正弦函数、余弦函数的性质对称中心与对称轴多ppt课件
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正弦函数、余弦函数的图象和性质 PPT
x0
2
3 2 2
sin x 0 1 0 1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
2.画出函数y cos x, x0,2 的简图.
x0
2
3 2 2
cos x 1 0 1 0 1
cos x 1 0 1 0 1
1.已知函数y 2cos x 1,作出函数的图象，并根据图象 写出函数的定义域、值域、单调区间、对称轴、对称中 心，并解不等式 2cos x 1 0.
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
2
k,0, k Z
2
R
1，1
增： 2k，2k ,k Z
减：2k, 2k , k Z
偶函数
x k , k Z
2
k
,
0
,
k
Z
2
1.画出函数y 1sin x, x0,2 的简图.
函数名sin 后面跟的是角，无论角 以何种形式出现，只要整体取定一 个值，就可以得一个正弦值。
根据正弦函数的图象填写下面的表格
函数
y sin x
y cos x
图象
定义域 值域 单调区 间
奇偶性 对称轴
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
【课件】正弦函数、余弦函数的性质+(2)+课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
23
33
4.变式:求函数y sin( 1 x ), x [ , ]的单调递增区间.
23
解 : y sin( 1 x ) sin(1 x ),
23
23
令z 1 x , x [2 ,2 ], 则z [ 4 , 2 ].
23
33
因为y
sin
z,
z
[
4
,
2
]的单调递减区间是[
4
时取得最小值
1;
7.最大值与最小值
由余弦函数的图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数当且仅当 x _2_k__,_k____Z__ 时取得最大值1,
当且仅当x _____2_k__,_k___Z_时取得最小值 1.
8. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数 y sin x, x R
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z ) 上都单调递减,
其值从1减小到－1.
7.最大值与最小值
正弦函数图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数当且仅当
x
2k , k Z
_2__________
时取得最大值 1,
当且仅当
x
2k , k Z
___2__________
5
)在区间[0,
]上的单调递增区间为(
)
3
A.[5 ,11 ]
12 12
5
、B.[0, 12 ]
正、余弦函数的对称性、最值PPT课件
8
2020/1/14
9
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2（二）
跟踪训练 1 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最 大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5. ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，
其值从1减小到－1。
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3
(一)探究：①正弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x
2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
2
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y
1
3 5
2
P'
2 3
2
2
O
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
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正弦、余弦函数的性质 对称性和最值
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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例题讲解 LOGO
例5 求下列函数的最大值，最小值，并写出取最值时自变量x的集合．
（1）y cos x 1, x R；（2）y 3sin 2x, x R.
整体代换
【解析】(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin z取得最小值的z的集合z z
由
2x
z
1
2
探究新知 LOGO
例7 求下列函数的值域：
(1) y 3 2 cos(2x );(2) y cos2 x 4 cos x 5.
3
解：(1) -1 cos(2x ) 1-2 2 cos(2x ) 2,
3
3
1 3 2 cos(2x ) 5，即y=3 2 cos(2x )的值域为[1,5].
3
3
(2) y cos2 x 4 cos x 5 (cos x 2)2 1,
令t cos x,则t [1,1]
y (t 2)2 1在[1,1]上单调递减
当t= 1时，ymax (1 2)2 1 10 当t=1时，ymin (1 2)2 1 2 故y cos2 x 4 cos x 5的值域为[2,10].
课堂练习 LOGO
1.求函数y=2sin( x),x∈R 的单调递增区间；
4
解：y
2 s in(
x)
2sin(x
)
4
4
由 2k x 3 2k (k Z)， 得 3 2k x 7 2k (k Z)
2
42
4
4
故y 2sin( - x)的单调增区间为[3 2k , 7 2k ](k Z ).
课堂练习 LOGO
课堂小结 LOGO
课堂小结
正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x
2
时，有最大值 y 1
最小值：当x
2
时，有最小值y 1
探究：余弦函数的最大值和最小值
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x 0
时，有最大值 y 1
最小值：当 x
时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
故 2k 1 x 2k ,
2
2 32
得 5 4k x 4k , k Z.
3
3
则函数y sin(1 x )，x R的单调递增区间是[ 5 4k, 4k]。
23
33
练习：求函数y sin( 1 x)，x R的单调递增区间 32
得 5 4k x 11 4k , k Z.
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
5-4-2 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
π
π
π
由 y＝cosx＋6，x∈0，2，可得 x＋ ∈ ， ，
6 6 3
1
3
∴ − ≤ cos( + ) ≤
2
6
2
1
所以函数的值域为－ ，
2
3
.
2
解三角不等式
当x∈[0，2π]时，求不等式 cos ≥
y
集.
, ∪ [ , ]
值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要
研究的问题.
学习
目标
1. 理 解 正 弦 函 数 、 余 弦
2.能够利用函数的单调
函数的单调性具有周期
性解决比较函数值的大
性变化的规律，通过一
小以及求函数的最值、
个周期内的单调性进而
值域等问题.
研究在整个定义域上的
性质.
问题1：类比以往对函数性质的研究，正弦函数、余
使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
5π
π
π
即 2kπ－ 6 ≤2x≤2kπ＋6(k∈Z)，
令 2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)，
5π
π
∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z).
5π
π
π
π
由 y＝cosx＋6，x∈0，2，可得 x＋ ∈ ， ，
6 6 3
1
3
∴ − ≤ cos( + ) ≤
2
6
2
1
所以函数的值域为－ ，
2
3
.
2
解三角不等式
当x∈[0，2π]时，求不等式 cos ≥
y
集.
, ∪ [ , ]
值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要
研究的问题.
学习
目标
1. 理 解 正 弦 函 数 、 余 弦
2.能够利用函数的单调
函数的单调性具有周期
性解决比较函数值的大
性变化的规律，通过一
小以及求函数的最值、
个周期内的单调性进而
值域等问题.
研究在整个定义域上的
性质.
问题1：类比以往对函数性质的研究，正弦函数、余
使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
5π
π
π
即 2kπ－ 6 ≤2x≤2kπ＋6(k∈Z)，
令 2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)，
5π
π
∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z).
5π
π
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
新知探究 ：
1、正弦函数的单调性 y
1
y
1
2
o
2
o
-1
-1
3
2
2
x x
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
新知探究：
1、正弦函数的单调性
y
-4 -3
-2
- 2
1
o
-1
2
2
3
4
5 6 x
x
2
…
0
…
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
y
正弦 函数 y=sinx的 图象
1-
-
-
-
o - 1-
2
4
6
x
对称中心：无数个
（kπ，0）,k∈Z
y
余 弦函 数 y =co sx的 图象
1-
-
-
-
o
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
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解：令z 1 x
2
3
函数y sin z的单调增区间
[ 2k , 2k ]
2
2
即 2k 1 x 2k
2
2 32
得 5 4k x 4k (k Z )
3
3
又∵ x [2 , 2 ]
函数y sin(1 x )的单调增区间是 [ 5 , ]
23
33 9
求函数 y sin( 1 x)的单调递增区间。
轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。
5
正弦函数——对称性
●
●
●
●
正弦函数的对称性
正弦函数是轴对称图形吗？
对称轴： x k ,k Z
2
正弦函数是中心对称图形吗？
对称中心（ k ,0) (k Z ) 6
余弦函数——对称性
余弦函数的对称性
余弦函数是轴对称图形吗？
1
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
]
增函数 减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
x 4k
3
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
使原函数取得最大值的集合是
x
|
x
3
4k
,k
Z
函数y的最大值是
1 2
，
最小值是
1 2
。
3
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
（3） cos515。 与 cos530。. y 1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
解： cos515 o cos(360 o 155 o ) cos155 o
y=cosx
y
1
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1
x 2k 时，ymin 1
x 2k ,2k 2 增函数 x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k 2 Z
(4)
y
1 2
sin
3
3
111 2x3解：令z 1 x
23
要使y 1 sin z有最大值， 2
必须 z 2k ,k z
2
1 x 2k
2 32
y
1
2
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
必要须使y
1 sin 2
z有最小值，
z 2k ,k z
2
1 x 2k
23 2
x 5 4k
3
使原函数取得最小值的集合是
32 为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来
反思:
对于求y Asin( x )的单调区间,要注意 0 的情形,将 <0化为 >0,再处理.
10
变式3.求函数y sin( 1 x )的单调增区间.
23
遇到x系数为负的三角函数， 详解：y sin( 1 x ) sin(1 x )
cos530 o cos(360 o 170 o ) cos170 o
因为 0o 155o 170o 180o
且函数y=cos x,x∈[0°,180°]是减函数，所以
cos155o cos170o
即
cos515o cos530o
4
中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。
对称轴：x k (k Z )
余弦函数是中心对称图形吗？
对称中心：x k , k Z
2
7
y
1
•
2
0
求 y sin(2 x -1 )
2
3
2 5
x
2
2
函数的对称轴和对称中心
解（1）令
z
3
2x
则
y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
8
例5 求函数 y sin( 1 x ) ，x [2 , 2 ]
的单调增区间.2 3
23
23
第即一求函 步数一y 定sin要(12 将x x3系)的单 数调化减为区间 正。值，
否2则 2答k 案 12会x 正3 好32相 反2k，, k 出Z现错误。
5 4k x 11 4k , k Z
3
3
所以函数y sin( 1 x )的单调增区间为：
23
[5 4k , 11 4k ], k Z