8.2配方法解一元二次方程(2)
一元二次方程的解法(二)配方法(基础)
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】 解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2015•滨州）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10=0时，下列变形正确的为（ ）A ．（x+3）2=1B ．（x ﹣3）2=1C ．（x+3）2=19D ．（x ﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．若223(2)1x mx x ++=--，那么m ＝________．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．（2014•资阳二模）当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14. （2014秋•西城区校级期中）已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D ；【解析】方程移项得：x 2﹣6x=10，配方得：x 2﹣6x+9=19，即（x ﹣3）2=19，故选D ．2．【答案】C ； 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】22343x mx x x ++=-+，∴ 4m =-．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x += 1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。
北师大版九年级数学上册用配方法求解一元二次方程第2课时课件
所以 x1=10，x2= –4.
回顾复习
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+_____=
1
(x+_____
1 )2
2
4
2. x2–4x+_____=
(x–______)
2
2
3. x2 +____+36
= (x+______)
6
习题2.4 第1，3题.
第二章
2.2
第2课时
一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次
项系数不为1的一元二次方程
知识梳理
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
①
化二次项系数为1 ；②
③
移项
；④
开平方
配方
；⑤求解.
；
课时学业质量评价
知识梳理
课时学业质量评价
2. 设 a ， b 是两个整数，若定义一种运算“△”， a △ b ＝ a2＋ b2＋
ab ，则方程( x ＋2)△ x ＝1的实数根是(
C
)
A. x1＝ x2＝1
B. x1＝0， x2＝1
C. x1＝ x2＝－1
D. x1＝1， x2＝－2
3. 代数式4 x2＋ y2－2 y －4 x ＋15的最小值是(
＝ .
∴ x － ＝±
.
+
−
∴ x 1＝
， x2＝
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （•淄博）解方程：x 2+4x ﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到x 2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x 2+4x ﹣1=0∴x 2+4x=1∴x 2+4x +4=1+4∴（x +2）2=5 ∴x=﹣2±∴x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ． 【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】 【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （贵州）用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ）A ．（x +2）2=1B ．（x +2）2=7C ．（x +2）2=13D ．（x +2）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．（长兴县月考）用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ．12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7．2．【答案】C ； 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338； 【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1 【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+2149()416x +=1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。
鲁教版数学八年级下册课件：8.2用配方法解一元二次方程 (2)
随堂练习
解下列方程:
1. x2 – 2 = 0; 8. (2x+3)²=5 ;
2. 16x2 – 25 = 0; 9. 2x²=128 ;
3. (x + 1)2 – 4 = 0; 10. x2 - 10x +25 = 0
4. x2-144=0
11. x2 +6x =1;
5. 6.
y2-7=0
你还能规范解下列方程吗?
x2+6x= -8， x2+12x-15=0.
例题解析
例2 解方程：x2+8x-9=0. 解:可以把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9. 两边都加上42（一次项系数8的一半的平方）， 得 x2+8x＋42=9＋42. （x+4）2=25. 开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5,或x+4=-5.
12. 49x2 - 42x – 1 = 0
12(2 - x)2 - 9 = 0
7. x2+5=0 ;
课堂小结
▪ 本节课复习了哪些旧知识呢？
▪ 会见了两个“老朋友”:
▪ 平方根的意义:如果x2=a,那么x= a.
▪ 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且
a2±2ab+b2 =(a±b)2.
8.2 用配方法解一元二 次方程（1）
复习旧知
平方根的意义:
解方程： x2=9.
解：因为9的平方根是+3和3，
所以
.
所以xx2=9有两个根3
x1=3，x2=-3.
老师提示: 这里是解一 元二次方程的
基本格式,要
按要求去做.
配方法解一元二次方程(2)
以上解法中,为什么在方程 x 12 x 15 两边加36?加其他数行吗? 像这样通过配成完全平方式的方法得到了 一元二次方程的根，这种方法叫做配方法.
2
X2－4x＋1＝0
变 形 为
变形为
x2-4x+4=-1+4 （x－2）2=3
这个方程 怎样解？
(X + m)2 =n
的形式．（n为非负常数）
例题讲解
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
2
例题2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
13 x 2 2 26 x2 2
2
26 26 x1 2 x2 2 2 2
练习2. 用配方法解下列方程
1. 5x2+2x-5=0 2.
解一元二次方程（二）
1、解一元二次方程的基本思路
二次方程
降次 转化
一次方程
2、什么样的方程可用直接开平方法解?
原方程变为x2＝a(a ≥0)的形式
当a<0时，原方程无解。
1、). χ2－900=0
2
解： （1） χ2=25
（2）移项，得χ =900 χ=±30 χ=±5 直接开平方，得 直接开平方，得 ∴χ1=30 ∴ χ1=5，χ2=－5 χ2=－30
结束寄语
• 配方法是一种重要的数学方法，即配方法 可以助你到达希望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数 学模型. • 这节课最关键的是用了转化的数学方法， 再次体会数学中的由未知转化为已知。
感谢大家的合作！
列方程解应用题：
学校要组织一次篮球比赛，每两个队之间只进行 一次比赛，如果一共要安排18场比赛，组织者需要安 排多少个队参加比赛？
用配方法解一元二次方程优秀教案
2.3 米。
想想以上我们主要学习了什么内
1．直接开平方法的概念及
容？你觉得在解决问题中我们都应该注 依据；
意什么？
2．直接开平方适合的一元
二次方程的形式；
3．直接开平方法解一元二
次方程应注意的问题如计算的
准确性，有分类讨论的意识等；
3/7
4．转化、化归、分类、类 比的数学思想和方法。
作业布置 【第二课时】
=(x+6)2
（2）x2-4x+
=(x-
)2
因此，解一元二次方程的基本 思路是将方程转化为(x+m)2=n 的 形式，它的一边是一个完全平方 式，另一边是一个常数，当 n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
（3）x2+8x+
=(x+
)2
从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4．讲解例题：
例 1：解方程：x2+8x-9=0 分析：先把它变成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开
7 2
，x2=-
7 2
解法 2： 4x2-7=0 (2x)2=7
2x=± 7
x1=
7 2
，x2=-
7 2
解法 3： 4x2-7=0
四、巩固应用 五、深化提高 六、小结
这里的 x 既可以是字母，单项式， 也可以是含有未知数的多项式。换言之： 只要经过变形可以转化为 x2=a(a≥0)形式 的一元二次方程都可以用直接开平方法 求解。
2．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为 1；
学生活动 学生回答。
由学生共同小结。
6/7
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
2022春八年级数学下册第八章用配方法解一元二次方程第2课时配方法1习题课件鲁教版五四制ppt
10 先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值． 解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0.∴m＝－3，n＝3.
问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c 是△ABC的最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52， 求c的值．
7 一元二次方程 x2－4x－8＝0 的根是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】
一元二次方程 x2－4x－8＝0， 移项，得 x2－4x＝8， 配方，得 x2－4x＋4＝12， 即(x－2)2＝12， 开方，得 x－2＝±2 3， 解得 x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3.
【点拨】 ∵a2－10a＋b2－16b＋89＝0， ∴(a2－10a＋25)＋(b2－16b＋64)＝0， ∴(a－5)2＋(b－8)2＝0. ∵(a－5)2≥0，(b－8)2≥0， ∴a－5＝0，b－8＝0，∴a＝5，b＝8. ∵三角形的三条边长分别为a，b，c， ∴b－a＜c＜b＋a，∴3＜c＜13.
8 解方程：x2＋2＝2 2x. 解：∵x2＋2＝2 2x， ∴x2－2 2x＋2＝0， ∴(x－ 2)2＝0， ∴x1＝x2＝ 2.
9 【中考·荆州】已知a是不等式5(m－2)＋8＜6(m－1)＋ 7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2ax＋ a＋1＝0.
解：解不等式 5(m－2)＋8＜6(m－1)＋7， 得 m＞－3，∴最小整数解为 a＝－2， 将 a＝－2 代入方程 x2＋2ax＋a＋1＝0， 得 x2－4x－1＝0， 配方，得(x－2)2＝5. 直接开平方，得 x－2＝± 5. 解得 x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5.
八年级数学（五四制）82用配方法解一元二次方程（3）教案
八年级数学（五四制）82用配方法解一元二次方程（3）教案【配方法解一元二次方程第三课时】教学设计一、教学目标：1.知识目标：(1)探究并掌握配方法解一元二次方程的一般步骤。
(2)能熟练、正确地进行配方法解一元二次方程。
3.情感与态度目标：(1)通过配方法解一元二次方程的学习与应用，体会转化思想的应用，培养学生运算能力。
(2)增加学生合作学习交流的机会，尽量让学生参与到小组当中，感受与他人合作的重要性以及逐渐形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
二、教学重点：配方法解一元二次方程的一般步骤。
三、教学难点：熟练正确地计算每一个过程。
四、教学方法：小组讨论、问题式教学、探究式教学、师生合作五、课前准备：导学案六、教学过程：教学过程师生课堂活动学生行为预测设计意图一、学习目标师：前面已经学过用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，那么如何用配方法解一次项系数是奇数或者二次项系数不是1的一元二次方程呢？今天继续探讨配方法解一元二次方程。
请一个同学读一下本节课的学习目标。
★★学生能够认真听讲，跟随老师的思路进入课堂。
★学生听讲不认真，思路跟不上。
带着问题进入课堂，引起学生的思考。
个别学生交流学习目标，使学生课堂上有目标，明白本节课的任务。
二、复习回顾1、填上适当的数，使等式成立①x2-6x+=(x-)2②x2+8x+=(x+)2③x2+3x+=(x+)2④x2-x+=(x-)22、用配方法解方程①x2-8x+1=0②x2+6x-1=0师：引导学生通过一组填空题复习学过的二次项系数是1的完全平方式的灵活应用。
生：学生口算，学生口答完成。
师：在导学案上完成解答过程。
生：独立自主完成，一起回顾总结解题步骤。
★★★学生能够认真、准确计算，口答完成；★★学生口答完成，但有部分答案错误；★学生不会填空。
★★★学生能够认真、准确计算，过程完整★★学生能自主完成，但有部分答案错误；★学生不会配方。
设计此组填空题，目的是让学生进一步巩固完全平方式，会进行灵活的配方计算，为学习配方法解一元二次方程做好铺垫。
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§2 解一元二次方程 ——配方法
知识回顾
平方根的意义:
旧意新释:
解 : 1.x 5. x 5,
2
1.解方程 (1)
x2=5
老师提示: 这里是解一元二次方程的基 本格式,要按要求去做.
x1 5
x2 5
探究新知
思考： 1、你会什么方法解一元二次方程？ 2、解这个方程得困难在哪里？
x2+8x+
=(x+
)2.
常数项与一次项系数有什么关系？
总结
一般的解题步骤
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边 合并同类; 形如: (x+a)2=b 4.开方: 5.解一元一次方程; x a b x a b 6.写出原方程的解.
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
例题
解方程：x 8x 9 0
2
随堂练习
随堂练习
随堂练习
1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的 两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分 的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
35m
(35-x) (26-x) ＝850. 化简:x2 - 61x+60 ＝0
解这个方程,得 x1 ＝ 1
26m
x2 ＝60 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为1m.
x2=a (a≥0)
探究新知
解一元二次方 关键是设法把左边化为完全平方式 程的基本思路 就是将方程转 2 化为 x m n 的形式。
再回忆
完全平方式: a2±2ab+b2叫完全平方式, 且a2±2ab&#; x2-4x+
=(x+ =(x-
)2; )2;