函数y=Asin(wx+φ)的图像
π
自辅教学案 辅教学案
3
) 的图像为 C，如下结论中正确的是
拒绝平庸 追求卓越
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〖归纳整理〗 归纳整理〗 ⒈ ⒉ 教后感】 【学/教后感】
拒绝平庸 追求卓越
自辅教学案 辅教学案
π
π π − 2 x) 的的单调递减区间、周期及函数在 − , 内的值域。 的的单调递减区间、周期及函数在 内的值域。 3 3 3
⒊
⑷ 函数 y = sin( ⒋ ★例⒉ 函数 f ( x ) =
π
6
− x) 的单调递减区间为
5 sin(2 x + ϕ ) 对任意 x 都有 f (
1 π sin( − 3 x) 的单调递增区间，有什么不同？ 的单调递增区间，有什么不同？ 2 4
y = sin x 最大值
最小值
对应的 x 值 对应的 x 值 对应的 x 值 对应的 对应的 x 值 ⒉
y = cos x 最大值
最小值ห้องสมุดไป่ตู้
的单调区间。 ★⒉ 请写出函数 y = sin x 和 y = cos x 的单调区间。
自辅教学案 辅教学案
课题： 课题：§8.3 函数 y = A sin(ωx + ϕ ) 的图像
科目： 主备人： 审核人： 定稿人： 科目：数学 主备人：李淑锋 审核人：李亚 定稿人： 09 年级 班 学生姓名： 学生姓名： 目标要求】 【目标要求】 学习目标〗 〖学习目标〗 定稿时间： 定稿时间：2010 年 4 月 日 授课教师： 授课教师：
整体思想的应用） 整体思想的应用） 的应用
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拒绝平庸
追求卓越
自辅教学案 辅教学案 〖预习反馈〗 预习反馈〗 ⒈ ⒉ 精讲释疑〗 〖精讲释疑〗 ★⒈ 整体思想的应用。 整体思想的应用。 ★例⒈ 求函数 y = 2 sin(
自辅教学案 辅教学案 装 订 线 -----------------------------------------------装------------------------------------订------------------------------------线----------------------------------------------装 装 订 订 线 线
1 π sin(3 x + ) 的最值和最值取得的条件。 的最值和最值取得的条件。 2 4
熟练掌握函数 的图像， 的意义。 ★⒈ 熟练掌握函数 y = A sin(ωx + ϕ ) 的图像，知道其中 A 、 ω 、 ϕ 的意义。 ★ ⒉ 会 由 函 数 y = A sin(ωx + ϕ ) 的 图 像 讨 论 其 性 质 ， 会 利 用 整 体 思 想 求 函 数
y = A sin(ωx + ϕ ) 的值域、最值、单调性。 的值域、最值、单调性。
〖学习重点、难点〗 学习重点、难点〗 重点：利用整体思想求形如 的函数的值域、最值、单调性。 重点：利用整体思想求形如 y = A sin(ωx + ϕ ) 的函数的值域、最值、单调性。 难点： 的函数的单调性。 难点：求形如 y = A sin(ωx + ϕ ) 的函数的单调性。 【过程方法】 过程方法】 预习提要〗 〖预习提要〗 的最值， ★⒈ 请写出函数 y = sin x 和 y = cos x 的最值，并写出取得最值时的 x 值。 通过本节课体会整体思想的应用。 ★⒎ 通过本节课体会整体思想的应用。 预习检测 检测〗 〖预习检测〗 如果是求 y =
的图像有什么关系？其最值有什么变化？取得最值的条件呢？ ⒊ 函数 y = sin x − 2 和 y = sin x 的图像有什么关系？其最值有什么变化？取得最值的条件呢？
⒋ 函数 y =
4 1 4 sin x 与 y = sin u 的最值有什么关系？其最值取得的条件有什么变化？（注意 的最值有什么关系？其最值取得的条件有什么变化？（ ？（注意 3 2 3
的函数的单调区间首先也是用到了换元法， ★⒍ 例 6 求形如 y = A sin(ωx + ϕ ) 的函数的单调区间首先也是用到了换元法，这实质也是整体 思想的应用。请类比前面求最值取得的条件的方法， 思想的应用。请类比前面求最值取得的条件的方法，求 y =
1 π sin(3 x − ) 的单调递增区间。 的单调递增区间。 2 4
π
3
− x) = f (
π
3
+ x) 。
的值。 的最小正值。 取最小正值时， ⑴ 求 f ( ) 的值。 ⑵ 求 ϕ 的最小正值。 ⑶ 当 ϕ 取最小正值时，若 x ∈ −
π
3
π π , ，求 f (x) 的 6 6
最大值和最小值。 最大值和最小值。
⒍
检测拓展〗 〖检测拓展〗 ⒈ ⒎
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-----------------------------------------------装------------------------------------订------------------------------------线----------------------------------------------装 订 线 ⒑ ⒏ ⒐ 函数 f ( x ) = 3 sin( 2 x −
三角函数f(x)=Asin(wx+φ)图像(1)
3
2 5 7 3 6 12
3
o
-1
6
7 6
5 3
2
x
-2 -3
y sin( 2 x ) sin 2( x ) 3 6
y sin 2 x
y sin x
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法1:(按 , ω, A顺序变换)
例2：为了得到y sin x的图像，可由 函数y 3sin(2 x
5
)如何变换得到？
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
例3：已知函数y sin(2 x
4 平移m ( m 0)个单位长度，所得函数的图像 关于y轴对称，求m的最小值
)的图像向左
例1：如何由y sin x变换得到y 3sin(2 x
3
)图像
方法1:(按 , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
y 3 sin( 2 x ) 3 y sin( 2 x ) 3
6
3
2 5 7 3 6 12
sin x 3sin(2 x
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
y=Asin(x+) 总结: y=sinx 方法2:(按 ω, , A顺序变换)
5.6.2函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质的应用第二课时课件人教A版(2019)必修第一册
, 0 对称
B.关于直线 x =
π
, 0 对称
D.关于直线 x =
π
4
3
对称
对称
π
−
6
随堂检测
3. 如图为函数 y = Asin x + ( > 0, > 0, − < < 0)的一部分图象， 求函
数的解析式.
2
【解析】由图可知, A = 3， =
5
6
3
2
− = ，所以最小正周期 =
3
6
2
5
+ , 0 ， ∈ ；由2 − = + ，解得 = + ， ∈ ，故函数
6
2
3
2
2
12
5
的对称轴方程为 =
2
+
12
， ∈ .
π
问题2：函数 = 3sin 2x − 图象的单调递增区间怎样表示?
3
5
【解析】由2 − ≤ 2 − ≤ + 2，解得 − ≤ ≤ +
2
3
2
12
12
�� 5
的单调递增区间为[ −
, + ] ， ∈ .
12
12
，故函数
新知生成
知识点二 函数y = Asin ωx + φ 的性质
1.函数=sin(+)的图象与周期
(1) 相邻的最大值点和最小值点间的距离为半个周期.
(2)函数图象与轴的交点为对称中心，相邻的两对称中心的距离为半个周期.
函数y=Asin(wx φ)的图象变换课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
No.1 Senior Middle School of Siping
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
任务2: ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
阅读教材,观察下面的图象.
No.1 Senior Middle School of Siping
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
问题 1:函数 y=sin
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
No.1 Senior Middle School of Siping
任务1:φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ) ,x∈R的图象的影响
通过对筒车运动的研究,我们得到了形如 y=Asin(ωx+φ)的函数,只要清楚函数
y=Asin(ωx+φ)的性质,就可以把握筒车的运动规律.这个函数由参数 A,ω,φ 所确
将函数 y=sin(x+φ)(φ≠0)图象上的所有点向左(当φ>0 时)或向右(当φ<0 时)
平移|φ|个单位长度,就得到函数 y=sin(x+φ)的图象.
课前预学
深问：步步设疑，激发思考
No.1 Senior Middle School of Siping
(1)将函数 y=sin x 的图象向左平移
B.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
1
4
π
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得图象上各点的
3
横坐标扩大到原来的 3 倍,得到的函数图象的解析式为( B ).
A.y=sin
函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点2 求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式
例 2.(2011·江苏) 已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ 为常数，A>0， ω>0) 的部分 图象如图 所示，则 f(0)的值是 ______．
高考链接
[2021.四川卷]函数f(x ) 2 sin ( x )( 0 , ) 的 22
局部图象如下图，那么 , 的值分别是〔 A 〕
〔A〕2
,
3
〔C〕4
,
6
〔B〕
2,
6
〔D〕
4, 3
高考链接
(2012·天津卷)将函数 f(x)＝sinωx(其中 ω>0)的图象向右
平移π4个单位长度，所得图象经过点34π，0，则 ω 的最小值是
4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像与性质
考情分析
• “根据图像和性质求三角型函数解析式〞是 高考常考内容.
• 一般以小题和大题的第一问为主,考察时有 时只求局部参数,且往往会再结合其他性质 提出问题
• 难度一般不大.
知识梳理
知识梳理
关键: 找出与x相对应的五个点
知识梳理
知识梳理
难点正本 疑点清源
规范解答
答题模板
解 (1)由图象知 A＝ 3， 以 Mπ3，0为第一个零点，N56π，0为第二个零点．
[2 分]
列方程组ωω··π536π＋＋φφ＝＝0，π，
ω＝2， 解之得φ＝－23π.
∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质 教案
三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。
教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像 理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。
教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点：解决三角函数的综合问题 教学手段：合作学习，讲练结合 教学过程： （一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)
Asin(wx+φ)的图象及应用(含解析)
专题21函数y=Asin（wx+φ）的图象及应用最新考纲1.了解函数y＝A sin（ωx＋φ)的物理意义;能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象．2。
了解参数A，ω,φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.基础知识融会贯通1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)（A〉0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)(A>0，ω〉0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!π－φω错误!错误!3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A>0,ω〉0)的图象的两种途径【知识拓展】1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ）(ω〉0，φ〉0)的变换：向左平移错误!个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．重点难点突破【题型一】函数y＝A sin(ωx＋φ）的图象及变换【典型例题】已知向量（cos x ，)，（sin x，cos2x），x∈R，设函数f(x ）•．(1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π］范围内的大致图象；0πx0πf（x）（2)若方程f（x）﹣m＝0在[0，π］上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．【解答】解：（1）f（x )sin2x cos2x＝sin（2x），0πx0πf（x）010﹣1如图示:（2）由图可知m∈（﹣1，)∪(，1）,或，∴或．【再练一题】将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，则（）A．y＝f(x）的图象关于直线对称B．f(x）的最小正周期为C．y＝f（x）的图象关于点对称D．f（x）在单调递增【解答】解：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得：y＝sin x,即f（x)＝sin x．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x，∴A不对．周期T＝2π，∴B不对．对称中心坐标为：(kπ，0），∴C不对．单调递增区间为［］，k∈Z，∴f（x）在单调递增．故选：D．思维升华(1）y＝A sin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ）图象有两条途径：“先平移后伸缩"与“先伸缩后平移”．【题型二】由图象确定y＝A sin（ωx＋φ）的解析式【典型例题】函数y＝2sin(ωx+φ)（ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则f（π）＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象，可得：T•,解得:ω＝2，由于点（,2）在函数图象上，可得：2sin(2φ）＝2，可得:2φ＝2kπ，k∈Z，解得:φ＝2kπ，k∈Z,由于：0＜φ＜π,可得：φ，即y＝2sin（2x），可得:f（π)＝2sin（2π）＝1．故选：A．【再练一题】函数y＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则函数f(x）的单调递增区间为（)A．B．C．D．【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象，可得：T•,解得：ω＝2,由于点(，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ,k∈Z，解得:φ＝2kπ,k∈Z，由于：0＜φ＜π，可得：φ，即y＝2sin(2x)，令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，可得：则函数f(x)的单调递增区间为：［kπ，kπ]，k∈Z．故选:C．思维升华y＝A sin（ωx＋φ）中φ的确定方法（1)代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．（2）五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法"中的特殊点作为突破口．【题型三】三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型【典型例题】如图，扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点,当△POQ的面积大于时，∠POQ 的大小范围为．【解答】解：设∠POQ＝θ，则PQ＝sinθ，OQ＝cosθ，(0＜θ）．∴，由，得sin2θ，又2θ∈（0，π），∴2θ,则θ．∴∠POQ的大小范围为．故答案为：．【再练一题】海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝nmile【解答】解：∵△ABC中，由题意可得：∠CAB＝120°，∠BAC＝30°,AB＝6020，∴由正弦定理，∴BC20，∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，由正弦定理可得：，可得：BD10，∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝（10）2+（20）2﹣2×1020cos45°，∴解得:CD＝10．即目标C、D之间的距离为10．故答案为:10．命题点2 函数零点(方程根)问题【典型例题】已知函数f（x）＝2sin(ωx）sin（ωx)(ω＞0)，若函数g（x)＝f（x）在[0，］上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A．[2，）B．（2，）C．[）D．（)【解答】解：f（x）＝2sin（ωx）sin（ωx)＝2sin（ωx）sin(ωx）＝﹣2cos（ωx）sin（ωx）＝﹣sin（2ωx），由g(x）＝f（x）0得f(x），即﹣sin（2ωx）,得sin（2ωx)，∵0≤x，∴0≤2ωx≤πω，则2ωxπω，∵sin，∴要使sin（2ωx)，在0≤x上有三个根，∴2π≤ωπ4π,得2π≤ωπ，即2≤ω，即ω的取值范围是［2，)，故选:A．【再练一题】已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1,x2,x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝( ）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x kπ得x，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π,0≤x，当k＝0时,可得第一根对称轴x，当k＝30时,可得x，∴f（x）在［0，］上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知:函数与y＝3的交点有30个点，即x1，x2关于对称，x2,x3关于对称,…,即x1+x22，x2+x32，…，x30+x31＝2将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+2x29+2x30+x31＝2(）＝(2+5+8+…+89）455π故选：C．命题点3 三角函数图象性质的综合【典型例题】已知函数（ω＞0)，且，当ω取最小值时，以下命题中假命题是( )A．函数f(x）的图象关于直线对称B．是函数f（x)的一个零点C．函数f（x）的图象可由的图象向左平移个单位得到D．函数f（x)在上是增函数【解答】解:f(x）sinωx cosωx+cosωx sinωx cosωx sin（ωx）,∵f（）sin(π）＝0，∴πkπ，∴ω＝3k﹣1,k∈Z．∵ω＞0,∴ω的最小值为2．此时f（x）sin（2x）．∵f（）sin，∴当x时,f（x）取得最大值,故A正确；∵f（)＝0，∴x是f（x)的零点，故B正确;∵f（x）sin[2（x）]，∴f（x)的图象由g(x)的图象向右平移个单位得到,故C错误；∵f（x）的周期为T＝π，区间长度为，且当x时，f（x）取得最大值，∴f（x)在上是增函数,故D正确．故选：C．【再练一题】函数，若,且函数f（x)的图象关于直线对称，则以下结论正确的是( ）A．函数f（x)的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x)在区间上是增函数D．由y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象【解答】解：函数，∵，即2sinφ，∵φ∴φ又∵函数f（x）的图象关于直线对称,∴，k∈Z．可得ω＝12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω＝2．∴f（x）的解析式为：f（x)＝2sin(2x)．最小正周期T,∴A不对．当x时，可得y≠0，∴B不对．令2x，可得，∴C不对．函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x）＝2cos（2x）＝2sin(2x)＝2sin(2x)．∴D项正确．故选：D．思维升华（1）三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题．（2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y＝A sin（ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．基础知识训练1．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】将函数的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ) A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，将函数的图象向右平移6π个单位长度，可得的图象.故选：C ．2．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度 【答案】D 【解析】 因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==，所以，因此,为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移12π个单位长度.故选D3．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数的图像（ )A ．横坐标伸长为原来的两倍,纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C ．横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，再向右平移6π个单位D ．横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A 【解析】 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍,纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =。
第31讲 函数y=Asin(wx φ)的图像(解析版)
过(−
π
6
, 0)，所以sin
(−
π
3
+
φ)
=
0；而∣φ∣<
π
2
，所以φ
=
π
3
；所以f (x)
=
sin(2x
+
π
3
)；因为x1,
，且 ，所以 x2
∈
(−
π
6
,
π
3
)
f(x1) = f(x2)
.选 . f
(x1
+
x2 )
=
f
(−
π
6
+
π
3
)
=
f
(
π
6
)
=
sin
(
π
3
+
π
3
)
=
3 2
C
一般 已测：4865次 正确率：72.8%
(
5π
3
−
3
− 2x
+
π
3
)
=
2sin(4π
−
π
3
−
2x)
=
−2sin(2x
+
π
3
)
= −f(x)
∴
f (x)
=
−f
(
5π
3
−
x)．⑤对．
综上可得：③④⑤对．
故选：C．
一般 已测：651次 正确率：75.2%
3. 已知函数f(x) = (sin x + cos x) cos x,则下列说法正确的为() A. 函数f(x)的最小正周期为2π
1.6函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象
教师辅导讲义()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ； ⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0). 6. 五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的y 值再描点作图。
7. )sin(ϕ+ω=x A y 的的图像8. 函数的变换：（1）函数的平移变换)sin(ϕω+=x A y ϕω+=x t 2ππ23ππ2xA ．B ．C ．D ．3．（多选）已知a 是实数，则函数f (x )=1+sin ax 的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.【本知识点小结1】【例题解析2】探究φ对y=sin(x +φ)的图象的影响1．将函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移4π个单位长度后，所得图像对应的函数解析式可以是（ ）A ．3sin 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．23sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．53sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．3sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2．函数()2sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象如图所示，现将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2cos2y x = D ．2sin 2y x =3．（多选）要得到函数sin y x =的图象，只需将sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．先将图像向右平移8π，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B ．先将图像向右平移2π，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 C ．先将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移4πD ．先将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移8π4．在平面直角坐标系中，将曲线:sin 2C y x =上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为______________________________．【巩固练习2】1．将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是（ ）A ．πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．πsin 24y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭C ．πsin 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．πsin 24y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2．函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅、频率和初相分别为（ ）A ．2，1π，4πB ．2，12π，4π C ．2，1π，8π D ．2，12π，8π-3．（多选）已知函数()3sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线4x π=-对称B ．()f x 的图象的对称中心是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到3sin3y x =的图象 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到3sin3y x =的图象 4．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数4．函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 解析式为__________．【本知识点小结4】 四、当堂检测限时（分钟） 用时（分钟）难度 分值 得分 得分率一、单选题1．()cos y x ωϕ=+的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）A ．172,2,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．17,,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．172π,2π,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．17π,π,Z 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭2．已知曲线12π:sin 3C y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（ ） A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1CB ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线1CC ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1CD ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线1C3．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，给出以下四个论断（ ）A ．()f x 的图象关于直线5π8x =-对称B ．()f x 的图象的一个对称中心为7π,08⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 可由3sin 2y x =-向左平移π8个单位4．如图是函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则,ωϕ的值是（ ）A ．2,3ωϕ==πB ．π2,6ωϕ== C ．1π,23ωϕ== D ．1π,26ωϕ==5．（2021秋•渝水区校级月考）若将函数y ＝sin （3x +φ）的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点（π3，0）对称，则|φ|的最小值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π46．（2021秋•谯城区校级月考）已知函数f(x)=Ksin(ωx +φ)(K ＞0，0＜ω＜10，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A(0，√32)，B(7π24，−1)，则将函数f （x ）图象向左平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（ ）A ．y =sin(2x +5π12) B ．y =sin(8x +5π12)C ．y =sin(2x +2π3)D ．y =sin(8x +2π3)C ．0x ∃∈R 且00x ≠，使得()()00f x f x =-D ．x ∀∈R ，都有()56f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11．（2021秋•湛江月考）函数f （x ）＝3cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为4π，将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）是奇函数，则（ ） A ．φ=π3B ．g （x ）在区间[π3，3π2]上的最大值为﹣3C ．φ=π6D ．g （x ）在区间[π3，3π2]的最大值为−3212．（2021秋•湖南月考）已知函数y ＝A sin （ωx +φ）（πA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图，将该函数的图象向x 轴负方向平移π6个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f （x ）的图象．下列结论正确的是（ ）A ．当−π5≤x ≤2π3时，f （x ）的取值范围是[﹣1，2] B ．f （−41π6）=√3C ．曲线y ＝f （x ）的对称轴是x ＝k π+π2（k ∈Z ）D ．若|x 1﹣x 2|＜π2，则|f （x 1）﹣f （x 2）|＜4三．填空题 13．已知函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+>≤≤是奇函数，且在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则ω的最大值为_______________．14．已知函数()y f x =的表达式()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()y f x =的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()23m m f x -≥成立，则实数m 的取值范围为______．。
第4节函数y=Asin(wx+φ)图像及三角函数模型的简单应用
又 x= π 是其图象的一条对称轴, 6
∴f π =4 或 f π =0.
6
6
代入验证可知选项 B 符合.故选 B.
确定 y=Asin(ωx+ )+b(A>0,ω>0)
的步骤和方法:
(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,
M m M m
则 A=
,b=
2
则x
→x+
,则顶点
π ,2
→ π
,2 ,
2
4 3
得 =- π ,f(x)=2sin 2 x π ,
6
12
∴f(0)=-1.故选 B.
法二 由题图知 A=2,且 f π 3
=2sin 2π =2,
2 3
3
所以g(x)在源自0,5π 24
上的值域为[-3,6].
(1)熟记由 y=sin x 的图象变换到函
数 y=Asin(ωx+ )图象的方法步骤,明确既可
先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,但应注意 两种变换方法中平移的单位长度是不同的.
(2)在 x 轴方向上进行平移时,特别注意只是针对于 x
【例 2】 (2012 德州一模)已知函数
y=Asin(ω x+ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,两
π
π
条对称轴间的最短距离为 ,直线 x= 是其图
2
6
象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )
(A)y=4sin 2x π 6
(C)y=-2sin x π +2 3
设∠PMN=θ,
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时ωx+ =0; “第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+ = π ;