上海市2011-2012学年度嘉定区高三第三次模拟数文

2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）(2012年5月14日)考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设集合},1{R x x x A ∈<=，},4{2R x x x B ∈<=，则=B A ___________． 2．设a 、R b ∈，i 为虚数单位，若i b i i a +=+)(，则复数bi a z +=的模为______． 3．函数x x y 2sin cos 2-=的最小正周期为_____________． 4．函数1)(-=x x f （1≥x ）的反函数=-)(1x f_____________．5．系数矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2312，解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y x 的一个线性方程组是_______________． 6．已知向量)1,1(-=k a，)2,(-=k b ，若b a ⊥，则实数k 的值为_____________．7．若一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_____________．8．若a ，b ，c 成等比数列，则函数c bx axx f ++=2)(的图像与x 轴交点的个数为_______．9．设⎩⎨⎧<+-≥--=.0,42,0,12)(2x x x x x x f 则不等式2)(>x f 的解集为______________________．10．执行如下图所示的程序框图，那么输出的S 值为_____________．11．已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆恒与直线1-=x 相切，则此动圆必过定点________________．12．从5名男生和2名女生中选出3人参加交通安全志愿者活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是____________．13．实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果目标函数y x z -=的最小值为1-，则实数m 的值为_________________．14．已知函数11)(+=x x f ，点n A 为函数)(x f 图像上横坐标为n （*N n ∈）的点，O 为坐标原点，向量)0,1(=e．记n θ为向量n OA 与e 的夹角，则=+++∞→)t a n t a n (t a n lim 21n n θθθ ___________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．15．“1tan =α”是“)(42Z k k ∈+=ππα”的…………………………………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件16．下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ ）A ．若bc ac >，则b a >B ．若22b a >，则b a >C ．若b a >，则b a > D ．若ba 11<，则b a >17．如图，四棱锥ABCD P -的底面是︒=∠60BAD 的菱形，且PC PA =，BD PB =，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC 平行）可能是…………………（ ）A ．B ．C ．D ．18．若对于任意实数m ，关于x 的方程0)12(log 22=-++m x ax 恒有解，则实数a 的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,0(C ．]1,0[D ．)1,0(C ABDP三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41=AA ．（1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；（2）设E 为棱1BB 的中点，求异面直线E A 1与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解：（1） （2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+yx的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A 、B 两点，其中A 在第一象限．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ．设直线AB 的斜率为k ．（1）若直线AB 平分线段MN ，求k 的值；（2）当2=k 时，求点A 到直线BC 的距离． 解：（1）E CBAA 1B 1C 1（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，角θ的始边OA 落在x 轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A 、C（20πθ<<），△AOB 为等边三角形．（1）若点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54，求BOC ∠cos 的值； （2）设2||)(BC f =θ，求函数)(θf 的解析式和值域． 解：（1） （2）小题满分6分．设向量)2,(x a =，)12,(-+=x n x b（*N n ∈），函数b a y⋅=在]1,0[∈x 上的最小值与最大值的和为n a ，又数列}{n b 满足11=b ，121109-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b ．（1）求证：1+=n a n ；（2）求数列}{n b 的通项公式；（3）设n n n b a c ⋅-=，试问数列}{n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有k n c c ≤成立？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1） （2） （3）小题满分7分．已知函数b xax x f ++=)(（0≠x ），其中a 、b 为实常数． （1）若方程13)(+=x x f 有且仅有一个实数解2=x ，求a 、b 的值；（2）设0>a ，),0(∞+∈x ，写出)(x f 的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，求实数b 的取值范围．解：（1）（2）（3）2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．}12{<<-x x ；2．2；3．π；4．12+x （0≥x ）；5．⎩⎨⎧=+=+.723,42y x y x ；6．1-或2；7．29π；8．0；9．),3()0,(∞+-∞ ；10．2550；11．)0,1(；12．75；13．5；14．1．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．B ；16．C ；17．B ；18．C ．三．解答题19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分） （1）32432=⋅=∆ABC S ，……（1分） 2446=⨯=侧S ． ……（3分）所以侧S S S ABC +=∆22432+=． ……（5分） （2）取1CC 中点F ，连结EF 、F A 1．因为EF ∥BC ，所以EF A 1∠就是异面直线E A 1与BC 所成角（或其补角）．……（7分）在△EF A 1中，2=EF ，2211==F A E A ，42cos 1=∠EF A ．…………（11分）所以异面直线E A 1与BC 所成角的大小为42arccos．…………（12分）20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分） （1）由题设知，2=a ，2=b ，故)0,2(-M ，)2,0(-N ，所以线段MN 中点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22,1．………………（3分） 由于直线AB 平分线段MN ，故直线AB 过线段MN 的中点，又直线AB 过坐标原点，所以22122=--=k ．…………（6分）FE CB AA 1B 1C 1（2）当2=k 时，直线AB 的方程为x y 2=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,124,222yx x y 解得32±=x ，…（8分） 从而A 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛34,32，B 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,32，……（10分） 于是C 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,32．…（11分）所以直线BC 的方程为032=--y x ．…（12分）所以点A 到直线BC 的距离为3222343432=--=d ．…………（14分）21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分） （1）由题意，3πθ+=∠BOC ，因为点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54， 所以53sin =θ，54cos =θ，…………（3分） 所以10334235321543cos cos -=⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=∠πθBOC ．…………（6分） （2）解法一：在△BOC 中，由余弦定理，BOC OC OB OC OB BC ∠-+=cos ||||2||||||222，……（7分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf ．…………（10分） 因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,33πππθ，……（11分） 所以)32,1()(+∈θf ．…………（13分）因此，函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分） 解法二：由题意，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B ，)sin ,(cos θθC ，……（7分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=6s22)c s 3(223s21co||222πθθθθθBC ……………………………………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛-∈-3,66πππθ，…（11分）所以)32,1()(+∈θf ．（13分）所以，函数⎪⎭⎫⎝⎛++=6sin 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分） （1）由已知，2)4()12(2)(2-++=-++=x n x x n x x y ……（2分） 而函数y 在]1,0[∈x 上是增函数，……（3分） 所以12412+=-+++-=n n a n ．……（4分） （2）因为121109-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b ，所以2121109--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b （2≥n ），………………（6分）两式相减，得2109101-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=n n b （)2≥n ．…………（8分）所以，数列}{n b 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.109101,1,12n n n b …………（10分）（3）因为02111<-=-=b a c ，01091012>⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=-n n n c （2≥n ），……（12分） 由题意，k c 为}{n c 的最大项，则2≥k ， 要使k c 为最大值，则⎩⎨⎧≥≥+-,,11k kk k c c c c ……（13分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+----123210910210910110910109101k k k k k k kk ……（14分）解得9=k 或8=k ． …………（15分）所以存在8=k 或9，使得k n c c ≤对所有*N n ∈成立．…………（16分）23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分） （1）由已知，方程13+=++x b xa x 有且仅有一个解2=x ，因为0≠x ，故原方程可化为0)1(22=--+a x b x ，…………（1分）所以⎩⎨⎧=+-=--08)1(02102a b b a ，…………（3分）解得8-=a ，9=b ．……（5分）（2）当0>a ，0>x 时，)(x f 在区间),0(a 上是减函数，在),(∞+a 上是增函数．…………（7分）（每个区间1分）证明：设),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，112212)()(x a x x a x x f x f --+=-212112)(x x a x x x x -⋅-=，因为),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，所以012>-x x ，a x x >21，即a x x >21， 所以0)()(12>-x f x f ．………………（10分） 所以)(x f 在),(∞+a 上是增函数．…………（11分）（3）因为10)(≤x f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 时有10)(max ≤x f ，……（12分）由（2），知)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛41f 与)1(f 中的较大者．……（13分） 所以，对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛10)1(1041f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a b a b 94439对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a 成立．…………（15分） 从而得到47≤b ． …………（17分）所以满足条件的b 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛∞-47,． …………（18分）。