多维随机变量的概念
多维随机变量及其概率分布
独立性在概率论中的重要性
简化计算
01
独立随机变量的概率计算更加简单，因为可以利用概率的乘法
法则进行计算。
概率模型建立
02
在建立概率模型时，独立性假设可以帮助我们简化模型，并更
好地理解随机现象之间的相互关系。
统计学基础
03
在统计学中，独立性是许多统计方法的基础，如卡方检验、相
关性检验等。
05
多维随机变量的变换与函数
01 02 03
多元统计分析
多维随机变量在多元统计分析中有着广泛的应用，如多元 正态分布、多元t分布和多元卡方分布等。这些分布可以用 来描述和分析多维数据的统计性质，如协方差矩阵、主成 分分析和聚类分析等。
回归分析
在回归分析中，多维随机变量可以用来描述多个自变量和 因变量之间的关系。例如，在多元线性回归模型中，多个 自变量可以作为预测因变量的依据，而因变量则是一个多 维随机变量。
将多维随机变量作为自变量，通过线性函 数关系得到新的多维随机变量。
随机变量的非线性变换与函数
非线性变换
对多维随机变量进行非线性变换，如指数函 数、对数函数等，得到新的多维随机变量。
非线性函数
将多维随机变量作为自变量，通过非线性函 数关系得到新的多维随机变量。
06
多维随机变量的应用实例
在统计学中的应用
02
一维随机变量及其概率分布
离散型随机变量
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内取有限个值的随机变量， 通常用大写字母表示，如X。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数（PMF） 表示，它描述了随机变量取每个可能值的概率。
离散型随机变量的期望值和方差
多维随机变量及其分布的概念
多维随机变量及其分布对于多维随机变量应理解其概念及其性质，在多位随机变量中，二维随机变量是基础，很多结论都是可以从二维随机变量推广到多维的。
对于二维随机变量，不仅要理解联合分布的概念与性质，还要理解二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、和条件密度。
一、多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数 [1]多维随机变量的及其分布的概念：如果N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的每个分量都是随机变量，则，称之为N 维随机变量，并称函数121122(,){,,}n n n F x x x P X x X x X x ⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅⋅≤是N 维随机变量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的联合分布函数。
称函数(){}(,,,,i i ii F x P X x F x =≤=+∞+∞⋅⋅⋅+∞+∞为N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅关于i X 的边缘分布，或为12(,)n F x x x ⋅⋅⋅的边缘分布函数。
[2]二维随机变量的联合分布函数的概念和性质a) 二维随机变量的联合分布函数的概念：二维随机变量的联合分布函数定义如下：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤b) 二维随机变量的联合分布函数的性质：① 对于任意x,y, 0(,)1F x y ≤≤② (,)F x y 为关于x 或y 均为单调非降、右连续的函数。
③ (,)(,)(,)F F y F x -∞+∞=-∞=-∞=④ (,)1F +∞+∞=⑤ 发生在矩形区域上的概率：(,)(,P a X b c Y d F a<≤<≤=[3]二维随机变量的边缘分布的概念二维随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘分布函数分别定义为： ①(){}{,}(,)x F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞ ②(){}{,}(,)y F y P Y y P X Y y F Y =≤=<+∞≤=+∞二、二维离散型随机变量[1]二维离散型随机变量的联合概率分布的概念：二维离散型随机变量(,)X Y 是只能去有限个或可列个值，其相应的概率表示为：(,)i i ij P X x Y y p === (,1,2,3i j =⋅⋅⋅并称为联合概率分布或联合分布律： [2] 二维离散型随机变量的联合概率分布的性质：（a,d ）①(,)0i i ij P Xx Y y p ===≥ (,1,2,3i j =⋅⋅⋅②1ijijp=∑∑③(,)i j ij x x y yF x y p ≤≤=∑∑[3]二维离散型随机变量的边缘分布：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘概率分布（或边缘分布律）分别定义为：{}{,}i i ij i jjjp P X x P X x Y y p ∙======∑∑ {}{,}j i ij i jiip P Y y P X x Y y p ∙======∑∑ 依据边缘分布函数的定义：(){}{}i i x i i x xx xF x P X x p X x p ∙≤≤=≤===∑∑(){}{}j j y ijy yy yF x P Y y p Y y p∙≤≤=≤===∑∑[4]二维离散型随机变量的条件分布① 定义：设{}0j j p P Y y ∙==>，在事件“j Y y =”发生的条件下，事件“i X x =”发生的条件概率为：{,}{}()i j iji j j jP X x Y y p P X x Y y P Y y p ∙=======(,1,2,3)i j =⋅⋅⋅称为在“j Y y =”条件下，X 的条件分布律。
第三章 多维随机变量及其分布
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
随机变量的函数及多维随机变量
例2、设平方律检波器的输入输出关系为
Y bX 2 (b 0)
求Y的概率密度。
三、多维随机变量函数的分布
YY12
g1( X1, X 2 ) g2(X1, X2)
只考虑 g1, g2为单调情形： fY1Y2 ( y1, y2 ) f X1X 2 (x1, x2 ) J
x1 x1
1
1
f X1X2 (x1, x2 ) 2 X1 X2
exp{
•
1 r2
2(1 r2 )
(
x1
mX1 )2
2 X1
2r(x1
mX1 )(x2
X1 X 2
mX2
)
( x2
mX2
2 X2
)2
}
其中r为相关系数。 则称 X1, X2是联合正态的。
一、随机变量的函数
定义：设有一实函数 y g(x) 以及随机变量 X ，定义一个 新的随机变量 Y g( X ) ，称随机变量 Y 是随机变量 X 的
函数。
问题：已知 X 的统计特性，求 Y 的统计特性。
二、一维随机变量函数的分布
若g(x)为单调连续函数：x g 1 ( y)
y
y g(x)
y
P{y Y y dy} P{x X x dx}
x
0
x
fY ( y)dy fX (x)dx
单调函数示意图
J dx 雅可比(Jacobi) dy
fY ( y)
fX
(x)
dx dy
例１、设随机变量X与随机变量Y的关系为
Y aX b
a,b is constant，已知X的概率密度为fX(x)，求Y的 概率密度。
【学习】第三章多维随机变量
fX(x)f(x,y)dy,
fY(y)f(x,y)dx
结 束
19
例1: 设 (X, Y) 的分布函数为：
F (x ,y ) a ( b arx ) c c (a ta ry n ) c,( t a x ,y n ) ,
2
2
试求 (1) a 、 b、c , (2) (X, Y ) 的概率密度.
x2 … xi … p21 … pi 1 … ┇…┇…
yj p1 j p2 j … pi j … ┇ ┇ ┇ …┇ …
( X, Y ) 的分布律的性质: (1) 非负性 pi j 0,
(2) 归一性 pi j 1
ij
结 束
10
( X, Y ) 的分布律
P {X x i,Y yj} p ij,i,j 1 ,2 ,
第三章 多维随机变量及其分布
结 束
1
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
如: 在打靶时, 命中点的位置是由 一对随机变量(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由 三个随机变量(三个坐标）来确定 的等等.
因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量. 其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维 复杂; 学习时应注意与一维情形的对照.
D的可能取值 为1, 2, 3, 4; F 的可能取值 为0, 1, 2 ;
再确定取值的概率,如: P{D1,F0}P{N1} 1/ 6,
P{D2,F1} P ( { N 2 }{ N 3 }{ N 5 } 3 / 6
等等.
可得D 和 F 的 联合分布律及 边缘分布律为:
FD 1 2 0 1/6 0 1 0 3/6
多维随机变量及分布[概率与统计
独立性检验在多元统计分析中具有广泛的应用，例如在因子分析、主成分分析和聚类分析等领域。通过 独立性检验，我们可以更好地理解数据之间的关系和结构，从而更好地进行数据分析和建模。
06 多维随机变量的应用
在统计学中的应用
01
多元统计分析
多维随机变量在多元统计分析中有着广泛的应用，如多元回归分析、主
标准化变换
标准化变换
标准化变换是一种常用的数据预处理技术，它通过对数据进行缩放和平移，使得数据满足一定的特性或满足某种 规范。在多维随机变量的背景下，标准化变换通常是指对每个维度进行缩放和平移，使得所有维度都具有零均值 和单位方差。
标准化变换的作用
标准化变换的作用在于使得不同维度的数据具有可比性，并且使得数据的分布更加接近正态分布。此外，标准化 变换还可以消除量纲和单位对数据分析的影响，使得分析结果更加可靠和稳定。
多维指数分布
定义
多维指数分布是所有维度都服从指数分布的多维随机变量的概率 分布。
特征
具有指数概率密度函数，各维度之间相互独立。
应用
在排队论、可靠性工程等领域有应用。
04 多维随机变量的期望与方 差
期望的定义与性质
定义
01
多维随机变量的期望值是所有可能结果的加权平均，其中权重
为每个结果的概率。
性质
独立性检验
独立性检验
独立性检验是统计学中用于检验两个或多个随机变量是否相互独立的一种方法。在多维随机变量的背景下，独立性检 验通常用于判断各个维度之间是否存在相关性或依赖关系。
独立性检验的方法
独立性检验的方法有很多种，其中常用的有卡方检验、斯皮尔曼秩相关系数和皮尔逊相关系数等。这些方法可以帮助 我们判断两个或多个随机变量是否相互独立，或者是否存在某种依赖关系。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第三章 二维随机变量
Y
X
y1
y2
yn
x1
p11
p12
p1 n
x2
p21
p22
p2n
n
pi• =
pij
j =1
p1•
p2•
xm
pm1
pm2
pmn
m
p• j =
pij
p•1
p•2
p• n
i =1
其中， pij = P( X = xi ,Y = y j ) ，
pm•
n
m
p• j = pi• = 1
j −1
( x,
y)
=
1 s
,
0,
(x, y) S (x, y) S
3.体积为v的空间区域V上
(
x,
y,
z)
=
1 v
,
0,
(x, y, z) V (x, y, z) V
基本概念：随机向量、联合分布函数。 离散型随机变量：联合概率分布、阶梯型分布函
数。 连续型随机变量：概率密度函数、连续型分布函
数。
即
FY
(
y)
=
F
(+,
y)
=
lim
x→+
F
(
x,
y)
F ( x) = F ( x,+)
1 = F(+,+)
0 = F(−, y) O
二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数： F(x, y) = P(X x,Y y)
y
y
(x,y)
0
x
x
二维分布函数 F(x,y) 的性质： (1)（非降性） F(x, y) 是 x 或 y 的单调非降函数.
考研数学概率统计3多维随机变量
第三讲：多维随机变量及其分布多维随机变量的概念及分类我们把n个随机变量X1，X2，…，X n作为一个整体来考察称为一个n维随机变量或n维随机向量，记为ξ＝(X1，X2，…，X n)，其中X i称为ξ的第i个分量．对于二维随机向量，用ξ＝(X，Y)表示，一般情况下我们只讨论离散型和连续型两大类．1．二维离散型随机向量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x，y)时，则称ξ为离散型随机向量．设ξ＝(X，Y)的所有可能取值为(x i，y i)(i，j＝1，2，…)，且事件{ξ＝(x i，y j)}的概率为p ij，称为ξ＝(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律．联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2... y i.... p i* Xx1p11p12... p1j (1)x2p21p22... p2j (2)... ... ... ...x i p i1p i2... p ij... p i*... ... .... ...p.j p.1p.2... p.j (1)这里p ij具有下面两个性质：(1)p ij≣0(i，j＝1，2，…)．(2)对于随机向量(X，Y)，称其分量X(或Y)的分布为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布．上表中的最后一列(或行)给出了X(或Y)的边缘分布．一般来说，当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P{(X，Y)＝(x i，y j)}＝p ij (i，j＝1，2，…)，则X的边缘分布为Y的边缘分布为例1设二维随机向量(X，Y)共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X，Y)取得它们的概率相同，则(X，Y)的联合分布及边缘分布为2．二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量ξ＝(X，Y)，如果存在非负函数p(x，y)(－∞＜x＜＋∞，－∞＜y ＜＋∞)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D＝{(x，y)|a＜x＜b，c ＜y＜d}有则称ξ为连续型随机向量；并称p(x，y)为ξ＝(X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度．分布密度p(x，y)具有下面两个性质：(1)p(x，y)≣0．(2)一般来说，当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则X和Y的边缘分布密度为例2设(X，Y)的联合分布密度为试求：(1)常数C. (2)P{0＜X＜1，0＜Y＜2}． (3)X与Y的边缘分布密度p1(x)，p2(y)．解(1)由p(x，y)的性质，有即C＝12．(2)令D＝{(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜2}，有(3)先求X的边缘分布：①当x＜0时，p(x，y)＝0，于是②当x≣0时，只有y≣0时，p(x，y)＝12e－(3x＋4y)，于是因此同理两种常见的连续型随机向量的分布．(1)均匀分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中S D为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y)～U(D)．在以后的讨论中，我们经常遇到的区域D有下面8种情况(图3－1～图3－8)：图3－1图3－2 图3－3图3－4 图3－5 图3－6图3－7 图3－8问题试求出上面8种情况下二维均匀分布的边缘分布．以D1为例，其步骤如下．(Ⅰ)先用联立不等式表示区域D1：(Ⅱ)写出联合分布密度函数：由均匀分布的定义，考虑到，因此(Ⅲ)分别求出X与Y的边缘分布，这里分两种情况来讨论X的边缘分布：①当x＜0或x＞1时，p(x，y)≡0，于是②当0≢x≢1时，只有0≢y≢x时，p(x，y)＝2，于是所以同理，可求出Y的边缘分布例3设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(x，y):|x＋y|≢1，|x－y|≢1}，求X的边缘密度p X(x)．解区域D实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为，面积S D＝2，因此(X，Y)的联合密度是图3－9即(2)正态分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中μ1，μ2，σ1＞0，σ2＞0，|ρ |＜1是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分布，记为(X，Y)～N(μ1，μ2，，，ρ )．由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)．3．二维随机向量联合分布函数及其性质设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F(x，y)＝P{X≢x，Y≢y}称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数．分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(ω1，ω2)|－∞＜X(ω1)≢x，－∞＜Y(ω2)≢y}的概率为函数值的一个实值函数．分布函数F(x，y)具有以下的基本性质：(1)0≢F(x，y)≢1．(2)F(x，y)分别对x和y是非减的，即当x2＞x1时，有F(x2，y)≣F(x1，y)；当y2＞y1时，有F(x，y2)≣F(x，y1)．(3)F(x，y)分别对x和y是右连续的，即F(x，y)＝F(x＋0，y)，F(x，y)＝F(x，y＋0)．(4)F(－∞，－∞)＝F(－∞，y)＝F(x，－∞)＝0，F(＋∞，＋∞)＝1．例4设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为求(1)常数C；(2)分布密度p(x，y)．解(1)由性质F(＋∞，＋∞)＝1，得到C＝1．(2)由公式：有故例5设D2是x＝0，y＝0，y＝2x＋1围成的区域，ξ＝(X，Y)在D2上均匀分布，求F(x，y)．答案是：其中区域D1，D2，D3，D4，D5如图3－10所示．图3－10问题 (1)在区域D3内任找一点(x，y)，F(x，y)＝P(X≢x，Y≢y)P((X，Y)∈D)，请将区域D在图3－10中表示出来．(2)如何计算(x，y)∈D i(i＝1，2，3，4，5)的F(x，y)的值？(3)可否使用几何概型计算F(x，y)？4．条件分布当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P{(X，Y)＝(x i，y j)}＝p ij (i，j＝1，2，…)，则在已知Y＝y j的条件下，X取值的条件分布为在已知X＝x i的条件下，Y取值的条件分布为其中p i，p j分别为X，Y的边缘分布．当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则在已知Y＝y的条件下，X的条件分布密度为在已知X＝x的条件下，Y的条件分布密度为其中p1(x)＞0，p2(y)＞0分别为X，Y的边缘分布密度．例6设二维随机向量(，)的联合分布为求 (1)X与Y的边缘分布．(2)X关于Y取值y1＝0.4的条件分布．(3)Y关于X取值x2＝5的条件分布．解(1)由公式x i258p i·0.200.420.38y j0.40.8p.j0.800.20(2)计算下面各条件概率：因此，X关于Y取值y1＝0.4的条件分布为x i258p(x i|y1)(3)同样方法求出Y关于X取值x2＝5的条件分布为y i0.40.8p(y j|x2)例7设二维随机向量(X，Y)的联合分布密度为求(1)X与Y的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解(1)由公式这里应用了同理，可求得Y的边缘分布密度为(2)在给定Y＝y的条件下，X的条件分布密度为而在给定X＝x的条件下，Y的条件分布密度为随机变量的独立性设X，Y是两个随机变量．若对于任意的a＜b，c＜d，事件{a＜X＜b}与{c＜Y＜d}相互独立，则称随机变量X与Y是相互独立的；否则，称X与Y是相依的．(1)对于离散型随机向量，可以证明：当X，Y的分布律分别为p i．＝P(X＝x i)，i＝1，2，…；p．j＝P(Y＝y j)，j＝1，2，…时，则X与Y相互独立的充要条件是：对一切i，j有P(X＝x i，Y＝y j)＝P(X＝x i)P(Y＝y j)，即p ij＝p i··p·j·(2)对于连续型随机向量，可以证明：当X，Y的分布密度分别是p1(x)，p2(y)时，则X 与Y相互独立的充要条件是：二元函数p1(x)p2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布密度p(x，y)，即p(x，y)＝p1(x)p2(y)．(3)对于一般类型随机向量，可以证明：当X，Y的分布函数分别是F1(x)，F2(y)时，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数F1(x)F2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，即F(x，y)＝F1(x)F2(y)．例8利用上面的结论(1)，不难验证3．3．1节例1中的X与Y不独立．问题如何根据联合分布p ij特点，直接看出X与Y不独立？例9设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．Yy1y2y3P{X＝x i}＝p i.Xx1x2P{Y＝y j}＝p·j1分析应注意到X与Y相互独立．解由于P(X＝x1，Y＝y1)＝P(Y＝y1)－P(X＝x2，Y＝y1)考虑到X与Y相互独立，有P(X＝x1)P(Y＝y1)＝P(X＝x1，Y＝y1)，所以同理，可以导出其他数值．故XY的联合分布律为Yy1y2y3P{X＝x i}＝p i·Xx1x2P{Y＝y j}＝p·j1例10由3．3．2节结论(2)，不难验证3．3．1节例2中的X与Y是相互独立的．问题判断3．3．1节中给出的8种均匀分布中的X与Y的独立性，由此可以得到什么结论？例11设随机变量X以概率1取值0，而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立．证X的分布函数为设Y的分布函数为F2(y)，(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则当x＜0时，对任意的y有F(x，y)＝P{X≢x，Y≢y}＝P({X≢x}∩{Y≢y})＝P(∩{Y≢y})＝P()＝0＝F1(x)F2(y)．当x≣0时，对任意的y有F(x，y)＝P({X≢x}∩{Y≢y})＝P{Y≢y}＝F2(y)＝F1(x)F2(y)．因此，对任意的x，y均有F(x，y)＝F1(x)F2(y)，即X与Y相互独立．问题这里的X是离散型，还是连续型随机变量？若是离散型，它有几个正概率点？随机变量独立性的几个重要结论．(1)设(X，Y)的分布密度函数为p(x，y)，证明X与Y相互独立的充分必要条件是p(x，y)可分离变量，即p(x，y)＝g(x)·h(y)．证“”必要性．若X与Y相互独立，记它们的分布分别为p1(x)，p2(y)，由独立性，可知p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，则取g(x)＝p1(x)，h(y)＝p2(y)即可．“”充分性．若p(x，y)可分离变量，即p(x，y)＝g(x)·h(y)，由于p(x，y)≣0，可知g(x)与h(y)同号，不妨假设它们恒为正．记，由联合分布密度性质：有令则p1(x)≣0，p2(y)≣0，且所以p1(x)，p2(y)分别为X，Y的边缘分布密度，且p(x，y)＝p1(x)p2(y)，因此，X与Y是相互独立的．利用上述方法，不难验证下面的结论：(2)若(X，Y)服从二元正态分布，即(X，Y)～N(μ1，μ2，，，ρ )，则X与Y相互独立的充要条件是：ρ ＝0．(3)若随机变量X与Y相互独立，而f(x)，g(x)为两个连续或分段连续函数时，令ξ＝f(X)，η＝g(Y)，则ξ与η相互独立．例12设(X，Y)的联合分布密度为试证明：(1)X与Y是相依的． (2)X2与Y2是相互独立的．证 (1)先求X的边缘分布密度．当|x|＜1时，有当|x|≣1时，p1(x)＝0，因此同理可见，当|x|＜1，|y|＜1时p(x，y)≠p1(x)·p2(y)，所以X与Y不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X2，η＝Y2，其分布函数分别为F1(x)和F2(y)，于是当0≢x＜1时，有因此同理可求得Y2的分布函数如图3－11所示，将O x y平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F3(x，y)，则图3－11①当x＜0或y＜0时，F3(x，y)＝0．②当0≢x＜1，y≣1时，③当0≢y＜1，x≣1时，同理④当0≢x＜1，0≢y＜1时，F3(x，y)＝P(X2≢x，Y2≢y)⑤当x≣1，y≣1时，综合起来得到不难验证，对于所有x，y都有F3(x，y)＝F1(x)·F2(y)，所以ξ与 相互独立，即X2与Y2相互独立．函数的分布1.设ξ＝(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Z＝f(X，Y)确定Z的分布(1)当ξ为离散型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布律为p ij＝P(X＝x i，Y＝y i) (i，j＝1，2，…)，当(X，Y)取某一可能值(x i，y i)时，Z＝f(X，Y)取值为f(x i，y i)．设Z的一切可能取值为z k(k ＝1，2，…)，令C k＝{(x i，y j)|f(x i，y i)＝z k}，则有例13设(X，Y)的联合分布为Y0 1 2X1求(Ⅰ)Z1＝X＋Y； (Ⅱ)Z2＝X－Y； (Ⅲ)Z3＝XY的分布列．解(Ⅰ)Z1＝X＋Y的正概率点为0，1，2，3．因为{Z1＝0}＝{X＝0，Y＝0}，所以又因为{Z1＝1}＝{X＝0，Y＝1}＋{X＝1，Y＝0}，所以同理故Z1的分布列为z k0 1 2 3p k(Ⅱ)略．(Ⅲ)略．(2)当ξ为连续型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布密度为p(x，y)，利用一维连续型随机变量函数分布的定义法，分两步完成：(Ⅰ)其中D＝{( x，y)|f(x，y)≢z}．(Ⅱ)下面以和的分布为例给予说明，并导出相应的公式．设随机向量(X，Y)的联合分布密度为p(x，y)，随机变量Z＝X＋Y，求Z的分布密度．下面我们从Z的分布函数出发，导出p Z(z)来(见图3－12)．因为图3－12F Z(z)＝P(Z≢z)＝P(X＋Y≢z)(其中)所以特别，当X和Y相互独立时，有利用上述公式，可以证明：若X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，并且X与Y相互独立，则X＋Y～N(μ1＋μ2，＋)．例14设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U(0，1)，Y～E(1)，求Z＝X＋Y 的分布密度函数p Z(z)．解由X～U(0，1)，Y～E(1)，有因为X与Y相互独立，所以(X，Y)的联合分布密度函数为要使p(x，y)＞0，即p1(x)＞0，p2(y)＞0，应满足0≢x≢1同时y＞0，考虑到z＝x＋y，于是(3－1) 方法1(分析法)下面分三种情况讨论：(Ⅰ)当z＞1时，式(3－1)合并为0≢x≢1，于是(Ⅱ)当0＜z≢1时，式(3－1)合并为0≢x＜z，于是(Ⅲ)当z≢0时，式(3－1)发生矛盾，因此，p(x，y)＝0，于是故Z的分布密度函数为方法2(图解法，见图3－13)图3－13综上可得z的分布密度函数为例15 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U＝X＋Y的概率密度g(u)．解设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U＝X＋Y的分布函数为G(u)＝P{X＋Y≢u}＝0.3P{X＋Y≢u|X＝1}＋0.7P{X＋Y≢u|X＝2}＝0.3P{Y≢u－1|X＝1}＋0.7P{Y≢u－2|X＝2}．由于X和Y独立，可见G(u)＝0.3P{Y≢u－1}＋0.7P{Y≢u－2}＝0.3F(u－1)＋0.7F(u－2)．由此，得U的概率密度g(u)＝G′(u)＝0.3F′(u－1)＋0.7F′(u－2)＝0.3f(u－1)＋0.7f(u－2)．2．设ξ＝(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Z1＝f1(X，Y)，Z2＝f2(X，Y)，确定二维随机变量η＝(Z1，Z2)例16设(X，Y)的联合分布密度函数为并且求η＝(Z1，Z2)的分布．解由于(X，Y)的联合分布密度p(x，y)可以拆成p1(x)，p2(y)，其中可见X与Y是相互独立的，并且X～E(1)，Y～E(1)．又由于Z1的取值为1，2；Z2的取值为3，4，因此η＝(Z1，Z2)的取值为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，其概率分布为P(Z1＝1，Z2＝3)＝P(X≢1，Y≢2)＝P(X≢1)·P(Y≢2)＝F1(1)·F2(2)＝(1－e－1)(1－e－2)＝1－e－1－e－2＋e－3，P(Z1＝1，Z2＝4)＝P(X≢1，Y＞2)＝P(X≢1)P(Y＞2)＝F1(1)(1－F2(2))＝(1－e－1)e－2＝e－2－e－3，P(Z1＝2，Z2＝3)＝P(X＞1，Y≢2)＝P(X＞1)·P(Y≢2)＝(1－F2(1))F2(2)＝e－1(1－e2)＝e－1－e－3，P(Z1＝2，Z2＝4)＝P(X＞1，Y＞2)＝P(X＞1)·P(Y＞2)＝(1－F1(1))(1－F2(2))＝e－1·e－2＝e－3．故η＝(Z1，Z2)的分布列为Z2Z1341 21－e－1－e－2＋e－3e－2－e－3 e－1－e－3e－3几个重要结论研究多个独立随机变量函数的分布在数理统计中占有重要的地位，为了讨论有关内容，先引进下面的定义：定义称随机变量X1，X2，…，X n是相互独立的，如果对于任意的a i＜b i(i＝1，2，…，n)，事件{a1＜X1＜b1}，{a2＜X2＜b2}，…，{a n＜X n＜b n}相互独立．此时，若所有的X1，X2，…，X n都有共同的分布，则说X1，X2，…，X n是独立同分布的随机变量．(1)对于独立同N(μ，σ2)分布的随机变量X1，X2，…，X n，可以证明有下面三个重要结论：(Ⅰ)设，则S～N(nμ，nσ2)．(Ⅱ)设，则(Ⅲ)设则U～N(0，1)．(2)设n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的χ2分布，记为W～χ2(n)，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数．χ2分布满足可加性：设则(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，且，可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)．(4)设X～(n1)，Y～(n2)，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～F(n1，n2)．例17设X1，X2，…，X10相互独立同N(0，22)分布，求常数a，b，c，d使Y＝＋b(X2＋X3)2＋c(X4＋X5＋X6)2＋d(X7＋X8＋X9＋X10)2服从分布，并求自由度m．分析若X～N(0，1)，则X2～(1)．现故同理X2＋X3～N(0，2·22)，解由于X i独立同N(0，22)分布，有X1～N(0，4)，X2＋X3～N(0，8)，X4＋X5＋X6～N(0，12)，X7＋X8＋X9＋X10～N(0，16)．因此由分布可加性所以，当时，Y服从自由度为4的分布．例18设随机变量X与Y相互独立同服从N(0，32)分布，x1，x2，…，x9以及y1，y2，…，y9是分别来自总体X，Y的样本，求统计量的分布．解由于x i，y i～N(0，32)，有令则而于是即统计量K服从自由度为9的t分布．例19设随机变量X～t(n)(n＞1)，求的分布解由题设，可知若X1～N(0，1)，X2～(n)．则而这里的～(1)，而X2～(n)，因此练习题依题意，指出以下各题的主要考核内容：3－1设随机变量且P(X1X2＝0)＝1，求P(X1＝X2)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3－2设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率．(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－3设(X，Y)的联合分布密度为(1)求C．(2)求X，Y的边缘分布．(3)讨论X与Y的独立性．(4)计算P(X＋Y≢1)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－4设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－5设x1，x2，x3，x4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，令X＝a(x1－2x2)2＋b(3x3－4x4)2，则当a＝＿＿，b＝＿＿时，统计量X服从分布，其自由度为＿＿．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－6设(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－7 设随机变量X～p1(x)，Y～p2(y)且设p(x，y)＝p1(x)·p2(y)＋h(x，y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞为二维随机向量ξ＝(X，Y)的联合分布密度，试证：(1)h(x，y)≣－p1(x)p2(y)，－∞＜x＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－8设平面区域D是由与直线y＝0，x＝1，x＝e2所围成，二维随机向量ξ＝(X，Y)在D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘分布密度在x＝2处的值．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－9 设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0，1)和N(1，1)，求P(X＋Y≢1)．(或选择题为(A)(C)(B)(D)分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－10设随机变量X i(i＝1，2，3，4)相互独立同B(1，0．4)，求行列式的概率分布．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3．4 典型例题分析3－1设随机变量且P(X1X2＝0)＝1，求P(X1＝X2)．分析下面给出(X1，X2)的联合分布：X2－101p i·X1－10000100p·j1可见，P{X1＝X2}＝0，因此，答案是0．问题如何由边缘分布确定联合分布．3－2设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率．(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布．分析(1)设事件A＝{发车时有n个乘客上车}，B＝{中途有m个人下车}，则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率是一个条件概率，即P(B|A)＝P{Y＝m|X＝n}．根据二项概型，有其中0≢m≢n，n＝0，1，2，…．(2)由乘法公式，我们有P{X＝n，Y＝m}＝P(AB)＝P(B|A)·P(A)．由于上车人数X～P(λ)，因此于是其中0≢m≢n，n＝0，1，2，…．说明 (1)这里的条件分布是在改变样本空间后，利用二项概型求出的．(2)由乘客在中途下车与否是相互独立的，能推出X与Y独立吗？为什么？3－3如图3－14，设(X，Y)的联合分布密度为图3－14(1)求C．(2)求X，Y的边缘分布．(3)讨论X与Y的独立性．(4)计算P(X＋Y≢1)．分析(1)由于即可导出C＝2．(2)当x＜0或x＞1时，p1(x)＝0；当0≢x≢1时，因此同理(3)由于p1(x)·p2(y)≠p(x，y)，故X与Y不独立．(4)问题本题可否使用几何概型计算P(X＋Y≢1)？3－4设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析(1)由可导出(2)(3)由p(x，y)＝f1(x)·f2(y)，其中考虑到故3－5设x1，x2，x3，x4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，令X＝a(x1－2x2)2＋b(3x3－4x4)2，则当a＝＿＿，b＝＿＿时，统计量X服从x2分布，其自由度为＿＿．分析本题中，如果X服从x2分布，则自由度为2，并且要求与相互独立且均服从标准正态分布N(0，1)．由于x1，x2，x3，x4相互独立，因此与也相互独立．由于并且因此3－6 设试求解：(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性．分析(1)由即(2)由，分情况讨论：当x＜0或x＞2时，当0≢x≢2时，所以同理，可求出(3)由于p1(x)·p2(y)＝p(x，y)，因此，X与Y相互独立．说明本题也可以使用其他方法讨论．由于p(x，y)可以拆成f1(x)·f2(y)，其中由故同理b＝3．因此这时p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，其中可见，X与Y是相互独立的．3－7设随机变量X～p1(x)，Y～p2(y)且设p(x，y)＝p1(x)·p2(y)＋h(x，y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞为二维随机向量ξ＝(X，Y)的联合分布密度，试证：(1)h(x，y)≣－p1(x)p2(y)，－∞＜x2＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)分析(1)由p(x，y)的性质：p(x，y)≣0，有p1(x)·p2(y)＋h(x，y)≣0，即h(x，y)≣－p1(x)·p2(y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)由于，有于是有3－8设平面区域D是由与直线y＝0，x＝1，x＝e2所围成(如图3－15)，二维随机向量ξ＝(X，Y)在D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘分布密度在x＝2处的值．图3－15分析区域D的面积为由题设可知，(X，Y)的概率密度为(X，Y)关于X的边缘密度为(1)当x＞e2或x＜1时，(2)当1≢x≢e2时，有于是故问题本题可否直接求出，即3－9设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0，1)和N(1，1)，求P(X＋Y≢1)．(或选择题为(A)(B)(C)(D)分析令Z＝X＋Y～N(1，2)，则3－10设随机变量X i(i＝1，2，3，4)相互独立同B(1，0.4)，求行列式的概率分布．分析记Y1＝X1X4，Y2＝X2X3，则X＝Y1－Y2，且Y1和Y2独立同分布：P(Y1＝1)＝P(Y2＝1)＝P(X2＝1，X3＝1)＝P(X2＝1)·P(X3＝1)＝0.16，P(Y1＝0)＝P(Y2＝0)＝1－0.16＝0.84，即Y i～B(1，0.16) (i＝1.2)．随机变量X＝Y1－Y2有三个可能值：－1，0，1．P(X＝－1)＝P(Y1＝0，Y2＝1)＝0.84×0.16＝0.1344，P(X＝1)＝P(Y1＝1，Y2＝0)＝0.16×0.84＝0.1344，P(X＝0)＝1－2×0.1344＝0.7312．于是，行列式X的概率分布为。