2002年山东省初中数学竞赛试题
2002年山东省济南市中考数学试卷
2002年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣1和﹣4+（﹣3）B．|﹣3|和﹣（﹣3）C．3﹣1和﹣3D．﹣3和2．（3分）下列各式中，计算过程正确的是（）A．x3+x3＝x3+3＝x6B．x3•x3＝2x3＝x6C．x•x3•x5＝x0+3+5＝x8D．x2•（﹣x）3＝﹣x53．（3分）如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形内的三个数依次为（）A．1，﹣2，0B．0，﹣2，1C．﹣2，0，1D．﹣2，1，0 4．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．底角相等的两个等腰三角形全等C．一条对角线将平行四边形分成的两个三角形相似D．圆是中心对称图形而不是轴对称图形5．（3分）化简，甲，乙两同学的解法如下：甲：．乙：．对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（）A．甲，乙解法都正确B．甲正确，乙不正确C．甲，乙都不正确D．乙正确，甲不正确6．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥0且x≠1C．x＞0且x≠1D．x≠±17．（3分）如图，有一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作图①，作对角线AC，分别取AB，BC中点E，F，连接EF作DG⊥EF于G，交AC于H，过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K，将正方形ABCD 沿画出的线剪开，现由它拼出一座桥（如图②），这座桥的阴影部分的面积是（）A．8B．6C．5D．48．（3分）2001年中国银行外汇交易创历史新高，累计成交750.33亿美元，若1美元可兑换8.2779元人民币，用科学记数法表示2001年成交额相当于人民币（）亿元（精确到亿位）A．6.211×103B．6.211×1011C．6.21×103D．6.21×1011 9．（3分）已知抛物线过A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C且BC＝3，则这条抛物线解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝x2+2x﹣3或y＝﹣x2+2x+3D．y＝﹣x2+2x+3或y＝x2﹣2x﹣310．（3分）如图，有一个边长为6cm的正三角形ABC木块，点P是边CA的延长线上的点，在A、P之间拉一条细绳，绳长AP为15cm．握住点P，拉直细绳，把它全部紧紧缠绕在△ABC木块上（缠绕时木块不动），若圆周率取3.14，点P运动的路线长为（）（精确到0.1cm）A．28.3cm B．28.2cm C．56.5cm D．56.6cm11．（3分）如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC ＝α，则S△CDE：S△ABE等于（）A．sinαB．cosαC．sin2αD．cos2α12．（3分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a≤2C．a≤1D．a≤2二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）一次买10斤鸡蛋，打八折比打九折少花2元钱，则这10斤鸡蛋的原价是元．14．（3分）喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第次后可拉出128根面条．15．（3分）如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成．若内、外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移，才能使两跑道有相同的长度．如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移米（π取3.14，结果精确到0.01米）．16．（3分）为了让市场开发出更多适合消费者需求的房屋，以引导理性开发、理性消费．某房地产营销策划公司对2000位客户的需求进行了调查，并利用专业的软件进行统计分析后，绘出如图所示的消费者对需求面积的统计分布需求客户数图（其中需求率需求客户数）．请你观察并计算需求面积在100～140（含140、不含100）平方米被调查客户总数的客户数是．17．（3分）请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是．18．（3分）（1）用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选个数；（2）如果数轴上的点A和点B分别代表﹣2、1，P是到点A或者点B距离为3的点，那么所有满足条件的点P到原点的距离之和为．19．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，以斜边BC上距离B点3cm 的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．20．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PM⊥x轴，交直线y＝﹣x+6于点M，有一个动圆O′，它与x轴、直线PM和直线y＝﹣x+6都相切，且在x轴的上方．当⊙O'与y轴也相切时，点P的坐标是．三、解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）解方程：5＝0．22．（7分）科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（千帕）随温度t（℃）变化的函数关系式是P＝kt+b，其图象是如图所示的射线AB．（1）根据图象求出上述气体的压强p与温度t的函数关系式；（2）求出当压强p为200千帕时，上述气体的温度．23．（7分）如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面．操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去．（1）请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形（保留痕迹，不写作法）（2）请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数（s）填入下表．（3）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？24．（6分）（1）在生活中需测量一些球的足球、篮球）的直径．某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径．若测得AB 的长为41.5cm，∠ABC＝37°．请你计算出球的直径（精确到1cm）；（2）有一特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克．若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量．25．（6分）如图1所示的是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2m，房间高2.6m，所以不必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家具能通过如图2中的长廊搬入房间．把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．（注：搬运过程中不准拆家具，不准损坏墙壁）26．（6分）某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好，为什么？27．（7分）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c 是关于x的方程x2+mx+2m＝0的两个实数根，求△ABC的周长．28．（7分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点．（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切．为什么？（2）当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE•DF．为什么？29．（8分）如图，已知AB＝AC+BD，∠CAB＝∠ABD＝90°AD交BC于P，⊙P与AB相切于点Q．设AC＝a，BD＝b（a≤b）．（1）求⊙P的半径r；（2）以AB为直径在AB的上方作半圆O（用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；（3）设a＝2，b＝4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π？请说出你的结论，并给出证明．2002年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣1和﹣4+（﹣3）B．|﹣3|和﹣（﹣3）C．3﹣1和﹣3D．﹣3和【解答】解：A、错误，﹣4+（﹣3）＝﹣7≠﹣1；B、正确，|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3；C、错误，3﹣13；D、错误，3≠﹣3．故选：B．2．（3分）下列各式中，计算过程正确的是（）A．x3+x3＝x3+3＝x6B．x3•x3＝2x3＝x6C．x•x3•x5＝x0+3+5＝x8D．x2•（﹣x）3＝﹣x5【解答】解：A、应为x3+x3＝2x3，故本选项错误；B、应为x3•x3＝x3+3＝x6，故本选项错误；C、应为x•x3•x5＝x1+3+5＝x9，故本选项错误．D、x2•（﹣x）3＝﹣x2•x3＝﹣x5，正确．故选：D．3．（3分）如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形内的三个数依次为（）A．1，﹣2，0B．0，﹣2，1C．﹣2，0，1D．﹣2，1，0【解答】解：由图可知A对应﹣1，B对应2，C对应0．∵﹣1的相反数为1，2的相反数为﹣2，0的相反数为0，∴A＝1，B＝﹣2，C＝0．故选：A．4．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．底角相等的两个等腰三角形全等C．一条对角线将平行四边形分成的两个三角形相似D．圆是中心对称图形而不是轴对称图形【解答】解：A、等腰梯形对角线相等；B、若等腰三角形底角相等，那么顶角对应相等，但三边不一定相等，所以只是相似，不全等；C、正确，证明如下：∵▭ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴△ABC∽△CAD；D、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选：C．5．（3分）化简，甲，乙两同学的解法如下：甲：．乙：．对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（）A．甲，乙解法都正确B．甲正确，乙不正确C．甲，乙都不正确D．乙正确，甲不正确【解答】解：甲是按分母有理化计算，正确；乙是把“1”写成平方差的形式，再约分，正确．故选：A．6．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥0且x≠1C．x＞0且x≠1D．x≠±1【解答】解：根据题意得：x≥0且x≠1．故选：B．7．（3分）如图，有一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作图①，作对角线AC，分别取AB，BC中点E，F，连接EF作DG⊥EF于G，交AC于H，过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K，将正方形ABCD 沿画出的线剪开，现由它拼出一座桥（如图②），这座桥的阴影部分的面积是（）A．8B．6C．5D．4【解答】解：观察两个图形，分析易得阴影部分的面积即是直角三角形ABC的面积，即正方形的面积的一半；求可得其面积是4，故选D．8．（3分）2001年中国银行外汇交易创历史新高，累计成交750.33亿美元，若1美元可兑换8.2779元人民币，用科学记数法表示2001年成交额相当于人民币（）亿元（精确到亿位）A．6.211×103B．6.211×1011C．6.21×103D．6.21×1011【解答】解：∵1美元可兑换8.2779元人民币，∴750.33亿美元＝750.33×8.2779＝6211.0156707亿元≈6211亿元人民币；用科学记数法表示时，由于6211有4位整数，所以可以确定n＝4﹣1＝3．所以，6211＝6.211×103．故选：A．9．（3分）已知抛物线过A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C且BC＝3，则这条抛物线解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝x2+2x﹣3或y＝﹣x2+2x+3D．y＝﹣x2+2x+3或y＝x2﹣2x﹣3【解答】解：∵A、B两点的纵坐标为0．∴A、B为抛物线与x轴的交点，∴△OBC为直角三角形．又∵C点有可能在y轴的负半轴，也可能在y轴的正半轴．∴C点的纵坐标为3或﹣3（根据勾股定理求得）．∴C点的纵坐标为（0，3）或（0，﹣3）．设函数的解析式为y＝ax2+bx+c，（1）则当抛物线经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）三点时，a﹣b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝﹣3解得：a＝1 b＝﹣2 c＝﹣3，则解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）则当抛物线经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点时，a﹣b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3解得：a＝1 b＝2 c＝﹣3，则解析式为y＝x2+2x+3．故选：D．10．（3分）如图，有一个边长为6cm的正三角形ABC木块，点P是边CA的延长线上的点，在A、P之间拉一条细绳，绳长AP为15cm．握住点P，拉直细绳，把它全部紧紧缠绕在△ABC木块上（缠绕时木块不动），若圆周率取3.14，点P运动的路线长为（）（精确到0.1cm）A．28.3cm B．28.2cm C．56.5cm D．56.6cm【解答】解：第一段弧长10πcm；第二段弧长6πcm；第三段弧长2πcm；所以三段弧长＝18π＝56.5cm．故选：C．11．（3分）如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC＝α，则S△CDE：S△ABE等于（）A．sinαB．cosαC．sin2αD．cos2α【解答】解：连接AC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACE＝90°．∴cosα ．∵∠ECD＝∠EAB，∠CDE＝∠ABE，∴△ECD∽△EAB，∴（）2＝cos2α．故选：D．12．（3分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a≤2C．a≤1D．a≤2【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y＝ax2得a＝2，把B点代入y＝ax2得a，则a的范围介于这两点之间，故a≤2．故选：D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）一次买10斤鸡蛋，打八折比打九折少花2元钱，则这10斤鸡蛋的原价是20元．【解答】解：设这10斤鸡蛋的原价是x元．则有0.8x＝0.9x﹣2，解得：x＝20故填20．14．（3分）喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第7次后可拉出128根面条．【解答】解：27＝128根．故答案为：7．15．（3分）如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成．若内、外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移，才能使两跑道有相同的长度．如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移 3.83米（π取3.14，结果精确到0.01米）．【解答】解：两条跑道就差在两条弧的半径不同从题意可知道两圆的半径相差1.22，两条弧从图中又可看出是半圆，所以根据弧长公式得 1.22×3.14＝3.83．16．（3分）为了让市场开发出更多适合消费者需求的房屋，以引导理性开发、理性消费．某房地产营销策划公司对2000位客户的需求进行了调查，并利用专业的软件进行统计分析后，绘出如图所示的消费者对需求面积的统计分布需求客户数图（其中需求率需求客户数）．请你观察并计算需求面积在100～140（含140、不含100）平方米被调查客户总数的客户数是1243．【解答】解：2000×（49.55%+12.6%）＝1243户．17．（3分）请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）或（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2．【解答】解：由图可知，左下角的小正方形的面积＝大正方形的面积﹣两个长x，宽y 的矩形的面积和+这两个矩形的重叠部分的面积＝x2﹣2xy+y2，小正方形的面积为（x﹣y）2，因此，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，图中，L形状的图形的面积＝大正方形的面积﹣左上边的边长为y的小正方形的面积＝x2﹣y2，L状图形的面积＝长x宽x﹣y的矩形的面积+长y宽x﹣y的矩形的面积＝x（x﹣y）+y（x ﹣y）＝（x+y）（x﹣y），因此，x2﹣y2＝9x+y）（x﹣y）．故本题答案为：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）或（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2．18．（3分）（1）用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选5个数；（2）如果数轴上的点A和点B分别代表﹣2、1，P是到点A或者点B距离为3的点，那么所有满足条件的点P到原点的距离之和为12．【解答】解：（1）需要正确估算：因为，所以前面4个数的和大于2.5．要使和大于3，则至少需要选5个数；（2）到点A的距离是3的有﹣2﹣3＝﹣5，﹣2+3＝1；到点B的距离是3的点有1﹣3＝﹣2，1+3＝4．则要求所有满足条件的点P到原点的距离之和，即是四个数的绝对值的和是5+1+2+4＝12．故答案为（1）5；（2）12．19．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，以斜边BC上距离B点3cm 的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 1.44cm2．【解答】解：根据旋转的性质可知，△PSC∽△RSF∽△RQC∽△ABC，△PSC∽△PQF，∵∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，∴BC＝5，PC＝2，S△ABC＝6，∵S△PSC：S△ABC＝1：4，即S△PSC，∴PS＝PQ，∴QC，∴S△RQC：S△ABC＝QC2：BC2，∴S△RQC，∴S RQPS＝S△RQC﹣S△PSC＝1.44cm2．20．（3分）如图，已知直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可以移动的点，且点P在点A的左侧，PM⊥x轴，交直线y＝﹣x+6于点M，有一个动圆O′，它与x轴、直线PM和直线y＝﹣x+6都相切，且在x轴的上方．当⊙O'与y轴也相切时，点P的坐标是（0，0），（12﹣6，0），（﹣6，0）．【解答】解：①如图，当⊙O′在y轴的右侧时，MP在圆的左侧，此时点P和点O重合，坐标是（0，0）；②当⊙O′在y轴的右侧时，MP在圆的右侧，∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（6，0），B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△AOB是等腰直角三角形，连接OC，OD，则四边形O'COD是正方形，∴圆的半径是6﹣3，则点P的坐标是（12﹣6，0）；③当圆在y轴左侧时，设圆的半径是x，如图，则AP＝PM＝6+2x，连接O'E，O'F，则四边形O'EPF是正方形，∴ME＝MS＝6+x，BH＝BS＝6﹣x则根据切线长定理得AM＝MS+AS＝MS+AF＝12+6，∴12+6（6+2x），∴x＝3，则P点的坐标是（﹣6，0）．故填空答案：（0，0），（﹣6，0），（12﹣6，0）．三、解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）解方程：5＝0．【解答】解：设y，则原方程化为y5＝0，整理得y2﹣5y+6＝0，解得y＝2或y＝3．当y＝2时，有2，解得x1＝2；当y＝3时，有3，解得x2．经检验x1＝2，x2是原方程的根．∴原方程的根是x1＝2，x2．22．（7分）科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（千帕）随温度t（℃）变化的函数关系式是P＝kt+b，其图象是如图所示的射线AB．（1）根据图象求出上述气体的压强p与温度t的函数关系式；（2）求出当压强p为200千帕时，上述气体的温度．【解答】解：（1）函数p＝kt+b的图象过点（0，100），（25，110）可得．解得．所求的函数关系式是p t+100（t≥0）；（2）当p＝200时，由（1）得t+100＝200，解得t＝250，即当压强为200千帕时，气体的温度是250℃．23．（7分）如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面．操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去．（1）请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形（保留痕迹，不写作法）（2）请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数（s）填入下表．（3）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？【解答】解：（1）（2）7+3＝10，10+3＝13，13+4＝17，…7+3（n﹣1）＝3n+1；（3）当3n+1＝33，因为n不是自然数，不能剪成．24．（6分）（1）在生活中需测量一些球的足球、篮球）的直径．某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径．若测得AB 的长为41.5cm，∠ABC＝37°．请你计算出球的直径（精确到1cm）；（2）有一特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克．若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量．【解答】解：（1）作AG⊥CB于G，∵DA，CB分别与圆相切于E，F∴EF⊥FG，EF⊥EA∴四边形AGFE是矩形∴AG＝EF∴在Rt△ABG中，AB＝41.5∠ABG＝37°∴AG＝AB•sin∠ABG＝41.5×sin37°≈25∴球的直径约为25cm；（2）设较大泥块的质量为x克，则较小泥块的质量为（30﹣x）克，若天平左，右臂长分别为acm，bcm由题意得：，两式相除得，，解得x1＝18，x2＝12．经检验都是原方程的解，根据题意x＝12应该舍去，当x＝18时，30﹣x＝12，∴较大的泥块的质量为18克，较小的泥块的质量为12克．25．（6分）如图1所示的是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2m，房间高2.6m，所以不必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家具能通过如图2中的长廊搬入房间．把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．（注：搬运过程中不准拆家具，不准损坏墙壁）【解答】解：方案如图（1）所示．理由：如图（2），连接AB，延长DC交BA延长线于点E．由题意知，AM＝BM，∴△ACE是等腰直角三角形．∴CE＝0.5，DE＝DC+CE＝2．作DH⊥AB于点H，则DH＝DE•sin∠HED＝2×sin45°．∵＜1.45，∴可按方案设计图将家具搬入房间．26．（6分）某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好，为什么？【解答】解：甲的成绩平均数12.5， 乙的成绩平均数12.5， S2甲 [（12.1﹣12.5）2+（12.2﹣12.5）2+（13﹣12.5）2+（12.5﹣12.5）2+（13.1﹣12.5）2+（12.5﹣12.5）2+（12.4﹣12.5）2+（12.2﹣12.5）2]＝0.12，S2乙 [（12﹣12.5）2+（12.4﹣12.5）2+（12.8﹣12.5）2+（13﹣12.5）2+（12.2﹣12.5）2+（12.8﹣12.5）2+（12.3﹣12.5）2+（12.5﹣12.5）2]＝0.1025，因为S 2甲＞S 2乙，所以乙的成绩稳定，派乙选手参加比赛更好．27．（7分）在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c是关于x 的方程x 2+mx +2 m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】解：∵b 、c 是关于x 的方程x 2+mx +2 m ＝0的两个实数根，∴b +c ＝﹣m ，bc ＝2m ，当a为其腰时，则b＝a，或c＝a，∴方程必有一个根为3，代入方程得：9+3m+2m＝0，解得m，则b+c＝﹣m，则周长是a+b+c＝3；当a为其底时，b＝c，原方程有两个相等的实数根，∴△＝m2﹣4（2m）＝0，∴m1＝﹣4，m2＝2＞0（舍去），∵b+c＝﹣m＝4＞a，bc＝4＞0，∴m＝﹣4符合题意，∴a+b+c＝3+4＝7．∴△ABC的周长为或7．28．（7分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点．（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切．为什么？（2）当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE•DF．为什么？【解答】解：（1）当PC＝PF（∠PCF＝∠PFC或△PCF为等边三角形）时，PC与⊙O 相切．连接OC，则∠OCA＝∠F AH∵PC＝PF∴∠PCF＝∠PFC＝∠AFH∵DE⊥AB于H∴∠OCA+∠PCF＝∠F AH+∠AFH＝90°即OC⊥PC∴PC与⊙O相切（2）当点D是弧AC的中点时，AD2＝DE•DF．连接AE∵弧AD＝弧CD∴∠DAF＝∠DEA∵∠ADF＝∠EDA∴△DAF∽△DEA∴即AD2＝DE•DF．29．（8分）如图，已知AB＝AC+BD，∠CAB＝∠ABD＝90°AD交BC于P，⊙P与AB相切于点Q．设AC＝a，BD＝b（a≤b）．（1）求⊙P的半径r；（2）以AB为直径在AB的上方作半圆O（用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；（3）设a＝2，b＝4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π？请说出你的结论，并给出证明．【解答】解：（1）如图1，连接PQ，∵⊙P与AB相切于Q∴PQ⊥AB且PQ＝r∵∠CAB＝∠ABD＝90°∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB∴，∴∴r；（2）如图2：⊙O与⊙P相切，证明：∵⊙O的半径R∴Rr∴AQ aOQ a连接PO则PO R﹣r∴⊙O与⊙P相切；（3）由（2）知，半圆O的半径3，假设符合要求的图形存在，每两个圆的公共部分的面积分别为S PM、S MN、S PN，则它们均小于π，又设每个小圆的面积为S，三个小圆公共部分的面积为S PMN，则三个小圆的覆盖面积＝3S﹣（S PM+S MN+S PN）+S PMN＞3π•（）2π+S PMNπ π＝半圆O 的面积，而这是不可能的，故不能在这个半圆O中画出符合要求的⊙M和⊙N．。
99-04年山东省初中数学竞赛试题(含答案).(数学试题 竞赛模拟)
1999年山东省初中数学竞赛试题 (1)2000年山东省初中数学竞赛试题 (5)2001年山东省初中数学竞赛试题 (7)2002年山东省初中数学竞赛试题 (11)2003年山东数学竞赛试题 (14)2004年山东省初中数学竞赛试题 (17)1999年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分，共48分．下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内．)1．已知命题“有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形”，则( )．(A)这个命题和它的否命题都是真命题(B)这个命题和它的否命题都是假命题(C)这个命题是真命题，而它的否命题是假命题(D)这个命题是假命题，而它的否命题是真命题2．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成．现两队联合承包，那么完成这项工程需要( )． (A)b a 1+ 天 (B) )b 1a 1(+天 (c) b a ab +天 (D) ab1天 3．如图，∠CGE ＝α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝( )．(A)360°-α (B)270°-α (C)180°+α (D)2α4．如果｜x|+||x|-1｜＝l ，那么( )．(A)(x+1)(x-1)>0 (B)(x+1)(x-1)<0(C)(x+1)(x-1)≥0 (D)(x+1)(x-1)≤05．与212-171最接近的整数是( )．(A)5 (B)6 (C)7 (D)86．已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且d c b a < ，且A ＝dc d -b a b ++与0的大小关系是( )． (A)A>0 (B)A ≥0 (C)A<O (D)A ≤07．若方程p -x ＝x 有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是( )．(A)p ≤0 (B)p<41 (C)O ≤P<41 (D)P ≥41 8．如图，S △AFG ＝5a ，S △ACG ＝4a ，S △BFG =7a ，则S △AEG ＝( )．(A)1127a (B) 1128a (c) 1129a (D) 1130a 二、填空题(每小题8分，共32分)1．已知，|x+y-5|+4-y 2x +＝0，则yx ＝2．已知a 、b 、c 为不等于零的实数，且a+b+c ＝0，则a(c 1b 1+)+ b(a 1c 1+)+c(b 1a 1+)的值为 ·3.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，若这个四边形的面积为12，则BC+CD ＝4．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且23EB AE =,DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB=三、(本题满分20分)如图，AD 是Rt △ ABC 的斜边BC 上的高，P 是AD 的中点，连结BP 并延长交AC 于E.已知AC:AB ＝k ，求AE:EC ．四、(本题满分20分)已知方程x 2+a 1x+a 2a 3＝0与方程x 2+a 2x+a l a 3＝0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x 2+a 3x+a 1a 2＝0的根．五、(本题满分30分)现有质量分别为9克和13克的砝码若干只，在天平上要称出质量为3克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论．1 999年山东省初中数学竞赛试题参考答案、一、1．D ．2.C. 3．D ．4．D ．5．B ．6．A ．7 .C 8．D ．二、1．x=-1y=6．y x =1/62．a+b+c=0， b+c=-a ，c+a=-b ，a+b=-c ．原式=-33．解法l ：延长CB 到E ，使BE=DC ，连结AE ，AC2000年山东省初中数学竞赛试题1．已知关于x 的方程mx+2=2(m —x)的解满足|x-21 |-1=0，则m 的值是 ( ) A.10或52 B.10或-52 c.-10或52 D.-10或52- 2．设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若c-b=b-a>O ，则 ( )A.1/2B.1/3C.1/4D.1/53．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )A.2x ％B. 1+2x ％ C(1+x ％)x ％ D.(2+x ％)x ％4．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是 ( )A .a>b b ．a<b C. a=b D.与a 和b 的大小无关5．若D 是△ABC 的边AB 上的一点，么ADC=么BCA,AC=6，DB=5，△ABC 的面积是S ，则△BCD 的面积是 ( ) A.S 53 B. S 74 C ．S 95 D ．S 116 6．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )A ．50 B.62 C ．65 D ．687．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 ( )A ．21B ．61C ．125D ．43 8．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 ( )A ．AB 上 B.BC 上 C ．CD 上D ．DA 上9．已知2+x a 与2-x b 和等于442-x x ，则a= ，b= 10．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ．若AF=1．2cm ，则AB= cm11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC ．BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S += 12．已知矩形A 的边长分别为a 和b ，如果总有另一矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长之比与面积之比都等于k ，则k 的最小值为 ．13．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知 AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．14．已知x 、y 均为实数，且满足xy+x+y=17，x 2y+xy 2=66，求x 4+x 3y+x 2y 2+xy 3+y 4的值．15．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH 的8个顶点上，并且以S 1，S 2，…，S 8分别表示(A ，B ，C)，(B ，C ，D)，…，(H ，A ，B)8组相邻的三个顶点上的数字之和．(1)试给出一个填法，使得S 1，S 2，…，S 8都大于或等于12；(2)请证明任何填法均不可能使得S 1，S 2，…，S 8都大于或等于13．2000年山东省初中数学竞赛答案1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A9．2；2 10．6 11．30 12．2)(4b a ab +15．(1)不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．(2)显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8= (1+2+3+…+8)·3=108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13·8=104，所以至多有108-104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：(1)相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为(i，j，k)，后一组为(j，k，l)．若有i+j+k=j+k+l，则l=i，这不符合填写要求；(2)每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论(1)不符．因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．(1)若S1=i+1+J=13，则．s2=1+j+l=14，S3=j+l+k=13，因J>1，这是不可能的．(2)若sl=i+1+j=14，则S2=1+j+(i-1)=13，S=j+(i-1)+2：14，s4=(i-1)+2+(j-1)=13，这时S5=14，只能是S=2+(j-1)+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．2001年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分，共48分)下面各题给出的选项中，只有一项是正确的1．某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a％，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b％出售，那么，调价后每件衬衣的零售价是 ( )A．m(1+a％)(1—b％)元 B．m·a％(1—b％)元C．m(1+a％)b％元 D．m(1+a％·b%)元2．如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD．则CD长度的最小值是 ( )A．4 B．5 C 6 D．5(5—1)3．在凸n边形中，小于108°的角最多可以有( )A ．3个B 4个C ．5个D ．6个4．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以AC 、AB 为边，在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ．作CK⊥AB，分别交AB 和GH 于D 和K ．则正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系是 ( )A S 1=S 2B S 1>S 2 C. S l <S 2 D ．不能确定，与AC/AB 的大小有关6．甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ．若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ．那么，甲的速度与乙的速度之比为 ( )A 3：5 B. 4：3 C. 4：5 D ．3：47．在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下：(1)对任意实数a 、b ，有a*b=(a+1)·(b -1)；(2)对任意实数a ，有a *2==a*a当x=2时，[3*(x *2)]-2*x+1的值为( )A 34 B. 16 C. 12 D ．68．若不等式|x+l|+|x-3|≤a 有解，则n 的取值范围是 ( )A 0<a≤4B a≥4C O<a≤2 D．a≥2二、填空题(每小题8分，共32分)9．如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连结OE 交BC 于点F ．若AB=a ，AD=c ，BE=b ，则BF= ．10．若S=，则S 的整数部分是11．若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a 、b ，则d 与2ba 的大小关系是 ．12．如图，O 为某公园大门，园内共有9处景点A 1、A 2、……An．景点间的道路如图所示，游客只能按图上所示的箭头方向从一个景点到达另一个景点．游客进入公园大门之后，可按上述行进要求游览其中部分或全部景点．一旦返回大门O 处，游览即告结束(每个景点只能游览一次)．那么，游客所能选择的不同的游览路线共有 条．三、解答题(每小题20分，共60分)13．关于x 的方程kx 2-(k-1)x+l=0有有理根，求整数k 的值．14．如图，在□ABCD 中，P 1、P 2、…、P n-1是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交．CD 于点F ．(1)求证：EF∥BD；(2)设□ABCD 的面积是S ．若S △AEF =3s/8，求n 的值．15．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．2001年山东省初中数学竞赛一、1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．B15．不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位．我们以A、A2、A、…、A2按逆时针方向依次分别标记这12位同学．(1)在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花．事实上，每次分花，如果分花的同学不是这两位同学中的一位，那么，他们俩手中的鲜花只会增加，不会减少．如果他们俩中的一位是分花者，那么，分花后另一位同学一定持有鲜花． (2)任何一位同学不可能手中始终无花，可用反证法证明这一点．不妨假设A1手中始终无花，这意味着A2始终没作为分花者，A2手中鲜花只能增加，不会减少．因总共只有13束鲜花，所以经过有限次分花之后， A2不再接受鲜花．这又意味着经过有限次分花之后，A3不再为分花者．同理可知，再经过有限次分花后，A4不再为分花者．依此类推，经有限次分花之后，全部12位同学无一人为分花者，活动终止．这就与13束鲜花分置于12位同学手中，无论何种情况总能找到与可能分花的同学的事实相矛盾．由(1)、(2)可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花，因此至少有6位同学手中有花．若仅有6位同学手中有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻．因此，只要再进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有7位同学手中持有鲜花．2002年山东省初中数学竞赛试题一、选择题1．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具．它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点．它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%．那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) (A)73 (B)37 (C) 2110 (D)1021 2．已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且d c b a <·给出下列四个不等式：①dc c b a a +>+②d c c b a a +<+ ；③d c d b a b +>+④d c d b a b +<+其怔确的是( ) (A)①③(B)①④(C)②④(D)②③3．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBD ＝30°， 则AD ：DC ＝( ) (A)33 (B)22 (C)2 -l (D)3 -l 4．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分， 败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还要按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积( )(A)5分 (B)6分 (C)7分 (D)8分5．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB＝7，则BC+CD 等于( ) (A)63 (B)53 (C)43 (D)336．如图，在梯形ABCD 中，AD ∠∠BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4．若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( ) (A)745 (B)533 (C)539 (D)2157．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD ＝BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是( )(A)x 2-2cx+b 2＝0 (B)x 2-cx+b 2＝0 (C)x 2-2cx+b＝0 (D)x 2一cx+b ＝08．已知实数a ，b ，c 满足a<a<c ，ab+bc+ca ＝0，abc ＝1，则( )(A)|a+b|>|c|， (B)|a+b|<|c|， (C)|a+b|=|c| (D)|a+b|与|c|的大小关系不能确定二、填空题9．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数N．若M-N恰是某正整数的立方，则这样的M共有个．10．设x1，x2是方程x2-2(k+1)x+k2+2＝0的两个实数根，且(x1+1)(x2+1)＝8，则k的值是．11．已知实数x，y，z满足x+y＝5及z2＝xy+y一9，则x+2y+3z＝12．如图5，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝三、解答题13．如图，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于l，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得△A1B1C1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．(1)证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形；(2)求△ABC与△A1B1C1公共部分的面积．15．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B B C A A 6 l 832 13．(1)设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度．设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米，所以 AE＝ECtan∠ACE＝20tan30°≈11．6(米)．CD＝EB＝AB-AE＝4．4(米)．(2)设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝16米，所以 BC＝ABcot∠ACB＝16cot30°≈27．7(米)，所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27．7米．14．(1)连结OC，DC1，分别交PQ，NP于点D，E，根据题意得∠COC1＝45°．因为点O 到AC 和BC 的距离都等于1-，所以OC 是∠ACB 的平分线．因为 ∠ACB ＝90°，所以 ∠OCE ＝∠OCQ ＝45°．同理 ∠OC l D ＝∠OC 1N ＝45°，所以 ∠OEC ＝∠ODC l ＝90°，∠CQP ＝∠CPQ ＝∠C 1PN ＝∠C 1NP ＝45°，所以 △CPQ 和△C 1NP 都是等腰直角三角形，所以∠BNM ＝∠C 1NP ＝∠A 1QK ＝∠CQP ＝45°．因为 ∠B ＝∠A 1＝45°，所以 △BMN 和△A 1KQ 都是等腰直角三角形，∠B l ML ＝∠BMN ＝∠AKL ＝∠A 1KQ ＝90°，所以 ∠B 1＝∠A ＝45°，所以 △B 1Am l 和△AKL 也都是等腰直角三角形．(2)在Rt △ODC l 和Rt △OEC 中，因为OD ＝OE ＝1，∠COC1＝45°，所以 OC ＝CC 1＝2 ，CD ＝C 1E ＝2-1，所以 PQ ＝NP ＝2(2-1)＝22-2， CQ=CP-C 1P=C 1N=2(2-1)=2一2， 所以 S △CPQ =21 ×(2-2)2=3-22延长CO 交AB 于H ． 因为①平分∠ACB ，且AC ＝BC ，所以CH ⊥AB ，所以 CH=CO+OH=2+1，所以AC ＝BC ＝A l C l ＝B 1C 1＝2(2+1)＝2+2，所以 S=21×(2+2)2＝3+22 因为A l Q=BN=(2+2)-(22-2)-(2一2)=2，所以KQ ＝MN ＝22＝2，所以 S △BMN ＝21 ×(2)2＝1．因为 AK=(2+2)-(2-2)-2=2． 所以 S △AKL =21 ×2)2=1， 所以S 多边形KLMNPO -S △ABC +S △CPQ -S △BMN-S △AKL =(3+22)-(3-22)-1-1=42-2．15．假定排除故障花时x 分钟．如图9，设点A 为县城所在地，点C 为学校所在地，点B 为师生途中与汽车相遇之处．在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发造成的，还有20分钟是由于从C 到B 由步行代替乘车而耽误的．汽车所晚的30分钟，一方面是由于排除故障耽误了x 分钟，但另一方面由于少跑了B 到C 之间的一个来回而省下了一些时间．已知汽车速度是步行速度的6倍，而步行比汽车从C 到B 这段距离要多花20分钟．由此知汽车由C 到B 应花1-520＝4(分钟) 一个来回省下8分钟，所以有x 一8＝30，x ＝38，即 汽车在途中排除故障花了38分钟．2003年山东数学竞赛试题一、选择题(本题共8小题．每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的．请将正确选项的代号填在题后的括号内．1．如果a ，b ，c 是非零实数，且a+b+c=O ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或-1C ．2或-2D ．0或-22．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )．A ．a+lB ．a 2+lC ．a 2+2 a+1 D ．a+22+l 3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛．比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局．如果丙负3局，那么丙胜( )．A ．O 局B ．1局C ．2局D ．3局4．关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235332只有5个整数解．则a 的取值范围是( )． A ．-6<a<-211 B ．-6≤a<-211 c ．-6<a≤-211 D ．-6≤a ≤-211 5．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=l ，则这个正方形的面积 为( )．A ．2537+B ．253+C ．215+ D ．(1+2 )2 6．某种产品按质量分为l 0个档次．生产最低档次产品，每件获利润8元．每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随 质量增加)，那么k 等于( )．A ．5B ．7C ．9D ．107．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )．A ．50° B．45° C．40° D．35°8．已知四边形ABCD ，从下列条件中：(1)AB∥CD； (2)BC∥AD； (3)AB=CD ； (4)BC=AD ；(5)∠A =∠C；(6)∠B =∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( )．A ．4种B ．9种C ．1 3种D ．1 5种二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案直接填写在对应题目的横线上．9．已知-l<a<0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得 ． 10．如图，已知AD=DB=BC ．如果∠C=α，那么∠ABC=11．甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占 有济南市场同类产品的43．然而实际情况并不理想．甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31 的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31 ．则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为12．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元．则租用该公司客车最少需要租金 ．三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)：13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°CD 是角平分线，DE∥BC 交A C 于点E ，DF∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=2AE·BF．14．设方程20022x 2-2003·2001 x -l=0的较大根是r ，方程2001 x 2-2002 x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值．15．在1 8×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于1 0．2003年山东省‘KLT 快灵通杯’初中数学竞赛一、选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B二、填空题9．一a 2 10．180°一23a 11．2：l 12．3520(1)当a 和b 所在的方格既不同行又不同列时，从 a 所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a 和b 既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a 所在的方格到达b 所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b -a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a 和b 所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．A D CB E MC B B ’ A 1 AD A B C2004年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(8×6=48分)1．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x o ,y o ,则( ) A 、x o ,y o 均为偶数 B 、x o ,y o 均为奇数 C 、x o ,是偶数，x o ,是奇数 D 、x o ,是奇数，x o ,是偶数2.若ab ≠0，则aba b a 135-=--成立的条件是( ) A 、a>0,b>0 B 、a<0,b>0 C 、a>0,b<0 D 、a<0,b<03.设a,b,c,d 都是非零实数，则四个数：-ab,ac,bd,cd ( )A 、都是正数B 、都是负数C 、是两正两负D 、是一正三负或一负三正4.如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE=( )A 、2242ba ab+ B 、224b a ab + C 、2242b a ab+ D 、224b a ab + 5.某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%。
2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)
2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2002年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷(含答案)
一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、计算：20033﹣20013﹣6×20032+24×1001=_________．2、在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，如果∠A=27°，那么∠BDC= _________．3、已知0≤a﹣b≤1，1≤a+b≤4，那么当a﹣2b达到最大值时，8a+2002b的值等于_________．4、如果一个正整数等于它的数字和的4倍，那么我们就把这个正整数叫做四合数．所有四合数的总和等于_________．5、方程x2﹣2|x+4|﹣27=0的所有根的和为_________．6、如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为_________．7、方程的三个根分别是_________．8、在Rt△ABC中，∠A=30°，∠A的平分线的长为1cm，那么△ABC的面积为_________．9、已知：商品利润率=．某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是_________．10、设计一把直尺ABC，BC在地面上，AB与地面垂直，并且AB=10cm，移动一个半径不小于10cm的圆形轮子，使轮子紧靠A点，且与BC相切于D点（如图）．设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）．那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是_________．二、解答题（共3小题，满分0分）11、已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．12、设AB，CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E，F两点，连AE，AF分别与CD交于G，H两点（如图），求证：OG=OH．13、已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．答案与评分标准一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、计算：20033﹣20013﹣6×20032+24×1001=﹣4．考点：因式分解的应用。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2002年全国初中数学竞赛试题及解析
2002年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
希望杯第十三届(2002年)初中二年级第二试试题
2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.若a ≠,(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.2.已知a>b>c,M=a 2b+b 2c+c 2a,N=ab 2+bc 2+ca 2,则M 与N 的大小关系是( ). (A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).(A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5511分 (D)9时32811分 4.有理数a 、b 、c 满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么111a b c++的值是( ).(A)是正数 (B)是零(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或05.已知a b c ===,其中m>0,那么a,b,c 的大小关系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a6.已知△ABC 中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP 是BC 边上的中线,则AP 的长是( ).7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE ⊥AB,if ∠CEM=40°,then the value of ∠DME it( ). (A)150° (B)140° (C)135° (D)130°8.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是两组对边延长线的交点,EG 、FG 分别平分∠BEC 、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF 的大小是( ). (A)140° (B)130° (C)120° (D)110°40︒EMDCBA80︒60︒GFEDCBA9.设a i =1989+i,当i 取1,2,3,…,100时,得到100个分式iia (如i=5,则i i a =55198951994=+),在这100个分式中,最简分式的个数是( ).(A)50 (B)58 (C)63 (D)6510.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种 二、填空题:(每小题6分,共60分)11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万元.12.化简35361015+--+,最后得_________.13.设x,y 都是有理数,且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么x-y 的值是________.14. 1516与3313的大小关系是1516________3313. (填“>”,“<”或“=”)15.If N is natural number,and 6(32)1N N <+<+,then the value of N is______.( natural number 自然数)16.如果1111a b a b+-=-+,那么(2+a)(2+b)+b 2=__________. 17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数,则代数式:1()21()3a b c d e f g h a b c d e f g h +++-++++++-+++=_____.18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO 后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元.19.在△ABC 中,∠A=40°,H 是△ABC 的垂心,且H 不与B 、C 重合,则∠BHC 的大小等于_______. 20.如图,正九边形ABCDEFGHI 中,AE=1,那么AB+AC 的长是_______.三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.PQ FED C BA22.已知在等式ax bscx d+=+中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答:(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注020022+=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即010012+与100120022+,称为第三次操作;照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,,选(A).2.M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)∵ a>b>c ∴ b-c>0,c-a<0,a-b>0∵a2(b-c)≥0,b2(c-a)≤0,c2(a-b) ≥0∴a2(b-c)+c2(a-b)> b2(c-a)∴ M-N>0.选(B).3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,360112602=⨯(度/分钟)分针转动速度是36060=6(度/分钟)再成直角所用时间为18180(6)32211÷-=(分钟)所以下一次时针与分针成直角时间是83211分,选(D).4.由abc<0知a、b、c均不为0.∴(ab+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0ab+bc+ca=-12(a2+b2+c+2)<0∴111bc ac aba b c abc++++=>，选(A)5.∵1ab=<，∴a>b;1bc=<, ∴c>b1ac=>,∴a>c ∴ a>c>b.选(C).6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b.∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°∴∠ABE=120°;作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°∴∠BEF=300∴BF=12BE=12b.在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF2=b2+22324b b⎛⎫=⎪⎝⎭.PFECBA在Rt △AEF 中,根据勾股定理=.∴ PA=12AE=12选(B)7.如图,连接CM,作MN ⊥EC 于N.∵ AB ⊥CE ∴MN ∥AB,且MN ∥CD,从N 为梯形AECD 的中位数. 由MN ⊥CE,MN 是EC 边中线,∴△EMC 为等腰△,∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2×40°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=12AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ ∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠F∵ ∠4=110°+12∠E+12∠F,0011260,38022E F ∠=-∠∠=-∠, ∴∠C=3600-(∠4+∠2+∠3)=3600-1100-12∠E-12∠F-600+12∠E-800+12∠F=360°-110°-60°-80°=110°选(D).9.当i=3n(n ≤33);i=13n(n ≤7);i=17n(n ≤5)这些数时;iia 不是质数, 这样的数共有: 33+7+5=45(个)其中i=13×3=39,i=13×6=78与i=17×3=51时,与i=3n 中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个.所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B).10.∵ x 3=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 1×1×2002 1×2×1001 1×7×286 1×11×182 1×13×154 1×14×143 1×22×91 1×26×77 2×7×143 7×11×26 11×2×91 13×2×77 14×11×13 22×7×13 选(C). 二、11.设每年至少应吸收存款x 万元,4.05 2.251017100100x x =++ x=1500万元 应填1500.432180︒60︒GFEDCBA12.原式=.13.1142332x x y yπππ+++=+,3223246x x y yπππ+++=+(32)(23)246x y x yππ+++=+∴3224236x yx y+=⎧⎨+=⎩,得126xy y=⎧⎨==-⎩∴x-y=18.14.1516-3313=316·516-313·1113=313(35·56-1113)=313(33·53·513-1113)=313(153·53-1113)显然,153·513-1113<0, ∴1516-3313<0, 填<.15.6233](5===53+3×52×+3×3×)2)3.取2.449时,原式=969.9,N=969.16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b)∴ a+b=0原式=4+2a+2b+ab+b2=4+2（a+b）+ab+b2=4+ab+b2=4+b(a+b)=4.应填417. 因为,33d b c a c fa b++++==,,33b d g ac hc d++++==, ∴2()()3a b c d e f g ha b c+++++++++=,设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,∴a+b+c+d=23m n+,∴m=23m n+,∴m=n,即a+b+c+d=e+f+g+h∴11()2211()33a b c d e f g h m na b c d e f g h m n+++-+++-=+++-+++-=2323323234m n m mm n m m--⨯=⨯=--.18.根据题意,得 80652540140139.5100100100⎛⎫⎛⎫+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应填39.519.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图:(1)αHCBAγβ(2)HCBA如图1.由∠A=40°,得∠ABH=50° ∴∠α=40°,∠BHC=180°-α=140°如图2.由∠A=40°,得∠β=50° ∴∠r=∠β=50 ∴ ∠BHC=90°-∠r=90°-50°=40° 应填140°或40°.20.正九边形内角和为(9-2)×1800=12600,每个内角为1400, ∠CAB=(1800-1400)÷2=20连接AH,作HM,GN 分别垂直AE 于M,N.∴ ∠HAM=140°-2 ×20°-40°=60°,∴∠AHM=30° 设AM=EN=x,MN=y四边形HGNM 是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y, 在Rt △AHM 中,∠AHM=∠30°∴ AH=2AM=2x ∴ AB+AC=y+2x而x+y+x=1 ∴ 2x+y=1 ∴ AB+AC=1, 应填1.三、解答题(按参考答案,酌情给分) 21.证明(1)连接PD 、PE 、QD 、QE. 因为 CE ⊥AB,P 是BF 的中点, 所以 △BEF 是直角三角形,且 PE 是Rt △BEF 斜边的中线, 所以 PE=12BF. 又因为 AD ⊥BC,所以 △BDF 是直角三角形,且PD 是Rt △BDF 斜边的中线, 所以 PD=12BF=PE, 所以 点P 在线段DE 的垂直平分线上.同理可证,QD 、QE 分别是Rt △ADC 和Rt △AEC 斜边上的中线,所以 QD=12AC=QE,PQFEDCBA所以 点Q 也在线段DE 的垂直平分线上. 所以 直线PQ 垂直平分线段DE.(2)当△ABC 为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立. 如右图,△ABC 是钝角三角形,∠BAC>90°.原题改写为:如右图,在钝角△ABC 中,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高,DA 与CE 的延长线交于点F,BF 的中点为P,AC 的中点为Q,连接PQ 、DE. 求证:直线PQ 垂直且平分线段DE.证明 连接PD,PE,QD,QE,则PD 、PE 分别是Rt △BDF 和Rt △BEF 的中线, 所以 PD=12BF, PE=12BF, 所以 PD=PE,点P 在线段DE 的垂直平分线上. 同理可证 QD=QE,所以 点Q 在线段DE 的垂直平分线上. 所以 直线PQ 垂直平分线段DE.22.(1)当a=c=0,d ≠0时, s=bd 是有理数. 当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++, 其中:a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.要使s 为有理数,只有adb c-=0,即 bc=ad.综上知,当a=c=0且d ≠0或c ≠0且ac=bd 时,s 是有理数. (2)当c=0,d ≠0,且a ≠0时,s 是无理数.当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++ 其中: a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.所以 当adb c-≠0,即bc ≠ad,s 为无理数.综上知,当c=0,a ≠0,d ≠0或c ≠0,ac ≠bd 时,s 是无理数. 23.设第n 次操作后,线段AB 上所标注的数字和是a n ,那么第n+1次操作后,使得除A 、B 两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A 、B 两点的数字, 则再加上它们的一半,即 102002(2002)21001(1)22n n n n a a a a n +=+-++=-≥ 又因为 a 1=2002+0=2002所以 a 2=2a 1-1001=3003所以 a 11=2a 10-1001=2(2a 9-1001)-1001=22·a 9-(2+1)·1001=…=210·a 1-(29+28+27+…+2+1)·1001 =1024.2002-(1024-1).1001=1026025.答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025.。
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2003年全国初中数学联赛预赛暨
2002年山东省初中数学竞赛试题
一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分)
1.磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具.它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( )
(Ａ)37 (Ｂ)73 (Ｃ)1021 (Ｄ)2110
2.已知ａ,ｂ,ｃ,ｄ都是正实数,且ａｂ <ｃｄ.给出下列四个不等式: ①ａａ+ｂ >ｃｃ+ｄ
②ａａ+ｂ <ｃｃ+ｄ ③ｂａ+ｂ >ｄｃ+ｄ ④ｂａ+ｂ<ｄｃ+ｄ
其中正确
的是( )
(Ａ)①③ (Ｂ)①④ (Ｃ)②④ (Ｄ)②③
3.如图,在等腰直角三角形ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,∠ＣＢＤ=30°,
则ＡＤＤＣ
的值是( ) (Ａ)
3 3 (Ｂ) 2 2
(Ｃ) 2 －1 (Ｄ) 3 －1 4.世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.一个队要保证出线,这个队至少要积( )
(Ａ)5分 (Ｂ)6分 (Ｃ)7分 (Ｄ)8分 5.如图,四边形ＡＢＣＤ中,∠Ａ=60°,∠Ｂ=∠Ｄ=90°,ＡＤ=8,ＡＢ=7,则ＢＣ+ＣＤ等于( )
(Ａ)6 3 (Ｂ)5 3 (Ｃ)4 3 (Ｄ)3 3
6.如图,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＡＤ=3,ＢＣ=9,ＡＢ=6,ＣＤ=4.若ＥＦ∥ＢＣ,且梯形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ的周长相等,则ＥＦ的长为( )
(Ａ)45 7 (Ｂ) 33 5 (Ｃ) 39 5 (Ｄ) 152
7.如图,在ＲｔＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=90°,ＡＣ=ｂ,Ａ
Ｂ=ｃ,若Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ和ＡＢ延长线上的两点,ＢＤ=
ＢＣ,ＣＥ⊥ＣＤ,则以ＡＤ和ＡＥ的长为根的一元二次方
程是( )
(Ａ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ2=0 (Ｂ)ｘ2－ｃｘ+ｂ2=0
(Ｃ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ=0(Ｄ)ｘ2－ｃｘ+ｂ=0
8.已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ<ｂ<ｃ,ａｂ+ｂｃ+ｃａ=0,ａｂｃ=1,则()
(Ａ)｜ａ+ｂ｜>｜ｃ｜(Ｂ)｜ａ+ｂ｜<｜ｃ｜
(Ｃ)｜ａ+ｂ｜=｜ｃ｜(Ｄ)｜ａ+ｂ｜与｜ｃ｜的大小关系不能确定
二、填空题(本题共4小题,每小题8分,满分32分)
9.Ｍ是个位数字不为零的两位数,将Ｍ的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数Ｎ,若Ｍ－Ｎ恰是某正整数的立方,则这样的Ｍ共有＿＿＿＿个.
10.设ｘ1、ｘ2是方程ｘ2-2 (ｋ+1)ｘ+ｋ2+2=0的两个实数根,且(ｘ1+1) (ｘ2+1)=8, 则ｋ的值是＿＿＿＿.
11.已知实数ｘ、ｙ、ｚ满足ｘ+ｙ=5及ｚ2=ｘｙ+ｙ－9,
则ｘ+2ｙ+3ｚ=＿＿＿＿.
12.如图,Ｐ是矩形ＡＢＣＤ内一点,若ＰＡ=3,ＰＢ=4,
ＰＣ=5,则ＰＤ=＿＿＿＿.
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
13.如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求:
(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?
14.如图, △ＡＢＣ是等腰直角三角形,∠Ｃ=90°,Ｏ是△ＡＢＣ内一点,点Ｏ到△ＡＢＣ各边的距离都等于1,将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转45°得△Ａ1Ｂ1Ｃ1,两三角形公共部分为多边形ＫＬＭＮＰＱ.
(1)证明: △ＡＫＬ、△ＢＭＮ、△ＣＰＱ都是等腰直角三角形;
(2)求△ＡＢＣ与△Ａ1Ｂ1Ｃ1公共部分的面积.
15.某乡镇小学到县城参观, 规定汽车从县城出发于上午7时到达学校, 接参观的师生立即出发去县城. 由于汽车在赴校的途中发生了故障, 不得不停车修理. 学校师生等到7时10分, 仍未见汽车来接,就步行走向县城. 在行进途中遇到了已经修理好的汽车, 立即上车赶赴县城, 结果比原定到达县城的时间晚了半小时. 如果汽车的速度是步行速度的6倍, 问汽车在途中排除故障花了多少时间.
参考解答
一、选择题
1 Ｃ
2 Ｄ
3 Ｄ
4 Ｂ
5 Ｂ
6 Ｃ
7 Ａ
8 Ａ
二、填空题
9 6 10 1 11 8 12 3 2
三、解答题
13 (1)设冬天太阳最低时,甲楼最高处Ａ点的影子落在乙楼的Ｃ处, 那么图(1)中ＣＤ的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度.
设ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ,那么在 △ＡＥ
Ｃ中,∠ＡＥＣ=90°,∠ＡＣＥ=30°,ＥＣ
=20米.
∴ＡＥ=ＥＣ·ｔａｎ∠ＡＣＥ
=20·ｔａｎ30°=20×
3 3
≈11.6(米). ＣＤ=ＥＢ=ＡＢ－ＡＥ=16－
11.6=4.4(米). (2)设点Ａ的影子落到地面上一点Ｃ(如图(2)),则在 △ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=30°,ＡＢ=16米,∴ＢＣ=ＡＢ·ｃｏｔ∠ＡＣＢ=16×ｃｏｔ30°=16×3≈27.7(米).
所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米.
14 (1)连结ＯＣ,ＯＣ1,分别交ＰＱ、ＮＰ于点Ｄ,Ｅ,根据题意得∠ＣＯＣ1=45°.
∵点Ｏ到ＡＣ和ＢＣ的距离都等于1,
∴ＯＣ是∠ＡＣＢ的平分线.
∵∠ＡＣＢ=90°,
∴∠ＯＣＥ=∠ＯＣＱ=45°.
同理∠ＯＣ1Ｄ=∠ＯＣ1Ｎ=45°,
∴∠ＯＥＣ=∠ＯＤＣ1=90°.
∴∠ＣＱＰ=∠ＣＰＱ=∠Ｃ1ＰＮ=∠Ｃ1ＮＰ=45°.
∴△ ＣＰＱ和 △Ｃ1ＮＰ都是等腰直角三角形.
∴∠ＢＮＭ=∠Ｃ1ＮＰ=45°,∠Ａ1ＱＫ=∠ＣＱＰ=45°.
∵∠Ｂ=45°,∠Ａ1=45°,
∴△ＢＭＮ和△Ａ1ＫＱ都是等腰直角三角形.
∴∠Ｂ1ＭＬ=∠ＢＭＮ=90°,∠ＡＫＬ=∠Ａ1ＫＱ=90°.
∴∠Ｂ1=45°,∠Ａ=45°,
∴△Ｂ1ＭＬ和△ＡＫＬ也都是等腰直角三角形.
(2)在Ｒｔ△ＯＤＣ1和Ｒｔ△ＯＥＣ中,
∵ＯＤ=ＯＥ=1,∠ＣＯＣ1=45°,
∴ＯＣ=ＯＣ1= 2 .
∴ＣＤ=Ｃ1Ｅ= 2 －1.
∴ＰＱ=ＮＰ=2( 2 －1)=2 2 －2,ＣＱ=ＣＰ=Ｃ1Ｐ=
Ｃ1Ｎ=2－ 2 .
∴Ｓ
△ＣＰＱ=
1
2
×(2－ 2 )2=3－2 2 .
延长ＣＯ交ＡＢ于Ｈ.
∵ＣＯ平分∠ＡＣＢ,且ＡＣ=ＢＣ,
∴ＣＨ⊥ＡＢ.
∴ＣＨ=ＣＯ+ＯＨ= 2 +1.
∴ＡＣ=ＢＣ=Ａ1Ｃ1=Ｂ1Ｃ1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 .
∴Ｓ
△ＡＢＣ=
1
2
×(2+ 2 )2=3+2 2 .
∵Ａ1Ｑ=ＢＮ=(2+ 2 )－(2 2 －2)－(2－ 2 )=2,
∴ＫＱ=ＭＮ= 2
2
= 2 ,
∴Ｓ
△ＢＭＮ=
1
2
×( 2 )2=1.
∵ＡＫ=(2+ 2 )－(2－ 2 )－ 2 = 2 ,
∴Ｓ
△ＡＫＬ=
1
2
×( 2 )2=1.
∴Ｓ
多四边形ＫＬＭＮＰＱ=Ｓ
△ＡＢＣ
－Ｓ
△ＣＰＱ
－Ｓ
△ＢＭＮ
－Ｓ
△ＡＫＬ
= (3+2 2 )－(3－2 2 )－1－1
= 4 2 －2.
15 假定排除故障花时ｘ分钟.如图,设点Ａ为县城所在地,点Ｃ为学校所在地,点Ｂ为师生途中与汽车相遇之处.
在师生们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出
发造成的,还有20分钟是由于从Ｃ到Ｂ由步行代替乘车
而耽误的.
汽车所晚的30分钟,一方面是由于排除故耽误了ｘ分钟,但另一方面由于少跑了Ｂ到Ｃ之间的一个来回而省下了一些时间.已知汽车速度是步行速度的6倍,而步行比汽车从Ｃ到Ｂ这段距离要多花20分钟.
由此知汽车由Ｃ到Ｂ应花
20
6－1
=4(分钟).一个来回省下8分钟,所以有ｘ－8=30,ｘ=38,
即汽车在途中排除故障花了38分钟.。