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2013年高考分类题库考点40 椭圆

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高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段4. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点 5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

6. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

（略）2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；114416922=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222=+=+y x x y 或（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 13922=+y x2. 简单几何性质1．求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e 。

2013年高考数学椭圆

2013年高考数学椭圆

2
3
2 直 线 AP的 方 程 为 x－ 3 y＋ 6 ＝0. 设 点 M 的 坐 标 为 m , 0 ，
则 点 M 到 直 线 AP的 距 离 是 由于 |m6| 2 |m6| 2
＝ | m－ 6 | ， 又 － 6 m 6 ， 故 解 得 m＝ 2.
故 椭 圆 上 的 点 ( x， y )到 点 M 的 距 离 d 满 足 d ＝ ( x－ 2) ＋ y ＝ x － 4 x＋ 4 ＋ 20－ 9
2 x2 y ＝1 由 已 知 得 36 20 ， ( x 6)( x 4) y 2 0
则 2 x ＋ 9 x－18 ＝ 0， 解 得 x＝ 或 x＝ － 6. 2 3 5 由 于 y＞ 0， 故 x＝ ， 于 是 y＝ 3, 2 2 3 5 所 以 点 P的 坐 标 是 ( , 3) 2 2
椭圆的标准方程
【 例1】 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴， 且 经 过 两 点 P1 ( 6，， P2 (－ 3， － 2 )， 求 该 椭 1) 圆的方程．
【 解 析 】 设 所 求 的 椭 圆 方 程 为 m x ＋ ny ＝1 ( m 0， n 0)． 因 为 椭 圆 经 过 两 点 P1 ( 6，， P2 (－ 3， 1) 1 m 9 6m n 1 所以 ,解得 ， 3m 2 n 1 n 1 3 故所求的椭圆标准方程为 x
25 4
,
设M 到右准线的距离为 MN ， 由椭圆的第二定义知 所以 5 4 25 4 此 时 M 坐 标 为( 5 3 5，)． 2 ＝ e＝ , | MN | 5 5 4 17 4 MA ＝ MB ＋ MN . 4
MA ＝ MN ，所以 MB ＋

椭圆历年高考题

椭圆历年高考题

椭圆历年高考题(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C :+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A .B .C .D .2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C :+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A .B .C .D .3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C .D .-14.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, 3]∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. 6B.3C.23D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以a2=b2+c2=8,a=2,所以离心率e=.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF2=2c,∠PF2x=60°,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,解得e==.3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以c +c =2a ,解得e ===-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)3∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)3∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab3即3m3,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b 3即3m3,得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A.63 B. 33 C.23 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离22a b=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=ca =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =63.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a+22y b =1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0,22bcb c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,所以e=c a =12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系. 【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F是椭圆2222x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B 3b a,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,C 3b a,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F(c,0),则k BF =b 23a c --,k CF =b23a c -, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 23a c 2--×b23a c 2-=-1, 整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=ca =6. 答案:6 10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆

高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆

椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a ＞2c ，a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞0，c ＞0图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a ) 短轴顶点(±b,0) 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2)离心率 e ＝ca∈(0,1)，其中c ＝a 2－b 2 通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2a[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6. 2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2， 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， 所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72 B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则－324＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.椭圆的几何性质典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF u u u r ·2PF u u u r＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF u u u r ·2PF u u u r 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝c a或e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM u u u u r ,|＝1，且PM u u u r ,·AM u u u u r ,＝0，则|PM u u u r,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM u u u u r,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM u u u r ,·AM u u u u r,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM u u u r ,|＝ |PA u u u r |2－|AM u u u u r |2＝ |PA u u u r |2－1，∴当|PA u u u r ,|min＝a －c ＝5－3＝2时，|PM u u u r,|min ＝ 3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝a 2＋c 22c 2－b2c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1.答案：(1) 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1直线与椭圆的位置关系典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF u u u u r ,·2MF u u u u r,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：1510．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.率为63，F 为11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF u u u u r ,＝λFN u u u r,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN u u u u r ,⊥AF u u u r,；(2)若当λ＝1时，有AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF u u u u r ,＝(c －x 1，－y 1)，FN u u u r,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF u u u u r ,＝FN u u u r,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN u u u u r ,＝(0,2y 2)，AF u u u r ,＝(c ＋4,0)，∴MN u u u u r ,·AF u u u r,＝0，∴MN u u u u r ,⊥AF u u u r ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴AM u u u u r ,＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋4，b 2a ，AN u u u r ,＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝(c ＋4)2－b 4a2＝1063.(*)∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB u u u r ＝2OA u u u r，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF u u u u r,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r,|，则该椭圆的离心率为( )A.33B.23C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0，并设|1MF u u u u r ,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF u u u u r ,|2－|1NF u u u u r ,|2＝|2MF u u u u r ,|2－|2NF u u u u r ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575或⎝⎛⎭⎪⎫185，－575.3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫ 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ， 则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·1＋k2x 1－x 22·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 22－m2，又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。

高考数学十年真题专题解析—椭圆

高考数学十年真题专题解析—椭圆

椭圆年份题号考点考查内容2011理14椭圆方程椭圆的定义、标准方程及其几何性质文4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2012文理4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2013卷1理10椭圆方程直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法文理20椭圆定义、标准方程及其几何性质椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系卷2理20直线与椭圆位置关系椭圆的方程求法，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法文5椭圆定义、几何性质椭圆的定义，椭圆离心率的求法2014卷1理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系卷2理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法卷2理20直线与椭圆直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法文20直线与椭圆椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法2016卷1理20圆、直线与椭圆椭圆定义、标准方程及其几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系卷2理20直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系文21直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系2017卷1理20直线与椭圆椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题文12直线与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质卷3文11理10直线与圆，椭圆的几何性质直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质2018卷1理19直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系文4椭圆椭圆的几何性质2019卷1理10文12椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆标准方程的求法卷2理8文9椭圆与抛物线抛物线与椭圆的几何性质理21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的最值问题的解法文20椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质卷3文理15椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理20文21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题卷2理19椭圆、抛物线椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义考点89椭圆的定义及标准方程1．(2019全国Ⅰ文12)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n FAB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．222243,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．2．(2018高考上海13)设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A ．22B ．23C ．25D ．42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点P 到两个焦点的距离之和为25a =，故选C ．【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．3．(2013广东文)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D 【解析】∵1,2,3c a b ===D ．4．(2015新课标1理)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．【答案】22325()24-+=x y 【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)-三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a >，由4-=a ，解得32a =，所以圆的方程为22325()24-+=x y ．5．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．【答案】(1)22143x y +=；(2)3(1,)2E --．【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c ．因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c=1．又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2．由b 2=a 2−c 2，得b 2=3．因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)解法一：由(1)知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1．将x=1代入圆F 2的方程(x−1)2+y 2=16，解得y=±4．因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4)．又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y=2x+2．由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-．将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,55B --．又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-．由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-．将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-．因此3(1,2E --．解法二：由(1)知，椭圆C ：22143x y +=．如图，连结E F 1．因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E=∠B ．因为F 2A=F 2B ，所以∠A=∠B ，所以∠A=∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A ．因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-．因此3(1,2E --．【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．考点90椭圆的几何性质6．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．法二：由已知可设2F B n=，则212,3AF n BF AB n===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F△和12BF F△中，由余弦定理得2221222144222cos4422cos9n n AF F nn n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F∠∠互补，2121cos cos0AF F BF F∴∠+∠=，两式消去2121cos cosAF F BF F∠∠,，得223611n n+=，解得32n=．22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．7．【2019年高考北京理】已知椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2b D．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2ce c a ba===-，化简得2234a b=，故选B．8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为A．13B．12C ．22D ．223【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =，所以椭圆C 的离心率22e ==，故选C ．9．【2018·全国Ⅱ文】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2-C ．312-D 1-【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=+，则212c c e a a ====，故选D ．10．(2018上海理)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意25=a ，=a ．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=aC ．11．【2017·全国Ⅰ文】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞ D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab≥= ，≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab ≥= ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞ ，故选A ．12．【2017·浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是()A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率94533e ==，故选B ．13．(2015新课标1文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB =A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【解析】∵抛物线C ：28y x =的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为2x =-①，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以椭圆E 的半焦距2c =，又椭圆的离心率为12，所以4,a b ==，椭圆E 的方程为2211612x y +=②，联立①②，解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---，所以||6AB =，故选B ．14．(2015广东文)已知椭圆222125x y m+=(0m >)的左焦点为()14,0F -，则m =A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B 【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．15．(2014福建文理)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25B ．246+C ．27+D ．26【答案】D 【解析】由题意可设10,sin )Q αα，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为2222||(10cos )(sin 6)509(sin )50523CQ ααα=+-=-+=，当且仅当2sin 3α=-时取等号，所以max max ||||52262PQ CQ r +==≤，所以Q P ,两点间的最大距离是62．16．(2012新课标文理)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．21B ．32C ．43D ．54【答案】C 【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==，故选C ．17．【2019·全国Ⅲ文】设12F F ，为椭圆C ：22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又122201482415,4152MF F S y =⨯-=∴=△，解得015y =，2201513620x ∴+=，解得03x =(03x =-舍去)，M \的坐标为(15．18．【2019·浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点．由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=(舍)，又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以15212PFk ==．方法2：(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==19．(2012江西文理)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．【答案】55【解析】由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+．又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =．故55c e a ==．即椭圆的离心率为55．20．(2011浙江文理)设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B = ；则点A 的坐标是．【答案】(0,1)±【解析】设点A 的坐标为(,)m n ，B 点的坐标为(,)c d．12(F F，可得1()F A m n =+，2()F B c d =，∵125F A F B = ，∴62,55m n c d +==，又点,A B 在椭圆上，∴2213m n +=，2262(5()135m n ++=，解得0,1m n ==±，∴点A 的坐标是(0,1)±．21．【2019年高考全国Ⅱ文】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O为坐标原点．(1)若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】(1)1-；(2)4b =，a的取值范围为)+∞．【解析】(1)连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==-．(2)由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥．当4b =，a ≥P ，所以4b =，a的取值范围为)+∞．22．(2015安徽理)设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510．(Ⅰ)求E 的离心率e ；(Ⅱ)设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【解析】(1)由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又10OM k =，从而210b a =，进而得,2a c b ==，故255c e a ==．(2)由题设条件和(I)的计算结果可得，直线AB1y b +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为1517(,4244x b b +-+．又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ⋅=-，从而有151742441712252x b b b b ⎧+-+⎪+=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3b =，所以b =故椭圆E 的方程为221459x y +=．23．(2013安徽文理)如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403，求a ，b 的值．【解析】(Ⅰ)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==(Ⅱ)设2BF m =；则12BF a m =-，在12BF F ∆中，22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=，1AF B ∆面积211133sin 60()10,5,2252S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+⨯=⇔===考点91直线与椭圆的位置关系24．【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △等腰三角形，12120F F P ∠= ，则C 的离心率为()A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】试题分析：先根据条件得22PF c =，再利用正弦定理得,a c 关系，即得离心率．试题解析：因为12PF F △为等腰三角形，12212120,2F F P PF F F c ∠=︒==，由AP 斜率为36得，222tan ,sin ,cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∴∠=，由正弦定理得22222sin 221,,4,sin 54sin 3PF PAF c a c e AF APF a c PAF ∠=∴==∴=∴=∠+-∠ ⎪⎝⎭，故选D ．25．(2017新课标Ⅲ文理)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为()A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，63c e a ==，故选A ．26．【2016·新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()(A)13(B)12(C)23(D)34【答案】B【解析】如图，在椭圆中，11,,242OF c OB b OD b b ===⨯=，在Rt OFB △中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆的离心率为12e =，故选B ．27．(2016年全国III 文理)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H ，由OBH FBM △∽△，得1||||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c=-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．28．(2016江苏理)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【答案】3【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，,22b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则3ce a ===．29．(2015福建文)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A．(0,2B ．3(0,]4C．,1)2D ．3[,1)4【答案】A 【解析】设椭圆的左焦点为1F ，半焦距为c ，连结1AF ，1BF ，则四边形1AF BF 为平行四边形，所以11||||||||4AF BF AF BF +=+=，根据椭圆定义，有11||||||||4AF AF BF BF a +++=，所以84a =，解得2a =．因为点M 到直线l ：340x y +=的距离不小于45，即44,155b b ≥≥，所以21b ≥，所以2221,41a c c --≥≥，解得0c <所以02c a <≤，所以椭圆的离心率的取值范围为(0,2．30．(2013新课标1文理)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【答案】D 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D ．31．【2020年高考上海卷10】已知椭圆22:143x y C +=，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于,P Q 两点(点P 在第二象限)，若Q 关于x 轴对称的点为'Q ，且满足'PQ FQ ⊥，则直线l 的方程为．【答案】1y x =-+【解析】由条件可知FQQ ' 是等腰直角三角形，所以直线l 的倾斜角是135 ，所以直线l 的斜率是tan1351=- ，且过点()1,0F ，得到直线l 的方程为()1y x =--，即1y x =-+．故答案为：1y x =-+．32．(2018浙江理)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB = ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324(m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．33．(2018浙江文)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB = ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB = ，得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤，所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．34．(2015浙江文)椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】22【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，得||||OQ OF =，又1||||OF OF =，所以1F Q QF ⊥，不妨设1||QF ck =，则||QF bk =，1||F F ak =，因此2c ak =，又2a ck bk =+，由以上二式可得22c a k a b c ==+，即c a a b c=+，即22a c bc =+，所以bc =，22e =．35．(2014江西文理)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．【答案】22【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=，且121212y y x x -=--，所以22221(02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以22e =．36．(2014辽宁文)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=．【答案】12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接1F P 和2F P ，利用中位线定理可得AN BN +=122222412F P F P a a +=⨯==．37．(2014江西文)设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．【答案】33【解析】由题意可得2(,b A c a ，2(,)b B c a -，由题意可知点D 为1F B 的中点，所以点D 的坐标为2(0,2b a -，由B F AD 1⊥，所以11AD F B k k ⋅=-232b ac =，解得33e =．38．(2014安徽文)设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b --将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b--+=，又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=．39．(2013福建文)椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于．【答案】13-【解析】由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==ac e ，故答案为13-．40．【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆()222:10525x y C m m +=<<的离心率为4，,A B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且,BP BQ BP BQ =⊥，求△APQ 的面积．【解析】解法一：(1)由c e a =，得2221b e a =-，即21511625m =-，∴22516m =，故C 的方程为221612525x y +=．(2)设点P 的坐标为(,)s t ，点Q 的坐标为(6,)n ，根据对称性，只需考虑0n >的情形，此时55s -<<，504t < ．∵||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①．又∵BP BQ ⊥，∴50s nt -+=②．又221612525s t +=③．联立①、②、③，可得，312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP = ，(11,2)AQ =，∴15|82111|22APQ S ==⨯-⨯=△．同理可得，当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S =△．综上所述，可得APQ △的面积为52．解法二：(1) 222:1(05)25x y C m m +=<<，∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．(2) 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N，根据题意画出图形，如图，||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=．设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图，(5,0)A -，(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯=．②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图，(5,0)A -，(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=．综上所述，APQ 面积为：52．41．【2020年高考天津卷18】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】(Ⅰ) 椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以椭圆的方程为221189x y +=．(Ⅱ) 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+．将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF = ，得点C 的坐标为()1,0，所以直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-．42．【2019年高考天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =(O 为原点)，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．(2)由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -．由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而2305k =±．所以，直线PB 的斜率为2305或2305-．43．【2019年高考天津文】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B．已知|2||OA OB =(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x=4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有2b =，又由222a b c =+，消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =，所以椭圆的离心率为12．(2)由(1)知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=．由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-．代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-．因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t ．因为OC AP ∥，且由(1)知(2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =．因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l相切，得2=，可得=2c ．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．44．【2018高考全国III 文20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0 ．证明：2FP FA FB =+．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP，再由两点间距离公式表示出,FA FB，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：(1)设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得F(1，0)．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uur ．于是1||22x FA ==-uur ．同理2||=22x FB -uur ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uur uur ，故2FA FB FP +=uur uur uur ．45．【2018高考天津文19】(本小题满分14分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB =．(I)求椭圆的方程；(II)设直线():0l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点,P M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【解析】试题分析：(I)由题意结合几何关系可求得3,2a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=．(I I)设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得1x =215x x =，可得89k =-，或12k =-．经检验 的值为12-．试题解析：(I)设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由AB ==3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．(II)设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>，点 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得2PM PQ =，从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y，可得1x =．由215x x =，可得()532k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，211212,5x x ==，符合题意．所以，k 的值为12-．46．【2018高考江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点())12,0,0F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为l的方程．【解析】试题分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得,a b ，即得椭圆方程；(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程．试题解析：(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12在椭圆C 上，2222311,43,a ba b ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．(*) 直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，222222000000()()() 24443640(482)x x y y y x ∴∆=--+-=-=．0000,0,,1x y x y >∴== ．因此，点P的坐标为),1．②OAB △，所以1 2AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由(*)得001,2x =2221212()()AB y x x y ∴=-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．22003x y += ，22022016(2)32(1)49x AB x -∴==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去)，则2012y =，因此P的坐标为(22．综上，直线l的方程为y =+．47．【2018高考全国1理19】(本小题满分12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为()2,0．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】试题分析：(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程；(2)分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．试题解析：(1)由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以AM 的方程为222y x =-+222y x =．(2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，OMA OMB ∴∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则122,2x x <<，直线MA MB ,的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．2212121333221222422441284,,23()40212121k k k k k k kk x x x x x x k k k k x x k ---+++==∴-++=∴=+++．从而0MA MB k k +=，故MA MB ,的倾斜角互补，OMA OMB ∴∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．48．【2018高考全国3理20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++= 0．证明：,,FA FP FB成等差数列，并求该数列的公差．【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP，再由两点间距离公式表示出,FA FB，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=．两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m=-．①由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=．由(1)及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，34m ∴=，从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．于是122xFA ==-= ．同理222x FB =- ，()121432FA FB x x +=-+=∴ ．2FP FA FB =+∴ ，即,,FA FP FB成等差数列．设该数列的公差为d ，则12122d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-，l ∴的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故121212,28x x x x +==，代入②解得28d=49．【2018高考天津理19】(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b +=(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=．(I)求椭圆的方程；(II)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得,32a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=．(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由题意可得1259y y =．由方程组22{ 194y kx x y =+=，，可得1y =．由方程组{20y kx x y =+-=，，可得221ky k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128试题解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得6ab =，从而,32a b ==，∴椭圆的方程为22194x y +=．(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由已知有120y y >>，故12PQ sin AOQ y y ∠=-．又2y AQ sin OAB =∠ ，而∠OAB=π4，故2AQ =．由sin 4AQ AOQ PQ =∠，可得1259y y =．由方程组22,194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x，可得1y =易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得()15k +=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =，k ∴的值为12或1128．50．(2017天津文)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．(i)求直线FP 的斜率；(ii)求椭圆的方程．【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b ac =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =．所以，椭圆的离心率为12．(Ⅱ)(ⅰ)依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m．由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++．。

高考数学(理)复习训练：《椭圆》(北师大版)

高考数学(理)复习训练：《椭圆》(北师大版)

【A 级】 基础训练1．(2013·高考全国大纲卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1解析：设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数．由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C2．(2013·高考全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1解析：利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．(2013·高考全国新课标卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B ．13 C.12D ．33解析：根据椭圆的定义以及三角知识求解．如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12，∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a 3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 答案：D4．方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0，k ＋3＞0，k －3≠k ＋3，解得k ＞3.答案：k ＞35．(2014·佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a6＋y 2a 5＝1的离心率为________． 解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16＞a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：346．(2014·北京顺义二模)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________. 解析：如图所示，设AB ＝BC ＝x ，由cos B ＝－718及余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝x 2＋x 2＋2x 2×718，∴AC 2＝259x 2， ∴AC ＝53x .∵椭圆以A 、B 为焦点， ∴焦距为2c ＝AB ＝x . 又椭圆经过点C ， ∴AC ＋BC ＝53x ＋x ＝2a ， ∴2a ＝83x ，∴e ＝c a ＝38. 答案：387．(2014·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2 ，又因为椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1. (2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，解得－5＜m ＜5.8．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，aba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时， l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t＝a ba 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1，所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .【B 级】 能力提升1．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8. 答案：B2．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2，－1] B ．[2－1,1] C ．(0，3－1]D ．[3－1,1)解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点P 作左准线的垂线，垂足为M ，则|PF 1||PM |＝e ，故|PF 1|＝|PM |e .又|PF 1|＝2a －|PF 2|，|PM |＝|PF 2|，所以有(1＋e )|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＝2a1＋e ∈[a －c ，a ＋c ]，即a －c ≤2a1＋e ≤a ＋c ，解得：e ∈[2－1,1)． 答案：B3．(2014·武汉模拟)若点F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的焦点，P 为椭圆上的点，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值是( ) A ．0 B ．1 C ．3D ．6解析：△F 1PF 2的面积为1，设P (x 1，y 1)， 则有12·|2c |·|y 1|＝1，即3|y 1|＝1，∴y 1＝±33，代入椭圆方程得：x 1＝±263，∴不妨令点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33，又∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－263，－33，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－263，－33 ∴PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2632－()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝83－3＋13＝0. 答案：A4．(2014·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：35．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8，所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57. 答案：576．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：由△ABF 2的周长等于4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，进而c ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，∴C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(创新题)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM→2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤16k 21＋16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.。

2013年高考数学试题精编：8.1椭圆

2013年高考数学试题精编：8.1椭圆
解：（Ⅰ）设椭圆 E 的方程为
x2 y2 + = 1. a2 b2 1 c 1 x2 y2 由 e = , 得 = , b 2 = a 2 − c 2 = 3c 2 ,∴ 2 + 2 = 1. 2 4c 3c a 2 1 3 将A （2，3）代入，有 2 + 2 = 1, 解得： c = 2,∴ 椭圆 E的方程为 c c x2 y2 + = 1. 16 12 3 ( ∏ )由（ Ι ）知F1 ( − 2, 0), F2 (2, 0), 所以直线 AF1的方程为y= ( x + 2), 4 即3 x − 4 y + 6 = 0.直线 AF2的方程为 x = 2.由椭圆 E的图形知， ∠ F1 AF2的角平分线所在直线的斜率为正 数。 设P（x,y）为 ∠ F1 AF2的角平分线所在直线上任一点，则有 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以， ∠ F1 AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 3x − 4 y + 6 5 若 3 x − 4 y + 6 = 5 x − 10, 得 x + 2 y − 8 = 0, 其斜率为负，不合题意，舍去。 = x−2
第八章 圆锥曲线方程 一 椭圆
【考点阐述】 椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程． 【考试要求】 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． 【考题分类】 （一）选择题（共 4 题）
x2 y2 + =1 3 1.（福建卷文 11）若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的 uuu r uuu r OP FP 的最大值为 任意一点，则
x2 x ⋅ x0 + y2 = 1 + y ⋅ y0 = 1 [ 2, 2 2 ( x , y ) 故范围为 .因为 0 0 在椭圆 2 的内部， 则直线 2 上的点 （x,

高考数学试题椭圆专题汇编

高考数学试题椭圆专题汇编

第十章 圆锥曲线与方程第一节 椭 圆高考试题考点一 椭圆的定义及应用1.(2009年北京卷,理12)椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由椭圆方程22192x y +=可知a 2=9,b 2=2,∴c 2由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由|PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,由余弦定理的推论有 cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-=224228242+-⨯⨯=-12. ∴∠F 1PF 2=120°. 答案:2 120°2.(2012年四川卷,理15)椭圆22143x y +=的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点A 、B,当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是 .解析:由椭圆定义可知,当直线x=m 过椭圆右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大. 由椭圆方程22143x y +=知a=2,c=1. 当x=1时,由21143y +=, 得y=±32. ∴S △FAB =12×(2×32)×(1+1)=3. 答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F 1、F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若△PF 1F 2的面积为9,则b= .解析:由题意可知,1212PF PF =9,①2221212PF PF F F +==(2c)2,②由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b=3.答案:3考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) (A)2214536x y += (B)2213627x y += (C)2212718x y += (D)221189x y += 解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点D(1,-1), 则k AB =12, x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得:()()12122x x x x a-++()()12122y y y y b -+=0,即1212y y x x --=-()()212212b x x a y y ++,即12=22b a , ∴a 2=2b 2.又因c=3,所以b 2=9,a 2=18,椭圆方程为221189x y +=.故选D. 答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 .解析:设椭圆标准方程为22221x y a b += (a>b>0), 由题意知|BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, ∴a=4, 由e=ca得 ∴b 2=a 2-c 2=8,∴椭圆标准方程为221168x y +=.答案:221 168x y+=3.(2011年江西卷,理14)若椭圆22221x ya b+=的焦点在x轴上,过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:设点D1 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,由平面几何知识易知,AB⊥OD,∴k AB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为221 54x y+=.答案:221 54x y+=考点三椭圆离心率的求法1.(2012年新课标全国卷,理4)设F1,F2是椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )(A)12(B)23(C)34(D)45解析:如图所示,设直线x=32a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴|F2Q|=12|PF2|.即32a-c=12·2c,∴e=ca=34.答案:C2.(2012年江西卷,文8)椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )(A)14(C)12解析:由题意知,|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|F 1B|=a+c. 由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列可得: (2c)2=(a-c)(a+c).整理得a 2=5c 2,∴e=c a答案:B3.(2013年福建卷,理14)椭圆Γ: 22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .解析:直线(x+c)过点F 1(-c,0)且倾斜角为60°, 所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 所以F 1M ⊥F 2M, 在Rt △F 1MF 2中,|MF 1|=c,|MF 2c,所以e=ca =22c a =122cMF MF +-1.答案-14.(2013年辽宁卷,理15)已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则椭圆C 的离心率e= .解析:如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,得BF=8,则AF ⊥BF,半焦距c=FO=12AB=5.设椭圆右焦点为F 2,由对称性知AF 2=BF=8,a=7,所以e=c a =57. 答案:575.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .解析:设椭圆C 的焦点在x 轴上,F(c,0),B(0,b). 椭圆方程为22221x y a b +=, 其中a 2=b 2+c 2,设D(x,y),则FD =(x-c,y). 又BF =(c,-b),由BF =2FD 可得()2,2,c x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩∴3,2.2x c b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点D 在椭圆上,∴22223221b c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=, 整理得22c a =13,∴e=ca. 答案考点四 直线与椭圆的位置关系1. (2013年江西卷,理20)如图,椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭,离心率e=12,直线l 的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P),设直线AB 与直线l 相交于点M,记PA,PB,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3.问:是否存在常数λ,使得k 1+k 2=λk 3?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得,221914a b+=.① 依题设知a=2c,则b 2=3c 2.②②代入①解得c 2=1,a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设B(x 0,y 0)(x 0≠1), 则直线FB 的方程为y=01y x -(x-1),令x=4,求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭,从而直线PM 的斜率为k 3=()0002121y x x -+-,联立()00221,11,43y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭,则直线PA 的斜率为k 1=()00022521y x x -+-,直线PB 的斜率为k 2=()002321y x --,所以k 1+k 2=()00022521y x x -+-+()002321y x --=000211y x x -+-=2k 3.故存在常数λ=2符合题意.2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理20)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M: 22221x y a b+= (a>b>0)右焦点的直线交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值. 解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,2121y y x x --=-1,由此可得()()221221b x x a y y ++=-2121y y x x --=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,00y x = 12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为22163x y +=. (2)由220,1,63x y x y⎧+⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨⎪⎩ 因此由题意可设直线CD 的方程为y=x+n n ⎛< ⎝, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2+4nx+2n 2-6=0.于是x 3,4因为直线CD的斜率为1, 所以4-x 3. 由已知,四边形ACBD 的面积 S=12|CD|·当n=0时,S 取得最大值,.所以四边形ACBD . 3.(2013年北京卷,理19)已知A 、B 、C 是椭圆W:24x +y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W: 24x +y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分, 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m= 所以菱形OABC 的面积是 12|OB|·|AC|=12×2×. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m(k ≠0,m ≠0).由2244,,x y y kx m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得 (1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则122x x +=-2414km k +,122y y +=k ·122x x ++m=214m k +. 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点, 所以直线OB 的斜率为-14k.因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 4.(2012年北京卷,理19)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM 交于点G,求证:A,G,N 三点共线. (1)解:曲线C 的方程化成标准方程,2218852x y m m +=--. ∵曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, ∴85m ->82m ->0, 解得72<m<5. 即当曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆时,m 的取值范围是（72,5）. (2)证明:当m=4时,曲线C 的标准方程为22184x y +=, ∴A(0,2),B(0,-2). 由224,184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(2k 2+1)x 2+16kx+24=0.(*)∵直线与曲线交于不同的两点, ∴Δ=(16k)2-4×24·()221k +>0,即k 2>32. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程(*)的两根. ∴x 1+x 2=-21621k k +,x 1·x 2=22421k +. 直线BM 的方程为:y=112y x +x-2, ∴G （1132x y +,1）. 法一 k AG -k AN =1121302x y --+-2220y x --=-1123y x +-222y x -=-11423kx x ++-2242kx x +-=-43k-21211x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-43k-2·2216212421kk k -++=-43k+43k=0 即k AG =k AN .∴A 、G 、N 三点共线. 法二 AG =(1132x y +,-1),AN =(x 2,y 2-2), ∵1132x y +·(y 2-2)-(-1)·x 2=()121326x kx kx +++x 2 =()12121466kx x x x kx +++=22124164621216kk k k kx ⋅-⋅+++ =0.∴AG ∥AN , 即A 、G 、N 三点共线.5.(2012年陕西卷,理19)已知椭圆C 1: 24x +y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB =2OA ,求直线AB 的方程. 解:(1)由题意可知椭圆C 1的长轴长为4,离心率e 1, 设C 2方程为22221x y b a+= (a>b>0),由题意得椭圆C 2短轴长2b=4,离心率e 2∴b=2,a 2=16.∴椭圆C 2的方程为221416x y +=. (2)∵OB =2OA , ∴A 、O 、B 三点共线. 设AB 方程为y=kx. 由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k 2)x 2=4.设A(x 1,y 1), 则21x =2414k +. 设B(x 2,y 2),同理可求得22x =2164k +. 由OB =2OA 得: 22x =421x ,即2164k +=4·2414k +, 解得k=±1.∴直线AB 的方程为y=x 或y=-x.6.(2013年湖北卷,理21)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1: 22221x y a m +=,C 2: 22221x y a n +=,其中a>m>n>0,λ=mn>1.(1)如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0, 则S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|, S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|, 所以12S S =BDAB. 在C 1和C 2的方程中分别令x=0, 可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是BD AB=B D A By y y y --=m n m n +-=11λλ+-. 若12S S =λ,则11λλ+-=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ(2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则 d 1,d 2所以d 1=d 2. 又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2, 所以12S S =BD AB=λ,即|BD|=λ|AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|, 于是AD BC=11λλ+-.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立, 可求得x A,x B.根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是AD BC=22A B x x.②=()11λλλ+-.③ 令t=()11λλλ+-,则由m>n,λ>1,可得0<t<1, 于是由③可解得k 2=()()2222211n t a t λ--.因为k 2>0,于是③式关于k 有解,当且仅当()()2222211n t a t λ-->0,等价于(t 2-1)(t 2-21λ)<0. 由λ>1,0<t<1,可解得1λ<t<1,即1λ<()11λλλ+-<1,由λ>1,解得λ所以当1<λ≤,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2; 当λ,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.7.(2013年天津卷,理18) 22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线被. (1)求椭圆的方程;(2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8,求k 的值.解:(1)设F(-c,0),由c a=3,知过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有()22c a-+22y b=1,解得y=,,解得,又a 2-c 2=b 2,从而所以椭圆的方程为23x +22y =1.(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由F(-1,0)得直线CD 的方程为y=k(x+1),由方程组()221,132y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=-22623k k +,x 1x 2=223623k k -+.因为所以AC ·DB +AD ·CB =(x 1,y 1)·2,-y 2)+(x 22)·-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2221223k k ++.由已知得6+2221223k k++=8,解得k=. 8.(2012年天津卷,理19)设椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B,点P 在椭圆上且异于A 、B两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足. (1)解:由题意可知A(-a,0),B(a,0), 设P(x,y), 则22221x y a b+=. ∴k AP ·k BP =y y x a x a⋅+-=222y x a -=222221x b a x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭- =-22b a =-12. ∴22b a =12. ∴e=c a. (2)证明:法一 易知直线OP 的方程为y=kx, 由2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得x 2=22222a b b a k +①设P(x,kx).则由|AP|=|OA|得(x+a)2+k 2x 2=a 2,整理得(k 2+1)x 2+2ax=0.又x ≠0, ∴x=-221ak +② 联立①②,整理得(1+k 2)2=4k 2·a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭2+4.∵a>b>0, ∴(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,∴. 法二 设P(x 0,kx 0), ∵点P 在椭圆上,∴22200221x k x a b+=.∵a>b>0,kx 0≠0. ∴2220022x k x a b +<1, 即(1+k 2)20x <a 2.由|AP|=|OA|,得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.又x 0≠0, ∴x 0=-221ak +. ∴(1+k 2)·(-221a k +)2<a 2, 即1+k 2>4,k 2>3,∴.9.(2013年安徽卷,理18)设椭圆E:222211x y a a +=-的焦点在x 轴上. (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q,并且F 1P ⊥F 1Q,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上. (1)解:因为焦距为1,所以2a 2-1=14,解得a 2=58. 故椭圆E 的方程为2288153x y +=. (2)证明:设P(x 0,y 0),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中由题设知x 0≠c,则直线F 1P 的斜率100F P y k x c=+, 直线F 2P 的斜率200F P y k x c=-. 故直线F 2P 的方程为y=00y x c-(x-c). 当x=0时,y=00cy c x -,即点Q 坐标为(0,0cy c x -). 因此,直线F 1Q 的斜率为1F Q k =y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q,所以1F P k ·1F Q k =00y x c +·00yc x -=-1. 化简得20y =20x -(2a 2-1).(*)将(*)式代入椭圆E 的方程,由于点P(x 0,y 0)在第一象限,解得x 0=a 2,y 0=1-a 2,即点P 在定直线x+y=1上. 10.(2012年安徽卷,理20)如图,点F 1(-c,0),F 2(c,0)分别是椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x=2a c于点Q.(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点. (1)解:法一 由题意得P(-c,2b a), ∴2PF k =20b a c c---=-22b ac .∵F 2Q ⊥PF 2, ∴2F Q k =22ac b , ∴直线F 2Q 的方程为y=22acb (x-c), ∴Q(2a c,2a),∴24,24,a c a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1. ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程是22143x y +=. 法二 设直线x=2a c与x 轴交于点M, 由题意得P(-c,2b a).∵PF 1⊥x 轴,QM ⊥x 轴,PF 2⊥F 2Q, ∴△PF 1F 2∽△F 2MQ, ∴1122PF F F F M QM=,即222b caa MQc c=-. 解得|MQ|=2a, ∴Q(2a c,2a).∴24,24,a c a ⎧+⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1, ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)证明:由(1)知P(-c,2b a ),Q(2a c,2a), ∴直线PQ 的方程为22222a x y a c b a a c a c=-=---, 整理得y=cax+a. 由2222,1,c y x a a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得(b 2+c 2)x 2+2a 2cx+a 4-a 2b 2=0.即a 2x 2+2a 2cx+a 2c 2=0,∴x 2+2cx+c 2=0.解得x=-c,y=2b a.∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.11.(2013年山东卷,理22)椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 解:(1)由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程22221x y a b +=,得y=±2b a, 由题意知22b a=1,即a=2b 2.又e=ca所以a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2)法一 设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1,0),F 2,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为1PF l :y 0x-(x 0y 0=0, 2PF l :y 0x-(x 0y 0=0.由于点P 在椭圆上,所以22004x y +=1..因为,-2<x 0<2,=,所以m=34x 0. 因此-32<m<32. 法二 设P (x 0,y 0)(y 0≠0). 当0≤x 0<2时,①当x 0,直线PF2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P ,则直线PF 1的方程为因为,所以若P 12⎫-⎪⎭,同理可得②当x 0,设直线PF 1,PF2的方程分别为y=k 1y=k 2).=,所以(()2212221111m k m k +=+. 因为22004x y +=1,且k 12所以(()(()2220022204444m x x m xx +-==+-=)()20244+-,. 因为,0≤x 0<2且x 0,整理得m=034x ,故0≤m<32且m综合①②可知0≤m<32. 当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32). (3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立()22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(20y -2kx 0y 0+k 220x -1)=0.由题意得Δ=0,即(4-20x )k 2+2x 0y 0k+1-20y =0.又22004x y +=1,所以1620y k 2+8x 0y 0k+20x =0,故k=-004x y . 由(2)知1211k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0=002x y ,所以1211kk kk +=12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(-004y x )·002x y =-8, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8. 12.(2012年福建卷,理19)如图,椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)由椭圆定义知, |AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, △F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2| =4a. ∴4a=8,a=2, 又e=c a =12, ∴c=1,∴b 2=3.∴椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-12=0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0), ∴Δ=(8km)2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0,m ≠0,整理得m 2=4k 2+3.①此时x 0=()284234mk km k -=-+, y 0=k ·4k m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+m=3m ,∴P 43,k m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由4,x y kx m =⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m). 假设在坐标平面内存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M, 由椭圆的对称性可知,点M 一定在x 轴上, 设M(x 1,0),则MP =143,kx mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, MQ =(4-x 1,4k+m). ∵MP ⊥MQ,即MP ·MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立,即14k x m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4-x 1)+3m ·(4k+m)=0对满足①式的所有m 、k 成立. 整理得(4x 1-4)km+ 21x -4x 1+3=0.② 由于②对满足①的m,k 恒成立,∴1211440,430,x x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得x 1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.13.(2012年广东卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的离心率且椭圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1)由e=c a得a 2=3b 2, 椭圆方程为222213x y b b +=. 设椭圆上一点P(x,y)到点Q(0,2)的距离为d,则∴当y=-()422-⨯-=-1时,d 取到最大值,d max 解得:b 2=1.∴椭圆方程为23x +y 2=1. (2)假设椭圆C 上存在点M(m,n)满足题意, 则23m +n 2=1, 即m 2=3-3n 2.设圆O:x 2+y 2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d 1,则d 1<1且d 1.∴ ∴S △OAB =12·|AB|d 1=12·∵d 1<1, ∴m 2+n 2>1, ∴0<221m n +<1, ∴1-221m n +>0.∴S △OAB=12. 当且仅当221m n +=1-221m n +, 即m 2+n 2=2>1时,S △AOB 取到最大值.由22222,33,m n m n ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 解得223,21.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在点M 满足题意,M点的坐标为⎝⎭⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭. 此时△AOB 面积最大为12. 14.(2012年浙江卷,理21)如图所示,椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的不过原点O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程. 解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得1,2c a ⎪=⎩ 解得1,2.c a =⎧⎨=⎩∴b 2=3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意可设直线l 方程为y=kx+m(m ≠0).由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(*)由题意可知,x 1,x 2是方程(*)的两个根, ∴Δ=(8km)2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0.x 1+x 2=-2843kmk +,x 1·x 2=2241243m k -+.∴线段AB 的中点M 坐标为(-2443km k +,2343mk +). ∵点M 在直线OP:y=12x 上, ∴2343m k +=12·(-2443km k +),得m=0(舍去)或k=-32. 此时方程(*)为3x 2-3mx+m 2-3=0. 则Δ=3(12-m 2)>0,12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩∴1-x 2|设点P 到直线AB 的距离为d, 则.∴S △ABP =12|AB|d =12其中m 2<12且m ≠0,即m ∈∪).令u(m)=(m-4)2(12-m 2),m ∈),则u ′(m)=2(m-4)(12-m 2)-2m(m-4)2=-4(m-4)(m 2-2m-6)当时,u ′(m)>0, 当,u ′(m)<0. ∴当,u(m)取到最大值, 故当且仅当,S △ABP 取到最大值. 此时,直线l的方程为y=-32即15.(2011年四川卷,理21)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当,求直线l 的方程; (2)当点P 异于A 、B 两点时,求证: OP OQ ⋅为定值. (1)解:由于椭圆焦点在y 轴上, 故可设椭圆方程为22221x y a b += (a>b>0). 由题意知,b=1,c=1, ∴∴椭圆方程为x 2+22y =1.由题意可知,直线l 的斜率存在,设为k, 则l 方程为y=kx+1. 由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(k 2+2)x 2+2kx-1=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=-212k +. ∴1-x 2| ==)2212k k ++. 解得k=∴当, 直线l 的方程为或(2)证明:根据题意,设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0,k ≠±1),则P(-1k,0), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2). 由(1)知x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=212k -+. 直线AC 的方程为:y=111y x +(x+1).① 直线BD 的方程为y=221y x -(x-1)② 联立①②消去y,得111y x +(x+1)= 221yx -(x-1), 即11x x +-=()()212111y x x x y ⋅+-.∵-1<x 1,x 2<1, ∴11x x +-与21y y 异号. ∴(11x x +-)2=()()2221221211y x y x +-=()()()()22212212221221x x x x-+--=()()()()222122121111x x x x-+--=()()()()12121111x x x x ++-- =()()1212121211x x x x x x x x +++-++ =22222112221122k k k k k k --+++-++=11k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭2. 又y 1·y 2=(kx 1+1)(kx 2+1) =k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=-222k k +-2222k k ++1 =22222k k -+=()22212k k -+=-()()22112k k k +-+=-()22212k k ++·11k k -+,∴y 1·y 2与11k k -+异号, ∴11x x +-与11k k -+同号. ∴11x x +-=11k k -+, 解得x=-k,∴Q(-k,y). ∴OP OQ ⋅=(-1k,0)·(-k,y) =(-1k)·(-k) =1.即OP OQ ⋅为定值.16.(2011年辽宁卷,理20)如图所示,已知椭圆C 1的中心在原点O,长轴左、右端点M 、N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN,且C 1,C 2的离心率都为e.直线l ⊥MN,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=12,求|BC|与|AD|的比值; (2)当e 变化时,是否存在直线l,使得BO ∥AN,并说明理由. 解:(1)因为C 1,C 2的离心率相同, 故依题意可设C 1: 22221x y a b+=,C 2:222421b y x a a+= (a>b>0). 设直线l:x=t(|t|<a),分别与C 1,C 2的方程联立,求得当e=12时分别用y A ,y B 表示A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=22B A y y =22b a =34.(2)当t=0时的l 不符合题意,当t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等, 即b t b t a-,解得t=-222ab a b -=-221e e-·a.因为|t|<a, 又0<e<1,所以221e e -<1,<e<1.所以当0<e 时,不存在直线l,使得BO ∥AN;<e<1时,存在直线l,使得BO ∥AN. 17.(2010年安徽卷,理19)如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程;(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由. 解:(1)设椭圆E 的方程为22221x y a b+=,由e=12, 即c a =12,得a=2c, ∴b 2=a 2-c 2=3c 2.∴椭圆的方程可化为2222143x y c c+=.将A(2,3)代入上式, 得22131c c +=, 解得c=2(负值舍去), ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0), 所以直线AF 1的方程为y=34(x+2), 即3x-4y+6=0, 直线AF 2的方程为x=2.由点A 在椭圆E 上的位置知,直线l 的斜率为正数. 设P(x,y)为l 上任一点, 则3465x y -+=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去). 于是,由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0, ∴直线l 的方程为2x-y-1=0.(3)假设存在这样的两个不同的点B(x 1,y 1)和C(x 2,y 2), ∵BC ⊥l, ∴k BC =2121y y x x --=-12. 设BC 的中点为M(x 0,y 0), 则x 0=122x x +,y 0=122y y +, 由于M 在l 上,故2x 0-y 0-1=0.① 又B,C 在椭圆上,所以有221111612x y +=与222211612x y +=. 两式相减,得2222212101612x x y y --+=, 即()()122116x x x x +-+()()122112y y y y +-=0.将该式整理为18·122x x ++2121y y x x --·16·122y y +=0,并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中, 得18x 0-112y 0=0, 即3x 0-2y 0=0.② ①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A,而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的相异两点.模拟试题考点一 应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.(2013北京西城高三上学期期末)已知椭圆24x +22y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 .解析:由椭圆方程24x +22y =1可知∴|PF 1|+|PF 2|=4. 又|PF 1|-|PF 2|=2, ∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2,∴|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2, ∴12PF F S=12|PF 2||F 1F 2|=12×1×.答案2.(2013北京海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则21PF PF +的最小值是 .解析:设P(x,y),则x 2+2y 2=2,由椭圆方程22x +y 2=1可知,b=1,c=1,∴F 1(-1,0),F 2(1,0). ∴1PF =(-1-x,-y),2PF =(1-x,-y),∴1PF +2PF =(-2x,-2y).∴|1PF +2PF |==2=2∵y 2≤1,∴|1PF +2PF |的最小值是2. 答案:2考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|<B 的解集叫A 的B 邻域.已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22y b=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y 2x 的焦点重合,则椭圆的方程为()(A)28x +23y =1(B)29x +24y =1(C)29x +28y =1(D) 216x +29y =1解析:由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b 的解集是(-2,8), ∴2a+2b-2=8,即a+b=5.①又抛物线y 2x 的焦点为∴椭圆的焦点在x 轴上,且,即a 2-b 2=5.②联立①②可得a=3,b=2,∴椭圆标准方程为29x +24y =1.答案:B2.(2011辽宁模拟)椭圆236x +29y 1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP ·QP 的最小值为( )(A)6(C)9解析:设P(x 0,y 0),则2036x +209y =1,EP =(x 0-3,y 0),又QP =EP -EQ ,∴EP ·QP =EP ·(EP -EQ )=2EP -EP ·EQ =2EP =(x 0-3)2+20y=(x 0-3)2+9-2014x =2034x -6x 0+18, 又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP ·QP 取到最小值6. 答案:A考点三 求椭圆的离心率1.(2012成都二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于点P,若∠DBP=π3,则此椭圆的离心率为( )(A)12(B)2(C)29(D)3解析:如图所示,由已知得A(-a,0), B(a,0),C(0,b), D(2a,0). 设P(2a,y 0), ∵A 、C 、P 共线, ∴k AC =k AP , 即b a =03y a, ∴y 0=3b, ∴P(2a,3b). 又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD ,32b a a-,∴b a =3,∴e=c a 3答案:D2.(2012厦门质检)已知F 是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆(x-3c）2+y 2=29b 相切于点Q,且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于( )(A)3(B)23(C)2(D)12解析:记椭圆的左焦点为F ′,圆(x-3c)2+y 2=29b 的圆心为E,连接PF ′、QE. ∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23c,PQ =2QF , ∴EF F F'=13=QF PF, ∴PF ′∥QE, ∴QF PF '=13,且PF ′⊥PF. 又∵|QE|=3b(圆的半径长), ∴|PF ′|=b.据椭圆的定义知:|PF ′|+|PF|=2a, ∴|PF|=2a-b. ∵PF ′⊥PF,∴|PF ′|2+|PF|2=|F ′F|2,∴b 2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab,∴3b 2=2ab,∴b=23a=3a,c a =3,∴椭圆的离心率为3. 答案:A考点四 直线与椭圆的位置关系的解法1.(2013四川树德中学3月阶段性考试)椭圆E: 22x a +22y b=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3. (1)求椭圆E 的方程;(2)若过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,判断是否存在直线l 使得∠AF 2B 为钝角,若存在,求出l 的斜率k 的取值范围.解:(1)依题意23,22 2.b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆的方程为24x +23y =1.(2)①当过F 1的直线AB 的斜率不存在时,不妨取A （-1,32）,B （-1,-32） 则2F A ·2F B =74,显然∠AF 2B 不为钝角.②直线l 的斜率为k,l 方程为y=k(x+1),由()221,143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-22834k k +,x 1·x 2=2241234k k -+.2F A =(x 1-1,y 1), 2F B =(x 2-1,y 2).∵∠AF 2B 为钝角, ∴2F A ·2F B <0. 即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.即(k 2+1)·2241234k k -+-(k 2-1)·22834k k ++k 2+1<0,整理得7k 2<9,解得-7<k<7. ∴存在满足条件的直线l,其斜率k 的取值范围为. 2.(2013江苏南通高三一模)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E （）.过点P(1,1)分别作斜率为k 1,k 2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:(1)依题设c=1,且右焦点F ′(1,0).所以2a=|EF|+|EF ′3,b 2=a 2-c 2=2,故所求的椭圆的标准方程为23x +22y =1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则213x +212y =1,①223x +222y =1.②②-①,得()()21213x x x x -++()()21212y y y y -+=0.所以k 1=2121y y x x --=-()()212123x x y y ++=-46ppx y =-23. (3)依题设,k 1≠k 2. 设M(x M ,y M ),又直线AB 的方程为y-1=k 1(x-1), 即y=k 1x+(1-k 1), 亦即y=k 1x+k 2,代入椭圆方程并化简得(2+321k )x 2+6k 1k 2x+322k -6=0.于是,x M =1221323k k k -+,y M =221223k k +,同理,x N =1222323k k k -+,y N =122223k k +.当k 1k 2≠0时,直线MN 的斜率k=M NM Ny y x x --=()()2222112121469k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --.直线MN 的方程为y-221223k k +=21211069k k k k --(x-1221323k k k -+),即y=21211069k k k k --x+(21211069k k k k --·1221323k k k ++221223k k +),亦即y=21211069k k k k --x-23. 此时直线过定点（0,-23）. 当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴, 此时亦过点（0,-23）. 综上,直线MN 恒过定点,且坐标为（0,-23）. 综合检测1.(2012东北三校)设椭圆24x +y 2=1的左焦点为F,P 为椭圆上一点,,则|PF|等于( )(A)12(B)32(C)52(D)72解析:设,y),由34+y 2=1, 解得y 2=14.由椭圆方程24x +y 2=1知a=2,b=1.。

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考点40 椭圆一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠= ，则C 的离心率为（ ）A.6 B.13 C.12D.3 【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将12,PF PF 用半焦距c 表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c 的关系，从而得离心率. 【解析】选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠= ,所以212tan 30,33PF c PF c === 。

又122PF PF a +==，所以c a ==即椭圆的离心率为3，选D. 2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解题指南】将),(00y x P 代入到13422=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x yk PA1PA k 22222003334444-?==---PA x y k x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k 3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且错误！未找到引用源。

=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y +=【解题指南】由过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 22求解.【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x . 4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）A.4 B. 12C. 2D.【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是1PF 与x 轴垂直，二是//AB OP【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a=-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA =，即0y b c a =，解得0bc y a =，即2222222b c b c b a a -=，解得c e a ==C. 5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ）A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好,,,a b c e 的关系即可.【解析】选D.设C 的方程为222210x y a b a b +=>>，（），则11,,2,2c c e a b a =====C 的方程是13422=+y x .6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( )A.35B.57C.45D.67【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得,a c【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === 二、填空题7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 【解题指南】利用126d d =构建参数a,b,c 的关系式.【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bc d a =，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以222221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又b a =解得3e =. 8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a ba C a 代入椭圆标准方程得，把 6342=⇒c 【答案】634.9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=错误！未找到引用源。

与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解题指南】①22cce aa==,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: 1212||||||F F e PF PF =+.②求解离心率,还有一种方法,叫平方法.注意到222c e a=,在具体问题中,结合基本量关系式a 2=b 2+c 2进行求解,显然这样的方法适合于题目给出标准方程的题. 【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2|=,所以122212||||c c e a MF MF ====+. 【答案】1.10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率____.e =【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A 到右焦点的距离，进而求得,a c .【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，解得8.BF =在三角形ABF 中，2222221086A B B FA F ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。

设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c = 又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=. 故离心率25.27cc e a a === 【答案】57. 三、解答题11. （2013·陕西高考文科·Ｔ20）已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程;(2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.【解题指南】设出动点M 的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k 与12x x ，的关系式，利用中点坐标即可得斜率. 【解析】(1) 点M(x,y )到直线x=4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为13422=+y x .(2) P(0, 3), 设11221212(x ,y ),(x ,y ),2x 0x 2y 3y A B 由题意知：，=+=+， 椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。

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