【中考复习】(四川版)2017中考数学总复习 第五章 四边形 第22节 矩形、菱形、正方形试题

第22节 矩形、菱形、正方形
一、选择题
1．(2017·广元预测)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A ．对角线相等
B ．对角线互相平分
C ．对角线互相垂直
D ．邻边互相垂直
2．(2016·益阳)下列判断错误的是( D )
A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B ．四个内角都相等的四边形是矩形
C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
3．(2016·舟山)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D ) A. 5 B.136 C ．1 D.56
,第3题图)
,第4题图) 4．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.
245 B.125 C ．5 D ．4 5．(2016·郴州)如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( C )
A ．7
B ．8
C ．7 2
D ．7 3
,第5题图) ,第6题图)
6．(导学号 14952387)(2016·威海)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( D )
A.95
B.125
C.165
D.185
7．(导学号 14952388)(2016·苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )
A ．(3，1)
B ．(3，43
) C ．(3，53
) D ．(3，2) 8．(导学号 14952389)(2015·陕西)在▱ABCD 中，AB ＝10，BC ＝14，E ，F 分别为边BC ，AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为( D )
A ．7
B ．4或10
C ．5或9
D ．6或8
二、填空题
9．(2016·扬州)如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为__24__．
,第9题图) ,第10题图)
10．(2016·黄冈)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝
3a.将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝．
11．(导学号 14952390)(2016·宿迁)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，点P 是直线AD
上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，则AB 的长为．
,第11题图) ,第12题图)
12．(导学号 14952391)(2017·眉山预测)正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC 于点E ，把△ADE 沿AD 翻折，得到△ADE′，点F 是DE 的中点，连接AF ，
BF ，E ′F.若AE ＝ 2.则四边形ABFE′的面积是2
． 三、解答题
13．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形；
(2)若AC ＝8，BD ＝6，求△ADE 的周长．
解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°，∵DE ⊥BD ，即∠EDB ＝90°，∴∠AOB ＝∠EDB ，∴DE ∥AC ，∴四边形ACDE 是平行四边形 (2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，∴AD ＝CD ＝5，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8，∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18
14．(导学号 14952392)(2017·雅安预测)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.
(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；
(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．
(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CA ＝2BC 2＝2BC.∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的角平
分线，∴E 是AF 的中点．∵E ，O 分别是AF ，AC 的中点，∴EO ∥BC ，且EO ＝12
CF ，∵EO ＝2，∴CA ＝CF ＝22，∴BC ＝2，∴正方形ABCD 的边长为2
(2)EM ＝12
CN 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE ⊥AF ，∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°，∵∠ANE
＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN ，在△ABF 和△CBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BCN ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°，AB ＝CB ，
∴△ABF ≌△
CBN (AAS )，∴AF ＝CN ，∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ，∴∠BAF ＝∠OCM ，∵四边形ABCD
是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABF ＝∠COM ＝90°，∴△ABF ∽△COM ，∴CM AF ＝OC AB ，∴CM CN ＝OC CD ＝22
，即CM ＝22CN.由(1)知EO CB ＝EM CM ＝22，∴EM ＝22CM ＝22×22CN ＝12CN
15．(导学号 14952393)(2017·泸州预测)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM.
(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；
(2)连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN 的面积；
(3)当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．
解：(1)由折叠性质得：△ANM≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴DM ＝AD ·tan ∠DAM ＝3×tan30°＝3×33
＝3 (2)延长MN 交AB 延长线于点Q ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠M AQ ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM ，∴∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ ，设NQ ＝x ，则AQ
＝MQ ＝1＋x ，∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：AQ 2＝AN 2＋
NQ 2，∴(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5，∵AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45
×12AN·NQ ＝45×12×3×4＝245
(3)过点A 作AH⊥BF 于点H ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠HBA ＝∠BFC ，∵∠AHB ＝∠BCF ＝90°，∴△ABH
∽△BFC ，∴BH AH ＝CF BC
，∵AH ≤AN ＝3，AB ＝4，∴当点N ，H 重合(即AH ＝AN )时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M ，F 重合，B ，N ，M 三点共线，如图所示：
由折叠性质得：AD ＝AH ，∵AD ＝BC ，∴AH ＝BC ，在△ABH 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠HBA ＝∠CFB ，∠AHB ＝∠BCF ，
AH ＝BC ，
∴△ABH ≌△BFC (AAS )，∴CF ＝BH ，由勾股定理得BH ＝AB 2－AH 2＝42－32＝7，∴CF ＝7，∴DF 的最大值＝DC －CF ＝4－7。