迭代法正弦信号频率估计

频率估计的相位加权平均算法及其迭代方法

在信号处理领域，估计复高斯白噪声环境中的单频复正弦信号的频率是一个十分重要的问题，其应用十分广泛。如在系统频率同步时，利用导频进行频偏估计等。

根据最大似然（ML ）准则，解决该问题的最优方法是搜索周期图的谱峰位置，但是，即使采用FFT 快速算法，这种最大似然估计方法仍然具有非常大的运算量。因此，在文献[12]-[16]中提出了一些运算量相对较低的简化算法。要评价这些简化算法的估计性能，信噪比门限是一个重要的指标。某一算法的信噪比门限指的是该算法估计结果的均方误差开始离开CRB （Cramer-Rao bound ）时的信噪比值。

文献[12]-[16]提出的方法中，WPA 方法[12]具有最低的运算量，但是其存在信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增大而升高的问题。为了克服这个问题，文献[16]提出了WNLP 方法，该方法可使得信噪比门限在整个[,)ππ-的估计范围内保持不变，但WNLP 方法的信噪比门限较高，当所估计的复正弦信号频率较低时，WNLP 方法的信噪比门限将高于WPA 方法。因此，本文提出了一种基于WPA 方法的迭代方法。该迭代方法不仅能在整个[,)ππ-的估计范围内保持其信噪比门限不变，而且其信噪比门限远低于WNLP 方法的信噪比门限。

.1 相位加权平均法

叠加复高斯白噪声的复正弦信号为:

()()0j n n s n Ae z ωθ+=+

式中,0,1,2,,1n N =- 。

采样时刻序列表示采样周期的整数倍。主要关心的参量是频率0ω。n z 表示测量噪声。

记加权系数为：

22312212n N n N p N N ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

。

频率的估计为:

11n n n n n x x x x ++=∠-∠=∠ ，

2

010N n n n t p x x ϖ-+==∠∑ 。

式中2

01N n t p -==∑；0ϖ是无偏估计。其中n 为相邻2点的相位差。Kay 提出的频率估

计算法在高信噪比下达到CR 门限。

在较高信噪比SNR > 6dB 时,估计误差可以达到CRB. Kay 方法理论上可以计算的频率范围为(),ππ-,其主要缺点是低信噪比情况下性能较差, 其门限信噪比还会随着待估频率的增大而增大. Kim 等人在Kay 方法的基础上, 针对Kay 方法的高信噪比门限问题,提出了前置矩形滤波器的思路，通过这一预处理, 极大地改善了信噪比门限这一问题,且只增加了少量的计算量, 然而Kim 方法的不足在于其频率估计范围极大地减小. 当前置滤波器为长度为M 的矩形滤波器时, 频率估计器可以获得()1010log M 的增益,但是其频率估计范围仅为(),M M ππ-,这种方法是以减小频率估计范围为代价来达到使频率估计方法适应于低信噪比情况。

另一方面,从最大谱峰搜索这一思路出发FITZ 首先推导出一种快速测频方法,如下式，

()()() (){}

016arg 121J N

m m N n R m J J ω=≈-++∑

其中是接收序列的自相关,J 是与频率估计范围相关的参数。方法的特点是具有低的信噪比门限,解决了Kay 方法信噪比门限高的主要缺点, 但是, 同Kim 方法一样,却增加了计算量和降低了频率估计的范围 ,随后,Luise 和Reggiannin 在此思路下,推导出了一个新方法。

()011arg 1J N m R m J ω=⎧⎫≈⎨⎬+⎩⎭

∑

L&R 方法具有与Fitz 方法相同的特点,但是其只需要取一次复数相角.文献

[9]提出的FCFB(Four Channel Filter Bank) 的方法,利用四通道滤波器组作为前置滤波器, 改善信噪比门限性能,同时利用多通道特性来实现与Kay 方法一样 的频率估计范围, 但是这种方法在某些频点上估计精度下降较大. 文献[10]提出一种迭代的频率估计方法,这种方法既能保证测频范围又能实现在低信噪比下工作,但是这种方法的运算量较大. 本文提出一种基于迭代算法来测频,也能保证估计误差的均方差接近CRB , 达到性能的最优化;同时又能大大降低运算量。 .2 迭代方法

2.1 信号模型

考虑接收到的复高斯白噪声环境下的单频复正弦信号具有如下形式：

0(),0,1,2,,1j t t t x Ae n t L ωθ+=+=-

其中复正弦信号幅度A 、频率0ω、相位θ为在整个估计过程中保持不变的未知常数；L 为采样点数；t n 为零均值的加性复高斯白噪声，其实部和虚部为互不相关的零均值、方差为22n σ的高斯随机变量，因此，接收到的信号信噪比为2

2n A σ

。我