－ (α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cosα<0.
则原式＝－
＝ · －
＝＋＝
＝＝tanα.
14．已知－ <x<0，sinx＋cosx＝，求下列各式的值．
(1)sinx－cosx；
(2) .
解析：(1)∵sinx＋cosx＝，
课时作业5同角三角函数的基本关系
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα的值是()
A. B．－
C. D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－ .
答案：D
2．下列结论中成立的是()
A．sinα＝且cosα＝
解析：将sinA＋cosA＝两边平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝，又sin2A＋cos2A＝1，故sinAcosA＝－ .因为0<A<π，所以sinA>0，则cosA<0，即A是钝角．
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)

高中人教a版数学必修4(单元测试卷)：第5课时同角三角函数的基本关系(1) 含解析

第5课时同角三角函数的基本关系(1)1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式．2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．1．同角三角函数的基本关系式包括：①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1②商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是α≠k π＋π2(k ∈Z)． 3．sin 2α＋cos 2α＝1的变形有sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α等．tan α＝sin αcos α的变形有sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α等．一、选择题1．已知sin α＝45，且α是第二象限角，那么tan α的值是( ) A ．－43 B ．－34C.34D.43答案：A解析：cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 2.11＋tan 23π5化简结果为( )A ．cos 3π5B ．－cos 3π5C ．±cos 3π5D ．－cos 2π5答案：B3．已知sin θ＋cos θ＝1，则sin θ－cos θ的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C解析：将sin θ＋cos θ＝1两边平方得sin θcos θ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝0sin θ＝1，故sin θ－cos θ＝±1.4．已知α、β均为锐角，2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α的值是( ) A.3 55 B.3 77C.31010D.13答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.∴sin αcos α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，且α为锐角，∴sin α＝31010.故选C.5．如果sin α|sin α|＋cos α|cos α|＝－1，那么角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：C解析：∵－sin 2α＋(－cos 2α)＝－1，∴只有|sin α|＝－sin α，|cos α|＝－cos α时，sin α|sin α|＋cos α|cos α|＝－1才能成立．sin α、cos α同时小于零，所以α是第三象限角．。

高中数学人教A版必修4课后练习5 同角三角函数的基本关系

高中数学人教A 版必修4课后练习5 同角三角函数的基本关系1.已知cos θ＝45，且3π2<θ<2π，则1tan θ的值为( )A ．34B ．－34C ．43D ．－43解析：因为cos θ＝45，且3π2<θ<2π，所以sin θ＝－√1－cos 2θ＝－35.所以tan θ＝－34，故1tan θ＝－43.选D ．答案：D2.若α为第三象限角，则cos θ√1－sin 2θ2sin θ√1－cos 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1解析：因为α为第三象限角，所以原式＝cos θ－cos θ+2sin θ－sin θ＝－3.答案：B3.已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( ) A ．15 B ．－15 C ．513 D ．－513解析：∵α是第四象限角，∴sin α<0.由tan α＝－512，得sin θcos θ＝－512，∴cos α＝－125sin α.由sin 2α+cos 2α＝1，得sin 2α+(－125sin θ)2＝1，∴16925sin 2α＝1，sin α＝±513.∵sin α<0，∴sin α＝－513.答案：D4.已知cos α+sin α＝－12，则sin αcos α的值为( )A ．－38 B ．±38 C ．－34 D ．±34解析：由已知得(cos α+sin α)2＝sin 2α+cos 2α+2sin αcos α＝1+2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝－38.答案：A5.化简1√2的结果为( )A ．－cos 160°B ．cos 160°C ．1cos160°D ．1－cos160° 解析：原式＝1√1+sin 160°cos 2160°1√cos 160°+sin 160°cos 2160° ＝1√1cos 2160°√cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°.故选A ．答案：A6.若cos α+2sin α＝－√5，则tan α等于( )A ．12B ．2C ．－12D ．－2解析：(方法一)由{cos θ+2sin θ＝－√5，cos 2θ+sin 2θ＝1联立消去cos α，得(－√5－2sin α)2+sin 2α＝1.化简得5sin 2α+4√5sin α+4＝0，∴(√5sin α+2)2＝0，∴sin α＝－2√55.∴cos α＝－√5－2sin α＝－√55. ∴tan α＝sin θcos θ＝2. (方法二)∵cos α+2sin α＝－√5，∴cos 2α+4sin αcos α+4sin 2α＝5.∴cos 2θ+4sin θcos θ+4sin 2θcos 2θ+sin 2θ＝5. ∴1+4tan θ+4tan 2θ1+tan 2θ＝5，∴tan 2α－4tan α+4＝0. ∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2. 答案：B7.若tan 2x －sin 2x ＝165，则tan 2x sin 2x ＝__________.解析：tan 2x sin 2x ＝tan 2x (1－cos 2x ) ＝tan 2x －tan 2x cos 2x ＝tan 2x －sin 2x ＝165.答案：1658.已知cos (θ+π4)＝13，0<α<π2，则sin (θ+π4)＝__________. 解析：∵sin 2(θ+π4)+cos 2(θ+π4)＝1， ∴sin 2(θ+π4)＝1－19＝89. ∵0<α<π2，∴π4<α+π4<3π4.∴sin (θ+π4)＝2√23. 答案：2√239.已知tan α，1tan θ是关于x 的方程x 2－kx +k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<72π，则cos α+sin α＝________. 解析：∵tan α·1tan θ＝k 2－3＝1，∴k ＝±2，而3π<α<72π，则tan α+1tan θ＝k ＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－√22，∴cos α+sin α＝－√2. 答案：－√210.化简:√1－2sin130°cos130°sin130°+√1－sin 2130°.解原式＝√sin 2130°－2sin130°cos130°+cos 2130°√2 ＝|sin130°－cos130°|sin130°+|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. 11.证明：1+2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝1+tan θ1－tan θ.证明∵左边＝sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ(cos θ+sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ+cos θ)2(cos θ+sin θ)(cos θ－sin θ) ＝cos θ+sin θcos θ－sin θ＝cos θ+sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1+tan θ1－tan θ＝右边，∴原等式成立.12.若3π2<α<2π，化简:√1－cos θ1+cos θ+√1+cos θ1－cos θ. 解∵3π2<α<2π，∴sin α<0.∴原式＝√(1－cos θ)2(1+cos θ)(1－cos θ)+√(1+cos θ)2(1－cos θ)(1+cos θ) ＝√(1－cos θ)2sin 2θ+√(1+cos θ)2sin 2θ＝|1－cos θ||sin θ|+|1+cos θ||sin θ| ＝－1－cos θsin θ−1+cos θsin θ＝－2sin θ. 13.已知θ∈(0，π)，且sin θ，cos θ是方程25x 2－5x －12＝0的两个根，求sin 3θ+cos 3θ和tan θ－1tan θ的值.解(方法一)由题意得sin θ+cos θ＝15，sin θcos θ＝－1225，易知θ≠π2.∴sin3θ+cos3θ＝(sin θ+cos θ)(sin2θ－sin θcos θ+cos2θ) ＝(sin θ+cos θ)(1－sin θcos θ)＝15×1+1225＝37125.tan θ－1tanθ＝sinθcosθ−cosθsinθ＝sin2θ－cos2θsinθcosθ＝(sinθ+cosθ)(sinθ－cosθ)sinθcosθ.∵θ∈(0，π)，sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，则sin θ－cos θ>0.∴sin θ－cos θ＝√(sinθ－cosθ)2＝√1－2sinθcosθ＝√1+2×1225＝√4925＝75.∴tan θ－1tanθ＝15×75－1225＝－712.(方法二)方程25x2－5x－12＝0的两根分别为45和－35.∵θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－1225<0，∴sin θ>0，cos θ<0，则sin θ＝45，cos θ＝－35，∴sin3θ+cos3θ＝453+－353＝64125−27125＝37125，tan θ－1tanθ＝sinθcosθ−cosθsinθ＝45－35−－3545＝－43+34＝－712.。

2019-2020数学人教A版必修4 1.2.2 同角三角函数的基本关系作业 Word版含解析

[A.基础达标]
1．已知sinα＝，cosα＝，则tanα等于()
A. B.
C. D.
解析：选D.由商数关系，得tanα＝＝＝＝ .
2．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为()
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2× －1＝－ .
所以sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，
所以3cos2α＋4sinαcosα＝，
所以＝，
即＝，
即3tan2α－8tanα－3＝0，
解得tanα＝3或tanα＝－ .
3．已知＝2，则sinαcosα的值为________．
解析：由＝2，等式左边的分子分母同除以cosα，得＝2，
所以cosθ＝－＝－ .
答案：－
7．已知sinα＝，且α为第二象限角，则tanα＝________.
解析：因为α为第二象限角，
所以cosα＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝＝－ .
答案：－
8．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________．
解析：由Δ≥0，知a≤ .
又sinA＞0，cosA＜0，
所以sinA－cosA＞0，
所以sinA－cosA＝ .
又sinA＋cosA＝，
所以sinA＝，cosA＝－ .
所以tanA＝＝＝－ .
∴tanα＝－3，∴sinαcosα＝＝
＝－ .
答案：－
4．已知tanα＝3，则＝________.
解析：分子分母同时除以cos2α，

2020-2021学年人教版数学必修4课时素养评价 1.2.2 同角三角函数的基本关系

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课时素养评价五同角三角函数的基本关系(20分钟35分)1.若α是第二象限角,且sin α=,则tan α=( )A.-B.-C.-D.-2【解析】选D.因为α是第二象限角,所以cos α<0,所以cos α=-=-,所以tan α===-2.2.若α为第三象限角,则+的值为( )A.3B.-3C.1D.-1【解析】选B.因为α为第三象限角,所以原式=+=-3.3.已知tan θ=3,则cos2θ=( )A. B.C. D.【解析】选D.因为cos 2θ=,=,tan θ=3,所以cos2θ=.4.若α是三角形的最大内角,且sin α-cos α=,则三角形是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【解析】选B.将sin α-cos α=两边平方,得1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=.又α是三角形的最大内角,所以sin α>0,cos α>0,所以α为锐角.5.化简(1+tan2α)·cos2α=.【解析】原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.答案:16.求证:-=sin θ+cos θ.【证明】-=-=-=-==sin θ+cos θ.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )A. B. C.1 D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.2.已知=-5,那么tan α的值为( )A.-2B.2C.D.-【解析】选D.由=-5,分子分母同除以cos α得=-5,解得tan α=-.3.已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是( ) A.a∈ B.a=1C.a=1或a=D.a=【解析】选D.因为sin2θ+cos2θ=1,所以+=1,解得a=1或a=,当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去.当a=时,sin θ>0,cos θ<0,符合题意,所以a=.4.已知2sin θ+tan θ=0,则角θ的值不可能是( )A.-210°B.-180°C.210°D.-240°【解析】选D.因为2sin θ+tan θ=2sin θ+=sin θ=0,所以sin θ=0或cos θ=-,所以θ=-210°,-180°,210°都满足题意,而θ=-240°不满足题意.5.已知sin α,cos α是方程2x2-x-m=0的两个根,则m= ( )A. B.- C. D.-【解析】选A.sin α,cos α是方程2x2-x-m=0的两个根,则sin α+cosα=,sin αcos α=-,=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1-m=,所以m=,验证满足Δ≥0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.化简(1-cos α)的结果是.【解析】原式=(1-cos α)====sin α.答案:sin α7.已知sin θ+cos θ=,则tan θ+= .【解析】因为sin θ+cos θ=,所以=1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-,则tan θ+=+==-4答案:-48.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= . 【解析】由题意可得:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ==,当tan θ=2时,原式=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.化简:(1).(2).【解析】(1)原式=====1.(2)原式===cos θ.10.若角α∈,且sin α+cos α=.(1)求sin α-cos α的值.(2)求tan α的值.【解析】(1)将sin α+cos α=平方得sin2α+2sin αcosα+cos2α=,所以2sin αcos α=-<0.因为α∈,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.而=1-2sin αcos α=1-=,因此,sin α-cos α=.(2)由(1)得解得因此,tan α==-.1.当α≠(k∈Z)时,(sin α+tan α)的值( )A.恒为正B.恒为负C.恒非负D.可正可负【解析】选 A.(sin α+tan α)=sin αcos α+cos α·+sin α·+1=sin α+cos α+1+sin αcos α=(1+sin α)(1+cos α).因为α≠,k∈Z,所以1+sin α>0,1+cos α>0,所以原式恒为正. 2.已知=k.试用k表示sin α-cos α的值.【解析】===2sin αcos α=k,当0<α<时,sin α<cos α,此时sin α-cos α<0,所以sin α-cos α=-=-=-.当≤α<时,sin α≥cos α,此时sin α-cos α≥0,所以sin α-cos α===.关闭Word文档返回原板块。

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课时达标检测（五）同角三角函数的基本关系一、选择题
1．已知角α是第四象限角，cos α＝12
13
，则sin α＝( )
A.5
13
B．－
5
13
C.5
12
D．－
5
12
答案：B
2．下列结论中成立的是( )
A．sin α＝1
2
且cos α＝
1
2
B．tan α＝2且cos αsin α＝
1
3
C．tan α＝1且cos α＝±
2 2
D．sin α＝1且tan α·cos α＝1 答案：C
3．已知sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ＝2，则sin
θcos θ的值是( )
A.3
4
B．±
3
10
C.3
10
D．－
3
10
答案：C
4．化简(1＋tan2α)·cos2α等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C
5．已知－π2<θ<π2
，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A ．－3
B ．3或13
C ．－13
D ．－3或－13
答案：C
二、填空题
6．若sin θ＝－45
，tan θ>0，则cos θ＝________. 答案：－35
7．已知0<α<π，sin α＋cos α＝13
，则sin α－cos α的值是________．答案：173
8．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α
的值为________．答案：2
三、解答题
9．已知π2<θ<π且sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5
，求tan θ的值．解：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－2m m ＋52＝1，整理得m 2－8m ＝0，
∴m ＝0或m ＝8.
当m ＝0时，sin θ＝－35，不符合π2<θ<π，舍去，
当m＝8时，sin θ＝5
13，cos θ＝－
12
13
，满足题意．
∴tan θ＝sin θ
cos θ＝－
5
12
10．已知α是第二象限角，tan α＝－1
2
，求cos α.
解：∵α是第二象限角，∴cos α<0.
由tan α＝sin α
cos α＝－
1
2
，得sin α＝－
1
2
cos α.
代入sin2α＋cos2α＝1，得1
4
cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝
4
5
.
∴cos α＝－25 5
.。