函数图像及性质

1．某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地．已知一辆A 种货车的运费需0.5万元，一辆B 种货车的运费需0.8万元．

（1）设A 种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y 万元，试写出y 与x 的关系表达式； （2）若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A ，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】（1）y 0.3x 40=-+（2）共有三种方案，见解析（3）A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元 【解析】解：（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50＋x ）辆。 根据题意，得 y 0.5x 0.8(50x)=+-，即 y 0.3x 40=-+。

（2）根据题意，得 9x 6(50x)360

3x 8(50x)290

+-≥⎧⎨+-≥⎩，解这个不等式组，得20x 22≤≤。

∵x 是整数，∴x

（3）由（1∵k=－0.3＜0，∴一次函数y 0.3x 40=-+的函数值随x 的增大而减小。 ∴x 22=时，y 有最小值，为y 0.3224033.4=-⨯+=（万元）。

∴选择方案三：A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。

（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50－x ）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x 的不等式组，再根据x 是整数，即可求得x 的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解。

2．.某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作

设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。

（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z, （2）求y 与x 之间的函数关系式。

（3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】（1）z=360－x －y （2）y=360－3x （3）每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元 【解析】解：（1）从件数方面：z=360－x －y ， 从工时数方面：由

21x+31y+41z=120整理得：z=480－2x －4

3

y 。

（2）由（1）得360－x－y=480－2x－

3

y，整理得：y=360－3x。（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720

由题意得

2x60

x0

3603x0

≥

⎧

⎪

≥

⎨

⎪-≥

⎩

，解得30≤x≤120。

由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。

（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。

（2）由（1）整理得：y=360－3x。

（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得

2x60

x0

3603x0

≥

⎧

⎪

≥

⎨

⎪-≥

⎩

，

解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。

3．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。调查发现：这种文具盒每个星期

的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：

（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变

量x的取值范围）；

（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？

最高利润是多少？

【答案】（1）y＝－10x＋300（2）当x＝19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元【解析】解：（1）设y＝kx＋b ，

由题意得：

10k b200

14k b160

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，解得：k＝－10；b＝300。

∴y＝－10x＋300。

（2）由（1）知超市每星期的利润：

W＝(x－8)·y＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－8)(x－30)＝－10(x2－38x＋240)

＝－10(x－19)2＋1210

∴当x＝19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元。

（1）根据图象可以得到函数经过点（10，20）和（14，160），利用待定系数法即可求得函数的解析式。（2）超市每星期的利润可以表示成x的函数关系式，然后根据函数的性质即可确定。

4．如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=

2

x

相交于A （1，2）、B （m ，﹣1）两点．

（1）求直线和双曲线的解析式； （2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式；

（3）观察图象，请直接写出不等式k 1x+b ＞2

k x

的解集． 【答案】（1）双曲线的解析式为：y=

2

x 直线的解析式为：y=x+1（2）y 2＜y 1＜y 3（3），x ＞1或﹣2＜x ＜0 【解析】解：（1）∵双曲线y=2k x 经过点A （1，2），∴k 2=2，∴双曲线的解析式为：y=2

x ．

∵点B （m ，﹣1）在双曲线y=2

x

上，∴m=﹣2，则B （﹣2，﹣1）。

由点A （1，2），B （﹣2，﹣1）在直线y=k 1x+b 上，得

11k +b=22k +b=1⎧⎨--⎩

，解得1k =1

b=1⎧⎨

⎩。∴直线的解析式为：y=x+1。 （2）∵双曲线y=

2

x

在第三象限内y 随x 的增大而减小，且x 1＜x 2＜0，∴y 2＜y 1＜0， 又∵x 3＞0，∴y 3＞0。∴y 2＜y 1＜y 3。 （3）由图可知，x ＞1或﹣2＜x ＜0。 （1）将点A （1，2）代入双曲线y=

2

k x

，求出k 2的值，将B （m ，﹣1）代入所得解析式求出m 的值，再用待定系数法求出k 1x 和b 的值，可得两函数解析式。

（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究。

（3）根据A 、B 点的横坐标结合图象找出直线在双曲线上方时x 的取值即可。

5．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元． （1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；

（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W 与x 的函数关系式；求出所有的购买方案． 【答案】（1）两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元。（2）W=﹣20x+6860，有购买方案为：购买两人桌43张，购买三人桌58张；购买两人桌44张，购买三人桌54张；购买两人桌45张，购买三人桌53张；购买两人桌46张，购买三人桌52张 【解析】解：（1）设每张两人学习桌单价为a 元和每张三人学习桌单价为b 元，