微分方程——全微分方程
求全微分方程通解的方法(一)
求全微分方程通解的方法(一)求全微分方程通解什么是全微分方程？全微分方程是指可以表示为一个函数的全微分的方程。
比如： dy/dx = 2xy d/dx (x^2y) = (2xy + x^2(dy/dx)) 上述方程都可以使用全微分形式表示，即dy = 2xydx和d(x^2y) = (2xy + x^2dy/dx)dx。
## 求解全微分方程的方法 ### 使用积分法使用积分法求解全微分方程通常分为以下步骤： 1. 把方程化为 dy/dx = f(x)g(y) 的形式 2.通过移项把含有y的项移到dy的一侧，含有dx的项移到dx的一侧，然后两侧同时积分 3. 解出y的表达式，即为全微分方程通解 ### 使用恰当公式对于形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的微分方程，如果能找到一个函数u(x,y)，使得u(x,y)同时满足以下两个条件： 1.du/dx = M(x,y) 2. du/dy = N(x,y) 那么，该微分方程即为全微分方程，并且它的通解可以表示为u(x,y) = C，其中C为常数。
### 使用变量代换对于形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的微分方程，如果我们发现它中含有一个因子为y/x的式子，我们可以令u = y/x，从而将该微分方程转化为关于u和x的微分方程。
然后，我们联合使用积分法和恰当公式即可求解全微分方程的通解。
## 总结求解全微分方程有多种方法，一般使用积分法、恰当公式、变量代换等方法。
需要根据具体的微分方程形式来选择恰当的方法。
使用变量分离法对于形如M(x)dx + N(y)dy = 0的微分方程，由于它们的方程形式已经很接近全微分方程，我们可以直接使用变量分离法，将它们变形为dx/M(x) = -dy/N(y)，然后联合使用积分法即可求出该微分方程的通解。
### 使用一阶线性微分方程的通解公式对于形如y’ + P(x)y = Q(x)的一阶线性微分方程，我们可以使用公式y = e^(-int P(x)dx) * (int Q(x)e^(int P(x)dx)dx + C)，其中int表示积分符号。
1.4全微分方程
M (s, y)ds
x0
y0 N (x0, s)ds
所有与 F(x, y)相差一个常数的函数都满足
dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
( x, y)
F(x, y) M (x, y)dx N (x, y)dy ( x0 , y0 )
3.全微分方程的积分
当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
y
x
故该方程不是全微分方程,对该方程两边
同时乘以 x后得:
(2xy 4x3)dx x2dy 0
(2xy 4x3)dx x2dy 0
由于 (2xy 4x2 ) 2x x2
y
x
利用凑微分的方法可得通解为:
x2y x4 C 如果有函数 u(x, y) 使方程
x
F(x, y) M (s, y)ds ( y) x0
F (x, y) y
N(x, y) N(x0, y) '( y)
令
y
( y) y0 N (x0, s)ds
则找到一个满足 dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy的函数
x
y
F(x, y)
x
y
计算 F(x, y) 的二阶混合偏导数:
2F (x, y) M (x, y) , 2F (x, y) N (x, y)
yx
y
xy
x
由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,
从而有 2F (x, y) 2F(x, y)
yx
xy
故 M (x, y) N (x, y) 成立。
原方程的通解: x3 x4 xy y C 34
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程是微分方程中的一种特殊形式，它可以通过对方程两边进行求导，并使用偏导数的性质进行简化，从而得到一个显式的解析解。
全微分方程的解析解通常可以表示为一个函数的形式。
在本文中，我们将介绍一些全微分方程的基本公式，并提供一些例子来加深理解。
一、一阶全微分方程一阶全微分方程可以写成以下形式：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0其中M和N是x和y的函数。
如果一个函数u(x,y)满足以下条件：du = M(x, y)dx + N(x, y)dy那么，u(x, y)就是方程的一个解析解。
这就是说，如果找到一个u(x, y)使得du等于方程的左边，那么u(x, y)就是该方程的解析解。
二、全微分方程的可积条件如果一个全微分方程是可积的，那么它必须满足以下条件：∂M/∂y=∂N/∂x这个条件称为全微分方程的可积条件。
如果一个方程满足这个条件，那么它可以通过求解一个积分来求得解析解。
三、全微分方程的求解方法根据全微分方程的表示形式，我们可以通过以下方法求解它：1.分离变量法分离变量法是常用的求解全微分方程的方法之一、对于一个可以写成以下形式的全微分方程：M(x)dx + N(y)dy = 0首先，将M(x)和N(y)分别移到方程的两侧，得到：M(x)dx = -N(y)dy然后，对方程两边同时积分，得到：∫M(x)dx = -∫N(y)dy通过求解这两个积分，我们可以得到方程的解析解。
2.齐次方程法对于一个可以写成以下形式的齐次全微分方程：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0如果M(x,y)和N(x,y)满足以下条件：M(tx, ty) = t^kM(x, y)N(tx, ty) = t^kN(x, y)其中t是一个常数，k是一个整数，那么这个方程是一个齐次方程。
对于齐次方程，我们可以通过引入一个新的变量v=x/y，将方程化为一个关于v的一阶线性方程进行求解。
3.恰当方程法如果一个全微分方程可以写成以下形式：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0那么，如果它满足以下条件：∂M/∂y=∂N/∂x那么，这个方程就是一个恰当方程。
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程
求解全微分方程的方法主要有两种：分离变量法和恰当微分方程法。
1. 分离变量法：
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的全微分方程，可以将dy和dx分离
到等式两边，然后分别对x和y进行积分。
例如，对于dy/dx=x/y，可以将等式两边乘以y，得到ydy=xdx，然后对两边进行积分，得到y^2/2=x^2/2+C，其中C为常数。
2. 恰当微分方程法：
对于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的全微分方程，如果存在一个
函数f(x,y)，使得∂f/∂x=M和∂f/∂y=N成立，那么该方程就是一
个恰当微分方程。
可以通过求解该函数f(x,y)来求解全微分方程。
具体的求解方法是，首先判断∂M/∂y与∂N/∂x是否相等，如果
相等，则可以令∂f/∂x=M，然后对f(x,y)关于x求偏导，得到
f(x,y)=∫M dx+g(y)，其中g(y)为与x无关的函数，再将该结果
代入∂f/∂y=N中，解出g'(y)，再对g'(y)关于y积分，得到g(y)，最终得到函数f(x,y)，从而求解全微分方程。
需要注意的是，不是所有的微分方程都可以通过以上两种方法求解，有些微分方程可能需要借助其他的数学工具或者数值解法来求解。
全微分方程及积分因子
1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ¶¶+¶¶=如果我们恰好碰见了方程0),(),(=¶¶+¶¶dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程?(2) 若(1)是全微分方程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ¶¶=¶¶)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ¶¶+¶¶=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =¶¶),(y x N y U =¶¶从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ¶¶¶¶¶¶,22y x U x y U ¶¶¶=¶¶¶故.),(),(xy x N y y x M ¶¶=¶¶yx U y N x y U y M ¶¶¶=¶¶¶¶¶=¶¶22,“充分性”，xy x N y y x M ¶¶=¶¶),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满足)5(),,(y x M x U =¶¶)6(),,(y x N yU =¶¶ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这里y y j =¶¶y U 因此ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(无关的右端与下面证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò¶¶-¶¶dx y x M y N x ]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =¶¶即同时满足使下面选择),6(),(U y j ò+¶¶dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M x y x N yM x N ¶¶-¶¶=.0º积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò¶¶-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò¶¶-+(8)。
全微分方程及积分因子
全微分⽅程及积分因⼦1.5 全微分⽅程及积分因⼦⼀、全微分⽅程的定义及条件则它的全微分为是⼀个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了⽅程0),(),(=??+??dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分⽅程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分⽅程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分⽅程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分⽅程的定义需考虑的问题(1) ⽅程(1)是否为全微分⽅程?(2) 若(1)是全微分⽅程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分⽅程,有⽆可能转化为全微分⽅程求解?2 ⽅程为全微分⽅程的充要条件定理1则⽅程偏导数中连续且有连续的⼀阶域在⼀个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分⽅程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分⽅程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =??),(y x N y U =??从⽽从⽽有都是连续的和由于,22y x U x y U ,22y x U x y U ???=???故.),(),(xy x N y y x M ??=??yx U y N x y U y M =??=??22,“充分性”，xy x N y y x M ??=??),(),(若解这个⽅程得看作参数把出发从,,)5(y 满⾜则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满⾜)5(),,(y x M x U =??)6(),,(y x N yU =??ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这⾥y y j =??y U 因此ò??-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(⽆关的右端与下⾯证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò??-??dx y x M y N x ]),([ò-??=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =??即同时满⾜使下⾯选择),6(),(U y j ò+??dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò-??=dx y x M x y x N yM x N ??-??=.0o积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò??-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò??-+(8)。
微分方程-全微分方程
则可将此方程化为关于z 的线性方程. 的通解 . 求 [ x + ( x 2 + y 2 ) x 2 ]d x + y d y = 0
x +x +y dy 例4 求微分方程 的通解 . = dx 1+ x dy 1 + y = x2 , 解法1 整理得 d x 1+ x
2 3
C (方法1)常数变易法: 对应齐次线性方通解 y = . 1+ x x3 x4 C ( x) = + C. 3 4
u (方法3) 偏积分法: Q = x 2 + x 3 + y, x ∴ u( x , y ) = ∫ ( x 2 + x 3 + y ) d x
( μP ) ( μQ ) = , y x P μ μ Q +Q 即 μ +P =μ x y y x μ μ P Q (Q P )= y y x μ x
求解不容易
(5.2)
1
特别地，
情形1 方程(5.1)有只与 x 有关的积分因子 : μ = μ ( x ) 1 ( P Q ) = ( x ), 且 Q y x μ ( x ) = e ∫ ( x )d x . 情形2 方程(5.1)有只与 y 有关的积分因子 : 1 P Q μ = μ ( y) ( ) = ψ ( y ), 且 P y x
(1)
1 d( x 2 + y 2 ) + x2 d x = 0 2 x2 + y2
∴ 所求方程的通解为：
1 1 3 2 2 ln( x + y ) + x = C . 2 3
(方法2) 公式法
Q P 2y =0 = 2x ≡ / y x
全微分方程的解法
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程
证明：（1）证明必要性 因为
是全微分方程，
则存在原函数 (x,，y)使得
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
所以 P(x, y), Q(x, y)
x
y
将以上二式分别对 x, y 求偏导数，得到
2 P , 2 Q xy y yx x
x
y
x
由第一个等式，应有 (x, y) P(x, y)dx (y) x0
代入第二个等式，应有
x P(x, y) dx (y)
y x0 y
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
这里由于 P Q ，故曲线积分与路径无关。因此 y x
(x,y)
(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
(x,y)
或 (x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
11 1 1 x2 , y2 , x2 y2 , xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
1 1, x2 y2
一般可选用的积分因子有
1, x y
1, x2
1, x2 y2
1, x2 y2
x, y2
y x2
等。
例2 求微分方程 (3x3 y)dx (2x2 y x)dy 0的通解.
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x y
−1 ) + d( ln x ) − d( ln y ) = 0 d( 即 xy 1 −1 x x 因此通解为 + ln = ln C , 即 = C e x y y xy y 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
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d( x y ) d x d y + − =0 2 x y ( x y)
作业
P285 1(2), (4), (7); 4 2(2),
(5);
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备用题 解方程
解法1 解法 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 µ =
1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法2 解法 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
例2 目录 上页 下页 返回 结束
常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式 1) d x ± d y = d ( x ± y )
2) xd y + yd x = d ( x y )
3) xd x + yd y = d (
1 (x2 2
+y ))
2
x −y yd x − xd y yd x − xd y 5) = d( ) 4) = d( ) 2 2 y x y x yd x − xd y x 积分因子不一定唯一 . 6) = d ( ln ) xy y 例如, 对 yd x − xd y = 0 x yd x − xd y 7) = d ( arctan ) 可取 2 2 y x +y
− ∫ P ( x ) dx
x
0
+ ∫ (3 x 2 y − 3x y 2 + y 2 ) d y 5 x dx 0
4
y
1 3 3 2 2 3 = x + x y − xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y − xy + y = C 2 3
5
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y
( x, y )
o (x,0) x
8)
xd x + yd y x 2+ y 2
= d(
x2 + y2 )
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例3. 求解 解: 分项组合得 ( y d x + x d y ) + x y ( y d x − x d y ) = 0 2 2 dx d y 即 d ( xy ) + x y ( − ) = 0 y x 1 选择积分因子 µ ( x, y ) = 2 2 , 同乘方程两边 , 得
第五节 全微分方程
一、全微分方程 二、积分因子法
第十二章
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一、全微分方程
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y ) = P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y 则称 P ( x, y ) d x + Q ( x, y ) d y = 0 ①
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思考: 思考 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 µ = µ ( x, y ) ≠ 0 , 使 为全微分方程, 则称 µ ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
例1. 求解
(5 x 4 + 3x y 2 − y 3 ) d x + (3x 2 y − 3x y 2 + y 2 ) d y = 0 ∂P 2 ∂Q = 6x y − 3y = , 故这是全微分方程. 解: 因为 ∂x ∂y 取 x0 = 0, y0 = 0, 则有
பைடு நூலகம்
u ( x, y ) = ∫
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例2. 求解
∂P 1 ∂ Q 解: Q = 2 = , ∴ 这是一个全微分方程 . ∂x ∂y x
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x d y − y dx x dx − =0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d ( x ) − d ( ) = 0, 或 d ( x − ) = 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x − = C 2 x
y 将 u = 代入 , 得通解 x 此外, y = 0 也是方程的解.
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解法3 解法 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
∫ P ( x ) dx d x + C ] [ ∫ Q( x) e y= e 此外, y = 0 也是方程的解.
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