无穷乘积的收敛性

无穷乘积的收敛性郭州雄（数学与信息科学学院西北师范大学 甘肃兰州 730070）摘 要 在无穷乘积的研究中，确定无穷乘积的敛散性问题是一个很重要的问题，本文通过无穷级数与无穷乘积的关系浅谈一下判断无穷乘积敛散性的一些方法。

关键词 无穷乘积 无穷级数The abstract in the infinite product research, determined the infinite product collects the divergence question is a very important question, this article through the infinite series and the infinite product relations discussed shallowly judges the infinite product to collect the divergence some methods.Key word infinite product infinite series一 预备知识定义1 设12,,...,......(0)n n p p p p ≠（n p ≠0）是无穷可列个实数，我们称他们的“积”1p .2p ...n p ..为无穷乘积，记为1n n p ∞=∏，其中n p 称为无穷乘积的通项或一般项.从定义我们可以看出，这里有无穷多个实数相乘，当然我们无法对无穷多个实数逐一地进行乘法运算，所以必须对无穷乘积求积给出一个合 理地定义，为此构作无穷乘积1n n p ∞=∏的部分积数列{}n P ：1121212.................n n P p P p p P p p p === 定义2如果部分积数列{}n P 收敛于一个非零的有限数P ，则称无穷乘积1n n p ∞=∏收敛，且称P 为它的积，记为1n n p ∞=∏=P ，如果{}n P 发散或收敛于零，则称无穷乘积1n n p ∞=∏发散。

注意这里当lim 0n x P →∞=时，我们称无穷乘积1n n p ∞=∏发散于0，而不是收敛于0，以后我们将会看到这样做的好处仅仅是使无穷乘积的收敛性和无穷级数的收敛性统一，下面给出无穷乘积收敛的一个必要条件：定理1 如果无穷乘积1n n p ∞=∏收敛，则（1）lim 1n x P →∞=（2）1lim1n m n m p ∞→∞=+=∏证明 设无穷乘积1n n p ∞=∏ 的部分积数列为{}n P ，则1111lim lim1limlim1nn n n n nn n mm m n m nn P p P p p p→∞→∞-∞∞=→∞→∞=+=====∏∏∏证毕由定理1知，若无穷乘积的通项不趋于0，则无穷乘积必定发散，而当通项趋于0时，必定在某一项以后大于0，而无穷乘积的收敛性与前面有限项无关，只不过若收敛的话“积”不同罢了，所以下面我们假定无穷乘积的通项0n p >，而下面的定理将无穷乘积与无穷级数的敛散性统一起来：定理2无穷乘积1n n p ∞=∏收敛的充分必要条件是无穷级数1ln n n p ∞=∑收敛。

证明：设无穷乘积1n n p ∞=∏的部分积数列为{}n P ，无穷级数1ln n n p ∞=∑的部分和数列为{}n S ，则n p =n S e所以{}n S 收敛的充分必要条件是{}n P 收敛，而{}n P 收敛于0，既1n n p ∞=∏ 发散于0的充分必要条件是1ln n n p ∞=∑ 发散于∞。

由定理2 ，我们建立了1n n p ∞=∏ 与1ln n n p ∞=∑ 之间的关系，于是我们可以通过判断无穷级数1ln n n p ∞=∑的敛散性来判断无穷乘积1n n p ∞=∏的敛散性，下面给出两个重要的推论：推论1 设0n a >（或10n a -<<），则 无穷乘积1(1)n n a ∞=+∏ 收敛的充分必要条件是级数1nn a∞=∑ 收敛。

证明：显然级数1ln(1)n n a ∞=+∑与级数1n n a ∞=∑ 都是正项级数或都是负项级数，它们都以lim 0n n a →∞= 为收敛的必要条件，而当lim 0n n a →∞= 时，我们有ln(1)lim1n n na a →∞+=于是由正项级数的比较判别法，级数1ln(1)n n a ∞=+∑ 收敛的充分必要条件是1nn a∞=∑ 收敛。

证毕 推论2 设级数1nn a∞=∑收敛，则 无穷乘积1(1)n n a ∞=+∏收敛的充分必要条件是级数21n n a ∞=∑ 收敛。

证明：由1n n a ∞=∑收敛，可知lim 0n n a →∞=，由ln(1)n n a a +≤及22221()ln(1)12lim lim 2n n n n n n n n a a a a a a ο→∞→∞+-+==， 根据正项级数的比较判别法，当1ln(1)n n a ∞=+∑与1n n a ∞=∑收敛时，必有21nn a∞=∑的收敛性，反过来，当21n n a ∞=∑ 收敛时 ，由于1n n a ∞=∑的收敛性，必定可得到1ln(1)n n a ∞=+∑的收敛性。

证毕我们由定理2 可以看到，要判断一个无穷乘积的敛散性我们只需要判断对应的级数的敛散性，而由推论1及推论2可以看到正项级数在数项级数中占有重要的地位，于是我们先讨论正项级数的判别法，进而再讨论一般的数项级数的判别法.二 正项级数的判别法定理3 （正项级数的收敛原理）正项级数1n n x ∞=∑收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

定理4（比较判别法）设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在常数A ，成立,1,2,3...n n x Ay n ≤= 则（1）当1n n y ∞=∑收敛时，1n n x ∞=∑也收敛（2）当1n n x ∞=∑发散时，1n n y ∞=∑也发散。

证明：设级数1n n x ∞=∑ 的部分和数列为n S ，级数1n n y ∞=∑的部分和数列为n T ，则显然有,1,2,3...n n S AT n ≤=于是当{}n T 有上界时，{}n S 也有上界，而当{}n S 无上界时，{}n T 必定无上界。

证毕定理'4（比较判别法的极限形式）设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，如果n x 与n y 是同阶无穷小量，即lim(0)nn nx l l y →∞=<<+∞ 则1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑同时收敛或同时发散。

证明：由lim (0)n n n x l l y →∞=<<+∞，取2lε=，则存在自然数N ，当n N >时，1322n n n ly x ly << 由定理4，即得所需结论，证毕定理5（1）若1n n x ∞=∑收敛，则有1n n y ∞=∑收敛，其中n n x y ≤；（2）若1n n x ∞=∑发散，则有1n n y ∞=∑发散，其中n n x y ≥。

证明：（1）令21n n y x n=+，显然n n x y ≤， 因为1n n x ∞=∑收敛，所以1n n y ∞=∑收敛（2）若1n n x ∞=∑发散，令12n n y x =，显然n n x y ≥，而由1n n x ∞=∑的发散性，得到1n n y ∞=∑的发散性。

证毕由定理5可以看出 ，一切正项级数均可以用比较判别法判定，但问题是要找到一个合适的比较对象却很难，但是基于比较判别法，我们可以得到很多判别法，尽管这些判别法都有一定的局限性，但它们给我们判别正项级数的敛散性带来了极大的方便，如果我们把比较对象取为p 级数，则可得到下面的对数判别法：定理 6（对数判别法）若有0α> ，使得当0n n ≥时1ln1(0)ln nn a a nα≥+>，则级数1(0)n nn a a∞=>∑ 收敛；若0n n ≥时1ln1ln na n≤ ，则级数发散。

证明：若1ln1ln n a n α≥+，则11n n a α+≥ 或111n a nα+≤+ ，由于级数111n nα∞+=∑收敛，故级数1n n a ∞=∑也收敛若1ln1ln n a n ≤，则1n n a ≤或1n a n ≥ 。

由于级数11n n∞=∑ 发散，故级数 1nn a∞=∑也发散.证毕如果我们把比较对象取为几何级数，则可得到下面的Cauchy 判别法： 定理7 设1n n x ∞=∑是正项级数，r =，则（1）当r<1，级数1n n x ∞=∑收敛；（2） 当r>1，级数1n n x ∞=∑发散（3）当r=1，判别法失效，级数既可能收敛，也可能发散。

证明：当r<1时，取q 满足r<q<1，则存在N ，对一切n>N ，成立q <，从而n n x q <，01q <<由定理4可知1n n x ∞=∑收敛当r>1，由于r是数列的极限点，可知存在无穷多个n>1，这说明{}n x 不是无穷小量，从而1n n x ∞=∑发散。

对于r=1，级数21n与1n 的敛散性说明判别法失效 证毕引理 设{}n x 是正项数列，则11limlim n n n n n n nx xx x ++→∞→∞→∞≤≤≤证明：设1lim n n nx r x +→∞=则对任意给定的0ε>，存在N ，对一切n>N ，成立1n nx r x ε+<+ 于是1().()n N n N x r x n N ε--<+> 从而r ε≤=+由ε的任意性，就得到1limn n nx r x +→∞=同理可证1limn n n nx x +→∞→∞≤证毕通过上面的引理，我们可得到如下定理：定理8（'D Alembert 判别法）设1n n x ∞=∑()0n x >是正项级数，则（1）当1lim n n n x r x +→∞=<1，级数1n n x ∞=∑收敛（2） 当1lim1n n nx r x +→∞=>，级数1n n x ∞=∑发散 （3）当1r ≥或1r ≤时，判别法失效，级数可能收敛，可能发散对于某些级数1n n x ∞=∑，成立1lim1n n nx x +→∞=，这时定理6与定理7 都失效，下面给出针对这类情况的判别法：定理9 （Raabe 判别法）设1n n x ∞=∑是正项级数，1lim (1)nn n x r n x →∞+=-，则 （1）当r>1，级数1n n x ∞=∑收敛（2）当r<1，级数1n n x ∞=∑发散证明 设s>t>1，()1(1)t f x sx x =+-+,由()f x 的连续可微性与(0)0f =，'(0)0f s t =->,可知存在0δ>，对一切0x δ<< 成立1(1)t sx x +>+当r>1时，取s,t 满足r>s>t>1。