圆锥曲线三种弦长问题的探究
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
二.双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三.抛物线：
(1)核心弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的核心弦,则
同理 的核心弦长为
的核心弦长为 ,所以抛物线的核心弦长为
由以上三种情形可知应用直线竖直角求过核心的弦长,异常简略明白,应予以控制.
圆锥曲线的弦长公式
一.椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ,由余弦定理可得 , ,
整顿可得,
是以核心在x轴的核心弦长为
同理可得核心在y轴上的核心弦长公式
个中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距, 为AB的竖直角.
三. 抛物线的核心弦长
若抛物线 与过核心 的直线 订交于两点 ,若 的竖直角为 ,求弦长|AB|.（图4）
解：过A.B两点分离向x轴作垂线AA1.BB1,A1.B1为垂足, ,则点A的横坐标为 ,点B横坐标为 ,由抛物线定
设双曲线 个中两核心坐标为 ,过F1的直线 的竖直角为 ,交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时,（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A.B在统一支上,连 ,设 ,由双曲线界说可得 ,由余弦定理可得
整顿可得 , ,则可求得弦长
（2） ,如图3,
直线 与双曲线交点 在两支上,连F2A,F2B,设
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin² ）{ 为弦AB的竖直角}
圆锥曲线设m系直线的弦长公式
圆锥曲线设m系直线的弦长公式圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，其特点是在平面中呈现出不同于直线、抛物线、椭圆和双曲线的形态。
在学习圆锥曲线的过程中，我们经常要涉及到直线的概念，并且在解题中常常涉及到求取直线的一些基本性质。
其中一个比较重要的性质就是圆锥曲线上的任何两点都可以用一条过中心的直线来连接。
而这条连接两点的中心直线的长度则称为该圆锥曲线的弦长。
圆锥曲线的弦长公式是指，在圆锥曲线上任选两点，连接它们的中心直线的长度与这两点之间的距离存在某种固定的关系。
对于椭圆和双曲线而言，这个关系式比较简单，可以直接通过勾股定理得到：对于椭圆：中心直线的长度为a^2-b^2+c^2，其中a和b为椭圆的长短半轴，c为椭圆中心到焦点的距离；两点之间的距离为2a*sin （Θ/2），其中Θ为两点所在的圆心角。
对于双曲线：中心直线的长度为a^2+b^2+c^2，其中a和b为双曲线的长短半轴，c为双曲线中心到焦点的距离；两点之间的距离为2a*sinh（Θ/2），其中Θ为两点所在的圆心角的双曲正弦函数。
而对于圆锥曲线的第三种形态——抛物线来说，其弦长公式相对而言就较为复杂。
这是因为在抛物线上，任意两点之间的距离都相等，且其中心直线的长度与这个距离有关。
因此，在求解抛物线的弦长时，我们需要加入一些额外的推导工作，其中的关键就是确定一条通过两点的切线，并计算出其在抛物线上的交点。
通过这个交点，我们就能够得到弦长的具体数值。
总的来说，圆锥曲线的弦长公式是一个非常重要的数学工具，在解题过程中起着关键的作用。
不论是在研究圆锥曲线的一般性质，还是在具体的应用中，对这个公式的掌握都会事半功倍。
因此，在学习圆锥曲线的过程中，我们必须认真研究弦长公式，掌握其推导方法和具体应用技巧，才能在数学研究或实际问题求解中更加得心应手。
浅谈圆锥曲线弦长及应用
中等职业教育2008年第8期一、直线与圆锥曲线相交弦长公式的推导已知直线y=kx+m 与椭圆x 2a 2+y b2=1相交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)。
d A ,B =(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2!=(1+k 2)(x 2-x 1)2!=1+k 2!x 2-x 1,当k=0时,d A ,B =x 2-x 1。
k 不存在时,d A ,B =y 2-y 1。
k ≠0且存在时,由y=kx+m ,x 2a 2+y 2b2=1#(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2kmx+a 2m 2-a 2b 2=0;x 2-x 1=Δ!b 2+a 2k 2=2ab b 2+a 2k 2-m 2!b 2+a 2k 2(b 2+a 2k 2-m 2>0)。
则d A ,B =2ab (1+k 2)(b 2+a 2k 2-m 2)!b 2+a 2k2(b 2+a 2k 2-m 2>0,焦点在x 轴上),不难推出d A ,B =2ab (1+k 2)(a 2+b 2k 2-m 2)!a 2+b 2k2(a 2+b 2k 2-m 2>0,焦点在y 轴上)。
同理可推出直线y=kx+m 与其他圆锥曲线相交弦长公式，现归纳如下表所示：注1:y 2=±2px 与d A ,B =2p (1+k 2)(p μkm )!k2对应,x 2=±2py 与d A ,B =2p (1+k 2)(pk 2±2m )!对应。
注2.当b 2+a 2k 2-m 2=0，a 2+b 2k 2-m 2=0，b 2-a 2k 2+m 2=0，a 2-b 2k 2+m 2=0。
p μkm=0，pk 2±2m=0时直线与曲线相切。
二、圆锥曲线弦长公式坐标变换求解已知直线y=kx+m 与椭圆（x-h ）2a 2+（y-t ）2b 2=1交于点A ，B ，令由x ′=x-h ,y ′=y-$t #x=x ′+h ,y=y ′+t $,由y=kx+m ,(x-h )2a2+(y-t )2b2=$1#y ′=kx ′+M (M=kh+m-1)x 2a 2+y 2b 2=$1则d A ,B =2ab (1+k 2)(b 2+a 2k 2-m 2)!b 2+a 2k 2,可方便求解。
圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】新高考用(原卷版)—25年新高考数学一轮复习
圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】【题型1 椭圆的弦长问题】 (2)【题型2 双曲线的弦长问题】 (3)【题型3 抛物线的弦长问题】 (4)【题型4 长度及其最值（范围）问题】 (5)【题型5 长度之和问题】 (6)【题型6 长度之差问题】 (7)【题型7 长度之商问题】 (8)【题型8 长度之积问题】 (9)1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，复习时要加强此类问题的训练.【知识点1 圆锥曲线中的弦长问题】1．椭圆的弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，2．双曲线的弦长问题(1)弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.(4)双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y3．抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|AB(k为直线的斜率，k≠0).4．弦长公式的两种形式(1)若A,B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去y，得到一元二次方程(2)若A,B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x，得到一元二次方程【题型1 椭圆的弦长问题】【例1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B C D．1【变式1-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆C:x24+y2=1，过原点O且倾斜角为π4的直线交椭圆于A,B两点，则|AB|=（）A B C D【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若倾斜角为π4的直线l 与C 相交于两个不同的点A,B ，求|AB |的最大值．【变式1-3】（2024·河北衡水·一模）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过.F 1,F 2分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ､B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求|AB |的范围.【题型2 双曲线的弦长问题】【例2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C:y 2―x 23=1的两个焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线C的同一支交于A ，B 两点，且|BF 1|=2|AF 1|，则线段AB 的长度为（ ）A ．94B ．9C ．274D ．6【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）过双曲线x 2―y 2=2的左焦点作直线l ，与双曲线交于A,B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【变式2-2】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0，b >0)的实轴长为在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点P 且斜率为C 的另一个交点为Q ，求|PQ |.【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(b >a >1)的左、右焦点分别为F 1、F 2，两条渐近线的夹角为60∘，y 0是双曲线上一点，且△MF 1F 2的面积为(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求|PQ |的最小值.【题型3 抛物线的弦长问题】【例3】（2024·河南开封·一模）已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=8x 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=（ ）A ．5B ．9C ．10D ．18【变式3-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴交于点M ，直线l 过其焦点F 且与C 交于A ， B 两点，若直线AM |AB|=（ ）A B C ．4D ．5【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知点P(a,b)(a>0,b>0)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，记O为坐标原点，|OP|=3，以P为圆心，|OP|为半径的圆与抛物线C的准线相切．2(1)求抛物线C的方程；(2)记抛物线C的焦点为F，过点F作直线l与直线PF垂直，交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．【变式3-3】（2024·广西·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)若P为直线l:x=―2上的一动点，过P作抛物线C的切线PA,PB,A,B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB 的垂线交l于点N，当|MN|最小时.求|AB|.【题型4 长度及其最值（范围）问题】【例4】（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）设双曲线E1x2―y23=1的左右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=（）A．74B．52C．83D．114【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若△AOF+1，则|AF|=（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高三下·河南周口·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，一动圆过点F(1,0)且与直线x=―1相切，设该动圆的圆心C的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)设P为Γ在第一象限内的一个动点，过P作曲线Γ的切线l1，直线l2过点P且与l1垂直，l2与Γ的另外一个交点为Q，求|PQ|的最小值．【变式4-3】（2024·河北张家口·三模）已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1(―c,0)的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，|PQ|=3c．(1)求椭圆C的离心率；(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且△PAB面积的最大值为PA与直线QB相交于点M，求|OM|的取值范围．【题型5 长度之和问题】【例5】（2024·河北承德·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是12，过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求|AB|+|MN|的取值范围.【变式5-1】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点P(1,2)，Q(0,1)，且|PF|=|QF|.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若正方形ABCD的顶点A、B在直线l:x―y+2=0上，顶点C、D在抛物线C上，求|FC|+|FD|.【变式5-2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线P:y2=2px(0<p<5)上一点Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5，过点F做两条互相垂直的弦AB、CD．(1)求抛物线P的方程．(2)求|AB|+|CD|的最小值．【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，上､下顶点分别为A1,A2，四边形A1F1A2F2的面积为且有一个内角为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若以线段F1F2为直径的圆与椭圆C无公共点，过点A(1,3)的直线与椭圆C交于P,Q两点（点P在点Q的上方），线段PQ上存在点M，使得|AP||AQ|=|MP||MQ|，求|MF1|+|MF2|的最小值.【题型6 长度之差问题】【例6】（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x―5y―12=0上的动点，则|PA|―|PF|的最小值为（）A．―B C4D．4【变式6-1】（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线E:x2m ―y23=1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0,2)，则|―|PA|最大值为（）A B―2C．D．2【变式6-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知点P是双曲线x29―y216=1右支上的一点，点M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x―5)2+y2=1上的点，求|PM|―|PN|的最大值．【变式6-3】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(―2,3)，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P，证明:|FP|―|FP|cos2α为定值，并求此定值.【题型7 长度之商问题】【例7】（2024·四川绵阳·A(2,0)的直线l与拋物线C:y2=2px(p>0)交于点M，N（M在第一象限），且当直线l的倾斜角为π时，|MN|=4(1)求抛物线的方程；(2)若B(3,0)，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求|QN|的值.|QP|【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+m(m2=k2+1,k≠0)和椭圆T:x23+y2=1．(1)证明：l与T恒有两个交点；(2)若A,B为l与T的两个交点，过原点且垂直于l的直线交T于C,D两点，求|CD||AB|的最小值．【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线M:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A(―2,3)在双曲线M上，且|AF1|+|AF2|=8．(1)求双曲线M的方程；(2)记∠F1AF2的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点B,C关于直线l对称，并求出|AE||BC|（E为BC的中点）的值．【变式7-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在B点处的切线为l2，直线l1与直线l2交于点M，当直线l的倾斜角为450时，|AB|=(1)求抛物线C的方程；(2)设线段AB的中点为N，求|AB||MN|的取值范围．【题型8 长度之积问题】【例8】（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为4，C上一点P满足cos∠F1F2P=―△PF1F2的面积为(1)求C的方程；(2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TM|⋅|TN|的最小值．【变式8-1】（2024·陕西安康·三模）已知M(1,2)为抛物线C:y2=2px上一点．(1)求抛物线C的准线方程；(2)过点T(0,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，求|TA|⋅|TB|的值．【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线l与椭圆C:x24+y2=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=1，其中O为坐标原点.(1)证明：x21+x22和y21+y22均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值.【变式8-3】（2024·江西·一模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为π3，C的右焦点F到该渐近线的距离为(1)求C的方程；(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O:x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点.（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；（ⅱ）求|AB|⋅|MN|的取值范围.一、单选题1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆C：x29+y25=1上两个不同的点（直线AB与y轴不平行），F为C的右焦点，且|AF|+|BF|=4，若线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则|FP|=（）A．43B．53C．54D．322．（2024·新疆·C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1|PQ|+1|MN|=（）A B．1C D．23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O:x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A，B两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3,F1到C的渐近线的距离为|AB|=（）A．327B．307C．207D．1674．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是C的左、右焦点，且△F1AB P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A．[1,2]B．C．D．[1,4]5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点，且F 2P 的延长线交y 轴于点A ，且F 1P ⋅F 2P =0，△APF 1的内切圆半径为4，△PF 1F 2的面积为9，则|AF 2||PF 2|=（ ）A ．18B ．32C ．50D ．146．（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线x 2a 2―y 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，渐近线方程为y =±12x ，过F 1直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|AF 2|+|BF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．14D ．1527．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线C:y 2=6x 的焦点为F ，O 为坐标原点，倾斜角为θ的直线l 过点F 且与C 交于M ，N 两点，若△OMN 的面积为 ）A ．sin θ=12B ．|MN |=24C ．以MF 为直径的圆与y 轴仅有1个交点D ．|MF ||NF |=或|MF ||NF |=8．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E:x 29+y 25=1的左焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 垂直于x 轴，则|AB |=154B ．|AB |∈,6C ．若|AB |=5，则直线lD ．若|AF |=2|BF |，则|AB |=1039．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线y =―x +1经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点Q ，且与E 在第四象限交于点P,E 的左、右焦点分别为F 1,F 2，则（ ）A ．E 离心率为12B ．△PQF 1的周长为C ．以PF 1为直径的圆过点QD ．|PQ|=10．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x 23―y 2=1的右焦点为F ，动点M,N 在直线l:x =32上，且FM ⊥FN ，线段FM 交C 于点P ，过P 作l 的垂线，垂足为R ，则（ ）A ．△FMN 的面积S ≥12B ．|PR ||PF |=C ．|MR |⋅|HN |=|FH |⋅|PR |D ．|MP |⋅|NF ||MN |⋅|PF |为定值11．（2024·福建龙岩·三模）已知抛物线C:y 2=2px(p >0)与圆O:x 2+y 2=20交于A ，B 两点，且|AB|=8.过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 上异于顶点的任意一点，点Q 是抛物线C 的准线与坐标轴的交点，则（ ）A ．若MF =3FN ，则直线l 的斜率为±．|MF|+4|NF|的最小值为18C ．∠MON 为钝角D ．点P 与点F 的横坐标相同时，|PF||PQ|最小三、填空题12．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知P 为双曲线C:x 24―y 2=1的右支上一点，点A,B 分别在C 的两条渐近线上，O 为坐标原点，若四边形OAPB 为平行四边形，且|PA |=1，则|PB |= ，13．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 是圆(x ―2)2+y 2=1的圆心，过点F 的直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D ，则|AB |+|CD |的取值范围为 ．14．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 为C 的一个焦点，点A,B 为C 的两个顶点，若|FA |=3，|FB |=2，则|AB |的可能值中的最大值为 ．15．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且经过点(2,3).(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求|AB|的取值范围.16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点分别为A1,A2，左､右焦点分别为F1,F2,M是椭圆C上一点，MF2⊥F1F2,|MA1|=MA2的斜率为―32.(1)求椭圆C的方程；(2)若过右焦点F2的直线与椭圆C交于点P,Q，直线A1P,A2Q交于点N，求当|A1P||PN|=12时，|PF2|的值.17．（2024·海南海口·二模）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为E(―1,0)，C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A，B两点.(1)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0；(2)记△ABF与△BEF的面积分别为S1，S2，若S1=3S2，求|AF|+|BF|.18．（2024·新疆·一模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为2，M是C上一点，且MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为12.(1)求C的方程;(2)过F2的直线l与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明：1|OP|2―2|AB|为定值.19．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且|F1F2|=2，过点F2作两条直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，△F1AB的周长为(1)求C的方程；(2)若△F1AB的面积为43，求l1的方程；(3)若l2与C交于M,N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|―|AB|的最大值．。
高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)
解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=， 所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--． 由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； （2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-， 解得：21,1m m ==±， 故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（20=． 【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可； （2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程． 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法； （2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】 （1）设(,)C x y ， 则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=， 所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩， 得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ． 【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =； （2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-， 由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ， 则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥， 故20t =时，BM最小为=【点睛】 思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=， 当12x x =时，:4AB l x =，8AB =； 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==， 当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ， 由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值； （2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=； （2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=． 其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==， 解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
求解圆锥曲线的弦长公式的推导过程
圆锥曲线的弦长公式是：L=2π√(R^2+r^2)/2-Rr 。
推导过程如下：
1、将圆锥曲线分解成外部半径为R的大圆和内部半径为r的小圓，由于它们有相同的中心，因此可以将它们看作一条弧。
2、根据余弦定理可得出大圆和小圓之间的夹角θ=cos-1((R-r)/d) （d表示大小圓之间的距离）。
3、根据三角形周长公式可得出该三角形周长L=a+b+c （a,b,c分别表示大小圓之间夹边所对应的三条弦）。
4、由于该三角形是一个平行四边形中心旁切剖而成，因此有a=b=c=(R+r)sinθ/2
（sinθ/2表示斜对边所对应的半径所成外劈边所对应的斜对辰～也就是说斜对辰也是一条直径~ 就能通过上述方法将原始问题化整个思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~~). 5、将上述步骤代入L = a + b + c , 即 L = 2 ( R + r ) sin θ / 2 . 6、根据正弦定理sin θ = 2 sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) , 就可以将L = 4 R r cos ( θ / 2 ) . 7、再根据余弦定理cos ( θ / 2 ) = √ [ 1 - sin ^ { 2 } ( θ / 2 )] , 最后便可得出L = 4 R r √ [ 1 - ( R - r d ) ^
{ 2 } ] . 8. 最后化整即L = 4 π √(R^2+r^2)/4-Rr。
2021届高三数学总复习第一轮——圆锥曲线综合01——弦长、中点弦、角度问题
2021届高三数学总复习第一轮圆锥曲线综合01——弦长、中点弦、角度问题考纲思维导图知识梳理一、弦长问题 （一）、弦长公式设圆锥曲线():,0C f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则弦长12AB x x =-=，或12AB y y =-= （二）、面积问题1．三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+，d PH ==，12ABP S AB d ∆=⋅=．2．焦点三角形的面积直线AB 过焦点2F ，1ABF △的面积为：112121212ABF S F F y y c y y =⋅-=-=△．3．平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+，d CH ==，12AB x =-==，ABCDSAB d =⋅==4．面积范围问题首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式：222(,)a b ab a b R +∈≥，变式：,)a b a b +∈+R ≥，2()(,)2a b ab a b +∈+R ≤， 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值．注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等． 以下是圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：（1）2226464t S t t t==++，（注意分0t =，0t >，0t <三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=++++⨯+++≤ ，当且仅当2219k k=时，等号成立． （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅+≥， 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立． （4）2282m m S -+=== 当且仅当228m m =-+时，等号成立．（5）2221121k m m S -++=== 当且仅当221212k m +=时等号成立．二、中点弦问题（一）、弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为1-）和平分（中点坐标公式）．1．垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，（1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，（2）若()00,P x y ，则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=．2．弦中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．（1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m⋅=-； （2）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=． 3．运算：解析几何的运算中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种 方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”， 即设弦的两个端点()11,A x y ，()22,B x y ，弦AB 中点为()00,M x y ，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程， 作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为()00,M x y ，则有00220x y k a b +=，（2）22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为()00,M x y ，则有00220x y k a b -=， （3）22(0)y px p =>与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为()00,M x y ，则有0y k p =．（二）、中点弦常考题型1．1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为1x ，2x 的， 其它点不要随便设为11(,)A x y ，22(,)B x y ．Q 为弦AB 的中点．设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现． 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++=，即222222212()10k km m x x a b b b +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km bx x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩． ∆中的高次项是可消去的．21222221Q km x x b x k a b +==-+，22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b-++=+=-+==+++． （由Q x 求Q y 分子是可消去的）故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++，定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km k s b b a b s k a b -+-+-===---+--+， 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++，22222111()()()k km kt s a b a b-=++．2．以OA ，OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上， 122Q x x x +=，122Q y y y +=， 易知P 点坐标 212222221P Q kmb x x x x k a b ==+=-+， 2212121222222()221P Q k m b y y y y kx m kx m k x x m m k a b ==+=+++=++=-++ 222222222222222211k m m k m mb a b a k ka b a b -++==++． 注意: 1．不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ，因为点P 不在直线上． 2．由P x 求P y 分子是可消去的．故2222222222(,)11km mb a P k k a b a b -++在椭圆上． 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b -+++=，两边同时乘以22221()k a b +得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+，即2222222241(1)()m k k a b a b+=+．3．弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点N ，M ，中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b -++，垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++， 令0x =，得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+，令0y =，得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+． 三、角度问题（一）、相关向量知识点1．A ，B ，C 三点共线：①AB AC ∥；②存在实数λ，使AB AC λ=；③若存在实数α，β，且1αβ+=，使OC OA OB αβ+=． 2．给出0MA MB ⋅=，等于已知MA MB ⊥，即AMB ∠是直角；给出0MA MB ⋅<，等于已知AMB ∠是钝角； 给出0MA MB ⋅>，等于已知AMB ∠是锐角．3．给出MA MB MP MA MB λ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭，等于已知MP 是AMB ∠的平分线． 4．在ABC △中，给出OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC △的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．5．如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．（二） 、垂直与角度常考题型1．以AB 为直径的圆过原点O 121200OA OB x x y y ⇔⋅=⇔+=，2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，21222221km b x x k a b +=-+，221222211m b x x k a b-=+， 故222222222121212122222222(1)(1)0(1)()11m k m k b b x x y y k x x km x x m m k k a b a b+-=+=++++=-+++， 两边同时乘以2221k a b +，整体处理得：222222222221(1)(1)()0m k m k k m b b a b+--++=， 消去高次项222k m b得2222210m m k b a --+= 即找了a ，b ，m ，k 的关系式．推广：以AB 为直径的圆过焦点1F22211121212120()()0(1)()()0F A F B x c x c y y k x x km c x x m c ⇔⋅=⇔+++=⇔++++++=可以看得出，同样可以采用整体法处理． 2．角度问题，成锐角或钝角原点O 在以AB 为直径的圆内121200OA OB x x y y ⇔⋅<⇔+<，易得2222210m m k b a--+<；原点O 在以AB 为直径的圆外121200OA OB x x y y ⇔⋅>⇔+>，易得2222210m m k b a--+>．例题讲解考点1：弦长问题【例1】（2018西城期末理18）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =+C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．【例2】（2019海淀期末理18）已知椭圆G :x y +=2212, 过点(,)M -20的直线l 与椭圆G 交于不同的两点A ,B .(Ⅰ) 求椭圆G 的离心率；(Ⅱ) 若点B 关于x 轴的对称点为B '，求线段AB '长度的取值范围.【例3】（2017朝阳一模理19）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率3e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,,的面积分别为,,，试证明为定值.11,E F 11AE F ∆1AFF ∆1S 2S 3S 1322S S S考点2：中点弦问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>过点A 和点(0,1)B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．【例5】（2018昌平二模理18）已知椭圆经过点，且离心率为． （I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线（与x 轴不重合）与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)M m ，求实数m 的取值范围．()2222:10x y E a b a b +=>>(0,1)2l ,A B【例6】（2018海淀期末理18）已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.考点3：角度问题【例7】（2017海淀期末理18）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点． （Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l的方程．【例8】设12,F F 分别为椭圆22:12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于A ， B 两点．（Ⅰ）求1ABF △的周长；（Ⅱ）如果1ABF △为直角三角形，求直线l 的斜率k ．【例9】已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．练习B【练1】（2017石景山一模理19）已知椭圆E ：+＝1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【练2】已知椭圆12222=+by a x （0>>b a，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程．1F A B OAB 4AB【练3】已知椭圆的焦点为，点是椭圆 上的一点，与轴的交点恰为的中点， ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围．【练4】已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点． （I ） 求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(1,0),(1,0)F F -P C 1PF y Q 1PF 34OQ =C A 1F C ,M N AMN ∆【练5】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点(F 且 斜率为的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线:40l x ky +=交椭圆E 于.C D 两点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数，使得四边形AOBC 为平行四边形？若存在求出的值，若不存在说明理由．【练6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点(0,1)P ，且PA PB =，求直线l 的方程.k l k k【练7】已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1,0)F ，短轴的两个端点分别为12 B B 、 （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程;（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且11F P FQ ⊥， 求直线l 的方程。
浅谈圆锥曲线中的弦长
嗣
＝ 。
例３ ：已知双 曲线 以原点为 中心 ，焦点在 轴 上，若虚半轴长为
２３ 直 线 与 双 曲线 的 相 交 弦 问题 ．
即 ＝ ＋ ｂ与Ｙ ＝ ＋ ２ ２ ６成立，所以Ａ ＝ （一 （ ｂ ｈ～）＝ Ｂ √ ： ） － ６ ＋ 。
解 ： 直线方程与双曲线方程联立 把
． ．
例ｌ ：求直线 ２— 一 ＝ －吲 ＋ｔ ２ ０ ｘ Ｙ １ ０戊 ｝ Ｊ一 ， …１ 所得的弦 长。 分析 ：关于直线与 圆相交 的弦长 Ｍ题 ，不需要使用如下公式 Ａ ＝ Ｂ
√ 、 ＋ ：４ ， ｝ 肛， ） 可＿ ｆ Ｉ 在园中吲心到直线的距离ｄ 弦长的一半 、
．
交弦长公式记为Ａ ： ＋ （＋ ４ Ｂ √ ） ｘ 而许多 ． ， 资料中 的圆锥曲 线
相交弦长公式 为 Ａ ＝ Ｂ ＝ ｝ 。这 个公式不够直接 ，因 为
接下去是把直线方程 Ｙ ｈ＋ 与圆锥曲线 Ａ 十 ＋ ＋ ： 进 ＝ ｂ ｘ＋ Ｆ ０
行联立消去 ｙ得关于 的一 元二次方程 ，再由韦达定 得 Ｘ＋ ：与 ．
解 ：由圃方程得圆心为 （ Ｉ 半径 为 ｒ ， 所 以得圆心到直 线 ０） ， ＝／ ２，
＋）４： 、 ： Ｘ ＝／ 一ｔ 三
．
， √ｐ ４ ８ 得Ｐ ４ ＝ ， 所以 ８＋ｐ ， 一 或ｐ ２ ＝
（ 收稿 Ｅ期 ：２ １ － ４ ０ ｌ ０ ０ ０ － ６）
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全面素质和创新能力的提 高
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圆锥曲线三种弦长问题的探究
在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识
为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲
线中出现的有关弦长问题作简单的探究：
一、一般弦长计算问题：
例1、已知椭圆2222:10xyCabab，直线1:1xylab被椭圆C截得的弦长为22，
且63e，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线2l被椭圆C截的弦长AB，
⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.
思路分析：把直线2l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.
解析：⑴由1l被椭圆C截得的弦长为22，得228ab，………①
又63e，即2223ca，所以223ab………………………….②
联立①②得226,2ab，所以所求的椭圆的方程为22162xy.
⑵∴椭圆的右焦点2,0F，∴2l的方程为：32yx，
代入椭圆C的方程，化简得，251860xx
由韦达定理知，1212186,55xxxx
从而21212122645xxxxxx，
由弦长公式，得2212264611355ABkxx，
即弦AB的长度为465
点评：本题抓住1l的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数22,ab，
得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：
例2、过点4,1P作抛物线28yx的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦
AB的长度。
思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率k，有P是弦
的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.
解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为1122,,,AxyBxy，
则有2211228,8yxyx，两式相减，得1212128yyyyxx
又12128,2xxyy
则21214yykxx，所以所求直线AB的方程为144yx，即4150xy.
解法2：设AB所在的直线方程为41ykx
由2418ykxyx，整理得283280kyyk.
设1122,,,AxyBxy，由韦达定理得128yyk，
又∵P是AB的中点，∴1212yy，∴824kk
所以所求直线AB的方程为4150xy.
由241508xyyx 整理得，22300yy，则12122,30yyyy
有弦长公式得，222111212125271142kkAByyyyyy.
点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是
利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用
弦长公式求解弦长.
三、焦点弦长问题：
例3、（同例1、⑵）
另解：⑵∴椭圆的右焦点2,0F，∴2l的方程为： 32yx，
代入椭圆C的方程2232162yxxy，化简得，251860xx
由韦达定理知，1212186,55xxxx
由2l过右焦点，有焦半径公式的弦长为124625ABaexx.
即弦AB的长度为465
点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点
弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.