第14章《勾股定理》
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
数学八年级上册《勾股定理-反证法》课件
矛盾．
B
C
假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C
．
小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得
出矛盾→肯定原结论正确
例3 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线a，b.
a
● A'
●
求证：a与b只有一个交点.
A
b
分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推
理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a 是整数，故a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
像这样的证明方法叫“反证法”.
典例精析
例1 写出下列各结论的反面：
（1）a∥b；
a不平行于b
（b是正数； （4）a⊥b.
b是0或负数 a不垂直于b
例2 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
证明：假设 ∠B ＝ ∠C，
A
华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系
第14章 勾股定理
14．1 勾股定理
1．直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点：勾股定理 1．下列说法正确的是( D) A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
解：(1)∵AE＝BE，∴S△ABE＝12AE·BE＝12AE2.又∵AE2＋BE2＝ AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝14AB2＝14×32＝94.
(2)同理可得 S△AHC＋S△BCF＝14AC2＋14BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为14AB2＋14AB2＝12AB2＝12 ×32＝92.
易错点：斜边不确定时，应用勾股定理求边长漏解 9．已知直角三角形两边长分别为3和5，则第三边的长为____3_4_或__4_．
10．如图，直线l同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C ) A．4 B．6 C．16 D．55
11．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C) A．5 B．6 C．8 D．10
2．利用如图所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一个十分著名的定理，这个定理称为___勾__股__定__理____，该定理中结 论的数学表达式是____a_2_＋__b_2_＝__c_2 _____．
3．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝___1_5__，b＝___1_2__．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB， 对角线AC⊥CD，求CD的长．
2022八年级数学上册第14章勾股定理14
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】 判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s 后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕 根据题意,可以画出右图,其中点A 表示小王所在位置,点C ,点B 表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C 是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB 2=BC 2+AC 2,也就是5002=BC 2+4002,所以BC =300.敌方汽车10 s 行驶了300 m,那么它1 h 行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h .[知识拓展] 利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c ,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a ,则有c 2=12ab ×4+(b-a )2,整理得c 2=a 2+b 2.故选A .3.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2. 证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,则DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab , 又∵S 四边形ADCB=S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE.验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴ , ∴a 2+b 2=c 2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,则(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.故选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.故选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如图所示. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,则ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,则a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.故选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,则S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,则BF =b-a ,∵S 五边形ACBED=S ΔACB +S ΔABE+S ΔADE=12ab +12b 2+12ab ,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散. 再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗? 〔解析〕 要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.- 11 -设CD =x 尺,则AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2.解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结] 建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课
解： 根据勾股定理， 可得
长度，可以求出第三 边的长度.
AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = A B 2 ＋ B C 26 2 ＋ 8 2 1 0 .
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a， b，c， ∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝,4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
知1－导
要点精析： (1)勾股定理揭示的是直角三 角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可 以使用勾股定理； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4) 运用勾股定理，若分不清 哪条边是斜边时，则要 分 类讨论，写出所有可能的 情况，以免漏解或解 ．
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2 ＝c2及两边之间的关系式；三化简．
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
应用勾股定理，由直
角三角形任意两边的
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为 32＋ 42 255. 错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长．所以需要分情况求解．
正方形R的面积=
勾股定理141勾股定理4反证法课件42
知1－讲
知1－练
1 求证:在一个三角形中，如果两条边不相等，那 么它们所对的角也不相等.
2 假设命题结论的
成立，经过正确的
________，引出________，因此说明假设不成立，
从而证明
成立，这样的证明方法叫
________；其思维方法是________．
知1－练
3 反证法的一般步骤： (1)假设命题的________不成立； (2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过 的定义、定理、基本事实推出与已知条件或已学 过的定义、定理、基本事实等相______的结果； (3)由________判定假设不成立，从而肯定原命题的 结论正确．
少”“至多”等肯定或否定的表述时，若直接证明 较困难，可考虑用反证法，而对于文字的表述题， 可先转化为数学语言表述，再用反证法证明；(2)分 析例题结论反面时，要做到不重复、不遗漏，如本 例中的“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”， 而“不是锐角”有两层意思：是直角、是钝角，因 此可分为两类：直角、钝角．
我们同样可以用反证法证明它是一个真命题.
知1－讲
例1 求证:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证: l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出 发，经过 推理，得出结论“ l1与l2只有一个交点”是很困 难的，因此可以考虑用反证法.
八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理3反证法作业课件新版华东师大版
知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
这与____已__知_矛盾，故____假__设_不成立． ∴____l_1与__l_2_不__平__行______．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，
要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设_∠__C__＝__9_0_°__，根
据_勾__股__定__理__，一定有_A__C_2_＋__B_C_2_＝__A_B_，2 但这与已知___A_C_2_＋__B_C__2≠__A__B_2_相 矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证 明这个命题过程中的四个推理步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应该是( C) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
华师大版八年级上14章勾股定理全章知识点总结
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
常见方法如下：
方法一： 4S
+ S正方形EFGH
=
S正方形ABCD
，
4
1 2
ab
+
(b
−
a)2
= c2 ，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C = 90 ，则 c = a2 + b2 ，
b = c2 − a2 ， a = c2 − b2 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
Ⅱ. 勾股定理的逆定理 (1)内容：如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形，
Ⅲ. 勾股定理及其逆定理的实际应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体． 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者
相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：
C
C
C
30° A
B
A
D
B
B
A D
Ⅳ. 互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命
【知识脉络】
勾股定理
【基础知识】
Ⅰ. 勾股定理
(1)内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 + b2 = c2 . (2)勾股定理的证明
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第60课时 14.1.1《直角三角形三边的关系》一、教学目标【知识与技能目标】：能说出勾股定理的内容,并运用它进行简单的计算和解决一些简单的实际问题。
【能力与方法目标】：经历探索勾股定理的过程，让学生经历“观察—猜想—探索—归纳—验证”这几个思维阶段，发展数形结合、合情推理的能力和语言表达的能力。
【情感与态度目标】：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，使学生热爱祖国，热爱科学；通过探索过程获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生学习数学的信心。
二、教学重点探究直角三角形三边的关系，归纳勾股定理及简单应用。
三、教学难点勾股定理的探索过程。
四、教学方法引导探索法、自主探究法、合作交流法、演示法五、教学过程（一）创设情境，引发思考1、设置疑问：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。
但小明量出长58厘米和宽46厘米，是不是售货搞错了呢？此时教师应向学生介绍“我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度”这一生活常识，进而引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题，激发学生的探究欲望。
2、回忆有关直角三角形的相关知识，教师引导提问直角三角形的三边有什么关系？揭示课题。
（二）自主探索，合作交流探究活动1：1、猜想：将等腰直角三角形放到方格纸中研究，分别以等腰直角三角形的三边为边长向外作正方形，让学生猜想这三个正方形的面积有什么关系？2、观察思考：直角三角形三边的关系与猜想是否一样？3、引导点拨：将“R”分“割”成若4个大小一样的直角三角形或“补” 成边长为2的正方形面积的一半.4、得出结论：S P+S Q=S R探究活动2：1、提出问题：是否所有的一般直角三角形都有这个结论呢？2、观察填空：学生交流合作，共同寻找办法，发现三个正方形的面积，并抽生交流方法。
3、议一议：（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
4、得出结论：S P+S Q=S R 从而由面积的求法推出a2＋b2＝c25、验证结论：学生在P117页方格纸上作一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形。
通过测量，计算来验证结论。
（三）归纳概括，发现定理1、学生交流得出结论：勾股定理——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则 AC 2+BC 2＝ AB 2（或a 2＋b 2＝c 2） 此处教师引导学生用符号语言表示勾股定理。
2、强调：（1）成立的条件是在直角三角形中(2)作用是已知两条边，求另一边。
3、结论变形：引导学生对a 2＋b 2＝c 2变形并说明为什么取算术平方根。
（四）例题讲析，点拨思维学生自学例1，教师引导学生读题分析，板书强调解题格式。
（五）学以致用，体验成功1、做一做：求下列直角三角形中未知边的长。
2、小试牛刀⑴已知Rt △ABC 中，∠C=90°. ① 若a =1 5，b = 20，求c ； ② 若c= 10，b = 8，求a.⑵若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x ，则x ＝ . 3、乘风破浪如图：一块长约8m 、宽约6m 的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”。
请同学们说说：①走斜“路”的客观原因是什么？为什么？ ②斜“路”比正路近多少？这么几步近路，值得吗？ 4、应用知识 回归生活练习3. 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
你能解释这是为什么吗？5、回到开头的实际问题，前后呼应，学生能从中体会到成功的喜悦,同时体现了数学是与实际生活紧密相连的。
（五）追溯历史，激发情感利用多媒体介绍勾股定理的历史，列举东西文化中对勾股定理的发现，介绍一些著名的人物、著作和学派,如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……，并展示美丽的“勾股树”。
让学生体会勾股定理所蕴涵的文化价值。
学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣。
（六）回顾反思，提炼升华1、学生说说通过本节课的学习，有哪些收获与感悟？2、板书本节课的知识点。
（七）布置作业【驻足“双基”】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=________．2．等腰△ABC的腰长AB=•10cm，•底BC•为16cm，•则底边上的高为______，•面积为_____．3．一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．4．△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（• ）． A．2 B．26 C．3 D．45．等腰三角形腰长32cm，•顶角的大小的一个底角的4•倍，•求这个三角形的面积_____．【提升“学力”】6．某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD．（D为底AB 的中点）7．如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=•10cm，求EC的长．【聚焦“中考”】 8．（1994年天津市中考题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，•且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC面积．附:板书设计（见课件）（八）教学反思第61课时14.1.2 勾股定理（2）教学目标知识与技能：掌握勾股定理在实际问题中的应用．过程与方法：经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．情感态度与价值观：培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．重难点、关键重点：掌握勾股定理的实际应用．难点：理解勾股定理的应用方法．关键：把握Rt△中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和斜边的区分．教学准备教师准备：制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．学生准备：复习勾股定理．学法解析1．认知起点：在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，•对勾股定理的应用加以理解．2．知识线索：实际问题−−→←−−勾股定理3．学习方式：采用讲练结合的学习方式，注重合作交流．教学过程一、回顾交流，小测评估【课堂小测题】（投影显示）1．填空题（1）等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是_______．（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=b=2cmm，S△ABC=______（填：2cm）2．选择题（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B，则BC：AC：AB=（A）．A．1：1 B．1：1：2 C．1：1：1 D．以上结论都不对（2）等边三角形面积为8cm，它的边长（D）．A．cm B．cm C．cm D．以上结论都不对【活动方略】教师活动：操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用．学生活动：独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解．【设计意图】采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本节课解决．二、数形结合，应用所学【显示投影片2】问题探究3：大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，•请你在数轴上画出思路点拨：做法如下：（1）•在数轴上找到一点A，使OA=5，（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=12，（3）•连结OB，（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C【活动方略】学生活动：在练习本上画图，做出在数轴上表示教师活动：提出问题．12的点吗？试一试！学生活动：借助课本图18．1-7的点M．【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点．问题探究4：如图，△ABC中，∠B=90°，AC=12cm，BC=4cm，D•在AC•上，•且AD=8cm，E在AB上，且△AED的面积是△ABC面积的14，求AE和DE的长．思路点拨：求AE的长时，可过D 作DE⊥AB于F，可求出DF=23BC=83，•这样先把AF•求出AF=23AB=1632．再由面积公式S△AED=12AE·DF先求出DF=43AE，由S△ADE=14S△ABC=42，求出AE=32，因而EF=732，•应用勾股定理求DE=32．教师活动：操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考，•然后请两位学生上台演示，纠正．学生活动：小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题，•踊跃上台发言，“板演”．三、随堂练习，巩固深化1．课本P77 “练习”1，2．2．【探研时空】（1）已知，如图：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，求证：AB2=AD2+2CD2+BD2．（提示：AB2=AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+BD2=AD2+2CD2+BD2）（2）有一正方形ABCD池塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，•向水深和芦苇长各是多少？（提示：设水深EF=x尺，芦苇EG=（x+1）尺，则EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建△EFG，再应用勾股定理得（x+1）2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为13尺）．四、课堂总结，发展潜能本节课主要学习的内容是：（1）勾股定理的应用，•通过两个“探究”领会勾股定理的应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等．（2）感受勾股定理的历史．五、布置作业，专题突破1．课本P78 习题18．1 7，8，9，11，12，13．2．选用课时作业优化设计六、课后反思第二课时作业优化设计【驻足“双基”】1．请写出满足勾股定理a2+b2=c2的三组数值______________．2．要登上12m高的建筑物，为完全起见，需要使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m 长的梯子．3．一艘轮船以16海里/•时的速度离开A•港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____海里．4．如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A•重合，•则折痕EF的长为（）．A．3.74 B．3.75 C．3.76 D5．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．A．2.5cm B．5cm C．25cm D．5cm6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．【提升“学力”】7．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC•上任意一点，•求证：BD2+CD2=2AD2．【聚焦“中考”】8．（2003年贵州省贵阳市中考题）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：•2≈1.4，3≈1.7）第62课时 14.1.3勾股定理的逆定理（3）【教学目标】：知识与技能目标：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单运用． 过程与分析目标：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股定理．情感与态度目标：激发学生解决的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值.【教学重点】：理解和应用直角三角形的判定方法 【教学难点】：运用直角三角形判定方法解决问题．【教学关键】：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆身思维，形成一种判定方法. 【教学准备】：教师准备：投影片、直尺、圆规学生准备：复习勾股定理，预习本课内容 【教学过程】： 一、创设情境神秘的数组（投影）在美国哥伦比亚大学图书馆里收藏着一块编号为“普林顿322” 的古巴比伦泥板，泥板上一些神秘符号实际上是一些数组。