内蒙古赤峰市2020届高三毕业班冲刺模拟考试 文科数学(含答案)
2020赤峰420-文数
D.既不充分也不必要条件
4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加。抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年的收入与 2015
年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番。同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不
同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是
极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
2
12 3 sin2
.
(1)若 a=-2,求曲线 C 与 l 的交点坐标;
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线,交 l 于点 A,且|PA|的最大值 10, 求 a 的值.
23. (10 分)选修 4- -5:不等式选讲
已知函数 f (x) | x 1| | x 2 | .
粮仓的表面积(含上下两底)最小那么它的底面半径是____尺.
16.设数列{an} 的前
n
项和为 Sn , 且满足 2an
Sn
1,
则使 a12
a22
an2
5 2n1 成立的 3
n
的最大值为
_____.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都
7.李生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想
的一个弱化形式，问题可以描述为:存在无穷多个素数 p,使得 p+2 是素数,素数对(p, p+2)称为孪生素数对.问:如果
从 30 以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过 20 的概率是
2
内蒙古赤峰市2020届高三5.20模拟考试试题文科数学试题PDF高清版
……………………………………………………12 分
19. (12 分)
解：（1）连结 OC ， BC AO, BC / / AD
则四边形 ABCO 为平行四边形 …………………………………………1 分
AB / /OC
AB
平面POC
AB
/
/平面POC
OC 平面POC
AB / /平面POC
AB 平面ABEF
a
a
……………………………………………3 分
又由 2a 6 ，得： a2 9, b2 3 ，故所求方程： x2 y2 1 ……5 分 93
（2）由（1）知 A(3,0), B(0, 3) P(x1, y1)(x1 y1 0) 知…………………6 分
直线 PA 的方程为 y y1 (x 3) ，令 x 0 得： M (0, 3y1 )
x1 3
x1 3
于是 BM 3 3y1 x1 3
……………………………………8 分
直线 PB 的方程为 y y1 3 x 3 ，令 y 0 得： N ( 3x1 ,0)
x1
y1 3
于是 AN 3 3x1 y1 3
……………………………………9 分
AN BM = 3 3x1 y1 3
(2 22 23+ 2n) (1 2+3 n) n …………………9 分
文科数学答案 第 1 页 共 6 页
2(1 2n ) n(n 1) n 2n1 n 2 n 2
1 2
2
2
18. (12 分)
…………………12 分
解：（1）
有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史 8
16
24
解：（1）由
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞17．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．898．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm310．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．412．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项之和为S n，且满足S n=1﹣a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{﹣1}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣1，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接由全集U，集合M求出∁U M，则N∩（∁U M）的答案可求．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴∁U M={﹣2，2}．则N∩（∁U M）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．故选：A．2．已知复数z=，则（）A．z的实部为B．z的虚部为﹣iC．|z|=D．z的共轭复数为+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．【解答】解：∵z===﹣﹣i，故|z|=，故选：C．3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线【考点】曲线与方程．【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．故选：B．4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．【解答】解：=（1，2），=（﹣2，4），可得•=﹣2+8=6，||==2，由k+与垂直，可得（k+）•=0，k•+2=0，即有6k+20=0，解得k=﹣．故选B．5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2，=﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（）A．16个B．20个C．24个D．28个【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．【解答】解：=，=．∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．当x=5时，=﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．故选C．6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（）A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，△=4﹣4m＜0，解得m＞1；所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；m＞2是不等式成立的充分不必要条件；0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；m＞0是不等式成立的必要不充分条件．故选：C．7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B8．设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a n=（）A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即（2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，∴a n=﹣+1﹣n=﹣n，故选：B．9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100cm3．故选：A．10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称C．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的周期为π【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，即f（x）=cos（x+φ），①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，y=g（x）的周期为2π，故D错误，②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，∵|φ|＜，∴此时φ不存在．综上故选：B．11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．4【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4．故选：D12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，由PF1⊥PF2，∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（y﹣a）2+y2﹣c2，令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2==（）2，可得e=，故选：D．二、填空题13．已知sin（α+）=，且，则cosα=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由，可得：＜π，=﹣．利用cosα=，展开即可得出．【解答】解：∵，∴＜π，∴=﹣=﹣．∴cosα==+=+=．故答案为：﹣．14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：18015．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，∴球的半径为=，∴球心到截面的距离为=，故答案为：．16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为（1，2+）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f （x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，f′（x）=，∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，当＜x＜1，f′（x）＞0；当1＜x＜e，f′（x）＜0，故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，f（）=a﹣2﹣，f（e）=a+2﹣e2，则f（e）＜f（），f（x）在[，e]上有两个零点的条件，，解得1＜a＜2+，故实数a 的取值范围（1，2+]．故答案为：（1，2+]．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项之和为S n ，且满足S n =1﹣a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过S n =1﹣a n 与S n ﹣1=1﹣a n ﹣1作差可知a n =a n ﹣1，进而计算可得结论； （2）通过（1）可知b n =（n +1），进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵S n =1﹣a n ，S n ﹣1=1﹣a n ﹣1，∴a n =a n ﹣1﹣a n ，即a n =a n ﹣1，又∵S 1=1﹣a 1，即a 1=，∴数列{a n }是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n =；（2）由（1）可知b n =（n +1）a n =（n +1）， ∴T n =2•+3•+4•+…+（n +1）， T n =2•+3•+…+n •+（n +1）， 两式相减得： T n =2•+++…+﹣（n +1） =+﹣（n +1）=﹣， ∴T n =3﹣．18．如图，在多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC=AB=1，△A 1BC 是 正三角形，B 1C 1∥BC ，B 1C 1=BC ．（Ⅰ）求证：面A 1AC ⊥面ABC ；（Ⅱ）求该几何体的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC ⊥面ABC．（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，∴，∴，∴A1A⊥AC，又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，∴面A1AC⊥面ABC．（Ⅱ）解：依题意得：而，，故：．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：编号分组频数1 [0，2）122 [2，4）163 [4，6）344 [6，8）445 [8，10）506 [10，12）247 [12，14）128 [14，16） 49 [16，18） 4合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，即有=2，又a2﹣b2=16，解得a=4，b=4，则椭圆方程为+=1；（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===，S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•=16•≤16•=8，当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣e x的导数为f′（x）=1﹣2x﹣e x，可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，f（x）=xlna﹣x2﹣a x的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣a x lna，又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增函数极大值减函数所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna的导数为y′=﹣=，可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证：=．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD 内接于⊙O，能求出∠D．（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠D=112°．（2）证明：∵∠DAE=35°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△ABP，∴=，∠DBA=∠BDA，∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，∴=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程：x+y﹣4=0．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．∴cos==，∵，∴∠AOB=，可得∠AOB=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．【考点】基本不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，故a+b+c=1；（2）3（a2+b2+c2）﹣12=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，∴a2+b2+c2．2020年8月27日。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z在复平面上的对应点为，为z的共轭复数，则A. 是纯虚数B. 是实数C. 是纯虚数D. 是纯虚数3.“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的倍C. 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.6.若双曲线C：的一条渐近线方程为，则A. B. C. D.7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是A. B. C. D.8.设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A. 510B. 255C. 512D. 2569.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是A. 是最小正周期为的偶函数B. 是最小正周期为的奇函数C. 在上单调递减D. 在上的最大值为10.已知椭圆C：，，是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有恒成立，则实数a的取值范围为A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.12.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设在R上是奇函数，且，当时，，则______．14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．15.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是______尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积含上下两底最小那么它的底面半径是______尺．16.设数列的前n项和为，且满足，则使成立的n的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面底面ABCD，E为AD的中点．求证：平面平面PCE；点F在线段CD上，且，求三棱锥的体积．18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．求角A；若，求的面积的最大值．19.3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日日的6013份病例数据，发现的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有为危重，而女性患者危重情况的为也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻中度感染重度包括危重总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100求列联表中的数据，，，的值；能否有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？该学生实验小组打算从“轻中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：，．20.已知曲线C上的任意一点M到点的距离比到直线l：的距离少1，动点P在直线s：上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．求曲线C的方程；判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．21.已知函数．当时，求函数的极值；当时，求函数在上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．若，求曲线C与l的交点坐标；过曲线C上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，且的最大值，求a 的值．23.已知函数．解不等式；记函数的最大值为s，若b，，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题意，，则，是实数；是纯虚数；是实数；，是纯虚数．故选：D．由已知求得z，进一步求出，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：，解得：．“”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．，解出范围即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额，2015年食品的消费额为，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额，2015年食品的消费额为，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额，2015年休闲旅游的消费额为，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额，2015年生活用品的消费额为，不相等，D错；故选：C．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．本题考查图表，进行推理，属于基础题．5.答案：B解析：解：，，，，，，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．故选：A．利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：C解析：解：从30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，组成的孪生素数对有：，，，，共4个，这对孪生素数的积不超过20的有：，共1个，这对孪生素数的积不超过20的概率是．故选：C．利用列举法先求出从30以内的素数，再求出组成的孪生素数对，进而求出这对孪生素数的积不超过20的个数，由此能求出这对孪生素数的积不超过20的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，解得，．故选：B．利用等比数列通项公式和等差数列性质列方程求出公比，由此能求出等比数列的前8项和．本题考查等比数列的前8项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：D解析：解：令；向右平移个单位，A答案：，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为，所以C错误．D答案：正确．故选：D．本题考查的三角函数图象的基本性质．先将给定函数化成的形式，跟据题中所给条件作出判断．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：C解析：解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，要使恒成立，则为锐角，即，即，所以，而所以，解得：或，故选：C．由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，而恒成立可得为锐角，即可得b，c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的取值范围．本题考查椭圆的性质，椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中最大时点P为短轴上的顶点，及数量积的符合可得角的大小，属于中档题．11.答案：A解析：解：，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥体积最大值，放在正方体中，如图所示，可得棱长为的正方体，由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，，解得；所以外接球的体积为故选：A．由题意可得该三棱锥为三条棱相等且两两相互垂直，放在正方体中，可得该正方体的棱长为，由正方体的对角线等于外接球的直径可得外接球的半径，进而求出体积．考查三棱锥体积最大的情况及球的体积公式，属于中档题．12.答案：B解析：解：函数的图象与函数关于原点对称，则原题等价于函数与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，当时，，单调递减，当时，，单调递增．，，，所以实数a的取值范围是，故选：B．求出函数关于原点对称的函数，已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为与，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，将条件转化为两个函数有交点，构造函数，求导数研究函数的最值是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解比较好理解．13.答案：解析：解：，关于直线对称，又为奇函数，的最小正周期为4，．故答案为：．先求出函数的一条对称轴为，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解．本题考查利用函数性质求函数值，主要考查了函数的对称性，奇偶性及周期性，属于基础题．14.答案：解析：解：由，且，所以，所以；所以，又，所以与的夹角为．故答案为：．由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角．本题考查了利用平面向量的数量积求出夹角大小的问题，是基础题．15.答案：20解析：解：设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积为立方尺．一万斛粟的体积为立方尺．由题意有：，得尺；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由题意可得，则，圆柱形粮仓的表面积平方尺．当且仅当，即时上式取等号．故答案为：20；．设粮仓的高是尺，则该粮仓的容积可求，求出一万斛粟的体积，由体积相等列式求得h；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为，由体积关系可得，代入圆柱形粮仓的表面积公式，利用基本不等式求最值．本题考查圆柱与棱柱体积的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．16.答案：3解析：解：由，当时，，得，当时，，得，，故是以1为首项，公比为2的等比数列，，，所以，化简得：，令，解不等式得，，故最大的，故答案为：3．先求出是以1为首项，公比为2的等比数列，根据题意得到，求出最大的n即可．本题考查了等比数列求通项公式，前n项和，还考查了不等式的解法，考查运算能力，中档题．17.答案：解：证明：为等边三角形，E为AD的中点，，平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，平面ABCD，，由题意知ABCE是正方形，，，平面PCE，平面PBC，平面平面PCE．解：过F作，垂足为G，三棱锥的体积：．解析：推导出，，，从而平面PCE，由此能证明平面平面PCE．过F作，垂足为G，三棱锥的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：由题意及正弦定理得，，，，化简得，，，，，，，由余弦定理得，，，当且仅当，，，的面积的最大值为．解析：由题中所给方程，通过正弦定理化边为角，利用三角函数性质求解；结合中结果，利用余弦定理，求出bc的值域，代入面积公式求面积，求出最值．本题考查解三角形，注意选择合理的公式，属于中档题．19.答案：解：由题意可得，，，，；，没有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关；由于在“轻中度感染”的患者中，按男女比例2：3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：E，，E，，E，，a，，a，，b，，a，，a，，b，，b，共10种可能的情况．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，则至少抽到2名女性患者的概率为．解析：直接由题意可得m，n，x，y的值；求出的值，结合临界值表得结论；利用分层抽样可得在“轻中度感染”的患者中抽取到的男女人数，再由枚举法写出基本事件总数，得到其中至少抽到2名女性患者的情况种数，再由古典概型概率计算公式求解．本题考查独立性检验，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C为抛物线，焦点，准线l：．曲线C的方程为；设，，，由，即，得．抛物线C在点A处的切线方程为，即．，，又点在切线PA上，，同理，综合得，，的坐标都满足．直线AB：，恒过抛物线的焦点．解析：由已知得动点M到点的距离与到直线l：的距离相等，然后直接利用抛物线的定义求曲线C的方程；设，，，利用导数求过点A与B的切线方程，可得点，的坐标都满足，由此可得直线AB：，恒过抛物线的焦点．本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，训练了利用“同一法”求直线方程，是中档题．21.答案：解：函数的定义域为，分，，，，函数在上为减函数；，函数在上为增函数；所以，无极大值分由可得，，由，可得，分当，即时，在成立，在此区间上为减函数，所以分当，即时，，；，；所以在为减函数，在为增函数，所以分当，即时，，，在上为增函数，分综上所述，分解析：可求得，进一步分析知函数在上为减函数，函数在上为增函数，可求函数的极值；由可得可得，，分，即，，即，当，即时，三类讨论，分别求得其最小值，最后通过分段函数式表示即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理与综合运算能力，属于难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为．当时，直线l的参数方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．所以，解得或，所以交点坐标为和曲线的直角坐标方程为，故曲线C上任意一点到直线的距离，则，当时，的最大值为，解得．当时，的最大值为，解得．故或．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．利用直线和曲线的位置关系的应用建立关系，进一步点到直线的距离求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：，当时，恒成立；当时，，即，则；当时，显然不成立．故不等式的解集为；证明：由知，，于是，由基本不等式可知当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，上述三式相加可得，当且仅当时取等号，，．解析：将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；易知，利用基本不等式可得，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。
内蒙古赤峰市普通高中2020届高三5.20模拟考试文科数学答案
无极大值 ………………………………………………………………6 分
（2）当 a
1时， hx
gx
f
x=
x2 ex
x
ln x
x
0 ，则
hx
2x ex
x2
1
1 x
…………………………………………7
分
2x x2 1
2x x2 ex
1 ex
，又 x
0
，
1 ex
1hx 1
x
0
hx在 0， 上为减函数 …………………………………………9 分
x1 3
x1 3
于是 BM 3 3y1 x1 3
……………………………………8 分
直线 PB 的方程为 y y1 3 x 3 ，令 y 0 得： N ( 3x1 ,0)
x1
y1 3
于是 AN 3 3x1 y1 3
……………………………………9 分
AN BM = 3 3x1 y1 3
AB
/
/EF
平面ABEF
平面POC
EF
………………………3 分
AB / /EF
EF
平面ABCD
EF
/
/平面ABCD
AB 平面ABCD
……………………………5 分
文科数学答案 第 2 页 共 6 页
(2)VE ACD
1 3
S
ACD
1 2
PO
1 6
SACD
PO
…………………………………6 分
(2 22 23+ 2n) (1 2+3 n) n …………………9 分
文科数学答案 第 1 页 共 6 页
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试文科数学试题
1．C
【分析】
化简集合 ， ，根据交集定义，即可求得 ；
【详解】
故
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，解题关键是掌握交集定义和一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．D
【分析】
由复数 在复平面上的对应点为 ，可得 ，根据 为 的共轭复数，可得 ，逐项验证，即可求得答案.
轻—中度感染
重度（包括危重）
总计
男性患者
女性患者
总计
（1）求 列联表中的数据 的值；
（2）能否有 把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？
（3）该学生实验小组打算从“轻—中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果.然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率.
四、解答题
17．如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 为等边三角形，平面 底面 为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积.
18．在 中，内角 所对的边分别是 ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台 上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多.研究者分析了1月1日~29日的6013份病例数据，发现 的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有 为男性.随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据.他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有 为危重，而女性患者危重情况的为 .也就是说男性的发病情况似乎普遍更严重.研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：
2020-2021学年内蒙古赤峰市高三第三次模拟考试数学(文)试题及答案解析
高考数学模拟试题数学试卷（文科）注意事项：1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁UA )I =B（A ）{}3 （B ）{}4,5 （C ）{}4,56，（D ）{}0,1,2 2.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ） 34- （D ） 34± 3．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，若931,,a a a 成等比数列，那么公比为 （A ）31 （B ）3 （C ）21（D ）2 4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（A ）2)(x x f = （B ）xx f 1)(=（C ）x e x f =)(（D ）x x f sin )(=5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=I ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下：年龄x 6 7[来源:]8 9 身高y118126136144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为$$8.8y x a=+，预测该学生10岁时的身高为 （A ）154 （B ）153 （C ）152 （D ）151 7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）38．设函数()11sin 3cos 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是()A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．已知函数()x xf x e=,若(ln 2),(ln3),(ln5)a f b f c f ===,则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c >> （B ）c a b >> （C ）b a c >> （D ）b c a >>10. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为（A ）22（B ） 32 （C ）312- （D ）512-11． 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）12. 在△ABC 中，AB=1，AC=2，120A ∠=︒，点O 是△ABC 的外心，存在实数,λμ，使AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则 （A ）53,44λμ== （B ）45,36λμ== （C ）57,36λμ== （D ）43,34λμ==数学试卷（文科）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．i 是虚数单位，复数iiZ -+=221，则=Z ．14．若一个几何体的三视图如图 所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是_______15．设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为 ．16．已知数列{n a }满足()()*11222,1n n n a a a n N n ++==∈+，则{n a }的通项公式n a =________________.三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=o ，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.DA18. （本小题满分12分）某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R （单位：公里）分为3类，即A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250，C ：R ≥250．对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：类型A B C 已行驶总里程不超过5万公里的车辆数 10 40 30 已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C 类车中抽取了n 辆车． （ⅰ）求n 的值；（ⅱ）如果从这n 辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率．19．（本小题满分12分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥(Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ； (Ⅱ)求点C 到平面1A AB 的距离.20．（本小题满分12分） 2:C x y =，自已知直线l 的方程是1y =-和抛物线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线，设切点分别为,A B ，DB 1A 1CA1（Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点.（Ⅱ）求△PAB 面积的最小值.21．（本小题满分12分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. (Ⅰ)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭、()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q ，射线OP 与曲线1C 交于点A ，射线OQ 与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值.24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. ．数学试卷（文科）参考答案一、选择题：BABD CBDC CDAB二、填空题：13、1；14、20+；15、6；16、()121n n a n -=+. 三、解答题： 17．（Ⅰ）解：因为 ο90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ，……………… 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC .在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=… 6分 所以 5104=BD . ……………… 7分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以15sin 4CBD =∠， 即sin CDB ∠= ……… 12分18．解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为73140202020=++． ……………………3分（Ⅱ）（ⅰ）依题意3020145140n +=⨯=． ……………………6分 （ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A ，B ，C ；5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M ，N ． “从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB ，AC ，AM ，AN ，BC ，BM ，BN ，CM ，CN ，MN ．---------------------8分 “从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种： AM ，AN ，BM ，BN ，CM ，CN ．设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D ，--------10分则53106)(==D P ．………………… 12分 19.解（Ⅰ）︒=∠90BCA 得AC BC ⊥，因为⊥D A 1底ABC ，所以BC D A ⊥1， …………2分又D AC D A =I 1，所以⊥BC 面AC A 1，所以1AC BC ⊥ ………………………………4分 因为11AC BA ⊥，B BC BA =I 1，所以⊥1AC 底BC A 1 ………………………………6分 （Ⅱ）解法1.由（Ⅰ）得C A AC 11⊥，所以11ACC A 是菱形， 即211===C A AA AC ，221==B A AB ，…………8分 由ABC A B AA C V V --=11，得7212=h …………………12分 （解法2）作AB DE ⊥于点E ，连E A 1作E A DF 1⊥， 因为1A D ⊥平面ABC ，所以AB D A ⊥1，又AB DE ⊥，D D A DE =1I ，所以⊥AB 平面DE A 1， ………………8分 又⊂DF 面DE A 1，所以DF AB ⊥，而E AB E A =I 1，所以⊥DF 平面AB A 1，……………………………………10分DE A Rt 1∆中，72111=⋅=E A DE D A DF ， 因为D 是AC 中点，所以C 到面AB A 1距离7212 ……………………12分 20．（Ⅰ）证明：设()()()221122,,,,,1A x x B x x P t -因为()/'22y xx ==，所以切线PA 的方程是()21112y x x x x -=-即2112y x x x += ①， 同理切线PB 的方程是2222y x x x += ②--------3分由①②得12122,1t x x x x =+=-，显然直线AB 存在斜率. 设直线AB 的方程是y kx b =+，代入2xy =得20x kx b --=所以12122,1x x k t x x b +===-=-，------------- 5分 即直线AB 的方程是1y kx =+，恒过定点()0,1-------------6分 （Ⅱ）解：()()()()222222121212121AB x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++⎣⎦()()2212121241x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-++⎣⎦⎣⎦()()2241k k =++分点P 到直线AB 的距离是22242121k kt d kk++==++-----10分△PAB 的面积322114224AB d k =⋅=⋅+≥FA 1B 1C 1ABCD E当0k =时△PAB 的面积取得最小值2-----------------------12分 21．解：（I ）由()cos sin f x x x x =-得'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-. 因为在区间(0,)2π上'()f x sin 0x x =-<，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()f x (0)0f ≤=.------------------------------4分 （Ⅱ）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”; sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”.-------------------6分 令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-，当0c ≤时，()0g x >对任意(0,)2x π∈恒成立.-------7分当1c ≥时，因为对任意(0,)2x π∈，'()g x cos x c =-0<，所以()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()g x (0)0g <=对任意(0,)2x π∈恒成立.----------------------8分当01c <<时，存在唯一的0(0,)2x π∈使得0'()g x 0cos x c =-0=.()g x 与'()g x 在区间(0,)2π上的情况如下：因为(g x 在区间00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=. 进一步，()0g x >对任意(0,)2x π∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即20c π<≤，------------------------10分综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x >对任意(0,)2x π∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意(0,)2x π∈恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意(0,)2x π∈恒成立， 则a 最大值为2π，b 的最小值为1.-----------------------12分 22. （1）∵BE 为圆O 的切线∠EBD=∠BAD ………………2分 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD=∠CAD ∴∠EBD=∠CBD ………………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E=∠E ，∠EBD=∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分∴BE BD AE AB = ∴AB •BE=AE •BD ………………9分 又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC 故AB •BE=AE •DC ………………10分23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=， 化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= ………3分曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-= ……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的一条直径 ∴90POQ ∠=o 由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中，有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ EDOAC B22211cos sin ,4θθρ∴=+ 22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+= 即221154OA OB+=. ……………10分 24．解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ ……………………2分 210, 1,35352530, ,2323x x x x x x x >-><∅≤≤-><≤<当时，即解得当时，即解得 3310, 1,122x x x x <->><<当时，即解得 513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭不等式解集为 ……………………6分 （2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立 即4a ≥ ……………………10分。
内蒙古赤峰市2020届高三数学模拟考试试题 文(含解析)
内蒙古赤峰市 2020 届高三数学模拟考试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先求 B,再求交集则元素个数可求【详解】由题，则，则 中的元素个数为 3 个故选：C【点睛】本题考查交集的运算，描述法，是基础题2.已知是纯虚数，复数 是实数，则 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵ 是实数，∴设a，a 是实数，则 z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai， ∴z＝2a﹣1﹣ai， ∵z 为纯虚数， ∴2a﹣1＝0 且﹣a≠0，即a ，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关 键．3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等 马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐 王获胜的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求 出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果. 【详解】解：因为双方各有 3 匹马， 所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为 9 种， 满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的 事件数为 3； 齐王派出中等马，则获胜的事件数为 2； 齐王派出下等马，则获胜的事件数为 1； 故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为 6 种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选 A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型 的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数是定义在 上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式的范围，当 时，显然不成立，可等价转化为当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，即当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，再根据函数 的性质求解不等式.【详解】解：因为是 R 上的奇函数，且在上是增函数，所以在上也是增函数，又因为，所以，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，，不成立，故的 的取值范围是，故选 C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧 棱长为 4，底面等腰直角三角形的腰长为 4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三 棱柱外接球的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形、四边形均是边长为 4 的正方形，三角形 、三角形是，的等腰直角三角形，设 的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，设球的球心为 ，因为三棱柱的为直三棱柱，所以球的球心 为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，连接 ，外接球的半径即为线段 的长，所以在中，，，故，即球的半径为 ，所以球的体积为，故选 B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出 三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.6.我们可以用随机数法估计 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）.若输出的结果为 7840，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.119B. 3.124C. 3.136D. 3.151【答案】C【解析】【分析】程序的 功能是利用随机模拟实验的方法求取（0，1）上的 x，y，计算 x2+y2+＜1 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．【详解】x2+y2＜1 发生的概率为，当输出结果为 7840 时，i＝10001，m＝7840，x2+y2＜1 发生的概率为 P，∴，即 π＝3.136故选：C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率 的应用问题，是综合题．7.已知是等差数列，且，，则（）A. -5 【答案】B 【解析】 【分析】B. -11C. -12由是等差数列，求得 ，则 可求D. 3【详解】∵是等差数列，设,∴故故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题8.设定义在 上的函数 满足，且，则下列函数值为-1 的是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函数的周期是 4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【详解】由得 f（x-4）＝﹣f（x-2）＝f（x），则函数的周期是 4，则=，=-1即函数值为-1 的为 ，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移 个单位B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向右平移 个单位【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】函数＝sin（2x ）＝sin2（x ），故把函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的 正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，熟记变换原则是关键，属于基础题．10.已知 为双曲线 的两个焦点， 是 上的一点，若，且，则 的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．【详解】由双曲线的定义可得＝2a，又得点 P 满足 即有 c a，，可得＝4c2，则离心率 e 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运 算能力，属于基础题．11.已知直三棱柱 余弦值为（ ）的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,可得 AM 与 B 所成角为∠N B 或其补角，在△ NB 中，利用余弦定理即可求解 AM 与 B 所成角的余弦值．【详解】取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,所以 AM 与 B 所成角为∠NC1B 或其补角，设所有棱长为 2，则 N=B=2 ,BN= ，在△ NB 中，由余弦定理 cos∠N B=故选：A【点睛】本题考查线线角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的 合理运用12.已知函数在区间 上只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）A.或B.或C. 【答案】D 【解析】 【分析】 原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[D. ]上有一个实根，即或 在区间[ ]上有一个实根．令，求出其值域，即可得实数 k 的取值范围．【详解】原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[ ]上有一个实根，∴在区间[ ]上有一个实根．令，0，可得 x＝1，当时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）递减，当∈（1，e]时，f′（x）＞0．此时函数 f（x）递增，∴f（x）≥f（1）＝1，且，1+e，又﹣1+e，∴实数 k 的取值范围是 k=1 或 故选：D． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设 的满足约束条件，则的最大值为______．【答案】 【解析】 【分析】先将题中 ， 满足约束条件对应的可行域画出，目标函数意义为一条斜率为-2 的直线，通过平移求解出最值.的几何【详解】解：如图， ， 满足约束条件 边界），对应的可行域为五边形内部（含目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为 的直线，当直线经过点 O 时，直线的截距最小，最小，故.【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.设向量 的模分别为 1,2，它们的夹角为 ，则向量 【答案】 【解析】 【分析】与 的夹角为____．利用向量 夹角公式 cosθ，先求出的模以及与 的数量积，再代入公式计算求解．【详解】∵（）22﹣2 •∴||，（）• ＝3，∴cosθ，∴θ＝2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，故答案为 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础， 掌握基本的公式和技巧即可顺利求解15.若过点且斜率为 的直线与抛物线交点为 ，若，则 ____．【答案】【解析】【分析】的准线相交于点 ，与 的一个由直线方程为与准线得出点 坐标，再由可得，点 为线段的中点，由此求出点 A 的坐标，代入抛物线方程得出 的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为 的直线方程为，联立方程组，解得，交点 坐标为，设 A 点坐标为，因为，所以点 为线段 的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为 ， 解得 . 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.设数列 满足 ______．【答案】 【解析】 【分析】 将 相减求 即可 【详解】由题，且 平方得比数列，，则，则数列的前 项的和，进而得 的通项，得,由 错位,∴=0，故，所以 为等两式作差得-即 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项公式，错位相减求和，考查推理及计算能力，是中 档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设 的内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ，，且满足.（1）求角 的大小；（2）若， ，求 的面积.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）由正弦定理得得，进而得【详解】（1）又， 故又，结合余弦定理得 ，则面积可求，则 B 可求（2）由余弦定理，. （2）由余弦定理得：，即 又. 【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题18.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从 15 个发达地区，10 个欠发达地区，5 个贫困地区中选取 6 个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查 小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户9060150合计13070200（1）写出选择 6 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.附：参考公式：，其中参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1) 分层抽样(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算 的值即可进行判断， 再分析原因给出建议即可 【详解】（1）分层抽样 （2）由列联表中的数据可得 的观测值所以有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关 原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合； 2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定 建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受； 2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点. 【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验， 的计算，考查计算能力，是基础题19.如图，在四棱锥中， 底面 ，，，，点 为棱 的中点.（1）证明：;（2）若 与底面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）连接,且面 ，即可证明,证明是正方形得，再由（2）由 平面 ，得 与底面角为，由,得，得求解距离即可证明 平 所成的平面，利用【详解】证明:（1）连接,BE,且,, 为棱 的中点，且是正方形，又 平面 ， 平面 ,平面 ,,平面又平面 ,（2）因为 平面 ，所以 与底面 所成的平面角为 ，且,∵,∴tan = 得设点 到平面 的距离为 ，由已知得，，得，所以，点 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面角的应用，点面距离的考查，考查空间想象和推理 能力，是中档题20.顺次连接椭圆应该的四个顶点恰好构成了一个边长 为且面积为 的菱形.（1）求椭圆 的方程；（2）设，过椭圆 右焦点 的 直线交于 两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求 的最小值.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）列 a,b,c 的方程组求解即可（2）当直线垂直于 轴时得，当直线不垂直于 轴时，设直线与椭圆联立，利用，代入韦达定理得即可求解【详解】（1）由已知得：，解得所以，椭圆 的方程为 （2）设当直线垂直于 轴时，此时，当直线不垂直于 轴时，设直线由，得且 ，要使不等式恒成立，只需，即 的最小值为 .【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量坐标化运算及数量积，考查运 算求解能力，是中档题21.已知函数（1）若 ，求函数 的极值和单调区间；（2）若，在区间 上是否存在 ，使，若存在求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值(2)见解析 【解析】 【分析】（1）， 判 断 符 号 变 化 ， 则 极 值 和 单 调 区 间 可 求 ，（ 2 ）由时，，时得为函数的唯一极小值点，讨论当 求解时和当 时，的 a 的范围即可【详解】（1）当 时，时，，且 有极小值时，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间 上若存在 ，使，则，解得当 时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间 上存在 ，使，此时【点睛】本题考查导数与函数的 单调性，函数的最值，极值与单调区间的求解，分类讨论思 想，考查推理能力，是中档题22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为的直线与曲线 交于 两点. （1）求 的取值范围； （2）求 中点 的轨迹的参数方程.为参数），过点且倾斜角为【答案】(1)(2)（为参数，）.【解析】 【分析】 （1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的 范围；（2）设出 对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示 的参数，从而得出 点 的轨迹的参数方程.【详解】解：（1） 曲线 的直角坐标方程为,当 时，与 交于两点，当 时，记，则的方程为，与 交于两点当且仅当，解得 即或，或，综上 的取值范围是 .（2）的参数方程为（为参数，），设 对应的参数分别为，则且 满足，由韦达定理可得：，故,又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程为（为参数，）.【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点 的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.23.已知函数，.（1）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围；（2）设，且，求证：.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数解决问题；的最小值，从而（2）要证，即证明即可.【详解】解：（1）由，，，所以 的取值范围是（2）由（1），当且仅当， 时等号成立，，然后借助于基本不等式证 ，，【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是 否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。
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19．（12 分）
3 月 3 日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台 SSRN 上发布了一项研究：在新冠肺
炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多。研究者分析了 1 月 1 日～29 日的
6013 份病例数据，发现 55.9%的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有 58.8%
考题，每个试题考生都必须作答，第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB AD ADC=45 ， AD / /BC ， AD 2 AB 2 ，ADP 为等边三角形，平面 PAD 底面 ABCD ， E 为 AD 的中点. （1）求证：平面 PBC 平面 PCE ；
20 ，
30 3 2
（或写成
3
13500
）；16．3 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(12 分)
（1）证明：PAD 为等边三角形， E 为 AD 的中点， ∴PE AD 平面 PAD 底面 ABCD ，平面 PAD 底面 ABCD=AD ∴PE 底面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，∴PE BC „„„„„3 分 由又题意可知 ABCE 为正方形，CE BC ，又 PE EC E ，
为男性。随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据。他们按照症状程度的不同进行
分析，结果发现，男性患者有 11.8%为危重，而女性患者危重情况的为 7%。也就是说，
男性的发病情况似乎普遍更严重。研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着
重要的角色。” 那么，病毒真的偏爱男性吗？
有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女
的效果。然后从这 5 人中随机抽取 3 人进行每日的健康记录，求至少抽到 2 名
女性患者的概率.
附表及公式：
K2
(a
n(ad bc)2 b)(c d )(a c)(b
d)
，n
a
b
c
d
.
P(K 2 k0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
3
4
5
文科数学试卷 第 2 页 共 8 页
8．设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1 ，且 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列，则 S8 =
A. 510
B. 255
C. 512
D. 256
9.
将函数 y
sin x cos x cos2 x
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
1. C； 2.D； 3. A ； 4. C ； 7. C； 8.B ； 9. D ； 10. C；
5. B； 11.A ；
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
6. A； 12.B．
13． 1 ；14. 8
（或写成 60 ）；15. 3
A. 9 2
B. 36
C. 32 71
D. 2 9
12.
已知函数
y
1
2
ln
x
x
1 e
,
e
的图象上存在点
M
，函数
y
x2
a 的图象上
存在点 N ，且点 M , N 关于原点对称，则实数 a 的取值范围是
A.
0,1
1 e2
B. 0，e2 3
C.
1
1 e2
，e2
3
D.
1
1 e2
,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
形粮仓的表面积(含上下两底)最小,那么它的底面半径是____和为
Sn
，且满足
2an
Sn
1 ，则使
a12 +a22 ++an2
5 2 n1 3
成立
的 n 的最大值为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45o 的直线，交 l 于点 A ，且 PA 的最大值
为 10 ，求 a 的值.
23.（10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 f (x) x 1 x 2 . （1）解不等式 f (x) 1； （2）记函数 f (x) 的最大值为 s ，若 a b c s(a,b,c 0)，
BC 平面 PCE
„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 分
BC 平面 PBC ，平面 PBC 平面 PCE „„„„„„„„„„6 分
（2）解：过 F 作 FG AB ，垂足为 G „„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分
1
11
11 8
43
VF ABP
VP ABF
3 SABF
PE
证明： a2b2 b2c2 c2a2 3abc .
文科数学试卷 第 8 页 共 8 页
文科数学参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
内蒙古赤峰市2020届高三毕业班冲刺模拟考试
文科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注 意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区 域内.
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚.
都有 PF1 PF2 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为
A.（ 3，0） (0,3)
B.3, 0 0,3
C. (, 3) (3, )
D. (, 3] [3, )
11. 已知三棱锥 P ABC 中，PA PB PC 3 ，当三棱锥 P ABC 体积最大值时，
三棱锥 P ABC 的外接球的体积为
13. 设 f (x) 在 R 上是奇函数,且 f (1 x) f (1 x) ,当 x (0,1) 时, f (x) = x3 ,则
f (7)=
.
2
文科数学试卷 第 3 页 共 8 页
14. 已知非零向量 a,b 满足 b =2 a ，且 b a a ，则 a 与 b 的夹角为
22. （10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
x a 2t
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
y t
（ t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C
的极坐标方程为
2
12 3 sin2
.
（1）若 a 2 ，求曲线 C 与 l 的交点坐标；
AB FG PE 32
1 32 5
3
15
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分
文科数学答案 第 1 页 共 1 页
18.(12 分) 解：（1） 由题设及正弦定理得
sin B sin C sin Acos B 3 sin Asin B A B C sin C sin(A B)
1
的图像向右平移
个单位长度得到函数 g(x) 的
2
8
图像，下列结论正确的是
A. g(x) 是最小正周期为 2 的偶函数
B. g(x) 是最小正周期为 4 的奇函数
C. g(x) 在 , 2 上单调递减
D.
g
(
x)
在
0,
2
上的最大值为
2 2
10．已知椭圆 C :
x2 a2 9
y2 a2
1，F1、F2 是其左右焦点，若对椭圆 C 上的任意一点 P ，
1
1
5．已知 a 22 ， b 55 ， c log3 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为
A. a b c
B. c b a
C. c a b
D. b a c
6. 设双曲线 C : x2 y2 1的一条渐近线方程为 3x 2 y 0 ，则 m 的值为 m
4
9
3
2
A.
1. 已知集合 A x x2 x 2 0 ， B x y 1 x ，则 A B =
A. ,2
B. ,1
C. 1,1
D. 1,2
2. 设复数 z 在复平面上的对应点为 1,1， z 为 z 的共轭复数，则
A. z z 是纯虚数 B. z z 是实数
C. z z 是纯虚数
患者各 50 个数据，统计如下：
轻-中度感染 重度（包括危重） 总计
男性患者 20
女性患者 30
总计
50
50
100
（1）求 2 2 列联表中的数据 m, n, x, y 的值；