高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。

(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。

性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。

性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。

例4 如果数列{}n x 收敛, 那么数列{}n x 一定有界。

注: 例4的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然数列{}n x 有界,但数列(1)nnx=-没有极限。

例5 设{}{}{},,n n n a b c 均为非负数列, 且0,1,lim lim lim nn n n n n ab c →∞→∞→∞===+∞.下列陈述中哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由;如果是错的, 试给出一个反例。

(1),n n a b n N+<∈; (2),n n b c n N+<∈; (3) lim nnn ac →∞不存在; (4)lim nnn b c →∞不存在.解: (1)是错的, 我们可以令1,1nn n a b nn ==+, 显然0,1lim lim nnn n ab→∞→∞==,但1111,2ab ==, 从而11a b >.(2)是错的, 我们可以令1,13n n n b c nn ==+, 显然1,lim lim n n n n b c →∞→∞==+∞, 但1111,23bc ==, 从而11b c >.(3)是错的, 我们可以令11,3nn a c n n==,显然0,lim lim nn n n ac →∞→∞==+∞,但111()33lim lim n n n n a c n n →∞→∞=∙=.(4)是对的, 由于10,lim lim nn n n bc →∞→∞=≠=+∞, 则lim nn n bc →∞=+∞, 即极限lim nnn bc →∞不存在。

注1: 极限的保序性是说, “若,,lim lim nn n n aa b b a b→∞→∞==>, 则存在0nN+∈使得当0n n >时有n n a b >.”, 而不是对任意的n N +∈有n n a b >.注2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论:若0,lim lim nn n n aa b →∞→∞=≠=∞, 则lim nn n ab →∞=∞.练习题: 设数列{}n x 与{}n y 满足0lim nn n xy →∞=, 则下列断言正确的是( )(A) 若{}n x 发散, 则{}n y 必发散. (B) 若{}n x 无界, 则{}n y 必无界. (C) 若{}n x 有界, 则{}n y 必为无穷小. (D)若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小, 则{}n y 必为无穷小.方法二 利用一些常用的结论 (1) 设数列{}n x 有界, 又0lim nn y→∞=, 则0lim nn n xy →∞=.(2) 0,10(1),1,1,1lim lim nnn n q q q qq q →∞→∞⎧<⎪=<==⎨⎪+∞>⎩. (3) 11(0)lim nn a a →∞=>. 例6 1cos2limn n nπ→∞=0.练习题:(1)1)sin2lim n n π→∞=_______.(2)1)sin2lim n n π→∞-=__________.例7 1()lim nnnn n ab c →∞++={}max ,,a b c (0,0,0a b c ≥≥≥).解: 由于{}{}11max ,,()3max ,,nnnn n a b c ab c a b c ≤++≤,故1()lim nnnn n a b c →∞++={}max ,,a b c .练习题: 已知10,......,m a a ≥≥, 求极限11(......)lim nnnm n a a →∞++.例8 2211lim nnn xx x→∞-=+,10,1,1x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪->⎩. 解: 当1x<时2211lim n nn xx x x→∞-=+;当1x =时22101lim n nn xx x→∞-=+;当1x >时2222111111lim limn nnn n nxx x x x xx→∞→∞--==-++.故 2211lim nnn xx x→∞-=+,10,1,1x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪->⎩. 练习题: 211lim nn xx →∞+=+________. 方法三 利用Heine 定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限 Heine 定理: 0()lim x xf x A→=的充分必要条件是: 对于任意满足条件limn n x x →∞=且0()nxx n N +≠∈的数列{}n x , 相应的函数值数列{}()n f x 成立()lim nn f xA →∞=.例9 设数列{}n x 满足0()nxn N +≠∈且0lim n n x →∞=,计算21sin ()lim nx nn nx x →∞.解: 我们考虑函数极限222232sin sin sin ln()ln(11)11sin cos 130sin ()lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x xx xxxxxx x x x x x x eeeeex+----→→→→→→=====sin 166lim xxx ee--→==从而221116sin sin ()()lim lim nx nx n x nx x ex x-→∞→==.练习题: 设数列{}n x 满足0()nx n N +>∈且0lim nn x→∞=,计算1ln(1)[]lim nx n n nx x →∞+.方法四 利用夹逼准则 例10 计算222111(......)2lim n n n n n n πππ→∞++++++.解: 由于2222222111( (2)nn n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++, 故222111(......)12lim n n n n n n πππ→∞+++=+++.练习题: (1)计算......lim n →∞++.(2) 计算22212(......)12lim n n n n n n n n n→∞+++++++++.(3) 计算1111(1......)23lim nn n→∞++++.(4)计算......lim n →∞+.方法五 利用单调有界准则 适用题型: (1)由递推关系1()n n x f x +=定义的数列{}n x 极限问题,一般先用单调有界准则证明极限存在, 然后等式两边取极限求出极限。

(2)有些题目直接给出了数列{}n x 的通项公式, 要求我们证明数列{}n x 的极限存在, 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存在。

例11 (1996, 6分)设1110,)n x x n N ++==∈,试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。

证明: 先证明数列{}n x 是单调减少的。

由于10()n nn x x x n N++-==≤∀∈, 所以数列{}n x 是单调减少的。

注意到10()n x x n N +≤≤∀∈, 于是数列{}n x 有界, 故数列{}n x 极限存在。

设lim nn xa→∞=, 等式1n x +=两边取极限得a =, 即3a =或2a =-, 又1010a x ≤≤=,所以3a =, 亦即3lim nn x→∞=.练习题: (1)的极限存在, 并求此极限。

(2)设11)n x x n N ++==∈, 试证数列{}n x 极限存在, 并求此极限。

(3)设111,)n x x n N ++==∈, 试证数列{}n x 极限存在, 并求此极限。

(4) 设1101,(2)()n n n x x x x n N ++<<=-∈, 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。

例12 (2008, 4分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列, 下列命题正确的是( B )( A ) 若{}n x 收敛, 则{}()n f x 收敛. ( B ) 若{}n x 单调, 则{}()n f x 收敛. ( C ) 若{}()n f x 收敛, 则{}n x 收敛. ( D ) 若{}()n f x 单调, 则{}n x 收敛.解: 由于()f x 在(,)-∞+∞上单调有界, 若{}n x 单调, 则{}()n f x 是单调有界数列, 故{}()n f x 收敛。