自控作业答案2

解 单位阶跃输入时，有 R ( s ) = 解 系统的微分方程为
d 2 c(t ) dc(t ) +3 + 2c(t ) = 2r (t ) 2 dt dt
考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得
（1）
s 2 C ( s ) + s + 3sC ( s ) + 3 + 2C ( s ) =
2 s
（2）
∴ X (s) =
−T s 4 −Ts ∴ X ( s ) = 2 2 (1 − 2e 2 + e ) T s
2-5 (1) (2) (3) 解 (1)
求下列各拉氏变换式的原函数。
X ( s) =
X (s) =
e −s s −1
1 s ( s + 2) 3 ( s + 3) s +1 X ( s) = 2 s ( s + 2 s + 2)
1 Cs
（5） （6）
(d) 由图解2-1（d）可写出
U r ( s ) = R I R ( s ) + [I R ( s ) + I c ( s )] I c (s) 1 = RI R ( s ) − RI c ( s ) Cs
1 （7） Cs 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量 I C ( s ) 和 U c ( s ) = I c ( s ) R + [I R ( s ) + I c ( s )]
−2 t
+ e − t ，试求系统
的传递函数和脉冲响应。
1 ，依题意 s 1 2 1 3s + 2 1 + = C (s) = − ⋅ s s + 2 s + 1 ( s + 1)( s + 2) s C ( s) 3s + 2 ∴ G ( s) = = R( s ) ( s + 1)( s + 2) 4 ⎤ ⎡ −1 k (t ) = L−1 [G ( s )] = L−1 ⎢ + = 4e − 2 t − e − t ⎥ s + 1 s + 2 ⎣ ⎦ C ( s) 2 ，且初始条件为 c (0) = −1 ， c (0) = 0 ， 2-7 已知系统传递函数 = R( s ) s 2 + 3s + 2 试求系统在输入 r (t ) = 1(t ) 作用下的输出 c (t ) 。
U c ( s) R =− 2 U r ( s) R1
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(b3; R1 C 1 s )(1 + R 2 C 2 s ) C2s =− =− 1 R1 C 1 C 2 s 2 U r (s) R1 ⋅ C1 s 1 R1 + C1 s 1 R2 ⋅ Cs 1 R2 + U c ( s) R2 Cs = − =− U r (s) R1 R1 (1 + R2 Cs ) R2 +
（3
S
2-4
dΔh α + Δh = ΔQr dt 2 h0
试求题2-3图所示各信号 x (t ) 的象函数 X ( s ) 。
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解 （a） ∵ x(t ) = 2 + (t − t 0 )
2 1 −t0 s + e s s2 （b） ∵ x(t ) = a + (b − a )(t − t1 ) − (b − c)(t − t 2 ) − c(t − t 3 ) 1 ∴ X ( s ) = [ a + (b − a )e −t1s − (b − c)e −t2 s − ce −t3s ] s 4 4 T 4 T 4 t − 2 (t − ) − 2 (t − ) + 2 (t − T ) （c） ∵ x (t ) = 2 2 T 2 T T T
(2)
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对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量 y1 ，整理后得
f1 f 2 2 f f s + ( 1 + 2 )s + 1 k1 k 2 k1 k 2 Y (s) = f1 f 2 2 f f f X ( s) s + ( 1 + 2 + 1 )s + 1 k1 k 2 k1 k 2 k 2
2-9 某位置随动系统原理框图如题2-9图所示，已知电位器最大工作角度 Qm ＝330
0
，功率放大器放大系数为 k 3 。 （1） （2） （3） 分别求出电位器的传递函数 k 0 ，第一级和第二级放大器的放大系数 k1 ， k 2 ； 画出系统的结构图； 求系统的闭环传递函数 Qc ( s )
Qr ( s ) 。
2-3 假设某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
dh α + dt S
h=
1 Qr ， S
式中 S 为液位容器的横截面积， α 为常数。若 h 与 Qr 在其工作点 (Qr 0 , h0 ) 附近做微量变 化，试导出 Δh 关于 ΔQr 的线性化方程。 解 将 h 在 h0 处展开为泰勒级数并取一次近似
C ( s) 。 R( s)
⎧ X 1 ( s ) = G1 ( s ) R( s ) − G1 ( s )[G7 ( s ) − G8 ( s )]C ( s ) ⎪ X ( s ) = G ( s )[ X ( s ) − G ( s ) X ( s )] ⎪ 2 2 1 6 3 ⎨ X s X s C s G s G = − ( ) [ ( ) ( ) ( )] 2 5 3 (s) ⎪ 3 ⎪ ⎩ C ( s) = G4 ( s) X 3 ( s )
(c) 应用复数阻抗概念可写出
1 cs I ( s ) + U ( s ) U r ( s) = c 1 R1 + cs R1
（3）
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I (s) =
Uc( s ) R2
（4）
联立式（3）、（4），可解得： 微分方程为:
U c (s) R2 (1 + R1Cs) = U r ( s) R1 + R2 + R1 R2 Cs du c R1 + R2 du 1 uc = r + ur + dt CR1 R2 dt CR1
C ( s) 。 R( s)
解 （a）
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所以： （b）
G1G2 G3G4 C ( s) = R( s ) 1 + G1G2 + G3 G4 + G2 G3 + G1G2 G3G4
所以： （c）
C ( s ) G1 − G2 = R ( s ) 1 − G2 H
所以： （d）
G1G2 G3 C ( s) = R( s) 1 + G1G2 + G2 G3 + G1 G2 G3
2-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式 的数学模型）。
解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图 解2-2(a)所示。对A点有
k 2 ( x − y ) + f 2 ( x − y) = f1 ( y − y1 )
对B点有
(1)
f1 ( y − y1 ) = k1 y1
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(3)
K 0 K1 K 2 K 3 K m Qc ( s ) s (Tm s + 1) = K K K K K KK K K Qr ( s ) 1+ 2 3 m t + 0 1 2 3 m Tm s + 1 s (Tm s + 1) 1 = Tm 1 + K2 K3Km Kt s2 + s +1 K 0 K1 K 2 K 3 K m K 0 K1 K 2 K 3 K m Qr ( s ) 。
(b) 由图可写出
U c (s) = 1 R2 + C2 s
U r (s) 1 C1 s 1 + R2 + 1 C1 s R1 + C1 s R1 ⋅
整理得
U c (s) R1 R2 C1C 2 s 2 + ( R1C1 + R2 C 2 ) s + 1 = U r ( s) R1 R2 C1C 2 s 2 + ( R1C1 + R2 C 2 + R1C 2 ) s + 1
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所以： （e）
G1G2 G3 + G1G4 C ( s) = R( s) 1 + G1G2 H 1 + G2 G3 H 2 + G1G2 G3 + G1G4 + G4 H 2
所以：
G1G 2 G3 C (s) = G4 + R( s) 1 + G1G2 H 1 + G 2 H 1 + G 2 G3 H 2
（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有
k1 ( x − x1 ) = f (
对B点有
dx1 dy − ) dt dt
（1）
f(
dx1 dy − ) = k2 y dt dt
（2）
联立式（1）、（2）可得：
k1 k 2 k1 dx dy y= + dt f (k1 + k 2 ) k1 + k 2 dt
解 (1) 电位器的传递函数
K0 =
E = Qm
30 330 0 ×
π
180 0
=
180 0 11π
根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为
30 × 10 3 K1 = − = −3 ， 10 × 10 3
20 × 10 3 = −2 K2 = − 10 × 10 3
(2) 可画出系统结构如图解2-9所示：
解 （a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再考虑 重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出