接触问题分析

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引言（ 引言（5/5)
研究内容浅析: 研究内容浅析 （续） 求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。 求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。 经典方法：利用有限元方法，通过迭代进行求解。 经典方法：利用有限元方法，通过迭代进行求解。 数学规划方法： 数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统 总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为： 总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为： 寻求一组位移矢量 {q} ； 二次 引入单边约束条件 使系统总势能 Π 取驻值； 取驻值； 规划 线性互补问题 问题 并满足条件 h ( q ) = 0 。

(l = x, y , z )

4）混合（假定 方向滑动） ） 假定x 方向滑动）
∆Fal = −∆Fbl ( l = x, y, z )   Fax + ∆Fax = ± µ ( Faz + ∆Faz )  −∆qay + ∆qby = 0 −∆q + ∆q = r az bz z 

3）滑移 ）
目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变 目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法， 分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函， 分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问 题的控制方程。这是由于大型工程结构分析， 题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元 方法，而经典方法仍然在此框架之内。本章则侧重介绍接触问题 方法，而经典方法仍然在此框架之内。本章则侧重介绍接触问题 的数学规划解法，主要从可研究的角度考虑。 的数学规划解法，主要从可研究的角度考虑。
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引言（ 引言（2/5)
研究内容： 研究内容： 接触模式问题：描述两接触体间的力的传递、 接触模式问题：描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷 下接触状态的变化； 解决如何描述的问题） 下接触状态的变化；（解决如何描述的问题） 几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件； 几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件； 解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述？） （解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述？） 摩擦定律问题： 摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间 的关系； 的关系； 求解方法问题：建立数学方程并加以求解。 求解方法问题：建立数学方程并加以求解。 对以上四方面内容，不少学者进行了研究， 对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与 方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。基于接触 方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。 问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性， 问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性，它一直是固体力学研究 的热点。 的热点。
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引言（ 引言（4/5)
研究内容浅析: 研究内容浅析 （续） 几何约束问题：与接触模式密切相关。实际上， 几何约束问题：与接触模式密切相关。实际上，在接触模式确定的 同时，接触体边界的约束性也随之确定， 同时，接触体边界的约束性也随之确定，即相应地以点对点形 式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。 式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。 摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑（Coulomb）摩擦 摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑（ ） 定律，其中的摩擦系数为常数。实际上， 定律，其中的摩擦系数为常数。实际上，摩擦系数不仅取决于 接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、 接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触 面润滑条件、表面压力等多种因素有关。 面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是同样的接触物 摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。 体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理 非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、 非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、 动摩擦系数分开处理。本章介绍接触问题的经典解法 经典解法时 动摩擦系数分开处理。本章介绍接触问题的经典解法时，也采 库仑摩擦定律；介绍接触问题的数学规划解法 数学规划解法时 用库仑摩擦定律；介绍接触问题的数学规划解法时，将采用数 学上表述更严谨的Klarbring广义摩擦定律。 广义摩擦定律。 学上表述更严谨的 广义摩擦定律
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经典的接触问题求解方法（ 经典的接触问题求解方法（1/3)
一般采用三个假设： 一般采用三个假设： 接触表面是凸的、连续的； 接触表面是凸的、连续的； 接触表面服从库仑摩擦定律； 接触表面服从库仑摩擦定律； 接触模式是点－点接触模式。 接触模式是点－点接触模式。
z（法向） 法向）
r =0

y
B

x

（切平面） 切平面）

(a) 可能接触区

(b)

接触的A、 两物体 接触的 、B两物体 (a) 可能接触区；(b) 接触区局部坐标系 可能接触区；

r表示接触点对间的间隙 表示接触点对间的间隙
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经典的接触问题求解方法（ 经典的接触问题求解方法（2/3)
定解条件： 定解条件： 四类接触状态，对应的定解条件为 四类接触状态，对应的定解条件为： 定解条件 1）开式 ） 2）粘式 ）
接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性 接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性 是普遍存在的 的部分， 连在一起的部分 这些部分之间的力靠它们之间的挤压、 连在一起的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲 击来传递。 击来传递。 接触实例：齿轮的齿间啮合； 接触实例：齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片 与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。 与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。 研究现状：简单的弹性接触问题在 世纪末 世纪末Hertz就已经开始研究， 就已经开始研究， 研究现状：简单的弹性接触问题在19世纪末 就已经开始研究 但只有在有限元方法及计算机出现以后， 有限元方法及计算机出现以后 但只有在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有 实用化程度。 了长足发展，并达到实用化程度 了长足发展，并达到实用化程度。 接触问题的特点： 边界非线性问题，边界条件不再是定解条件， 接触问题的特点：属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而 不再是定解条件 是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变 接触面积与压力随外载的变化而变， 是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并 与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。 与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。
第四章 Βιβλιοθήκη Baidu触问题分析
目的：以接触问题为例，介绍边界非线性问题。 目的：以接触问题为例，介绍边界非线性问题。 特点：与线性有限元方法比较，边界条件是待求的。 特点：与线性有限元方法比较，边界条件是待求的。 内容： 内容： 引言 经典的接触问题求解方法 数学规划方法求解接触问题

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引言（ 引言（1/5)

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经典的接触问题求解方法（ 经典的接触问题求解方法（3/3)
接触区有限元方程： 接触区有限元方程：
K ∆q = ∆F
静力凝聚 非接触区 凝聚载荷

 K *  {∆qC } = {∆FL* } + {∆FC }  
等效刚度 接触区位移

接触方程！ 接触方程！

将定解条件代入， 将定解条件代入，接触方程 就成为定解问题。 就成为定解问题。代入时可 使用间接的接触单元法 接触单元法， 使用间接的接触单元法，也 直接代入。 可直接代入。直接带入时的 计算步骤

Trial-Error-Iteration过程： 过程： 过程 Step 1，试求解（trial）：假定初始的接触状态，然后 ）：假定初始的接触状态 ，试求解（ ）：假定初始的接触状态， 依此获得相应的定解条件， 依此获得相应的定解条件，以得到新的边界条件并求 同时得到接触力； 解，同时得到接触力； Step 2，计算误差（error）：若新得到的接触力与接 ）：若新得到的接触力与接 ，计算误差（ ）： 触位移满足初始假定的接触状态，则为真解。 触位移满足初始假定的接触状态，则为真解。否则转 入Step 3； ； Step 3，迭代（iteration）：更新接触状态及相应的定 ）：更新接触状态及相应的定 ，迭代（ ）： 解条件，转入Step 1进行迭代。 进行迭代。 解条件，转入 进行迭代
A

边界的接触状态（判定性条件） 边界的接触状态（判定性条件） 分别为： 分别为：
1）开式（opening）接触：此时 rz ≥ 0 ， ） 开式（ ） 接触： 即法向间隙大于等于0； 即法向间隙大于等于 ； 2）粘式（cohesive）接触：此时 rz = 0 ） 粘式（ ） 接触： 即法向无间隙， （ ∆rx = 0 ，∆ry = 0 ） ；即法向无间隙， 且在一个载荷增量步始末， 且在一个载荷增量步始末，整个切平 面无相对滑动； 面无相对滑动； 3）滑移（sliding）接触：此时 rz = 0 ， ）滑移（ ）接触： ∆rx ≠ 0 且 ∆ry ≠ 0 ，即法向无间隙，且 即法向无间隙， 切平面的两个方向均有相对滑动； 切平面的两个方向均有相对滑动； 4）混合（mixed）接触：此时 z ）混合（ ）接触： ， ∆ry ∆rx 中一个为0、一个不为0， 与 中一个为 、一个不为 ， 即法向无间隙， 即法向无间隙，切平面的一个方向无 相对滑动、而另一个方向有相对滑动。 相对滑动、而另一个方向有相对滑动。 7
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引言（ 引言（3/5)
研究内容浅析： 研究内容浅析： 接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。 接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。 点－点（node-to-node）接触模式：将两接触体的接触面分成同样 ）接触模式： 的网格， 结点组成一一对应的结点对， 的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传递 通过结点对实现， 通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地 按结点对来判断。优点－直观、简单、易于编程。缺点－ 按结点对来判断。优点－直观、简单、易于编程。缺点－对 于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。 于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。 点－面（node-to-surface）接触模式：先将两接触体人为地分为 ）接触模式： 主动体（ ），并假定主 主动体（master body）与被动体（slave body），并假定主 ）与被动体（ ）， 动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点 个结点可与被动体表面上的任意一点（ 动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点（不一 定是网格结点）相接触。优点－ 定是网格结点）相接触。优点－两接触体可根据自身情况剖 分网格。缺点－方法较复杂、编程难度大。 分网格。缺点－方法较复杂、编程难度大。
Fal + ∆Fl = Fbl + ∆Fbl = 0
∆Fal = −∆Fbl ( l = x, y , z )  −∆qal + ∆qbl = 0 ( l = x, y ) −∆q + ∆q = r az bz z 
 ∆F = −∆F ( l = x, y, z ) bl  al  Fax + ∆Fax = ± µ ( Faz + ∆Faz ) cos θ    Fay + ∆Fay = ± µ ( Faz + ∆Faz ) sin θ  θ = tan −1 ∆qby − ∆qay  ∆qbx − ∆qax  −∆qaz + ∆qbz = rz 
经验表明， 经验表明，接触迭代往往只有几步就 可很快收敛，这种试验（ ）－误 可很快收敛，这种试验（trial）－误 ）－ ）－迭代 差（error）－迭代（iteration）的方 ）－迭代（ ） 又称为经典方法， 法，又称为经典方法，由于归根到底 求解的仍然是 KU = F 型方程。 型方程。

接触区载荷