一个正态总体参数的假设检验复习
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
正态总体方差的假设检验
方差的计算方法
简单方差
适用于数据量较小，且数据间相互独立的情况。
加权方差
适用于数据量较大，且数据间存在相关关系的 情况，需要考虑到每个数据点的重要程度。
配对样本方差检验
总结词
配对样本方差检验用于比较两个相关样本的方差是否相同。
详细描述
在配对样本方差检验中，我们首先需要设定一个零假设，即两个相关样本的方差无显著差异。然后， 通过计算检验统计量（如Wilcoxon秩和统计量或Stevens' Z统计量），我们可以评估零假设是否被拒 绝。如果零假设被拒绝，则可以得出两个相关样本方差不相同的结论。
方差齐性检验的目的是为了后续 的方差分析提供前提条件，确保 各组数据具有可比性。
方差分析
方差分析（ANOVA）是
1
用来比较多个正态总体均
值的差异是否显著的统计
方法。
4
方差分析的结果通常以p值 表示，若p值小于显著性水 平（如0.05），则认为各组 均值存在显著差异。
2
方差分析的前提条件是各
组数据具有方差齐性和正
正态总体方差假设检验的未来发展
改进假设检验方法
结合其他统计方法
结合其他统计方法，如贝叶斯推断、机器学习等， 可以更全面地分析数据和推断总体特征。
针对正态总体方差假设检验的局限性，未来 研究可以探索更灵活、适应性更强的检验方 法。
拓展应用领域
正态总体方差假设检验的应用领域可以进一 步拓展，特别是在大数据和复杂数据分析方 面。
数学表达式
假设检验基础知识
6.检验方法 p值法：计算检验统计量以及p值 当p值≤α，拒绝H 当p值＞α，不能拒绝H0 临界值法：计算检验统计量以及临界值 当检验统计量在临界阈中时，拒绝H 当检验统计量不在临界阈中时，不能拒绝H0
7.非技术用于的总结：使用非技术用语对原命题进行总结 第一类错误和第二类错误
第一类错误：当原假设为真时，拒绝原假设的错误 第二类错误：当原假设为假时，没有拒绝原假设的错误 统计功效 统计功效是当原假设为假时，正确拒绝原假设的概率，即1-β
总体均值的假设检验
t分布 正态性或者n＞30的条件 大样本的样本均值的分布趋于正态分布 小样本的正态性条件 样本数据的分布应该接近于轴对称 样本数据的分布应该有一个众数 样本数据不应包括任何异常值 t分布重要性质 t分布随着样本量的不同而不同 与正态分布具有相同的钟形曲线，但因样本小而具有更大的变异性 t分布的均值为0 t分布的标准差随着样本量的变化而变化，但肯定大于1 随着样本量n的增大，t分布越来越接近于正态分布
总体标准差或方差的假设检验
卡方分布的性质 卡方分布为非负数，且分布不具有对称性 卡方分布随着自由度的不同而不同
显著性水平α 总体参数的估计值，该值不能等于原假设中的总体参数值
总体比例的假设检验
正态近似法 等价法：使用p值法或临界值法来进行假设检验，而使置信区间来估计总体比例 样本为简单随机样本 满足二项分布的所有条件 有固定的实验次数 试验之间相互独立 结果有且仅有两种可能 每次试验概率不变
精确法 假设已知样本量n、成功次数x，以及原假设中的总体比例p 左侧检验：p值=P（在n次实验中，x或更少的成功次数） 右侧检验：p值=P（在n次实验中，x或更多的成功次数） 双侧检验：p值=2*min(左侧值，右侧值)
第二节 正态总体均值的假设检验
σ
~ N(0,1)
n
（σ 2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
=0 ≠0
X 0 T= ~ T(n 1) S n
接受域
x 0 s n
≤ tα
（σ 2未知）
2
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
X 0 T= ~ T(n 1) S n
( x tα
2
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
U=
X 0
σ
U ≥ zα
2
n
U ≤ zα
N(0,1)
U ≥ zα
未知) T 检验法 (σ2 未知) 原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
X 0 T= S n ~ t(n 1)
（2）关于 σ
2
χ2检验法 的检验
拒绝域
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
σ
2≠σ 2 0
χ =
2
∑(X )
i=1 i
n
χ ≤ χ (n)
2 2 1α 2
2
或 χ 2 ≥ χα2 (n)
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n)
2
χ ≤ χ (n)
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
1 – 2 = δ 1 – 2 ≠ δ 1 – 2 ≥ δ 1 – 2 < δ 1 – 2 ≤ δ 1 – 2 > δ
正态总体方差的假设检验
正态总体方差的假设检验一、引言假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断关于总体参数的某种陈述是否成立。
在实际应用中，我们经常需要对总体方差进行假设检验，以确定样本数据是否能够代表总体的特征。
二、正态总体方差的假设检验在正态总体方差的假设检验中，我们通常使用方差比检验来判断总体方差是否有显著差异。
具体而言，我们设立原假设H0和备择假设H1，然后利用样本数据进行检验。
1. 原假设和备择假设原假设H0通常为总体方差等于某个特定值，记为σ^2 = σ0^2；备择假设H1通常为总体方差不等于该特定值，记为σ^2 ≠ σ0^2。
2. 检验统计量在正态总体方差的假设检验中，我们使用F检验统计量来进行判断。
F检验统计量的计算公式为F = S^2 / σ0^2，其中S^2为样本方差。
3. 拒绝域和接受域在给定显著性水平α的情况下，我们可以根据F检验统计量的分布来确定拒绝域和接受域。
一般来说，当F检验统计量落在拒绝域内时，我们拒绝原假设；当F检验统计量落在接受域内时，我们接受原假设。
4. F分布表的使用由于F检验统计量的分布是F分布，因此我们可以利用F分布表来确定拒绝域和接受域的临界值。
F分布表中给出了不同自由度和显著性水平下的临界值。
5. 计算步骤进行正态总体方差的假设检验时，我们需要按照以下步骤进行计算：(1) 提出原假设H0和备择假设H1；(2) 选择适当的显著性水平α；(3) 根据样本数据计算样本方差S^2；(4) 根据样本量n和显著性水平α确定F分布的自由度；(5) 根据F分布表找到对应的临界值；(6) 比较计算得到的F检验统计量与临界值，判断是否拒绝原假设。
三、实例分析为了更好地理解正态总体方差的假设检验，我们以某电子产品的寿命为例进行实例分析。
假设我们对该电子产品的寿命进行了100次观测，得到样本方差为S^2 = 200。
现在我们想要判断该电子产品的寿命是否满足某个特定的标准。
我们设立原假设H0：电子产品的寿命方差等于标准值，备择假设H1：电子产品的寿命方差不等于标准值。
高考正态分布知识点归纳
高考正态分布知识点归纳作为中国高等教育的重要选拔方式，高考在很大程度上决定了学生的命运。
而统计学中的正态分布是高考中常出现的一个重要概念。
了解和掌握正态分布的相关知识点对于高考数学考试至关重要。
本文将从不同角度对高考正态分布知识点进行归纳和总结，以帮助考生更好地应对相关考题。
一、正态曲线和标准正态分布正态曲线是一种在统计学中经常使用的函数图形。
它呈现出钟形曲线的形状，具有中心对称、均值和标准差两个重要参数的特征。
高考中常见的正态分布问题会涉及到正态曲线的图形特点、标准差的计算等内容。
标准正态分布是指均值为0、标准差为1的正态分布。
对于任意一个正态分布，我们都可以通过标准化处理，将其转化为标准正态分布。
标准正态分布具有良好的性质，比如其面积一定等于1，可以使用标准正态分布表进行查找。
二、正态分布的性质和应用正态分布具有许多重要的性质，这些性质在高考中常常会涉及到。
首先是标准差的性质。
标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。
这个性质可以帮助我们察觉数据的分散程度。
其次是与正态分布有关的概率问题。
根据正态分布的特点，我们可以计算某个数值在一定范围内的概率。
例如，高考中常见的题目会要求计算某个班级或某个学生在全省排名中的百分位数。
最后是正态分布在抽样理论中的应用。
正态分布是许多统计方法的基础，比如样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布等。
这些应用在高考数学考试中也经常会出现。
三、正态分布与假设检验高考中的数学考卷通常涉及到学生的实际生活问题。
与实际问题相关的统计假设检验也常常和正态分布有关。
假设检验是一种通过收集样本数据，根据样本数据对总体参数进行推断的方法。
在高考中，常见的假设检验问题可能涉及到学生的身高、成绩等方面。
其中，若总体服从正态分布，则可以使用正态分布的性质进行假设检验。
对于高考数学考试中的假设检验问题，我们需要熟悉正态分布的假设检验步骤和相关公式，以便正确地解答相关题目。
四、高考试题中的正态分布问题在高考数学试卷中，正态分布相关的题目通常出现在概率与统计部分。
7-2正态总体参数的检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
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设技术革新后方差不变,问革新后产品质量较以前是 否显著提高?(=0.05)
分析: 质量显著提高的含义是寿命均值μ>40. 解:这个问题即在水平=0.05下,检验假设
H0 :=0=40 H1 : >u0= 40 哪一个成立
作为检验统计量.
对给定的水平=0.05，查表知： Z0.05=1.645
作为检验统计量.
对给定的水平 =0.05,查表知2 0.05(24)=36.415
计算k
24 1482 1302
31.106 ;
k<36.415，
接受H0 , 即认为标准差不超过130小时. 由以上说明在水平 =0.05下，认为这批元件合格.
复习 一、概率的计算、事件间关系 二、一维与二维随机变量的概率分布问题 三、会求随机变量函数的概率分布 四、数学期望、方差、协方差的定义、性质及计算 五、会求矩估计量与极大似然估计量 六、会求置信区间 七、会判断估计量的无偏性 八、掌握假设检验的基本步骤
2 1 2
2
2
y
2
三、方差σ2的假设检验 假设的提法
(1)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(2)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(3)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
第一种类型的假设检验 称为双边检验，第二、 三种类型的检验称为单 边检验。
(1)在水平α下，检验假设
H0
:
2
2 0
是否成立?
解：考虑到
(n 1)S 2
2、方差σ2已知时，在水平α下，检验假设
H0 := 0 H1 : > 0 哪一个成立。
与第1种情况类似, 作为检验统计量.
对给定的检验水平α，求临界点Zα使
1-
接受域
Z
拒绝域
代入样本值计算U的值u 当 Z时，拒绝H0；
当u Z时，接受H0 .
例2: 某工厂产品寿命X~N(,2),正常情况下0=40, 0=2,
解：本题要在显著水平α=0.02 下检验假设
H0 : 2 5000 , H1 : 2 5000
n
26,
2
(n
1)
2 0.01
(25
)
44.314
,
2
2 1
(n
1)
2 0.99
(25)
11
.524
,
2 0
5000
2
拒绝域为：
(n 1)S 2
2 0
11.524
,
(n 1)S 2
2 0
44.324
代入样本值计算统计量的值
(41.25 40) 25
U
3.125 >1.645
2
拒绝H0,接受H1,即在水平α= 0.05下,认为革新后的质 量有显著提高.
3、方差σ2已知时，在水平α下检验假设
H0 := 0 H1 : < 0 哪一个成立
__
取U ( X 0 ) n 作为检验统计量
对给定的水平α，求临界点Zα使 -Zα
sn
估计2
用Y
(n 1)S 2 2
~
2(n 1);
由上节课我们知道，假设检验就是先对总体的未知 参数提出某种假设H0，然后再根据小概率事件是否发 生作出拒绝假设H0 或是接受假设H0 的。
弃真错误的概率α即为小概率事件发生的概率。
我们把只关心犯第一类错误而不考虑犯第二类错误 的检验称为显著性检验。
2 1 2
)
1
2
(2)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
检验统计量 K (n 1)S 2
2 0
f ( y)
2 1
2
y
(3)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
参看P145表
例1：某种电子元件的寿命X~ N(,2),合格标准
为: ≥2000, 2 ≤1302,现从一批该种元件中任
抽25只,测得寿命均值为 x 1950,方差s2 1482
2
~
2 (n 1)
当H0为真时，取
K
(n 1)S 2
2 0
~
2(n 1)
作为检验统计量.
对给定的水平α，查 2 分布表，找到临界点
（ 2 n - 1)和12-（ n - 1),使得
2
2
由于α很小，故事件
是小概率事件. 代入样本值计算统计量K的值k.
f ( y)
2 1 2
2
2
y
2
注意：P ( K
检验统计量 T ( (n 1);
2
T t (n 1) T t (n 1)
参看P143表
此方法称为T检验法
-t
t
例1 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分 布,今测得10个灯泡寿命为:1490 1440 1680 1610 1500 1750 1550 1420 1800 1580 。问能否认为该工厂生产的灯 泡寿命为1600(=0.05)? (注：此题是第141页例3）
检验统计量 U ( X 0 )
n
~ N (0,1).
参看P143表
H0的 拒绝域
此方法称为U检验法
Z
2
Z
2
二、方差σ2未知,对均值μ的假设检验
拒绝域
与方差σ2已知的情况类似
假设提法
① H0 := 0 ② H0 : =0 ③ H0 : =0
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
由观察值s2=9200 得
(n 1)S2 02
46 44.314
结论：拒绝H0, 认为这批灯泡的 寿 命的波动性较以往有显著变化。
试在水平=0.05下,检验是否合格. (注：此题是 第145页例6）
①解: 此题为在水平= 0.05下,检验假设 H0: =2000 H1: <2000 哪一个成立?
取T X 0 ~ t(n 1) 作为检验统计量. S/ n
拒绝域为:T<－t (n－1) 对给定的水平= 0.05,查表知t 0.05(24)=1.7109
二、三种类型的检验称为单边检验。并将H0称 为原假设， H1称为备择假设。
一、方差σ2已知时，对总体均值μ的假设检验 １、方差σ2已知时，在水平α下，检验假设 Ｈ0 := 0 （0为已知） 是否成立
考虑到 样本均值X 是 μ的一个无偏估计量，
若H 0成立， 则X
~
N (0 ,
2 ), 从而X
~
N
(0
2
以上方法称为U检验法。
小结：U检验法的一般步骤
（1）提出假设 H0: = 0 H1: ≠ 0
（2）选定检验统量：
（3）对给定的显著水平α，确定临界值点
P(U Z )
2
（4）计算检验统计量的观察值 u
Z ，使
2
（5）下结论 当 u Z 时， 接受H0 2
当 u Z时， 拒绝H0
2
例1：某车间用一台包装机装箱,额定标准为每箱 重100kg,设每箱重量服从正态分布,且σ=1.15,某 日开工后,随机抽取10箱,测得重量为(kg):
s
129
0.44 t 9 2.262
2
在水平=0.05下, 接受H0.
即认为该工厂生产的灯泡寿命为 = 1600小时.
三、方差σ2的假设检验
假设的提法
(1)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(2)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(3)H0
: 2
2 0
,
H1
:
2
2 0
f ( y)
第一种类型的假设检验 称为双边检验，第二、 三种类型的检验称为单 边检验。
例2：某厂生产某种型号的电池，其寿命服从 方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批 这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动 性有所改变。现随机抽取26只，测出其寿命的 样本方差S2=9200(小时2），问根据这批数据能 否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著 变化。（α=0.02）
分析：寿命的波动性由方差反应。
代入样本值，计算t 1950 2000 1.689
148/ 5 ∴t= －1.689> － 1.7109, 应接受H0 , 即认为元件寿命不低于2000小时.
②在水平在水平 =0.05下,检验假设
H0: 2 = 1302 H1: 2 >1302 哪一个成立?
取K
n 1S 2
2 0
~
2 n 1
§2 一个正态总体参数的假设检验
设X
~
N (, 2 ) ，（X1
,
X2
,
,
X
）是其
n
样本.
一、方差σ2已知时，对均值μ的假设检验
二、方差σ2未知时，对均值μ的假设检验
三、方差σ2的假设检验
复习： 置信区间
2已知,估计 用U X ~ N(0,1)
/ n
2未知,估计 用 T X ~ t(n 1).
99.3 98.9 101.5 101.1 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9 试在水平α=0.05下，检验假设
H0 : 0 100
是否成立?