高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题

第12专题训练复合函数零点问题一、基础知识: 1、复合函数定义:设yft,tgx,且函数gx的值域为ft定义域的子集,那么y通过t的联系而得到自变量x的函数,称y是x的复合函数,记为yfgx 2、复合函数函数值计算的步骤:求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序,一层层求出函数值。例如:已知22,xfxgxxx,计算2gf 解:2224f 2412gfg 3、已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求x的解,则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到求出x的值。例如:已知2xfx,22gxxx,若0gfx,求x 解:令tfx,则2020gttt解得0,2tt 当0020xtfx,则x 当2222xtfx,则1x 综上所述:1x 由上例可得,要想求出0gfx的根,则需要先将fx视为整体,先求出fx的值,再求对应x的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义: 4、函数的零点:设fx的定义域为D,若存在0xD,使得00fx,则称0xx为fx的一个零点 5、复合函数零点问题的特点:考虑关于x的方程0gfx根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于fx的方程,观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应,将x的个数汇总后即为0gfx

的根的个数

6、求解复合函数ygfx零点问题的技巧: (1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出,fxgx的图像 (2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于fx的方程0gfx中fx解的个数,再根据个数与fx的图像特点,分配每个函数值ifx被几个x所对应,从而确定ifx的取值范围,进而决定参数的范围复合函数: 二、典型例题

例1:设定义域为R的函数1,111,1xxfxx ,若关于x的方程20fxbfxc由3个不同的解123,,xxx,则222123xxx______ 思路:先作出fx的图像如图:观察可发现对于任意的0y,满足0yfx的x的个数分别为2个(000,1yy)和3个(01y),已知有3个解,从而可得1fx必为 20fxbfxc的根,而另一根为1或者是负数。所以1ifx,可解

得:1230,1,2xxx,所以2221235xxx 答案:5 例2:关于x的方程22213120xx的不相同实根的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.8 思路:可将21x视为一个整体,即21txx,则方程变为2320tt可解得:1t

或2t,则只需作出21txx的图像,然后统计与1t与2t的交点总数即可,共有5个答案:C

例3:已知函数11()||||fxxxxx,关于x的方程2()()0fxafxb

(,abR)恰有6个不同实数解,则a的取值范围是 . 思路:所解方程2()()0fxafxb可视为20fxafxb,故考虑作出fx的图像:2,12,012,102,1xxxxfxxxxx, 则fx的图像如

图,由图像可知,若有6个不同实数解,则必有122,02fxfx,所以122,4afxfx,

解得42a 答案:42a

例4:已知定义在R上的奇函数,当0x时,121,0212,22xxfxfxx,则关于x的方程2610fxfx

的实数根个数为( )

A.6 B.7 C.8 D.9 思路:已知方程2610fxfx可解,得1211,23fxfx,只需统计11,23yy与yfx的交点个数即可。由奇

函数可先做出0x的图像,2x时,122fxfx,则2,4x的图像只需将0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像

完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案:B 小专题训练有话说:在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5:若函数32fxxaxbxc有极值点12,xx,且11fxx,则关于x的方程2320fxafxb的不同实根的个数是( )

A.3 B.4 C.5 D.6 思路:'232fxxaxb由极值点可得:12,xx为2320xaxb ①的两根,观察到方程①与2320fxafxb结构完全相同,所以可得2320fxafxb的两根为1122,fxxfxx,其中111fxx,若12xx,可

判断出1x是极大值点,2x是极小值点。且2211fxxxfx,所以1yfx与fx有两

个交点,而2fx与fx有一个交点,共计3个；若

12xx,可判断出1x是极小值点,2x是极大值点。且

2211fxxxfx,所以1yfx与fx有两个交点,而2fx与fx有一个交

点,共计3个。综上所述,共有3个交点答案:A 例6:已知函数243fxxx,若方程20fxbfxc恰有七个不相同的实根,则实数b的取值范围是( ) A.2,0 B.2,1 C.0,1 D.0,2 思路:考虑通过图像变换作出fx的图像(如图),因为20fxbfxc

最多只能解出2个fx,若要出七个

根,则121,0,1fxfx,所以121,2bfxfx,解得:2,1b

答案:B

例7:已知函数xxfxe,若关于x的方程210fxmfxm恰有4个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ) A. 1,22,ee B. 1,1e C. 11,1e D. 1,ee 思路:,0,0xxxxefxxxe,分析fx的图像以便于作图,0x时,'1xfxxe,从而fx在0,1单调递增,在1,单调递减,11fe,且当,0xy,所以x正半轴为水平渐近线；当0x时,'1xfxxe,所以fx在,0单调递减。由此作图,从图像可得,若恰有4个不等实根,则关于fx的方程

210fxmfxm中,12110,,,fxfxee,从而将问题转化为根分布

问题,设tfx,则210tmtm的两根12110,,,ttee,设21gttmtm

,则有20010111100gmmmgeee,解得11,1me

答案:C 小专题训练有话说:本题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。

例8:已知函数21,0log,0axxfxxx,则下列关于函数1yffx的零点个数判断正确的是( ) A. 当0a时,有4个零点；当0a时,有1个零点 B. 当0a时,有3个零点；当0a时,有2个零点 C. 无论a为何值,均有2个零点 D. 无论a为何值,均有4个零点思路:所求函数的零点,即方程1ffx的解的个数,先作出fx的图像,直线1yax为过定点0,1的一条直线,但需要对a的符号进行分类讨论。当0a时,图像如

图所示,先拆外层可得12210,2fxfxa,而1fx有两个对应的x,2fx也有两个对应的x,共计4个；当0a时,fx的图像如图所示,先拆外层可得12fx,且12fx只有一个满足的x,所以共一个零点。结合选项,可判断出A正确

答案:A

例9:已知函数232211,0231,31,0xxfxxxgxxx,则方程0gfxa

(a为正实数)的实数根最多有___________个

思路:先通过分析,fxgx的性质以便于作图,'23632fxxxxx,从而fx在,0,2,单增,在0,2单减,且

01,23ff,gx为分段函数,作出每段图像即

可,如图所示,若要实数根最多,则要优先选取fx能对应x较多的情况,由fx图像可得,当3,1fx时,每个fx可对应3个x。只需判断gfxa



中,fx能在3,1取得的值的个数即可,观察gx图

像可得,当51,4a时,可以有2个3,1fx,从而能够找到6个根,即最多的根的个数答案:6个

合集下载

高考函数-复合函数的零点-含答案

结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编）设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧：（1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像

微专题复合函数问题

2
2
2
根据以上信息,作出函数f(x)的图象如图.
观察图象可得函数y=f(x)的图象与直线y=2有2个交点,所以方程f(x)=2有两个根,
所以方程f(x)=m有3个根,且异于方程f(x)=2的根,观察图象可得
1 2
<m<2,所以m的取值范围为
1 2
,
2
.
故选D.
答案 D
例4 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如图所示.
x 2, x 1,
因此f(f(x))= ln(x 2), 1 x 0,
ln[ln(x 1) 1], x 0.
在平面直角坐标系内作出函数y=f(f(x))的图象,如图.
方程f(f(x))=a恰有两个不相等的实数根等价于直线y=a与函数y=f(f(x))的图象有两个不同交点,观察图象知ln 2≤a<1, 此时x1+2=a,且ln[ln(x2+1)+1]=a,
1 2
,
1 2
单调递增,排除B;当x∈
,
1 2
时,
f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f
'(x)=
2 -
2x 1
2 = 4 <0,
1 2x 1 4x2
∴f(x)在
,
1 2
单调递减,∴D正确.
答案 D
例2 (多选)(2023安徽宣城二调,12)已知函数f(x)=sin(cos x)+cos(sin x),下列关于该函数的结论正确的是( ) A. f(x)的图象关于直线x=π对称 B. f(x)的一个周期是2π
类型三:复合函数的方程(组)、不等式问题解复合函数中的方程或不等式问题,一种思路是将f(g(x))=0分解为f(t)=0,t=g(x)处理;另一种思

复合函数零点问题

复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。

所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩，则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。

复合函数的零点问题

复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题例1设函数()1,0,()11,11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩a 为常数且()0,1a ∈．若0x 是()()f f x x -的零点但不是()f x x -的零点;则称0x 为()f x 的二阶周期点;求函数()f x 的二阶周期点．答案函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++．解析2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时;由21x x a=解得0x =;由于()00f =;故0x =不是()f x 的二阶周期点；当2a x a <≤时;由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++;故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点；精彩解读试题来源2013年高考江西卷改编．母题评析本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点;难度较大．新定义信息题是近几年来高考的一个热点．思路方法理解定义;写出复合函数的解析式;再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．当21a x a a <<-+时;由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+;因111112122f a a a a⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时;1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+;因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++; 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点．综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放例22017年高考江苏卷设()f x 是定义在R 且周期为1的函数;在区间[0,1)上;2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D xx n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ;则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．答案8解析由于()[0,1)f x ∈ ;则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内;x Q ∈ 且x ∈Z 时;设命题意图本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;综合性强;难度大．难点中心解答此类问题;关键在于 “抽茧剥丝”;把复合函数问题转化为单函数问题;准确作出函数图象;利用图象解决问题．*,,,2qx p q p p=∈≥N ;且,p q 互质若lg x Q ∈ ;则由lg (0,1)x ∈ ;可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ;且,m n 互质因此10n mq p =;则10()n m qp= ;此时左边为整数;右边非整数;矛盾;因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等;只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点;画出函数图象;图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数;属于每个周期x D ∉的部分;且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<;则在1x =附近仅有一个交点;一次方程解的个数为8．例32015年高考天津已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ;其中b R ∈;若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点;则b 的取值范围是A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭答案D ．解析由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩; 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩;即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--;所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解;即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点;由图象可知724b <<． III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦．解析()2224f ==;()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x ．由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;一般综合性强;难度大．技能方法求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像 2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围．易错指导1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数fx 在区间－2;2上的图象是连续不断的曲线;且fx 在－2;2内有一个零点;则f －2·f2的值 A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数fx 在－2;2内有一个零点;该零点可分两种情况：1该零点是变号零点;则f －2·f2<0；2该零点是非变号零点;则f －2·f2>0;因此选D ．易错警示：警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题;可以根据区间端点处的函数值的正负来确定;但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性;在给定的区间上;如果函数是单调的;它至多有一个零点;如果不是单调的;可继续细分出小的单调区间;再结合这些小的区间的端点处函数值的正负;作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性;事实上;当fx 在－2;2内有一个零点时;f －2·f2的符号不能确定．2．要注意对于在区间a;b 上的连续函数fx;若x 0是fx 的零点;却不一定有fa·fb<0;即fa·fb<0仅是fx 在a;b 上存在零点的充分条件;而不是必要条件．注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时;也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<;如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且函数在区间[],a b 上是一个单调函数;那么当)(a f ·)(b f 0<时;函数在区间),(b a 内有唯一的零点;即存在唯一的(,)c a b ∈;使0)(=c f ．②如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且有)(a f ·)(b f 0>;那么;函数在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;那么当函数在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<;也可能有)(a f ·)(b f 0>．V ．举一反三·触类旁通例12018四川绵阳一诊函数满足;且当时;．若函数的图象与函数;且的图象有且仅有4个交点;则的取值集合为 A ．B ．C ．D ．答案C()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x例22018南宁高三毕业班摸底联考设函数是定义在上的偶函数;且;当时;;若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析由题意可得函数fx的对称轴为x=2;周期为T=4;原方程变形为;;所以只需画出;两个函数在区间-2;6的图像;根据图像求a的范围;图像如下;一定过-1;0点;当时;显然只有一个交点;所以;只需要对数从点B;点C下面穿过就有4个零点;所以解得;选D．点睛对于求不同类的两个函数构成的方程;我们常把方程变形为fx=gx;然后根据y=fx与y=gx的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为;再画出两个函数的图像;根据两个图像有4个交点;求出参数a的范围．例32018河南天一大联考已知函数若关于的方程有3个实数根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析作图如下：因此要使方程有3个;实数的取值范围是;选D．名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等．例42018广西桂林柳州高三综合模拟已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->;若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点;则实数m 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦答案AA0;﹣2;B3;1;C4; 0;则g x 的图象介于直线AB 和AC 之间;介于k AB ＜m ＜k AC ;可得12＜m ＜1．故答案为：12;1．点睛:函数h x=f x ﹣mx+2有三个不同的零点;即为f x ﹣mx +2=0有三个不同的实根;可令y=f x;y =g x=mx ﹣2;分别画出y=f x 和y=g x 的图象;通过图象观察;结合斜率公式;即可得到m 的范围．例52018广东珠海一中等六校第一次联考已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->;则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案A解析解：令t=fx;Fx=0;则ft ﹣2t ﹣32=0;名师点睛本题关键是找出内外层函数的对应关系;找准一个t 对应几个x ．例62018安徽阜阳临泉一中上学期二模已知;若关于的方程恰好有个不相等的实数根;则实数的取值范围是______________．答案解析∵;∴;∴∴当或时;;当时;∴在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增可作出大致函数图象如图所示：令;则当时;方程有一解；当时;方程有两解；时;方程有三解∵关于的方程;恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解∴;解得;故答案为名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中画出函数的图象;然后数形结合求解．例72018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x <<=+≥;若0＜a ＜b ＜c ;满足fa =fb =fc ;则()abf c 的范围为__．答案1;20a b c ＜＜＜;满足()()()f a f b f c ==;22log log a b ∴-=;即1ab =;()21122c f c c c +==+;()112f c ∴<<;故()()112ab f c f c <=<;故答案为()12，．名师点睛画出函数()f x 的图象;由图象可知有相等时的取值范围;这里2log x 由的图象和计算得1ab =;可以当作结论;这样三个未知数就只剩下c ;由反比例即可求出结果．例82018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考已知函数()ln 1||f x x =-; ()f x m -的四个零点1x ; 2x ; 3x ; 4x ;且12341111k x x x x =+++;则()k f k e -的值是__________．答案2e -例92018山西山大附中等晋豫名校第四次调研已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>;把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列;则该数列的前n 项和n S =__________．答案()12n n -解析当01x <≤时;有110x -<-≤;有()()1112x f x f x -=-+= ; 当12x <≤时;有011x <-≤ ;有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时;有112x <-≤ ;有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时;有213x <-≤ ;有()()31123x f x f x -=-+=+ 依次类推;当()1n x n n N <≤+∈时;则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ; 所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ;故21n a n +=+ ;所以通项公式1n a n =-;()12n n n S -=．点睛本题考查对分段函数的处理方法;分段函数要分段处理;根据分段函数的解析式找出各段函数的零点;从而得出各个零点与项数的关系;写出数列的通项公式;根据数列是特殊的等差数列;利用等差数列求和公式;求出数列的前n 项的和．例102018江苏南通如皋第一次联考已知函数()211{ 52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点;则实数m 的取值范围是________．答案714⎛⎤ ⎥⎝⎦，例112018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>;若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点;则实数a 的取值范围是_________．答案()1,1,1e⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭．解析数形结合;由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点;即函数()y g x =恰有两个零点．名师点睛涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题;一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等;再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况;归根到底还是研究函数的性质;如单调性、极值;然后通过数形结合的思想找到解题的思路．例122018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;则实数m 的取值范围为________．答案1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭数()22ln h x x m x =+-最小值为21112ln 222h m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;令102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ;可得1ln22m <-;此时函数()22ln h x x m x =+-有两个零点;故函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;实数m 的取值范围为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭;故答案为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．方法点睛本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根;属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”;解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个;判断函数()y f x =零点个数的常用方法：1 直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；2 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线;且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性可确定函数的零点个数；3 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题;画出两个函数的图象;其交点的个数就是函数零点的个数;在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点;在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性;确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理;有时可结合函数的图象辅助解题．跟踪练习1．2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭;则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个答案D解析函数的零点满足： ()4log f x x =;则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当32x ππ<≤时; 22x πππ<-≤;据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时; 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 而445log log 414π<=; 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点; 很明显;当32x π>时;函数图象没有交点;绘制函数图象如图所示;观察可得：函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个．名师点睛函数零点的求解与判断方法：1直接求零点：令fx ＝0;如果能求出解;则有几个解就有几个零点． 2零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a ;b 上是连续不断的曲线;且fa ·fb ＜0;还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点．3利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差;画两个函数的图象;看其交点的横坐标有几个不同的值;就有几个不同的零点．2．2018江西上饶高三下学期一模已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数;若对任意的()0,x ∈+∞;都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦;且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解;则实数a 的取值范围是A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 答案A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解;由()32694g x x x x a =-+-+;可得()23129g x x x =-+';当13x <<时; ()0g x '<; ()g x 递减；当01x <<时; ()0g x '>; ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ; ()04g a =-; ()34g a =-;分别作出13log y x =;和32694y x x x =-+-的图象;可得两图象只有一个交点()1,0;将32694y x x x =-+-的图象向上平移;至经过点()3,1;有两个交点;由()31g =;即41a -=;解得5a =;当05a <≤时;两图象有两个交点;即方程两解．故选A ．3．201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>;则方程()()330f f x e -=的根的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析方法点睛本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用;属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系;通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法;是中学数学四种重要的数学思想之一;尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效;大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简;并迎刃而解．4．2018安徽滁州高三9月联合质量检测已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤;若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;则实数a 的取值范围是__________．答案1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 解析当01x <<时; 110x -<-<;所以()11f x x -=-．()()111111f x f x x =+=+--．若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;即() 2f x ax a =-;有唯一解．作出()y f x =和y 2ax a =-的图象;根据题意两函数图象有唯一交点．由图可知： 13a ≤．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 5．2018山西45校高三第一次联考已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e=+有且仅有3个实数解;则实数k 的取值范围是__________．答案211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦设()0,A e ;AB 为()y f x =的切线;B 为切点; 1,1C e e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭;观察可知;当位于切线AB和割线AC 之间时; y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点;设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭;可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭;解得02x =;故14AB k =-;又2111ACe ee e k e e+---==;所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解;实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 6．2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤;若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ;则1234x x x x +++的取值范围是________________．答案10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 解析因为1234342x x x x x x +++=-++;所以;故答案为10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．2018河郑州一中模拟已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<;若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解;则实数a 的取值范围是__________．答案38a <≤解析画出()f x 的图象如图所示当()0f x =时;得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为; 20b -< 若b 0≠;则此时有两解x 0=或x 2=;违背题意; 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>;则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解．结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-;可得3a 8<≤若a 0<;则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解．结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=;可得3a 1-≤<-综上; 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研已知函数()22,0{ ,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ;使得()0f x a x->成立;则实数a 的取值范围为______．答案0;2∪3;8满足()00f x a x ->-符合题意;当8a >时;至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意;故答案为[][]0,23,8⋃名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等 9．2018浙江温州一模已知函数有六个不同零点;且所有零点之和为3;则的取值范围为__________．答案单调递增;且取值范围是;当时;函数的导函数;考虑到是上的单调递增函数;且;于是在上有唯一零点;记为;进而函数在上单调递减;在上单调递增;在处取得极小值;如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系;注意到;;函数;在上与直线有个公共点;的取值范围是;故答案为．10．2018湖南永州高三上学期一模定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>; ()f x x =;()224g x x x =--;若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根;则实数a 的取值范围是__________．答案()(),54,-∞-⋃+∞解析11．2018河北石家庄二中八月高三模拟已知()22,{ 2,x x af x x x a-≥=+<;若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点;则实数a 的取值范围是__________．答案[][)1,23,-⋃+∞综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围；2分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中;画出函数的图象;然后数形结合求解．12．2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考若函数至少有3个零点;则实数的取值范围是__________．答案解析由可得;则问题转化为函数的图像有至少三个交点;结合图像可以看出当时;即时满足题设;应填答案．名师点睛本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用;求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像;进而借助图像的直观建立不等式;进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．2018山东齐河晏婴学校一模已知()1x f x e =-;又()()()()2g x f x tf x t R =-∈;若满足()1g x =-的x 有三个;则t 的取值范围是__________．答案()2,+∞解析由题意作函数()1x f x e =-的图象：名师点睛本题考查方程根的个数问题的转化;一元二次方程根的分布问题;以及换元法的应用;考查数形结合思想;转化思想；由题意作函数()1x f x e =-的图象;令()m f x =;由图求出m 的范围;代入方程()1g x =-化简;由条件和图象判断出方程的根的范围;由一元二次方程根的分布问题列出不等式;求出t 的取值范围．14．2018浙江名校协作体上学期考试已知函数()()22,0{,14,0x x f x x ln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________．答案4个解析函数 ()f x 图像如图所示; ()22424t x x x =-=-- ;由图15．2018河南郑州一中模拟已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=;当(]0,1x ∈时;()2f x x = ;当(]1,0x ∈-时;()()221f x fx +=+;若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()0,627-解析当(]1,0011x x ∈-⇒<+时;则(11f x x +=+;故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时;则()()222f x x -=-;故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时;则()()()()22224213f x f x f x f x⎡⎤⎥=--=-=-⎥-+-⎦;又因为()2,3031x x ∈⇒<-<;所以33f x x -=-;则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-; (](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈;画出函名师点睛解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来;再画出其图像数形结合;从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解;可求得627t =-;通过数形结合;求得当0627t <<-时;函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点;即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．16．2018江苏南京师范大学附属中学模拟函数()()()({ 4x x x t f x xx t ≤=>其中0t >;若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()3,4解析314{ 34127t t t<⇒<<>时;两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点;应填答案()3,4．名师点睛解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征;体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。

考点12 零点定理——2021年高考数学专题复习讲义

考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是。

2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x -2|-lnx 在定义域内零点的个数为。

2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是。

3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为。

4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为。

浅谈对高中复合函数零点问题的探究

浅谈对高中复合函数零点问题的探究摘要】复合函数的零点问题是高中阶段的数学中的一个重点和难点内容，也是高考命题中的一个热点问题，它不仅涉及了根本函数的知识内容，而且包含了丰富的数学思想的运用.本文先对复合函数的零点问题进行了简要概述，然后对复合函数零点问题的典型例题进行了剖析.【关键词】复合函数;零点问题;求解参数一、复合函数与零点问题复合函数的形式是y=f[φ〔x〕]，其中μ=φ〔x〕是内层函数，y=f〔μ〕是外层函数.设μ=φ〔x〕的定义域为A，值域为B，y=f〔μ〕的定义域为C，值域为M，那么就有BC，且y∈M.这时，定义域A内的每一个自变量x，通过对应关系φ，都能在B中得到一个唯一确定的与之对应的μ;再通过对应关系f，就能在M中得到一个唯一确定的与之对应的y，这就确定了从A到M的一个复合关系，也就是从A到M的复合函数.本文研究的复合函数与零点的问题，不仅与函数有关，还交汇融合了方程、不等式等知识以及数形结合、转化化归、函数与方程、分类讨论等数学思想，是一类复杂的问题.因此，数学教师要寻找便捷的解题途径，帮助学生突破学习数学的难点.以下笔者通过对典型例题的分析来探究一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题.二、复合函数求解零点个数问题问题“设当0≤x≤π时，函数f〔x〕=2sinx;当x这样去分析就会直观容易许多.由于y=f〔t〕的函数关系式是的，因此，可以求出当t的值取π6，5π6，-1时，都有f〔t〕=1，将t=π6，5π6，-1代入到t=f〔x〕的函数关系式当中，结合图1，就可以看出能取到与t=π6对应的x值有3个，与t=5π6对应的x值有1个，与t=-1对应的x值有0个，因此，函数的零点总共有4个.通过这道经典的复合函数求零点个数问题，我们可以将这类问题的解题思路进行一个总结：①将内层函数进行换元;②将零点问题进行转化，一般转化为求函数y=f〔t〕与y=a〔a为常数〕的交点个数的问题;③解出t值;④数形结合通过t值找到x的解的个数.三、复合函数零点个数求解参数问题在复合函数的零点问题中，零点个数去求解参数也是常见的一类问题.求参数问题一直是学生觉得困难的一类问题，在结合复合函数问题之后，教师更要重视引导学生去理清思路，多渗透数学思想，帮助学生有效地掌握解题方法.例如，问题“设当x>0时，函数f〔x〕=|lnx|+2;当x≤0时，f〔x〕=3-x2.函数y=f[f〔x〕]-a有5个零点，求a的取值范围.〞就是一道典型的零点个数求参数的问题.如果学生认识到求零点个数问题的本质，那么就会发现这两类问题其实有异曲同工之妙.我们来分析这个问题，同样也需要将内层函数设为t=f〔x〕，并将问题转化为“求函数y=f〔t〕与y=a〔a为常数〕的交点个数〞或是“求满足f〔t〕=a的x的个数〞，并要结合函数图像〔图2〕去分析.从图2中可以看出，当a以上就是对复合函数零点问题的概述与两类经典问题的分析，我们可以看到，这些问题需要较高的逻輯思维能力，因此，教师必须重视数学思想方法的渗透，让学生在有效的练习中提升求解复合函数零点问题的能力.【参考文献】【1】吴新建.高三微专题复习课的实践与思考——以复合函数y=f〔u〔x〕〕的零点问题的教学为例[J].数学通报，2021〔5〕：43-45.【2】汪正文.例谈复合函数零点问题的求解策略[J].中学数学研究〔华南师范大学版〕，2021〔1〕：45-48.。

浅析复合函数零点的个数问题

二、复合函数零点个数分两类问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛例１已知函数犳（狓）＝
５狓－１－１（狓 ≥０），则狓２＋４狓＋４（狓＜０），
关于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓轴交点的个数，若方程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并不需要求出零点，也可画出函数图像，
结合图像确定交点的个数，由狋２－５狋＋４＝０，得狋＝４或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝１、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓）＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０共有７个根．
图２图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围例２已知函数犳（狓）的图像，若函数犵（狓）＝［犳（狓）］２－犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽的取值范围是（）．
（）Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８Ｂ．ｅ２
，２
（）４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５狓－１－１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或－３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５狓－１－１＝４，解得

复合函数零点问题探究

复合函数零点问题探究摘要】复合函数零点问题是高考函数题目中经常出现的问题之一，也是高中数学教学中的一个难点。

文章通过运用数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法，对复合函数零点问题进行探究，以期对学生的高考备考提供帮助。

【关键词】复合函数；函数零点中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-127-02复合函数零点问题具有综合性强、难度大等特点，它全面考察学生对函数与方程思想、分类思想、化归思想和数形结合思想等的综合运用能力。

文章结合典型例题对复合函数零点问题进行探究。

一.求复合函数的零点【例1】已知函数，求函数的零点。

解：由得或.∴或，故的零点为：27和.【例2】已知函数，有3个不同的零点，求的值。

解：作出的图象，如图1所示.令，则化为.由图1可知：当时，方程没有实数根；当时，方程有2个不同的实数根；当时，方程有3个不同的实数根.∵有3个零点，∴必为的根，另一根为0或负数.∴，解得，故=5.【小结】复合函数零点的求法（1）解方程法：求方程的实数根；（2）图象法：对于不能用公式法求根的方程或不易求得实数根的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

二.求复合函数零点的个数【例3】已知函数，。

求函数零点的个数。

解：由得，故.∴有1个零点.【例4】已知函数，求函数的零点个数。

解：作出函数的图象，如图2所示.令，则化为.∵方程有三解，不妨设、、，当时，方程有3个不同的实数根；当时，方程有3个不同的实数根；当时，方程有3个不同的实数根.∴函数共有9个零点.【小结】复合函数零点个数的判断方法：（1）直接法：直接求出函数的零点；（2）数形结合法：求复合函数零点的个数，可转化为求方程的实数根的个数。

令，则，分别画出函数和函数的图象。

分两层来分析：第一层是结合函数的图象，得到关于的方程的根的个数；第二层是结合第一层的值，观察函数的图象，有几个值使得成立，并求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数。

复合函数的零点问题

例如:已知 f x 2x, g x x2 x ,计算 g f 2 ．【解析】 f 2 22 4 , g f 2 g 4 12 ．
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．

2025高考数学必刷题第12讲、函数与方程(学生版)

第12讲函数与方程知识梳理一、函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点.三、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0,f c c =也就是方程()0f x =的根.四、二分法对于区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()f x ，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.五、用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精度ε.（2）求区间(),a b 的中点1x .（3）计算()1f x .若()10,f x =则1x 就是函数()f x 的零点；若()()10f a f x ⋅<，则令1b x =（此时零点()01,x a x ∈）.若()()10f b f x ⋅<，则令1a x =（此时零点()01,x x b ∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(x f 在定义域上是单调函数，则)(x f 至多有一个零点.②连续不断的函数)(x f ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(x f 通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(x f 在闭区间][b a ，上有零点，不一定能推出0)()(<b f a f .必考题型全归纳题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数()h x 是奇函数，且()()2f x h x =+，若2x =是函数()y f x =的一个零点，则(2)f -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知0x 是函数()tan 2f x x =-的一个零点，则0sin 2x 的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log ,log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知()e ln 2x f x x =++，若0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，则0x 可能存在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【解题总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数()22log f x x x m =++在区间()1,2存在零点．则实数m 的取值范围是（）A ．(),5-∞-B ．()5,1--C ．()1,5D ．()5,+∞【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数3()2xf x a x=--的一个零点在区间()1,3内，则实数a 的取值范围是（）A ．()7,+∞B ．(),1-∞-C ．()(),17,-∞-+∞ D ．()1,7-【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数，若函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，则m 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．(11)-，C ．(2,2)-D ．()01，【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数()2ln f x x ax b =++，若()f x 在区间[]2,3上有零点，则ab 的最大值为__________.【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数()sin sin f x ax a x =-在(0,2π)上有零点，则实数a 的取值范围___________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x ，y满足2y +=，e 5x x +=，则2x y +=________.【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数()3234f x ax x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是________．【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数24,0()11,0x x a x f x a x x⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--在R 上恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是________．【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设R a ∈，对任意实数x ，记(){}2min e 2,e e 24x x x f x a a =--++．若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m ，n 满足()202323ln 22020e e ln ln 2e 02m m n n---=--=，则mn =___________.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）A ．0m >且0n >B ．0m <且0n >C ．01m <<且0n =D ．10m -<<且0n =【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R 上函数()f x ，若函数()1y f x =-关于点()1,0对称，且()()[)21,0,1,e 2,1,,x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则关于x 的方程()()221f x mf x -=(m R ∈)有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．2B ．4C ．2或4D ．2或4或6【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()211f x 2x x 2x 2⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数g （x ）=ax -3的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D ．5,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（）A ．21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【解题总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e≥+D ．1m e e≤+【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xx f x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x -=+-+有唯一零点，则=a （）A ．πeB ．4πeC D ．1【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：零点嵌套问题【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x xx e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a-【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．1a -B ．1a-C ．-1D ．1【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝的值为（）A ．81B ．﹣81C ．﹣9D ．9【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R 上的函数()f x 满足22()9(3)3(3)x x f x x a xe a e =+-+-有三个不同的零点123,,,x x x 且1230,x x x <<<则3122312333x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．81B ．-81C ．9D ．-9【解题总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型十：等高线问题【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【解题总结】数形结合数学思想方法题型十一：二分法【例11】（2024·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数()f x 在0x 附近一点的函数值可用()()()()000f x f x f x x x '≈+-代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程3310x x -+=，选取初始值012x =，在下面四个选项中最佳近似解为（）A ．0.333B ．0.335C ．0.345D ．0.347【对点训练34】（2024·全国·高三专题练习）函数()f x 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A ．1.5B ．1.25C ．1.41D ．1.44【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg1.50.176≈，lg1.6250.211≈，lg1.750.243≈，lg1.8750.273≈，lg1.93750.287≈）A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.9【对点训练37】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【解题总结】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题

高考函数-复合函数的零点-含答案

微专题 复合函数问题

复合函数零点问题

复合函数的零点问题

考点12 零点定理——2021年高考数学专题复习讲义

浅谈对高中复合函数零点问题的探究

浅析复合函数零点的个数问题

复合函数零点问题探究

复合函数的零点问题

2025高考数学必刷题 第12讲、函数与方程(学生版)

高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题

微专题复合函数问题

2025高考数学必刷题第12讲、函数与方程(学生版)