数学建模第01章 关于数学模型
数学建模 第一篇第一章
第一篇 线性规划模型及应用第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质§1-1-1线性规划问题的数学模型引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。
如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)：表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。
1.假若考虑只用3B 方式下料，需要用料100根；2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)：表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。
但这仍然不是最好的下料方法。
3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。
设用1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B ,7B ,8B 方式下料的根数分别为87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，则可以建立线性规划数学模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++++≥++++≥++++++++++=0,,,,,,,10043231002321002..m in 8765432187643176532432187654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x S 用LINGO 10.0软件求解，程序如下： Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;根据输出结果，得：,20,4021==x x 90m in ,0,0,30,0,0,0876543=======S x x x x x x (最优解不唯一)；或90m in ,0,0,0,0,30,0,50,1087654321=========S x x x x x x x x 。
《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模：第一章 数学建模基本概念
这是三个未知数。电表不能直接测量出这三个未知
数。然而我们可以把a*和b*连接起来，在a和b处测 量得电阻x+y为l；然后将b*和c*联接起来，在b和c 处测量得y+z为m，联接c*和a*可测得x+z为n。
13
这样得三元一次方程组
x y l y z m x z n
38
2、建立数学模型的方法和步骤
1）观察 ２）现实问题的理想化 ３）建立数学模型 建立数学模型应注意以下几点： (1) 分清变量类型，恰当使用数学工具。 （2）抓住问题本质，简化变量之间的关系。 (3) 建立数学模型时要有严密的数学推理。 (4) 建模要有足够的精度。 39
４）模型求解
５）模型的分析、验证
T 126 e
所以
kt
24
由T(10)=100 ,可定出K≈0.05
T 126 e 0.05 t 24
当t=20时
T (20) 126 e
0.0520
24 46 C
0
21
３、七桥问题
1).能否不重复的一次走完七座桥？ 2).能否不重复的一次走完七座桥又回 到原地？
4mlv 2 x 3Mg
n
3Mg 4ml
若以 M:m＝4:1 L＝１米代入上式 可得 n≈5
即每秒5步，这显然太快了。
36
对模型（＊）作如下修改：
假设腿重集中在脚上，这样腿的运动所需动能 即为脚作直线运动所需动能，
于是
从而
1 mv 3 E n mv 2 2 2x Mgv mv 3 P x 8l 2x
3、数学建模教育有利于学生解决实际问题综合能力的提高；
4、我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都 可用简捷数学方法完美的解决。
《数学建模》习题及参考答案 第一章 建立数学模型
第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r mex t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
数学建模训练第一章建立数学模型精品PPT课件
=…= x0 (1+r1/12)n-M [(1+r1/12)n-1+…+1]
由于 x0=A, xN1=0.
那么 A (1+r1/12)N1-12M [(1+r1/12)N1-1]/ r1=0
这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ [(1+r1/12) N1 -1]
同理 可以计算商业贷款月还款额
第n月还款 额公式
r1 (1r1)N1
r2(1r2)N2
MnA1 (12r1)1N 211I{nN1}B1 (12r2)1N 22 1I{nN2}
12
12
等额本金情形
•月还本贷款本金／还款月数，利息月月清 •月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率） •第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 •第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 •…. •第N1个月公积金月还 A/N1+ A[1-(N1-1)/N1]r1/12
70 S6 110
720 520 88
62 420
1100
202 S1
20
462 S5 10
A13
70
42
10
210 220 A12
195 306
12 31
480 A10300 A11 A9
1150
0
5
10
201 A868011
A1 A1
600 10
450 80
194
205 A7
A6
11
11
A5 A11
数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实 际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究 的对象, 从而更有效地解决实际问题。
数学建模讲义
π
3.模型建立 3.模型建立
已知 f (θ)， g(θ)为连续函数， f (0) = 0, g(0) = 0，且对任意 θ ， 有
f (θ)g(θ) = 0，证明存在 θ0 ∈(0, ) ，使 f (θ0) = g(θ0) = 0 2
π
４．求解
证明：令 F (θ ) = f (θ ) − g (θ ) 。则 F (θ ) 连续。 且 F (0) = f (0) − g (0) > 0 ， F ( ) = f ( ) − g ( ) < 0 ， 据介值定理，必定存在 θ 0 ∈ (0, 即 f (θ 0) = g (θ 0 ) = 0 。
三、问题假设 1、人口虽然是离散量，可以看作某个连续量的特 例，不妨假设人口是连续量。 2、设N(t),r(t,N(t))表示t时刻的人口总数和增长 、设N(t),r(t,N(t))表示t 率，其它因素暂不考虑，则在t t+△ 率，其它因素暂不考虑，则在t到t+△t时间内人 口总数的增长为 N(t+△t)-N(t)=r(t,N(t))N(t)△ N(t+△t)-N(t)=r(t,N(t))N(t)△t 连续化即为： dN/dt=r(t,N(t))N(t) 3、由于r(t,N(t))的不确定性，该方程求解十分困 、由于r(t,N(t))的不确定性，该方程求解十分困 难。
π
π
π
π
2
2
2
2
) ，使 F (θ 0 ) = 0 ，
货物交换模型 1.问题描述 1.问题描述
在一个部落内根据分工， 人们从事三种劳动： 农田耕作 （F） 、 农具制作（M）及纺织（C） 。交易系统为实物交易如下：
F F M C 1/2 1/4 1/4
数学模型-第01章(第五版)
R ~大皮半径 r ~小皮半径
Sk1R2 V k2R3 VkS3/2 (2)
sk1r2, vk2r3 vks3/2 (3)
(1),(2),(3)
Vn3/2v
消去S, s, k
解释
定性分析 V 比 nv 大 (n>1)——大饺子包得馅多. 定量结果
应用 若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？
分析
建立馅、皮与数学概念的联系 ：馅——体积，皮——表面积
体积V、面积S 一个大饺子
体积v、面积s
n个小饺子
S
s s…s
V
vv
v
V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大多少? 定量结果
假设 1.皮的厚度一样 2.饺子的形状一样
建模
Sns(1)
两个 k1 (及k2) 一样
体积与面积的联系——半径（特征半径 ）
一 1.2 数学建模的重要意义
章 1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类
型 1.8 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1.1 从现实对象到数学模型
数学建模
计算机技术
知识经济
为教育改革注入强大活力
• 数学教育本质上是一种素质教育. • 数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、
证明…)和用数学(分析、解决实际问题). 传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者. • 让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.
数学建模引入教学符合教育改革的需要
第一章 数学建模
§1.1 数学模型及数学建模概述
1.1.1 数学模型
数学模型就是对实际问题的一种数学表述，是针对或参照某种问题（事件或系统）的特征和 数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似表达出来的数学结构。更确切地说：数学模型就是 对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用 适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。 数学模型是利用数学工具解决实际问题的重要手段，其特点主要有如下几个方面： (1)模型的逼真性和可行性。一般来说总是希望模型尽可能的逼近所研究的对象，但是一个 完全逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易通过建模对现实对象进行分析、预报、 决策或者控制。另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能够处理，但处理的代价也相 当高。所以，一个恰当的数学模型需要在逼真性和可行性之间做出选择。 (2)模型的渐进性。复杂问题的数学模型不可能一次成功，需要经过反复修改，由简到繁， 才能得到越来越满意的模型。 (3)模型的可转移性。模型是对现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所 独有，可以转移到另外的其他领域。生物、经济、社会等领域的模型就常常借助于物理领域的模 型。数学模型的这种性质显示了它应用的极端广泛性。 (4)模型的非预制性。虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样的、 千变万化的，不可能把各种模型做成预制品让你在建模的时候使用。模型的这种非预制性使得模 型本身常常是事先没有答案的问题， 在建立新的模型的过程中甚至会伴随新的数学方法或者数学 概念的产生。 (5)模型的局限性。这包括：第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是 因为模型是现实对象的简化、 理想化的产物， 所以一旦将模型的结论用于实际问题， 那些被忽略、 简化的因素必须考虑，所以结论的通用性和精确性只是相对和近似的。第二，由于人们认识能力 和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。 数学模型可以按照不同的方式分类，通常有 (1)按照模型的应用领域分，如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、 污染模型等。范畴更大的一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济 学、数学社会学等。 (2)按照建立模型的方法分，如初等模型、几何模型、微分方程模型、概率统计模型、数学 规划模型等。 (3)按照建模目的分，有描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
数学建模第一章数学建模概述
• 文字表达水平: 每队完成一篇用数学建模方法解决 实际问题的完整的科技论文
竞赛培养综合素质
• 诚信意识和自律精神：开放型竞赛，三天中同学自 觉地遵守竞赛纪律，不得与队外任何人（包括指导 教师在内）以任何方式讨论赛题，公平竞争
优惠几何
安排
2008 数码相机定位
高等教育收费标 地面搜索 准探讨
NBA赛程的分 析与评价
2009 制动器试验台的控 眼科病床的合理 卫星和飞船的 会议筹备
制方法分析
安排
跟踪测控
2010 储油罐的变位识别 上海世博会影响 输油管的布置 学生宿舍设计
与罐容表标定
力定量评估
方案评价
题目的特点
•题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背 景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题. •题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深.
标准 假设的合理性，建模的创造性，
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
竞赛培养综合素质
评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、
结果的正确性、表述的清晰性
• 信息获取能力：通讯形式，三天内同学可以自由地 使用图书馆和互联网以及计算机和软件，需要学生 在很短时间内获取与赛题有关的知识和能力
好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的
清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份
数学的重要性：众所周知
马克思： 一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。
英国物理学家伦琴回答“科学家需要什么样的修养”： “第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”
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2020/12/16
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3
开设数学建模课的目的
• 培养“翻译”能力，即把经过一定抽象、简化 的实际问题用数学的语言表达出来形成数学模
型，对得到的结果，能用“常人”能懂的语言 “翻译”（表达）出来。
• 应用已学的数学方法和思想进行综合应用和分 析，并能学习一点新的数学知识。
• 发展洞察力。通俗地讲就是一眼就能抓住要点 的能力。
• 熟练使用计算机及各种数学软件的能力。
2020/12/16
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4
有关数学模型的概念
• 模型就是对客观事物的概括性的、有代表性的
描述。从理论上分为：
• 实物模型 • 模拟模型 • 文字模型：语言模型、符为目的，从该问题中抽象、归结出来的数学问 题。
• 1989年，由北大、清华、复旦等四所大学首先参加了美国 大学生数模竞赛。
• 1992年，中国工业与应用数学学会主办了首届全国大学生 数模竞赛。
• 从1995年开始，全国大学生数模竞赛成为由教育部高教司 和中国工业与应用数学学会共同举办的、一年一度的、面 向所有大专院校同学的一项竞赛，是目前我国高校中规模 最大的科技竞赛。
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数学建模的基本步骤
• 问题分析 • 模型假设、符号说明 • 建立模型 • 模型求解 • 模型检验 • 模型推广、评价
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• 建立并求解数学模型的过程称为数学建模。
2020/12/16
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数学模型的分类
• 按模型的实用领域，可分为：人口模型、 交通模型、传染病模型、排队模型等。
• 按建立模型的数学方法，分为：几何模型、 代数模型、规划模型、图论模型、微分方 程等。
• 按模型的变量特征，可分为：静态和动态 模型、确定性和随机模型、离散和连续模 型、线性和非线性模型等。
关于数学模型
许立炜 南京邮电大学应用数理学院
2020/12/16
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1
关于数学建模
• 大学生数模竞赛的由来与历史 • 开设数学建模的目的 • 数学模型的概念 • 数学模型的分类 • 数学建模的基本步骤
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大学生数模竞赛的由来与历史
• 1982年，美国工业协会设计了一个比赛，题目完全来源于 实际问题，不强调个人成果。近年来，它已发展成为约有 10个国家和地区参加的国际大学生数模竞赛。