2021新高考数学高考数学压轴题 多项选择题分类精编题集01
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习01 集合(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。
浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案
对于D选项，过 点做 的平行线交 于 ，交 于 ，连接 ，则过 ， ， 的平面截正方体所得截面即为平行四边形 ，易知当 位于点 时，平行四边形 边 最小，且为 ，此时截面平行四边形 的面积最小，为四边形 的面积，且面积为 ，故D选项正确；
【答案】CD
【分析】
利用反证法可得A、B错误，取 为 的中点，取 的中点为 ，连接 ，可证明 平面 ，当平面 平面 时，四棱锥 体积最大值，利用公式可求得此时体积为 .
【详解】
如图（1），取 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，故 ，
故 即 ．
若 ，因为 ，故 ，而 ，
故 平面 ，因为 平面 ，故 ，矛盾，故A错．
【详解】
如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.
则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,
∵ ∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,
又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,
在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,
∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，
对于C，若 ， ，则 ，即 ，即 ，故C正确；
对于D，
，又 ， ，故D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(新高考)2021年最新高考冲刺压轴卷 数学(含答案)
（新高考）2021年最新高考冲刺压轴卷数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定是（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，2log 1x ≤ B ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤ C ．()0,x ∀∉+∞，2log 1x ≤ D ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x >【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定为“()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤”． 故选B ．2．已知集合{}*28xM x =∈<N ，{}N x x a =<．若MN 有且仅有1个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．[]0,1C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【解析】因为{}{}{}**2831,2x M x x x =∈<=∈<=N N ，{}N x x a =<，结合M N 有且仅有1个元素知{}1MN =，所以12a <≤，故选C ．3．已知圆O 的半径为1，A ，B 是圆O 上两个动点，2OA OB OA OB +=-⋅，则OA ，OB 的夹角为（ ） A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π6【答案】B 【解析】22222cos ,OA OB OA OB OA OB OA OB +=++⋅=+〈〉，22cos ,OA OB OA OB -⋅=-〈〉2cos ,OA OB =-〈〉，解得cos ,1OA OB 〈〉=或1cos ,2OA OB 〈〉=-， 由题意得cos ,0OA OB 〈〉≤，故2π,3OA OB 〈〉=，故OA ，OB 的夹角为2π3．故选B ．4．已知数列{}n a ，1()n a f n =，其中()f n 若{}n a 的前m 项和为20， 则m =（ ） A ．15 B ．30C ．60D ．110【答案】D【解析】由题意知，函数()f n又由()11f =，()21f =，()32f =，()42f =，()52f =，()62f =，()73f =，()83f =，()93f =，()103f =，()113f =，()123f =，，由此可得()f n 2个1，4个2，6个3，8个4，，又由数列{}n a 满足1()n a f n =， 可得1234567812111,,,23a a a a a a a a a ==========， 则122a a +=，34562a a a a +++=，78122a a a +++=，，因为{}n a 的前m 项和为20，即10220m S =⨯=，可得数列{}m 构成首项为2，公差为2的对称数列的前10项和， 所以10910221102m ⨯=⨯+⨯=，故选D ． 5．关于直线m 、n 与平面α、β，有以下四个命题： ①若//m α，βn//且//αβ，则//m n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥； ④若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ． 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③【答案】D【解析】对于①，若//m α，βn//且//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，①错误； 对于②，如下图所示：设a αβ=，因为αβ⊥，在平面β内作直线l a ⊥，由面面垂直的性质定理可知l α⊥，m α⊥，//m l ∴，n β⊥，l β⊂，n l ∴⊥，因此，m n ⊥，②正确；对于③，若m α⊥，//αβ，则m β⊥， 因为βn//，过直线n 作平面γ使得a βγ=，由线面平行的性质定理可得//n a ，m β⊥，a β⊂，则m a ⊥，因此m n ⊥，③正确；对于④，若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m 与n 平行、相交或异面，④错误， 故选D ．6．已知函数()222,0log 0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，给出下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③1234102x x x x <+++<，④123401x x x x <<，其中所有正确命题的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D【解析】函数()2202,0log x x x f x x x ⎧≤--⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下图所示，函数22y x x =--的图象关于直线1x =-对称，则122x x +=-，故①错误； 由()()34f x f x =得2324log log x x =，∴2324log log x x -=， 则()234log 0x x =，∴341x x =，故②正确； 设()()()()1234f x f x f x f x k ====， 由221y x x =--≤，所以01k <<， 由2log 1x =-，得12x =，则3112x <<，∵12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-， ∴1234331120,2x x x x x x ⎛⎫+++=+-∈ ⎪⎝⎭，故③正确； 由22y x x =--的对称轴方程为1x =-，由图可知()12,1x ∈--， 又()2123412111122x x x x x x x x x x ==--=--，∴()212341120,1x x x x x x =--∈，故④正确，故选D ．7．已知ABC △中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，且90BOC ∠=︒，若2BC =，则ABC △周长的最大值为（ ）A．2+B．2C．2+D．2+【答案】A【解析】在ABC △中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ， 则O 为ABC △的重心， 因为90BOC ∠=°，故112OD BC ==，则33AD OD ==． ()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，2AD AB AC ∴=+，所以()222242AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅，即2222222242cos 22AB AC BC AD AB AC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC+-=++⋅⋅∠=++⋅⋅⋅2222222224AB AC BC AB AC =+-=+-，所以，()()22222222240222AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=+++≥++⋅=+，AB AC ∴+≤AB AC ==因此，ABC △周长的最大值为2，故选A ．8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A B ．12C D ．2【答案】D【解析】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,AA BB CC DD 交于,,,M N P Q ， 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=，322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=，1BN ∴=， 在平面11BCC B 内，过点1C 作1C H NP ∥交1BB 于H ， 则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NHPC ==，又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角， 即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角，其平面角为111HC C B HC ∠=∠， 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．234i i i i 0+++= B ．复数3i z =-的虚部为i -C ．若2(1)i 2z =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD【解析】A 选项，234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 选项正确； B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误；C 选项，214i 4i 34i z =++=-+，34i z =--，对应坐标为()3,4--在第三象限， 故C 选项错误；D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到1,0A 和()1,0B -两点的距离相等， 故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确， 故选AD ．10．下列四个函数，同时满足：①直线()12b y x b =+∈R 能作为函数的图象的切线；②函数()()4y f x f x =+的最小值为4的是（ ） A ．()1f x x=B ．()sin f x x =C ．()xf x e =D ．()2f x x =【答案】CD【解析】对于A ：()21f x x '=-，对于任意0x ≠，2112x -=无解， 所以直线12y x b =+不能作为切线； 对于B ：()1cos 2f x x '==，有解，但()()44f x f x +≥，当且仅当()2f x =时取等号， 又sin 1x ≤，所以不符合题意；对于C ：()12xf x e '==，有解，()()444x x f x e f x e +=+≥=， 当且仅当2x e =时，等号成立，故C 正确；对于D ：()122f x x '==，14x =，又2244x x +≥=，当且仅当x =D 正确， 故选CD ．11．已知函数()()πcos 10,2f x A x A ϕϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．将函数2sin 1y x =+的图象向左平移5π6个单位可得函数()f x 的图象D ．函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤⎦ 【答案】BC【解析】结合函数()y f x =的图象易知，函数()f x 的最大值3，最小值为1-， 则2A =，()()2cos 1f x x ϕ=++， 代入点()0,2，则2cos 12ϕ+=，1cos 2ϕ=， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，()π2cos 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-+∈Z ，函数()f x 关于()ππ3x k k =-+∈Z 对称， A 错误；πππ32xk k Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，函数()f x 关于点()ππ,16k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称， B 正确；函数2sin 1y x =+的图象向左平移5π6个单位，得出()5ππππ2sin 12sin 12cos 16323f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 正确； 当,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,ππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]2,3f x ∈，D 错误，故选BC ．12．过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（ ）A．2B．3C．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为by x a=， 则另一渐近线OB 的方程为by x a=-， 由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()ay x c b=--， 联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩， 可得A 的横坐标为2a c；联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩， 可得B 的横坐标为2222ca a c-． 因为FB AF λ=，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--， 因为23λ≤≤，所以22322e e≤-≤，即22222340432324602e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤≤⎨-⎪≤⎪-⎩， BC 满足题意，AD 不合题意， 故选BC ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．写出一个符合“对12,x x ∀∈R ，当12x x ≠时，()()()12120f x x x x --<⎡⎤⎣⎦”的函数()f x =____________．【答案】x -（答案不唯一）【解析】设12,x x ∀∈R ，12x x <，则()()12f x f x >， 由单调性的定义可知，函数()f x 是定义域为R 的减函数， 所以函数()f x x =-满足题意． 故答案为x -．14．100(1的展开式中有理项的个数为________．【答案】34 【解析】131100C (2)r r r T x +=，所以0,3,6,,99r =⋯时为有理项，共34个，故答案为34．15．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为______．【答案】1140【解析】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法， 若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有33A 6=种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种； 第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率9962278110A 4P ⨯⨯⨯==，故答案为1140． 16．已知实数0a >且1a ≠，()xaf x a x =-为定义在()0,∞+上的函数，则()f x 至多有______个零点；若()f x 仅有1个零点，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】2，(){}0,1e【解析】令()0f x =（0x >，0a >且1a ≠），可得x a a x =， 等式x a a x =两边取自然对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=， 构造函数()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln xg x x-'=． 当0x e <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减．所以，()()max 1g x g e e ==，且当1x >时，()ln 0xg x x=>，如下图所示：由图象可知，直线ln a y a=与函数()ln xg x x =的图象至多有两个交点，所以，函数()f x 至多有2个零点． 若函数()f x 只有一个零点，则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得01a <<或a e =． 故答案为2，(){}0,1e ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ADC ∠=︒，ABC △为锐角三角形，且3AB =，AC =，60ABC ∠=︒．（1）求sin BAC ∠的值； （2）求BCD △的面积．【答案】（1；（2【解析】（1）在锐角ABC △中，3AB =，AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB ABC ACB AC ⋅∠∠==，又因为ABC △为锐角三角形，cos ACB ∴∠=．sin sin πππsin 33BAC ACB ACB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+∠=+∠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π1sin sin cos cos sin 331427πBAC ACB ACB ∴∠=∠⋅+∠⋅=+=． （2）//AB CD ，∴∠=∠ACD BAC ，sin sin ACD BAC ∴∠=∠=． 在ADC Rt △中，sin AD AC ACD =⨯∠==，2CD ∴==，BCD ACD S S =△△，又12ACD S AD CD =⨯=△BCD S ∴=△ 18．（12分）给出以下两个条件：①数列{}n a 的首项11a =，23a =，且14n n a a n ++=，②数列{}n a 的首项11a =，且()2121n n n S S n ++=．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足122n a nb n +=⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）21n a n =-；（2）()1122n n T n +=-⨯+．【解析】若选条件①：（1）由条件14n n a a n ++=，得()2141n n a a n +++=+，两式相减得24n n a a +-=，∴数列{}21k a -，{}2()k a k ∈Z 均为公差为4的等差数列．∵11a =，()2114143k a k k -=+-=-， ∴当n 为奇数时，21n a n =-；∵23a =，∴()234141k a k k =+-=-， 当n 为偶数时，21n a n =-， 综上，21n a n =-． （2）由（1）得1222n a n n b n n +=⨯=⨯，则其前n 项和为212222n n T n =⨯+⨯++⨯①，∴231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯②，①-②得()2131211212111222222n n n n n n T n ++-=⨯+⨯-=-⨯+⨯++-⨯-⨯()1122n n +=-⨯-，∴()1122n nT n +=-⨯+．若选条件②：（1）∵()2121n n n S S n ++=，∴222121S S =，232232S S =，242343S S =，…，()2211n n S n S n -=-， 上面1n -个式子相乘得2211n S n S =（2n ≥），∴2n ≥时，2221121n n S S n a n ===， 而1n =时，111n S S a ===，也满足上面等式，∴2n S n =， ∴2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，而1n =时，11n a a ==，也满足上面等式， ∴21n a n =-．（2）由（1）得1222n a n n b n n +=⨯=⨯，则其前n 项和为212222n n T n =⨯+⨯++⨯①，∴231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯②，①-②得()213121*********2222n n nn n n T n ++-=⨯+⨯-=-⨯+⨯++-⨯-⨯()1122n n +=-⨯-，∴()1122n nT n +=-⨯+．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且13AA =，E ，F 分别为1CC ，1BD 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11BB D D ；（2）若60DAB ∠=︒，求二面角11A BE D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）如图所示：连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点， 所以1//OF DD ，112OF DD =， 又E 为1CC 的中点﹐11//CC DD ，所以1//CE DD ，112CE DD =，所以//OF CE ，OF CE =，所以四边形OFEC 为平行四边形，//OC FE ．直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ， 所以1DD OC ⊥．又因为底面ABCD 是菱形，所以OC BD ⊥， 又1DD BD D =，1DD ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，所以OC ⊥平面11BB D D ，所以EF ⊥平面11BB D D ． （2）建立如图空间直角坐标系O xyz -，由60DAB ∠=︒，知2BD AB BC ===， 又13AA =，则()1,0,0B，32E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,A ，()11,0,3D -， 设(),,x y z =n 为平面1A BE 的一个法向量，由100A B BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得30302x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =()=n ；设()111,,x y z =m 为平面1D BE 的一个法向量，由100BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即11111230302x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x =，可得()3,0,2=m ，cos ,⋅===⋅m nn m m n， 如图可知二面角11A BE D --为锐角，所以二面角11A BE D --． 20．（12分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【解析】（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A玩偶的个数可以分三类情况， 1A ，2A ，3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ，3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种； 1A ，2A ，3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C A C 种， 故()22232134264263136266C C C C C C A 3A C 20327P E ++==． 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=． （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+， ∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列， ∴1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．21．（12分）已知椭圆()222210x y a ba b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，上顶点为A ，左顶点为B ，且 ||||10FA FB ⋅=+ （1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C -，()4,0D ，点P 在椭圆上，直线PC ，PD 分别与椭圆交于另一点M ，N ，若CP CM λ=，DP DN μ=，求证：λμ+为定值．【答案】（1）221105x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）设(),0F c ，由题意得||FA a =，||FB a c =+，2c a =，222a b c =+， ()||||10FA FB a a c ∴⋅=+=+210a =，25b =，∴椭圆的方程为221105x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 由CP CM λ=，DP DN μ=，得()()00114,4,x y x y λ+=+，()()00224,4,x y x y μ-=-，()010141x x y y λλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241x x y y μμμ⎧-=-⎨=⎩，()1284x x λμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111105105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01y y λ=，得()()01012110x x x x λλλ-+=-，()01512x x λλ∴+=-+．② 同理，由220022222221105105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02y y μ=，得()()22002110x x x x μμμ-+=-，()02512x x μμ∴+=+．③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-．④联立①④得263λμ+=，λμ∴+为定值263． 22．（12分）已知函数2()1()x f x ax a e=++∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0a ≠时，讨论函数()()3g x f x a =--的零点个数，并给予证明．【答案】（1）2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点；当0a >时，函数()g x 有两个零点，证明见解析．【解析】（1）2()xf x a e '=-， 由题意得()0f x '≥，即2x a e ≥在区间(1,)+∞上恒成立． 当(1,)x ∈+∞时，220,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2a e≥， 故实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由已知得2()2x g x ax a e =+--，则22()x x x ae g x a e e-'=-=． 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又(0)0g a =->，2(1)20eg =-<，故函数()g x 有且只有一个零点． 当0a >时，令()0g x '<，得2ln x a<，函数()g x 单调递减； 令()0g x '>，得2ln x a >，函数()g x 单调递增， 而222ln ln 0g a a a a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220a aa g a e ++⎛⎫=> ⎪⎝⎭， （ln x x <在(0,)+∞上恒成立）由于ln x x >，所以222ln a a a a +>>，所以()g x 在22ln ,a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点．又2222ln ln 22a a g a a a a ⎛⎫++⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，且222ln ln 2a a a <++， 设22()ln 2a a h a a ++=-，则222211()1022a a a h a a a a a +-+'=-=>++++在(0,)+∞上恒成立， 故()h a 在(0,)+∞上单调递增．而(0)0h =，所以()0>h a 在(0,)+∞上恒成立，所以22ln 02g a a ⎛⎫> ⎪++⎝⎭， 所以()g x 在222ln ,ln 2a a a ⎛⎫ ⎪++⎝⎭上存在一个零点． 综上所述，当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点；当0a >时，函数()g x 有两个零点．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
上海市2021年高考数学压轴卷含解析
上海市2021年高考数学压轴卷（含解析）第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则AB =____.2．若复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部是___________.3．行列式123456789中，6的代数余子式的值是______． 4．已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.5．在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.6．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____. 7．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 8．函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3，则实数m =______.9．设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 10．从以下七个函数：221,,,2,log ,sin ,cos x y x y y x y y x y x y x x=======中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =____.11．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 12．已知1a ､2a 与1b ､2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程121||||||+x a x a x b -+-=-2||x b -的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设(0,),(0,)a b ∞∞∈+∈+，则a b <“”是“11a b -<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为455. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．在ABC 中，若2sin A =，则cos 2cos B C +的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5]C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x +=，()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（ ） A ．3-B ．2-C ．3D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小. 18．已知函数1()lg()f x a x=+（1）设1()f x -是()f x 的反函数，当1a =时，解不等式11()2f x -<； （2）若关于x 的方程2()lg()0f x x +=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；（3）设0a ＞，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过lg 2，求a 的取值范围.19．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 满足11n na a λλ+≤≤(1λ>，且λ为实常数)，*n ∈N ，则称数列{}n a 为()B λ数列.（1）若数列{}n a 的前三项依次为12a =，2a x =，39a =，且{}n a 为(3)B 数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，且10a >，记21321||||||n n n T a a a a a a +=-+-++-.若存在数列{}n a 为(4)B 数列，使得1lim0n nn nT tT T +→∞-≤成立，求实数t 的取值范围；（3）记无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，证明：“110da λ≤≤-”是“{}n a 为()B λ数列”的充要条件.2021上海市高考压轴卷数学参考答案1．【答案】{1,2} 【解析】解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}AB =．故答案为：{1,2}． 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．【答案】45【解析】由题意，复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-， 可得()()()43534|(2)(12)|343434343455i i i i z i i i i i -⨯++-====+---+，所以复数z 的虚部为45. 故答案为：45. 3．【答案】6【解析】由题意，可得6的代数余子式2312(1827)678A =-=-⨯-⨯=．故答案为6． 【点睛】本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题． 4．【答案】9π【解析】因为球的体积为36π，设球的半径为r ，则34363r ππ=，解得：3r =， 因为球的大圆即是过球心的截面圆， 因此大圆的面积为29S r ππ==. 故答案为：9π. 【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型. 5．【答案】240【解析】解：在622 x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，通项公式为 123162r r r r T C x -+=⋅⋅， 令1230r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为 4462240C ⋅=，故答案为：240． 【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解.6．【解析】解：∵||||a b =，且12a b ⋅=， ∴a 与b 的夹角为60︒， 设(1,0)a =，则13(,2b =， ∵c xa yb =+，∴12c x y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又||1c =，∴221122x y y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=，当且仅当x y ==时，等号成立，∴233x y+．故答案为：3． 7．【答案】79-【解析】因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79- 8．【答案】2 【分析】由反函数的图象经过点()1,3，得原函数的图象经过点()3,1，代入解出答案即可. 【详解】解：因为函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3 所以函数()2log 1y x m =-+的图象经过点()3,1 所以()21log 31m =-+，解得2m = 故答案为2. 【点睛】本题考查了函数与反函数图像的关系，属于基础题. 9．【答案】1【解析】由已知PQ OF =可得(,)22c cp ，又点p 在渐近线b y x a = 上，22c b ca b a ∴=⋅⇒= 又1a = ，1b ∴= 10．【答案】2sin x x +【解析】由图象可知，函数()F x 的定义域为R ，故排除1y x=，2log y x =， 又由()F x 的图象过定点(0,1)，由函数()F x 图象，可得当0x >时，()1F x >且为增函数， 当0x <时， ()F x 大于0与小于0交替出现，若()2F x x x =+时，此时函数()F x 的图象不过定点(0,1)，因为2xy =过(0,1)，且当0x >时，1y >，当0x <时，01y <<，若包含cos y x =，当0x =时，1y =，2cos xy x =+不满足过点(0,1)，若包含y x =，此时函数()2xF x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，若包含2yx ，此时函数()22x F x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，所以只有()2sin xF x x =+满足条件． 故答案为：2sin x x +． 11．【答案】1115【解析】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111512．【答案】{1}【解析】转化为12()||||f x x a x a =-+-和12()||||g x x b x b =-+-图像交点， 为了简化问题，我们可以研究|||1|||||x x x a x b +-=-+-，21,0()11,0121,1x x f x x x x x x -+<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩，设a b <，2,(),2,x a b x a g x x a x b b a a x b x a b x b -++<⎧⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-->⎩，设(0,1)A ，(1,1)B ，(,)C a b a -，(,)D b b a -， ①由图像易知，1个交点容易得到， 如1,22a b ==时，可求得唯一一个交点为53(,)42而0个交点和2个交点都是不可能的. ②假设有0个交点，由题意|1|||2||AC b a k a --=>，|1|||2|1|BD b a k b --=>-，∴||1|1|2a b a <--，|1|1|1|2b b a -<--，∴|||1|1|1||1|a b b a b a -+<----，而由三角不等式，|||1||1|1|1||1||1|a b b a b a b a b a ---+≥=------，故矛盾，∴不可能有0个交点； ③假设有2个交点，1(2,0)AC b a k a --=∈-，1(0,2)1BD b a k b --=∈-， ∴112a b a ->--，1112b b a ->--，∴111b a b a -->--，明显矛盾，∴不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解集A 不是无限集时，集合A 的元素个数只有1个. 故答案为：{}1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况. 13．【答案】C【解析】若a b <“”，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以， a b <“”成立，则“11a b -<-”成立，充分性成立； “11a b -<-”成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，“11a b -<-”成立，则a b <“”成立，必要性成立； 所以，a b <“”是“11a b -<-”的充要条件 故选C 14．【答案】B 【解析】①点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为==，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)4代入可得242p =，解得p =∴抛物线中焦点到准线的距离p ，④不正确， 故选B . 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 15．【答案】B【解析】由题意，在ABC 中，若sin A = 因为(0,)A π∈，可得4A π=或34A π=， 当4A π=时，可得34B C π+=，则34B C π=-，可得3cos cos()sin()4224B C C C C C C ππ+=-=+=+， 因为3(0,)4C π∈，所以(,)44C πππ+∈，所以sin()(0,1]4C π+∈； 当34A π=时，可得4B C π+=，则4B C π=-，可得cos cos())422B C C C C C C πϕ+=-=+=+， 其中tan 3ϕ=，设())g x x ϕ=+在区间[0,]2πϕ-上单调递增，在[,]24ππϕ-上单调递减，又由()02()24g g π=>=，()2g πϕ-=，所以()g x ∈)C ϕ+∈，综上可得，cos B C +的取值范围是(0,1](2,5].故选：B. 【点睛】解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 16．【答案】C【解析】对任意的n *∈N ，2n n S a n =+. 当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =-； 当2n ≥时，由2n n S a n =+可得1121n n S a n --=+-，上述两式作差得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以，()1121n n a a --=-， 所以，数列{}1n a -是首项为112a -=-为首项，以2为公比的等比数列，所以，11222n n n a --=-⋅=-，即12nn a =-，531a ∴=-，663a =-，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 函数()f x 满足()()3f x f x +=，()13f =-，所以，()()()()5313113f a f f f =-=-=-=，()()()66300f a f f =-==， 因此，()()563f a f a +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.17．【答案】4π.【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为π3，可知1113π∠A O B =．11111111111sin 2SA O AB =O A ⋅O B ⋅∠O B =，1111111V 312C O A B Sh -O A B =⋅=（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ， 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角．由AC 长为2π3，可知2π3C ∠AO =， 又111π3∠AOB =∠A O B =，所以π3C ∠OB =，从而C OB 为等边三角形，得1C B =． 因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ．在1C B B 中，因为1π2C ∠B B =，1C B =，11B B =，所以1π4C ∠B B =， 从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为π4．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.18．【答案】（1）(,0)(lg3,)-∞+∞；（2）0a =或14a =-；（3）23a ≥.【解析】（1）因为()1()lg y f x x a -==+，所以110y x a -+=，所以101y x a=-，所以11()10x f x a-=-，当1a =时，11011()12xf x -=-＜，故解集为(,0)(lg3,)-∞+∞； （2）方程2()lg()0f x x +=即()2lg 0ax x +=，即21ax x +=的解集中恰好有一个元素，当0a =时，1x =，符合题意， 当0a ≠时，140a ∆=+=，解得14a =-， 综上所述，0a =或14a =-； （3）当0a ＞时，设120x x <<，则1211a a x x +>+，1211lg lg a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值为(),(1)f t f t +， 所以11()(1)lg lg lg 21f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以1211(1)ta t t t t -≥-=++设1t r -=，则102r ≤≤，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032rr r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r=-++-， 因为2y r r =+在上递减，所以219422r r +≥+=，所以211229323332r r r r r =≤=-++--， 所以实数a 的取值范围是23a ≥. 【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到11011()12x f x -=-＜，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出()f x 的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题 19．【答案】（1）证明见解析 （2）k ≥（3）存在，4T ≥【解析】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=， 因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪⎪⎝⎭.（3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立.（Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.20．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，m =.【解析】（1）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA =，(0m >且1)m ≠ 可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，01y y m=① ， 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=② ，将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221y x m+=(0m >且1)m ≠，因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，201m <<，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(，； 当1m 时，21m >，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,. （2）存在，理由如下：如图2､3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=，③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+，④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+， 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+， 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得2m =， 故存在2m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.21．【答案】（1）[3,6]；（2）(1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）因为{}n a 为B （3）数列，所以1133n na a +， 则13321933xx⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得36x ， 即x 的取值范围是[3，6]；（2）由数列{}n a 为B （4）数列，可得1114n na q a +=<或14q <， 当114q <时，由10a >，111(1)0n n n a a a q q -+-=-<，所以11||n n n n a a a a ++-=-． 则12231111(1)n n n n n T a a a a a a a a a q ++=-+-+⋯+-=-=-，所以11()lim lim 101nn n nn n n T tT t q t q t T q +→∞→∞----==--，即1t ； 当14q <时，由10a >，111(1)0n n n a a a q q -+-=->，所以11||n n n n a a a a ++-=-．则21321111(1)n n n n n T a a a a a a a a a q ++=-+-+⋯+-=-=-，所以11()1lim lim lim 0111nnn n n n n n n ntq t T tT q t q tq q t T q q+→∞→∞→∞------+===---，即t q ，所以1t >， 则t 的取值范围是(1,)+∞； （3）先证充分性．因为11da λ-，所以10a ≠，{}n a 为等差数列， 所以当0d =时，10n a a =≠，此时11n na a +=， 由1λ>，所以111n na a λλ+=成立，所以{}n a 为()B λ数列； 当0d ≠时，1111111(1)111(1)(1)(1)1n n a a nd a n d d d a a a n d a n d a n dn d+++-+===+=++-+-+-+-， 因为101d a λ-，所以111a dλ-，所以1110(1)(1)11a n n dλλ---++-， 即有1(1)11(1)(1)1n na n a n λλ+-+--+，因为1λ>，所以(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1n n n n λλλλλ-+--+-+=--+--+11111111(1)(1)1111n n λλλλλ-=+=++=--+-+--， 所以111n na a λλ+恒成立，所以{}n a 为()B λ数列， 综上可得，{}n a 为()B λ数列；再证必要性．因为{}n a 为()B λ数列，所以11n na a λλ+恒成立，所以10a ≠， 当0d =时，11da λ-显然成立； 当0d ≠时，因为110n n a a λ+>，所以{}n a 的每一项同号，所以1a 与d 也同号， 所以10da ，因为11n n a a λλ+恒成立，所以1n =时，211a a λλ成立， 因为{}n a 为等差数列，21a a d =+，211111a a d d a a a +==+， 所以111d a λλ+，即为111da λλ--，101d a λ-， 综上可得，“101da λ-”是“{}n a 为B ()λ数列”的充要条件． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3小问，证明“101da λ-”是“{}n a 为B ()λ数列”的充要条件，先证明充分性，利用不等式证明111n na a λλ+恒成立，所以{}n a 为()B λ数列；再证明必要性，证明11da λ-成立.。
2021年高考数学高考数学压轴题平面向量多选题分类精编及答案
2021年高考数学高考数学压轴题平面向量多选题分类精编及答案一.平面向重多选题1. 在三棱锥M-ABC中，下列命题正确的是（）—,1 ―, ?—- —A. 若AD = -AB + -AC ,则BC = 3BDB. 若G 为△A3C 的重心，则MG = —AM + — A73 + — MC3 3 3c.若莎说=0，MC AB = 0^则丽•走=0D.若三棱锥M-ABC的棱长都为2, P, Q分别为MA, BC中点，则啓卜2【答案】BC【分析】作出三棱锥M - ABC直观图，在每个三角形中利用向戢的线性运算可得.对于A,由,> AD = -AB+ -AC ^3AD = 2AC +AB =>2AD-2AC = AB-AD f3 3__ __ 3:・♦■•.即2CD = DB，则〒BD = BD + DC = BC,故 A 错误：对于 B.由G 为△ABC的重心，WGA + GB + GC = 0> 又MG = MA + AG^:.MA + MB + MC = 3MG^即MG = MB + BG^ MG = MC + CG^+押€疏故B正确:对于c,若MA BC = 0.祝•而=0，则MA BC + MC AB = 0^即顾・BC + A?C (AC + cg)=0=>M4•荒 + 就疋+就•丙=0=>MA BC+MC X C-A7C BC = O=>(M4-A7C) BC+A7C ；AC = O=^CABC + MCAC = 0=>ACCB + MCAC = 0=>^CB + MC^AC = 0,即MB AC = O^故C正确;・々 | * “”・•o I ■■■! ■ | ■・““■对于D,・・PQ = MQ — MP = — (MB + MC)一一MA = -(MB + MC-MA) 2 2 2岡=£阿+祝一网= £J(屈+応一莎『2 2 o ，(而+说_顾『=~MB +MA +2MB•就_2屈•顾_2疋•顾=22 +22 +22 +2x2x2x--2x2x2x--2x2x2x- = S ,.•.『0=丄邂=血，故2 2 2 2D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考査向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1) 用已知向量来表示某一向量，一立要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3) 在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.2. 泄义空间两个向量的一种运算〃前=冋•円sin@,巧，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A.B・a ®Z? = h ©ciC. (5+b)®c=(6/®c) + (/J®c)D. 若力=(舛,yj, b =(x2,>'2),则刁0Z?=卜』2_七〉'|【答案】BD【分析】对于A,B,只需根据泄义列出左边和右边的式子即可，对于C,当方=觞时，(N + Z?) 0 X = (1 + 兄)”卜『[sin 0, C),(玄就)+(5皐)=网卜|8|sin (氏€)+ b | - |c | sin , c ^ = (1 + 2) |/? | • |c | sin c 然不会恒成立.对于D,根据数量积求出cos如，可，再由平方关系求出sin〈打)的值，代入定义进行化简验证即可.【详解】解：对于力:= ,(脳)区>万=|州可•方sin〈25,5),故A[a®b) = (Aa)®b不会恒成立:对于 B ・ a®b = \a\ - b sing") , b 对于 C,若S 且/l>0,(a+h)®c=(l + 2)|^|-|c|sin^,c), (a + ®c) = /l^|-|c|sin^/?,c^4-|/?|-|c|sin= (1+ 2)|/?|-|c|sin^Z?,c^ , 显然+ =(«®c) + (/?®c)不会恒成立；=J （彳+斤）（兀+丈）一（“2 +＞卩2『=J 彳衣+X ；）f -2為电”儿 = |x I y 2-x 2y 1|.则 a ®h = \x {y 2 -x 2y\ \ 恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新立义，理解运算法则正确讣算是解题的关键，属于较难题.3. 已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，D, F 分别是AC, AB 上的点,且疋=丽,AD = 2DC » BD 与CE 交于点0,则（）A. OC + Ed = 0B. AB CE = OC. ^pA + OB + OC + OD^y/3 【答案】BD 【分析】7D.丽在就方向上的投影为：6可证明EO = CE,结合平而向量线性运算法则可判断A ：由Ag 丄乙g 结合平而向量数疑 积的左义可判断B ：建立直角坐标系，由平而向量线性运算及模的坐标表示可判断C ：由 投影的计算公式可判断D. 【详解】因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE = E§,所以E 为AB 的中点，且CE 丄AB,以E 为原点如图建立直角坐标系，sin b®a=可•同sin 〈方间,故a®b=b®a 恒成立: 对于D,、2所以药在岚方向上的投影为虫卫=3二=?,故D 正确. \BC \ 2 6 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平而直角坐标系是解题关键.4. 在△A3C 中，D 、E 分别是AC. 3C 上的点，AE 与BD 交于0,且所以△ CDO 里△EGO, EO = CO,则 0 0、 对于A, OC + EO = EC^d^故A 错误：对于B.由而丄CE 可得而・CE = O ，故B 正确:对于C, OA =所以 OA + OB + OC + OD = [-^-^-,所^X ^A +OB +OC +OD \1州2 =-＞故C 错误: 3对于D,BC = (-1,^), ED= -1,则 E(0,0)t 4(一1,0), B(l,0), C (0,V3),取血的中点G,连接GE,易得GE//AD 且^冷心",殛 茕=说・西=冯・丽,AB + AC = 2AE^ CD = 2DA^ \AB\ = \,贝ij () B ・ OA OE = 0【答案】BCD 【分析】根据而•说=就•乙5 =鬲•而以及正弦左理得到sinC cosB = sinB cosC,从而求 岀B = C,进一步得到B = C = A, A AB C 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和£＞为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求岀各选项. 【详解】由 7B -BC = BC -CA = C 4-AB W |^|-|^C |COS B = |GA |-|BC |COS C,I AB I cos B=\CA \ cos C ,正弦定理,sin C -cosB = sin B• cos C , 0 = sin (B —C),B = C,同理：A = C,所以B = C = A, △ ABC 等边三角形.AB + AC = 2AE^ E 为3C 的中点，CD = 2DA^ D 为AC 的三等分点.0为4E 的中点，所以，丙+页=6正确，故B 正确:,AC BD= - x-- —x —= --^0.故 A 错误:2 3 2 3 6OA + OB + OC\ = ^OA + 2OE\ = ]pE\ = ^-^ 故 C 正确:而刼 7,投影—・=—，故D 正确.\BA\ 12故选：BCD.A. ACBD^O c.网+面+sq=¥ D.丽在丽方向上的正射影的数量为首X 厶6' 3 )，解得o 0, 一，.BD【点睛］如何求向量方在向量厶上的投影，用向量方的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以M Acrb了，当然还可以利用公式丁进行求解.b5. 已知向量2 = (@1), /； = (cos&.sin8)(g氏龙)，则下列命题正确的是()A・h"丄八则tan0 = 5/2B. 若5在方上的投影为一?，则向量方与乙的夹角为斗Zr DC. 存在0,使得\a+b\=la\ + \b\D. 方・乙的最大值为【答案】BCD【分析】若a丄b，则tan 0 = —>/2 '故力错误:若厶在方上的投影为-丄，且由1 = 1,则cos&/〉=半，故3正确：2 3If b在方上的投影为 > 且1^1 = 1 I故当< a.b>=0‘ la +厶l = lal + l“l,故C正确：2a •b = >/2cos^ + sin^= >/3sin(^4-^), a・b 的最大值为故D【E确・【详解】若方丄■则a " = x^cos& + sin& = 0 ,则tan6 = -V?> 故人错误；若乙在方上的投影为一!，且区1 = 1,贝Mlcosd /；〉=斗COS&.6 弓，故B正确：若(方 + 苏=7+岁 +龙•方，(1&1 + 由1)2=1肝+1 肝+2I&I⑹，若\a + b\ = \a\ + \b\,则a •b =\a\\b\cos(o. b) = \a\\b \,即cos〈d.方〉=1,故 V",厶>=0，\a + h\ = \a\ + lh \,故 C 正确：a •b = y/2 cos0 + sin 3 = JJsin(O + 0),因为0<05 兀，0<卩<£,则当0 + p = £时，方祐的最大值为J5,故D正确，故选:BCD.【点睛】本题主要考査平而向量的数量积的讣算和应用，考査数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 下列关于平而向量的说法中正确的是()A. 已知A 、B 、C 是平而中三点，若丽,紀不能构成该平面的基底，则久3、C 共线B. 若 a b = b c 110 •则 a = cC. 若点G 为LABC 的重心，则GA + GB + GC = OD. 已知力=(1,一2), ^ = (2,2),若方，5的夹角为锐角，则实数入的取值范围为2<1 【答案】AC 【分析】根据平而向量基本定理判断A ：由数量积的性质可判断3：由向量的中点表示和三角形的 重心性质可判断C ,由数量积及平而向量共线定理判断D. 【详解】解：因为脑.疋不能构成该平面的基底，所以而//；花，又淞，疋有公共点A ，所以 力、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若亦=沁,则l«l^lcos<d^>=I^Uclcos<^c>,所以I ci I cos <ii,h>=ic\ cos < b,c > ,无法得到 fl = c > 即 B 不正确: 设线段AB 的中点为M,若点G 为A4BC 的重心，则GA + GB = 2GM^而GC = -2GM » 所以GA + GB + GC = O^ 即C 正确: 方=(1, —2), 5 = (2,2),若方，5的夹角为锐角，则a-b = 2-2A> 0解得兄<1，且方 与乙不能共线，即/IH7,所以2W (Y ),7)U(-4，1)，故D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查向量共线立理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题.7. 已知A/为厶ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是() B . MA +MB +MC = 6 C. BM =-BA + -BD3 3 【答案】ABD 【分析】根据向疑的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，萝向丁法T 四边形法则易得而冷亦抨，故A 正确:对于B 选项，MB + MC = 2MD^由于M 为4D 三等分点靠近£>点的点， 莎 =一2宓所以MA + MB + MC = O^故正确；对于 C 选项，BM = BA + -Ab = BA + -(Bb-BA} = -BA + -Bb 9 故 C 错误:3 3、 丿 3 3A.D.对于D 选项，阪刀+ |乔刃+ |(葩占卜捋+ |血故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.&关于平而向量有下列四个命题，其中正确的命题为() A ・ If a ・ b = crc^ 则 = c ；B. 已知 a = (k,3), b = (-2,6) > 若：〃■贝'JA ： = —1:C. 非零向就a b 9满足I a 1=1 b 1=1 a —方I,则a 1J ci+ b 的夹角为30-；/ -* — \ab-*a—、bD.—+ —(\a\ \b\(|方1一两【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义 知，C 正确，通过化简计算得D 正确. 【详解】对A,当a=Q 时，可得到A 不成立：k 3对 B, N//6 时，有—=-，:.k=-\,故 B 正确.-2 6对C,当\a\^b\=\a-b\时，a. b 、a-b 这三个向量平移后构成一个等边三角形， ci + b 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确.I I —= (――)" — (~^-广=1 — 1=0,故 D 正确・ \b\ \a\\b\ 故选：BCD.【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特 点•属于基础题・对D,・.・(幺+ 2).(2151 \b\ \a\9.已知AABC 是边长为2a(a>0)的等边三角形，P 为MBC 所在平而内一点，则PA^PB +.3 24 2A. —2(厂B. ------ ciC. ----- ci23【答案】BCD【分析】 通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.【详解】PB = (-a-x,—y), PC = («-x,-y). 则 PB + PC = (-a - x,-y) + (a_x, -y) 即 PB + PC = (-2x-2y) 所以PA(PB + PC)= (_X ,屈- y) • (-2x-2y) 则 PA(TB + PC)= 2x 2+2y 2- 2羽ay10. MBC 是边长为3的等边三角形，已知向量方、5满足AB = 3a^ AC = 3a + b^则 下列结论中正确的有()所以 PA \PB +P ( 故选：BCD. 【点睛】4討即 PA(PB + PC)3 , -cr 2Va Y y-——a2本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.= 2X 2 + 2建立如图所示的平而直角坐标系.°)A ・°为单位向虽B ・bllBC C ・a 丄方【答案】ABD 【分析】求出：可判断A 选项的正误；利用向疑的减法法则求出厶，利用共线向咼的基本左理可判项的正误•综合可得出结论.【详解】 对于A 选项，...而=3乙，•••方=丄而，贝响=丄网| = 1, A 选项正确； 对于 B 选项，-AC = 3a+b = AB+b^ :.b = AC-AB = BC :.b//BC B 选项正 确：对于D 选项，（60 +可反=（殛+ 疋）•（走一而）=走'一殛‘=0,所以,（6方+可丄茕，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量 的判断，考查推理能力，属于中等题.D.（6方+可丄茕断B 选项的正误; 计算出ab ＞可判断C 选项的正误: 计算出（6方+可・荒 可判断D 选对于c 选项,XCOS —H0,所以方与乙不垂直，C 选项错误:。
高考数学压轴卷含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学压轴卷〔含解析〕一、 选择题〔本大题一一共10小题.每一小题45分，一共40分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕 1．设复数z 满足13izz +=，那么||z =〔〕A ．1010B ．55C ．5D ．102．设集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|20},B x x x =->那么()R A B =〔〕A ．{}1,3- B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当01x ≤≤时，3()f x x =，那么52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕 A ．278-B ．18-C ．18D ．2784．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是〔〕 A ． B ． C ．D ．5．坐标原点到直线l 的间隔为2，且直线l 与圆()()223449x y -+-=相切，那么满足条件的直线l 有〔〕条 A ．1 B ．2C ．3D ．46．函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是〔〕A ．()2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．某三棱锥的三视图如下列图，那么该三棱锥的体积为〔〕 A ．20 B ．10C ．30D ．608．点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，那么直线AF 的斜率为〔〕A ．43- B ．1-C ．34-D ．12-9．1a =，那么“()a a b ⊥+〞是“1a b ⋅=-〞的〔〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件10．随机变量ξ的分布列，那么以下说法正确的选项是()A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ) D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>14二．填空题〔本大题一一共5小题.每一小题5分，一共25分〕 11．曲线()212f x x x =+的一条切线的斜率是3，那么该切点的横坐标为____________. 12．函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____.13．在△ABC 中，假设30B=，23AB =,2AC =,求△ABC 的面积14．{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝1，a 3＝100，那么{a n }的通项公式a n ＝_____；设数列{lga n }的前n 项和为T n ，那么T n ＝_____. 15．函数①是奇函数；②在上是单调递增函数；③方程有且仅有1个实数根；④假设对任意，都有，那么的最大值为2.注：此题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者有选错得0分，其他得3分.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 16．函数()log k f x x =〔k 为常数，0k >且1k ≠〕．〔1〕在以下条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列(){}nf a 是首项为2，公比为2的等比数列；②数列(){}nf a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}nf a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．〔2〕在〔1〕的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点．〔1〕求证：PD BQ ⊥；〔2〕求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值． 18．函数()()22ln R f x a x x ax a =-+∈.〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕当0a>时，假设()f x 在()1,e 上有零点，务实数a 的取值范围.19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：〔Ⅰ〕现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；〔Ⅱ〕从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步理解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；〔Ⅲ〕为鼓励顾客使用自由购，该超拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.假设某日该超预计有5000人购物，试估计该超当天至少应准备多少个环保购物袋. 20．椭圆22:24C x y +=〔1〕求椭圆C 的HY 方程和离心率； 〔2〕是否存在过点()0,3P的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．21．对于n ∈N *〔n ≥2〕，定义一个如下数阵：111212122212n n nn n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，其中对任意的1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，当i 能整除j 时，a ij ＝1；当i 不能整除j 时，a ij ＝0．设()121nij j j nj i tj a a a a ===+++∑．〔Ⅰ〕当n ＝6时，试写出数阵A 66并计算()61j t j =∑； 〔Ⅱ〕假设[x ]表示不超过x 的最大整数，求证：()11 n nj i n t j i ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑； 〔Ⅲ〕假设()()11 n j f n t j n ==∑，()11 ng n dx x =⎰，求证：g 〔n 〕﹣1＜f 〔n 〕＜g 〔n 〕+1．2021高考压轴卷数学Word 含解析参考答案1．【答案】A【解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||z =. 应选:A. 2．【答案】B【解析】由220x x ->，得0x <或者2x >，即{|0B x x =<或者2}x >，={|02}R B x x ∴≤≤，又{}1,0,1,2,3A =-()={0,1,2}R A B ∴.应选：B. 3．【答案】B【解析】由()f x 满足(2)()f x f x +=， 所以函数的周期2T =，又因为函数()f x 为奇函数，且当01x ≤≤时，3()f x x =，所以51112228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 应选：B【解析】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 应选：B. 5．【答案】A【解析】显然直线l 有斜率，设l ：y kx b =+，2=，即()2241b k =+，①又直线l 与圆相切，7=，②联立①②，34k =-，52b =-， 所以直线l 的方程为3542y x =--.应选：A 6．【答案】C【解析】 令222262k x k πππππ-+≤+≤+因此36k x k ππππ-≤≤+故函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦应选：C【解析】由三视图可得几何体直观图如以下列图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=此题正确选项：B 8．【答案】C【解析】试题分析：由得，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，且过点(2,3)A -，故22p-=-，那么4p =，(2,0)F ，那么直线AF 的斜率303224k -==---，选C ． 9．【答案】C【解析】由()a a b ⊥+，那么2()00⋅+=⇒+⋅=a a b a a b 又1a =，所以1a b ⋅=-假设1a b ⋅=-，且1a =，所以20+⋅=a a b ，那么()a a b ⊥+ 所以“()a a b ⊥+〞是“1a b ⋅=-〞的充要条件 应选：C 10．【答案】C【解析】依题意可得()2E xy ξ=，()()()()()()()222222222212121212D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yxξ⎡⎤=-+-=-+-=-+-⎣⎦因为1x y +=所以()21222x y xy +≤=即()12E ξ≤故A ，B 错误；()()()()()()222221121212D x x x y yx x x y yx x yx ξ⎡⎤∴=-+-=-+=-⎣⎦01x <<1211x ∴-<-<()20211x ∴<-< ()D yx ξ∴<即()()12D E ξξ<，故C 成立； ()()()2211244x y D x yx xy ξ+=-<≤=故D 错误应选：C 11．【答案】2【解析】 由于()212f x x x =+，那么()1f x x '=+， 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值， 曲线21()2f x x x =+的一条切线斜率是3， 令导数()13f x x '=+=，可得2x =， 所以切点的横坐标为2. 故答案为：2． 12．【答案】π【解析】因为函数21cos 231cos 2sin cos 2cos 2222x y x x x x -=-=-=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π13．【答案】【解析】在ABC 中，设BC x =，由余弦定理可得241230x =+-，2680x x -+=，2x ∴=，或者4x =．当2x =时，ABC的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅= 当4x =时，ABC的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅=，14．【答案】10n ﹣1()12n n -【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题知q ＞0. ∵a 1＝1，a 3＝100， ∴q ==10， ∴a n ＝10n ﹣1；∵lga n ＝lg 10n ﹣1＝n ﹣1，∴T n ()12n n -=.故答案为：(1).10n ﹣1(2).()12n n - 15．【答案】①②④【解析】对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的； 对于②中，假设，那么，所以的递增，所以是正确的；对于③中，，令， 令可得，，即方程有一根，，那么方程有一根之间，所以是错误的； 对于④中，假设对于任意，都有，即恒成立，令，且，假设恒成立，那么必有恒成立，假设，即恒成立，而，假设有，所以是正确的，综上可得①②④正确.16．【答案】〔1〕②，理由见解析；〔2〕21n nT n =+ 【解析】〔1〕①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．〔2〕由〔1〕知()14222n k n a k kk -+=⋅=，所以当2k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ，所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕3． 【解析】〔1〕由题意在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 那么()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,．因为Q 为PD 中点，所以()0,1,1Q ，所以()0,2,2PD =-，()1,1,1BQ =-，所以()()0,2,21,1,10PD BQ ⋅=-⋅-=，所以PD BQ ⊥．〔2〕由〔1〕得()1,1,2PC =-，()()1,1,21,1,12PC BQ ⋅=-⋅-=-，6PC =，3BQ =，2,3PC BQ COS PC BQ PC BQ⋅==，所以PC 与BQ所成角的余弦值为3． 18．【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++='-=. 由()0f x '=得x a =或者2ax =-.当0a =时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.〔Ⅱ〕当0a >时，()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 所以()f x 在()1,e 上有零点的必要条件是()0f a ≥， 即2ln 0a a ≥，所以1a ≥. 而()11f a =-，所以()10f ≥.假设1a =，()f x 在()1,e 上是减函数，()10f =，()f x 在()1,e 上没有零点. 假设1a >，()10f >，()f x 在()1,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，所以()f x 在()1,e 上有零点等价于()e 01e f a ⎧<⎨<<⎩，即22e e 01e a a a ⎧-+<⎨<<⎩，解得)1e 12a <<.综上所述，实数a的取值范围是)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 19．【答案】17100；〔Ⅱ〕详见解析；〔Ⅲ〕2200 【解析】〔Ⅰ〕在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的一共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． 〔Ⅱ〕X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===. 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. 〔Ⅲ〕在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的一共有3121764244+++++=人， 所以该超当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=.20．【答案】〔1〕22142x y+=，e=；〔2〕存在，7x+30或者7x﹣0 【解析】〔1〕由22142x y+=，得2,a b==c==2cea==；〔2〕假设存在过点P〔0，3〕的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足2PB PA=，可设直线l的方程为x＝m〔y﹣3〕，联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得〔2+m2〕y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4〔2+m2〕〔9m2﹣4〕＞0，即m2＜47，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，可得y1+y2＝2262mm+，y1y2＝22942mm-+，①由2PB PA=，可得〔x2，y2﹣3〕＝2〔x1，y1﹣3〕，即y2﹣3＝2〔y1﹣3〕，即y2＝2y1﹣3，②将②代入①可得3y1﹣3＝2262mm+，y1〔2y1﹣3〕＝22942mm-+，消去y1，可得22232mm++•22322mm-+＝22942mm-+，解得m2＝2747<，所以7m=±，故存在这样的直线l，且方程为7xy0或者7x﹣0．21．【答案】〔Ⅰ〕66111111 010101 001001 000100 000010 000001A⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，()6114jt j==∑．〔Ⅱ〕见解析〔Ⅲ〕见解析【解析】〔Ⅰ〕依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，()6112232414j t j ==+++++=∑．〔Ⅱ〕由题意可知，t 〔j 〕是数阵A nn 的第j 列的和，可得()1nj t j =∑是数阵A nn所有数的和．而数阵A nn 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i ≤n ，不超过n 的倍数有1i ，2i ，…，n i i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．得数阵A nn 的第i 行中有n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个1，其余是0，即第i 行的和为n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．从而得到结果．〔Ⅲ〕由[x ]的定义可知，1n n n i i i ⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦＜，得111 n nn i i i n n nn i i i===⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑＜．进而()1111 1?nni i f n i i ==-≤∑∑＜．再考察定积分11 n dx x ⎰，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论． 【详解】〔Ⅰ〕依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭．()6112232414j t j ==+++++=∑． 〔Ⅱ〕由题意可知，t 〔j 〕是数阵A nn 的第j 列的和，因此()1nj t j =∑是数阵A nn所有数的和．而数阵A nn 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i ≤n ，不超过n 的倍数有1i ，2i ，…，n i i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因此数阵A nn 的第i 行中有n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个1，其余是0，即第i 行的和为n i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以()11 n nj i n t j i ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑．〔Ⅲ〕证明：由[x ]的定义可知，1n n n i i i⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦＜， 所以111 nn n i i i n n nn i i i ===⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑＜．所以()1111 1?n ni i f n i i ==-≤∑∑＜． 考察定积分11 ndx x ⎰，将区间[1，n ]分成n ﹣1等分，那么11n dx x ⎰的缺乏近似值为21 ni i =∑，11 n dx x ⎰的过剩近似值为111 n i i -=∑．所以1211111n n n i i dx i x i -==∑∑⎰＜＜． 所以11 1ni i =-∑＜g 〔n 〕11ni i=∑＜．所以g 〔n 〕﹣1()11111?nni i f n i i==-≤∑∑＜＜＜g 〔n 〕+1．所以g 〔n 〕﹣1＜f 〔n 〕＜g 〔n 〕+1．。
湖南省溆浦一中2021年高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编附答案
湖南省溆浦一中2021年高考数学高考数学压轴题 数列多选题分类精编附答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎫⎥=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列，所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=+， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b ++，所以1n n b b +=-， 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．3．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111233n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：由2159n nn a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111233n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.4．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k k S k ++=--结论计算即可.【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.8．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-=所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S n S n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,。
高考数学高考数学压轴题 数列多选题专项训练分类精编及答案(1)
一、数列多选题1．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >答案：BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 4．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 答案：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 6．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d dna d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 7．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项答案：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列答案：AD 【分析】利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断 【详解】 解：当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列， 因解析：AD 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 9．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 10．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
2021年高考数学高考数学压轴题 多选题分类精编附答案
对于C选项，由B选项得当 时， ，故当 且 时， ，故C选项正确；
对于D选项，取 ， ，则 ， ，不满足式 ，故D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当 时， ，且当 ，函数的值域为 ，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.
【答案】BC
【分析】
由已知，换元令 ，可得 ，从而 为偶函数， 图象关于 对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】
∵ ，
令 ，则 ，定义域为 ，
，故函数 为偶函数，
所以函数 的图象关于 对称，
要使得函数 有唯一零点，则 ，
即 ，解得 或
①当 时，
由基本不等式有 ，当且仅当 时取得
故 ，当且仅当 取等号
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
对于选项A：原式等价于 ，对于选项C： ，对于选项D：变形为 ，构造函数 ，通过求导判断其在 上的单调性即可判断；
对于选项B：利用换底公式： ，
等价于 ，利用基本不等式 ，再结合放缩法即可判断；
所以等价于 ，因为 ，
因为 ，
所以不等式 成立，故选项B正确；
故选：ABD
【点睛】
本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.
湖北湖北省仙桃中学2021年高考数学高考数学压轴题 平面向量多选题分类精编附答案
湖北湖北省仙桃中学2021年高考数学高考数学压轴题 平面向量多选题分类精编附答案一、平面向量多选题1．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 【答案】ABD【分析】 运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断.【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确； 当,03x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确.故选：ABD.【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅=B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅=D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅= 【答案】BC【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ；观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -，设(),E x y ，则2236x y +=， 故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--，故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==， 56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）A ．2OA OB +B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''，而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确；对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC.【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.4．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB的中点，AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上C ．线段PG长的最大值为1D ．PA PB ⋅的最小值6+【答案】ABC【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r=--问题，即可判断. 【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点，GB ∴=，而()()22:114C xy +++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --， ()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆.故选项A 正确；对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩， 得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=， ()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确；对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2min min3PA PB PG ⋅=-，由选项C 知：1112min11PG PG r r =--=-=，所以()()2min 136PA PB ⋅=-=-， 故选项D 错误；故选：A B C.【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.5．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又2cos ,222a ba b a b ⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.【点睛】 关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//PB CQB ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =【答案】BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQABC AB h S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.7．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<【答案】AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．8．下列各式结果为零向量的有（ ）A ．AB BC AC ++B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.故选：CD【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.10．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -， (),0C a ，则()3PA x a y =--， (),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=-即()2,2PB x y PC --+=所以 ()()()32,2x a PA PB P y x y C =--⋅--⋅+ 则()PA PB PC ⋅+22223x y ay =+- 即()PA PB PC ⋅+22233222x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥-故选：BCD.【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.。