谐波计算

§12 –3 3
有效值、 有效值、平均值和平均功率
前已指出，任一周期电流i 有效值I 前已指出，任一周期电流i的有效值I已经定义
1 T 2 I= i dt ∫0 T
•当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的 当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的 积分求有效值。 积分求有效值。这里主要是寻找有效值和各次谐 波有效值之间的关系。 波有效值之间的关系。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
周期电流、电压、 周期电流、电压、信号等都可以用一个周期 函数表示， 函数表示，即：
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（a）脉冲波形
图（b）方波电压
图
12－ 12－1
非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（c） 锯齿波 图 12－ 12－1
图（d）磁化电流
非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（e）半波整流波形 图 12－ 12－1 非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
f (t ) = f (t + kT)
式中， 为周期函数 为周期函数f 的周期。 式中，T为周期函数f（t）的周期。 k＝0，1，2，… ＝
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件， 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能 展开成一个收敛的傅立叶级数， 展开成一个收敛的傅立叶级数，即
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为幅 这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为幅 度频谱。 度频谱。 如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列就可 以得到相位频谱。 由于各谐波的角频率是w 的整数倍， 由于各谐波的角频率是w1的整数倍，所以这种频谱 是离散的， 是离散的，有时又称为线频谱。
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
Akm
o
ω1 2ω13ω14ω1
kω1
图12－2 12－
幅度频率
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
T 4 0
按上式可求出正弦电流的平均值为
4I m 1 T I av = ∫ I mcos(ωt) dt = cos(ωt)dt T 0 T ∫ T 4I m [sin (ωt)]04 = 0.637I m = 0.898I = ωT
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值( 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值(见图 12－ 12－9)，这里因为取电流的绝对值相当于把负半 周的值变为对应的正值。 周的值变为对应的正值。
式中，u、i 取关联参考方向。它的平均功率（有 式中， 取关联参考方向。它的平均功率（ 功功率） 功功率）仍定义为
1 T P = ∫ pdt T 0
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
•不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零 不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零 即不产生平均功率）；同频的正弦电压、 ）；同频的正弦电压 （即不产生平均功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的上述积分不为零。 乘积的上述积分不为零。这样不难证明
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
§12 –4 4
非正弦周期电流电路的计算
在§12 –4中以指出非正弦周期电流电路的计算原则， 4中以指出非正弦周期电流电路的计算原则， 具体步骤如下： 具体步骤如下：
（12－1） － ）
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
式（12－1）还可以合并成另外一种形式 － ）
f (t ) = A0 + A1m cos(ω1t +ψ1 ) + A2m cos(2ω1t +ψ 2 ) + L+ Akm cos(kω1t +ψ k ) + L
= A0 + ∑ Akm cos(kω1t +ψ k )
1.
把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数， 把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数， 高次谐波取到哪一项为止， 高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高 低而定。 低而定。
2.
分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分 量单独作用时的响应。对恒定分量（w=0），求解时 量单独作用时的响应。对恒定分量（w=0），求解时 ）， 把电容看作开路，把电感看作短路。 把电容看作开路，把电感看作短路。对各次谐波分 量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗、 量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗、与频 率的关系，并把计算结果转换为时域形式。 率的关系，并把计算结果转换为时域形式。
π
0
π
−π
(12-3)
上述计算公式中 k=1,2,3,… k=1,2,3,
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
由上述讨论可知， 由上述讨论可知，一个周期函数可以展开成傅立 叶级数，它是如式（12－ 和式（12－ 叶级数，它是如式（12－1）和式（12－2）的三 角级数形式。 角级数形式。 为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后， 为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后，包 含哪些频率分量以及各分量所占的“比重” 含哪些频率分量以及各分量所占的“比重”，用 长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率 的高低顺序把它们依次排列起来，就得到图12－ 的高低顺序把它们依次排列起来，就得到图12－2 12 所示的图形。这种图形称为f(t)的频谱（ 所示的图形。这种图形称为f(t)的频谱（图）。 f(t)
∞
2
§12 –3 3
1 T 2 2 I 0 dt = I 0 T ∫0
有效值、平均值和平均功率 有效值、
上式中的i展开式平方后将含有下列各列： 上式中的i展开式平方后将含有下列各列：
1 T 2 I km cos2 (kω1t +ψ k )dt = I k2 T ∫0
1 T ∫0 2I 0 cos(kω1t +ψ k )dt = 0 T 1 T ∫0 2I km cos(kω1t +ψ k )I qm cos(qω1t +ψ q )dt = 0 T (k ≠ q)
k =1
∞
（12－2） － ）
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
不难看出上述两种形式系数之间有如下关系
A0 = a0
2 Akm = ak + bk2
ak = Akm cosψ k bk = − Akm sin ψ k − bk ψ k = arctan( ) ak
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
傅立叶级数是一个无穷三角级数。 傅立叶级数是一个无穷三角级数。 12－ 的第一项A 称为周期函数f(t) f(t)的恒定 式（12－2）的第一项A0称为周期函数f(t)的恒定 分量(或直流分量)；第二项A1mcos(w1t+ψ1 )称 分量(或直流分量) 第二项A 为一次谐波（或基波分量），其周期或频率与原 为一次谐波（或基波分量），其周期或频率与原 ）， 周期函数f(t)相同，其他各项通称为高次谐波， 周期函数f(t)相同，其他各项通称为高次谐波，即 f(t)相同 谐波。 2次、3次、4次、…谐波。 谐波
2 2 ak = ∫ f (t ) cos(kω1t )dt = ∫ f (t ) cos(kω1t )dt T 0 T 1 2π 1 π = ∫ f (t ) cos(kω1t )dω1t = ∫ f (t ) cos(kω1t )dω1t
T T 2 T − 2
π
0
π
−π
2 T 2 T bk = ∫ f (t )sin( kω1t )dt = ∫ 2T f (t )sin( kω1t )dt T 0 T −2 1 2π 1 π = ∫ f (t )sin( kω1t )dω1t = ∫ f (t )sin( kω1t )dω1t
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
这种将一个周期函数展开或分解为一系列谐波 之和的傅立叶级数称为谐波分析。 式（12－2）中的系数，可按下列公式计算。 12－ 中的系数，可按下列公式计算。
1 T 1 a0 = ∫ f (t )dt = ∫ T 0 T
T 2 T − 2
f (t )dt
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
图12－9 12－
正弦电流的平均值
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
现在讨论非正弦周期电流电路的功率问题。 现在讨论非正弦周期电流电路的功率问题。 任一端口的瞬时功率（吸收） 任一端口的瞬时功率（吸收）为
∞ ∞ p = ui = U0 + ∑Ukm cos(kω1t +ψ uk ) × I 0 + ∑ I km cos(kω1t +ψ ik ) k =1 k =1
ห้องสมุดไป่ตู้
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
∞
假设一非正弦周期电流i 假设一非正弦周期电流i可以分解为傅立叶级数