2018年高中数学北师大版选修4-4课件：参数方程章末分层突破

(β 为参数)上，对应参数分别
为 β＝α 与 β＝2α(0<α<2π)，M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数， 并判断 M 的轨迹是否过坐标 原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此 M(cos α ＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M 0<α<2π). (2)M 点到坐标顶点的距离 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0<α<2π). 当 α＝π 时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点.
已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，求弦 AB 的长.
【精彩点拨】 利用直线参数方程中参数的几何意义求解.
【规范解答 设弦 AB
x＝3＋tcos α， 所在的直线方程为 y＝2＋tsin α
(t 为参数)，
代入方程 y2＝4x 整理得： t2sin2 α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ① 因为点 P(3,2)是弦 AB 的中点，由参数 t 的几何意义可知，方程①的两个实 根 t1，t2 满足关系 t1＋t2＝0，
∴1－pq＝p＋q，∴tan(α＋β)＝1. π 又 0＜α＋β＜2， π π ∴α＋β＝4，∴∠PAQ＝4.
(2)以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立直角坐标系，如图.
π 设∠BOP＝θ，由(1)得，∠BOQ＝4＋θ， π 其中 0＜θ＜4.
1 ， 1 π ∴P 点的坐标为(1，tan θ)，Q 点的坐标为 ， tan θ＋4 又设△APQ 的重心为 G(x，y)，由重心坐标公式得： 1 2 11＋ π x＝3 tanθ＋ ＝31＋tan θ， 4 1 y＝31＋tan θ
即 sin α－cos α＝0. π 因为 0≤α<π，所以 α＝4， 因为|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4· π＝8. sin2 4 8
[再练一题] 2 x＝3－ 2 t， 2.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 y＝ 5＋ 2t 2
如图 21，正方形 ABCD 的边长为 1，P，Q 分别为 BC，CD 上的 点，△CPQ 的周长为 2，
(1)求∠PAQ 的大小； (2)建立恰当的直角坐标系， 试求△APQ 的重心的轨迹.
图 21
【精彩点拨】
(1)利用平面图形的性质，先求 tan PAQ 再求角；(2)建系后
把重心坐标用参数 θ(θ＝∠BOP)表示，消参即得轨迹方程.
2 (θ 为参数)，消去参数 θ，得 y＝9x.
π 又 0＜θ＜4， 1 2 1 2 ∴0＜tan θ＜1，∴3＜x＜3，3＜y＜3， 2 ∴△APQ 的重心 G 的轨迹是双曲线 xy＝9在第一象限内的一部分.
[再练一题] 1.已知动点 P，Q 都在曲线
x＝2cos β， C： y＝2sin β
x2 y2 椭圆16＋ 4 ＝1 上有 P，Q 两点，O 为椭圆中心，OP，OQ 的斜率 1 分别为 kOP，kOQ，且 kOP· kOQ＝－4. (1)求|OP|2＋|OQ|2 的值； (2)求线段 PQ 中点的轨迹方程.
的直角坐标方程，得 3－ 2 2 2 2 ＋ t ＝5， 2 t 2
(2)将 l 的参数方程代入圆 C 即 t2－3 2t＋4＝0.
由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，
t1＋t2＝3 所以 t2＝4. t1·
2，
又直线 l 过点 P( 3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
圆锥曲线的参数方程
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.对于椭圆的参数方程，要明确 a，b 的几何意义以及离心角 φ 的意义，要分清椭圆上一点的离心角 φ 和这点与坐标 原点连线倾斜角 θ 的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它 们的参数方程都有多种形式.
(t 为参数).在
极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正 半轴为极轴)中，圆 C 的方程 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于 A，B.若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA|＋|PB|.
【解】
(1)由 ρ＝2 5sin θ，得 x2＋y2－2 5y＝0，即 x2＋(y－ 5)2＝5.
【规范解答】
(1)设 BP＝p，DQ＝q，∠BAP＝α，
∠DAQ＝β，其中 0＜p＜1,0＜q＜1，
π α，β∈0，4，则
tan α＝p，tan β＝q，
p＋q ∴tan(α＋β)＝ ， 1－pq 又(1－p)＋(1－q)＋ 1－p2＋1－q2＝2， ∴(1－p)2＋(1－q)2＝(p＋q)2，
x＝cos α＋cos 2α， 的轨迹的参数方程为 y＝sin α＋sin 2α
(α 为参数，
直线的参数方程的应用
直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系 问题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数 t 的 几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于 直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.
参数方程章末分层突破
[自我校对] ①圆的参数方程 ②椭圆的参数方程 ③代数法 ④平摆线的参数方程 ⑤渐开线的参数方程
参数法求动点的轨迹方程
满足一定条件的动点所形成的图形即为动点的轨迹，而轨迹方程实际上为 轨迹曲线的方程.求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间 接法两种方法.其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法.