2016-2017深圳市南山区上学期期末考试题高二数学及答案2016-2017上 高二理数
2016-2017学年广东省深圳市南山区高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中•有且只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知全集U={0, 1 , 2, 3,4}，集合A={1, 2} , B={0, 2,4}，则（？u A）n B 等于（）A. {0, 4}B. {0, 3, 4}C. {0, 2, 3, 4}D. {2}2. （5分）函数y=1-2x的值域为（）A. [ 1, +x）B. （1, +x） c. （-x, 1] D. （-x, 1）3. （5分）直线3x+「y+1=0的倾斜角是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. （5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）1 6 T A 6 TA. 9 nB. 18 nC. 27 nD. 54 n5. （5分）下列函数中既是偶函数，又在（0, +x）上单调递减的为（）丄]A. -B. y=x 2C.D. y=x26. （5 分）已知直线11：3x+2y+1=0, I2：x-2y- 5=0,设直线I1, I2的交点为A, 则点A到直线• ■■--二的距离为（）0 4 2A. 1B. 3 C」D.---7 77. （5分）方程」1•的实数根的所在区间为（）A. （3, 4）B. （2, 3）C. （1, 2）D. （0, 1）_丄]毘丄_______________& （5 分）计算. ■- ' 1二：二匚-1 1其结果是（）A. —1B. 1C. - 3D. 39. (5分)已知b>0, Iog3b=a, Iog6b=c, 3d=6,则下列等式成立的是( )A. a=2cB. d=acC. a=cdD. c=ad10. (5分)已知a, B是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a,使得a丄a, a丄B②存在两条平行直线a, b,使得a// a, a// B b II a, b //③存在两条异面直线a , b,使得a? a, b? B, a// B, b// a；④存在一个平面Y使得江a ,江B・其中可以推出all B的条件个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. (5 分)设集合A={x| 2x< 8} , B={x|x< m2+m+1},若A U B=A,则实数m 的取值范围为.( )A. [ - 2 , 1)B. [ - 2 , 1]C. [ - 2, - 1)D. [ - 1 , 1)12. ( 5 分)定义函数序列：：・•、■, f2 (x) =f ( f1 (x)) , f3 (x) =f (f211-x(x)),…，f n (x) =f (f n-1 ( x)),贝U函数y=f2017 ( X)的图象与曲线•.的x-2017交点坐标为( )A,「「B ：C「「D- - /，,二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ____________________________________________ (5分)函数y=』】r+1g (x- 1)的定义域是____________________________________ .只€$K>014. (5分)设函数f (x) = \,贝U方程f (x) =2的所有实数根之和吕x<0为______ .15. (5分)设点A (-5 , 2), B (1 , 4)，点M为线段AB的中点.则过点M,且与直线3x+y- 2=0平行的直线方程为 ______ .16. (5分)下列命题中①若log a3>log b3 ,贝U a>b;②函数f (x) =x^ - 2x+3 , x€ [0 , +x)的值域为[2 , +x)；③设g (x)是定义在区间［a, b］上的连续函数•若g (a) =g (b)>0,则函数g (x)无零点；④函数_丄_既是奇函数又是减函数.e其中正确的命题有_______ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (10分)在正方体ABC— A i B i C i D i 中：(I)求证：AC// 平面A i BG;(U)求证：平面A i BG丄平面BBiD i D.18. (i2分)已知过点P (m, n)的直线I与直线l o：x+2y+4=0垂直.(I)若丁-丄，且点P在函数「丄的图象上，求直线I的一般式方程；(n) 若点P (m，n)在直线I o上，判断直线mx+ (n - i) y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由.19. (12分)已知函数•I ■(其中a为非零实数)，且方程：.- .：x x有且仅有一个实数根.(I)求实数a的值；(n)证明：函数f (X)在区间(0，+X)上单调递减.20. (12分)研究函数：：，：—I '的性质，并作出其图象./ -421. (12分)已知矩形ABCD中，AB=2, AD=1，M为CD的中点.如图将厶ADM沿AM折起，使得平面ADM丄平面ABCM.(I)求证：BM丄平面ADM；。
广东省深圳市南山区高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31 B．36 C．42 D．485．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知命题p：|x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．39．已知数列{a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n}的前n项的和s n=（）A． B． C． D．10．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．211．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣1112．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a= ．15．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0= ．16．递减等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大，则n= ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，记，求数列{c n}的前n项和T n．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l 的方程及椭圆C的方程．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】三角形的形状判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2，又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31 B．36 C．42 D．48【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q===2，∴a1===1，∴S5==31．故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q．5．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】导数的综合应用．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．7．已知命题p：|x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．【解答】解：由命题p：|x﹣1|≥2，得到命题P：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：x≥3或x≤﹣1；∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q”为假命题，知命题P：x≥4或x≤0是假命题．故﹣1＜x＜3，x∈Z．∴满足条件的x的值为：0，1，2．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解： ===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S△ABC=2，则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9．已知数列{a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n}的前n项的和s n=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a n===2．，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵a n===2．∴数列{a n}的前n项的和s n=2++…+==．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，由于﹣2＜x＜2，则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选：A【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，属于基础题12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化抛物线方程为标准方程，即可求得焦点坐标．【解答】解：抛物线y=8x2可化为，焦点在y轴上∵，∴∴抛物线y=8x2的焦点坐标为故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，化抛物线方程为标准方程是关键．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a= ．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形．【分析】根据三角形的面积公式，求出c，然后利用余弦定理即可得到a的值【解答】解：∵A=60°，b=1，△ABC的面积为，∴S△=bcsinA=csin60°=，即c=，解得c=4，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×1×4×=13，解得a=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．15．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0= e ．【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．16．递减等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大，则n= 7或8 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据题意，由S5=S10，可得S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，结合等差数列的性质，可得a8=0，又由数列{a n}是递减等差数列，则可得a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，分析可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S5=S10，则S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，由等差数列性质得：5a8=0，可得a8=0，又由数列{a n}是递减的等差数列，则由a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，则当n=7或8时，s n取最大值，故答案为7或8．【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，要牢记其前n项和s n取最大或最小值的条件以及判断方法．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】分类讨论；简易逻辑．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，可得cosA=，A∈（0，π），∴A=．（2）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=22+c2﹣4ccos，化为c2﹣2c﹣3=0，解得c=3．故△ABC的面积为bcsinA=×3×=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．∴，即，消去d得2q2﹣q﹣6=0，（2q+3）（q﹣2）=0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，d=1，∴a n=n，b n=2n．（2）S n=2n+1﹣2，…c n=a n•（+1）=n•2n，设T n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，相减，可得T n=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对a分类：a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分别解不等式即可．【解答】解：ax2﹣2（a+1）x+4＞0⇔（ax﹣2）（x﹣2）＞0…（ⅰ）a=0时，x﹣2＜0⇔x∈（﹣∞，2）…（ⅱ）0＜a＜1时，…（ⅲ）a=1时，（x﹣2）2＞0⇔x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）…（ⅳ）a＞1时，…（ⅴ）a＜0时，…【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l 的方程及椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立，OP⊥OQ，可得，利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．…∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．【点评】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。
广东省深圳市南山区高二上学期期末考试数学(理)试题
2013． 1.16
本试卷分第 Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试
时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损
. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定
位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并
16．（本小题满分 12 分） 已知函数 y a x （ a﹥ 0 且 a≠ 1）和 y lg(ax 2 x a) 。 设 p : 关于 x 的不等式 a x ﹥ 1 的解集是 ( ,0) 。 q : 函数 y lg( ax2 x a) 的定义域为 R。 如果 p 和 q 有且只有一个正确，求 a 的取值范围。
12．函数 y
x2 2x 2
（ x﹥ -1 ）的最小值是 __________ ；
x1
x2 y2 13．已知双曲线 a2 b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线方程为 x 2 y 0 ，
则双曲线的离心率 e 的值为
.
14．在等比数列 an 中， an ﹥ an 1 , 且 a7 a11 6, a4 a14 5,则 a6
；
a16
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明或演算步骤．
15．（本小题满分 12 分）在△ ABC中，角 A、 B、C 的对边分别为 a、 b、 c，且 cosC 3a c ， cos B b
求：（ 1） cos B ； （2）若 b= 4 2 ，且 a=c，求△ ABC的面积
1．“ x﹥ 2”是“ x﹥ 5”的
A. 充分非必要条件
B.
必要非充分条件
2017-2018学年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.21 • ( 5分)椭圆x 2-1的焦点坐标为( )4A • ( 3 , 0) , (— .3 , 0)B • (0, 3) , (0, — 3)C.( .5 , 0) ,(— . 5 ,0)D • (0, .5) , (0,-..5)2. ( 5 分)已知 x • R ，则 “ x 2 .x ”是“ x 1 ”的()A .必要不充分条件B .充分不必要条件C •充要条件D •既非充分又非必要条件 3. ( 5 分)在.ABC 中，若 si nA si nB ，贝U ( ) A • a-b B • a bC • a ：bD • b 的大小关系不定4 ( 5分)在等差数列｛a .｝中，a i007 =2 ,缶佗二「1，则｛a n ｝的前2018项和S^ =( )A • 2018B • 1009C . -2018D . -1009 15. ( 5 分)已知「ABC 中，AB =3 , BC =2，且 cosC ，贝U ABC的面积为(( )3A . 3B . 2C . 3 2D . 2 2（5分）若等比数列｛a n ｝满足a 2 a^20 , a s a^40 ,则前n 项£=（ ）..2 2y =x 2与椭圆mx y =1相切,（5分）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 8 =4a 3, a ? - -2，则a ?=（ ）A . -6B . -4C . -2D . 2-|-x y T 0A . 2n 1-2 B . 2n-22n1_12n 12（5分）若直线 则椭圆的离心率为 （9. ( 5分)设变量x , y满足约束条件3x_^y-3, 0,则目标函数z =4x-的最大值为(l y, 23―)，则|PF | |PQ|的最小值为(213 . (5 分)在 ABC 中，AC =10, BC =5 .3，乙A =60，则 cosB =214 . (5分)已知数列｛a n ｝的前n 项和S^2n ，则寻二 __________ .215 . (5分)直线l 过抛物线y =2x 的焦点F ,且与抛物线交于 P(x 1 , y) , Q(x 2 , y ?)两点， 若 y 1 y 2 =1，则 |PQ _______ .3216 . (5分)已知函数f(x) =x ax (a -3)x(^ R)的导函数f (x)是偶函数，则f (x)的极 小值为 ____ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 . (10 分)设命题 p:|x_a| ：：4，命题 q : (x —2)(x —3) ：： 0 . (1 )写出命题p 的否定—p ;(2)若-p 是-q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.18 . (12分)在 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且a^b 2bc c 2.(1 )求A 的大小；(2 )若 ABC 的面积S =2、3，且a =2.7，求b c 的值.219. (12分)已知等比数列｛a n ｝的各项为正数，且 9a 3二a ?a 6, a^ = 2a 2 9 .16 B .— 32 210 . ( 5分)若双曲线 —--^2 =1的一条渐近线经过点a bc .14~3(3,4)，则此双C .11. (5 分)若 x [—1 , 5],使得6・ax —a 2 .0,则实数a 的取值范围是()A . (£6)C . (-1,2)(-3,2)212 .( 5分)设点F 为椭圆—-y1的左焦点，点P 是椭圆上的动点,9 8D . (-1,6) 定点Q 的坐标C . 6 - .3D . 5 73二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共12分.(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)设b n =log 3 a i log 3比亠亠log 3 a n ，求数列的前n 项和.l b J2 220. (12 分)设 f(x) =ax (2-a)x-2a , a^R . (1 )若f (1).0,求是实数a 的取值范围；(2 )当a=0时解关于x 的不等式f(x) 0 .3221. (12 分)已知函数 y 二 f(x)二 _x ax b(a,b R).(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当a .；： 0时，若函数满足y 极大值=1 , y 极小值=-3，试求函数y = f (x)的解析式.(1)求椭圆C 的方程;(2 )设动直线I : y = kx m 不经过椭圆 C 的右顶点 A ，且交椭圆 C 于M 、N 两点.当AMLA N =0时，判断动直线I : y =kx 十m 是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；否 则，请说明理由.22. (12分)设点3 P(1,3)在椭圆2 2x yc r 2a b=1上，且2b 是a 与3a 的等比中项.20仃-2018学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的.21 • （ 5分）椭圆x 2-1的焦点坐标为（ ）4A • （ .3 , 0） , （一 3 , 0）B • （0,「3） , （0,-..3） C. （ .5 , 0） ,（-、.5 ,0） D • （0, .5） , （0, 一.5）2【解答】解：椭圆x 2— 1，可得椭圆的焦点坐标在 y 轴上，a=2 , b=1 , c= 3 ,42可得：椭圆X 2」1的焦点坐标为：（0, 3） , （0,-3） •4故选：B •22.（ 5分）已知x ・R ，则“x x ”是“ x 1 ”的（）A •必要不充分条件既非充分又非必要条件【解答】解：由x 2x ，解得:因为B的必要不充分条件,故选:b 的大小关系不定a b2R （R 为三角形ABC 外接圆的半径），sin A sin B充分不必要条件 C •充要条件x |x 0或x 11x|x 1所以“ 3・（5分）在 ABC 中，若 sin A sin B ，贝V (C • a :: b 【解答】解：根据正弦定理可得sinA唏,sinB唏,因为 sin A sin B ，即——,2R 2R所以a b • 故选：B .4. （ 5 分）在等差数列｛an｝中，a i007 = 2 ,aioi2--1，则｛a n ｝的前 2018 项和 S 2018 =（）【解答】解：设等差数列｛a n ｝中， a 1007 =2 , a 1012 = —1 ,a 1 ' a2018 — a1007 ' a 012 — 2 _，1—1,故选：B .1 AB =3 , BC =2，且 cosC ，则 ABC 的面积为（（ 3D . 2「21【解答】解：T cosC 二-，AB =3 , BC =2 ,3 22 2 .sin C = 1 —cos C = 3由余弦定理 AB 2"'2 B C 2一2也由C -COsC ，可得：9=AC 24-2 AC 2 3 , 整理可得：3AC 2-4AC -15 =0 ,5 解得：AC "，或一3 （舍去），1 1 2^2S ABC =—UAC_BC 』inc =- 3 2 ^—^2 2 .2 23 故选：D .6.（ 5分）若等比数列｛a n ｝满足a 2 a^20 , a 3 a^40，则前n 项£=（）A . 2n 1-2B . 2n -2C . 2n 1-1D . 2n 12【解答】解：设等比数列｛a n ｝的公比为q , ； a 2 a 4 =20 , a 3 a^ 40 , a 3 ■ a — 40 —q （a 2 a 4）=20q ，解得 q =2 ,3.20 =a 2 a 4 二ad2 2 ），解得 a ! =2 . 则数列｛a n ｝的前n 项和s =坐 B =2n 1-2 .2—1故选：A .A . 2018B . 1009C . -2018D . —1009则｛a n ｝的前2018项和S 20182018佝 比018）=1009 .5. （ 5分）已C . 3 22 27. （5分）若直线y=x 2与椭圆mx y =1相切，则椭圆的离心率为（）【解答】 解：将直线y =x 」2，代入椭圆方程 mx 2亠y 2=1,可得(m 1)x 24x 3 =0 ,由于直线和椭圆相切，则判别式△=16_4(m ・1) 3=0,2则椭圆—y 2=1 的 a = 3，c = • 2，3故选：C . & ( 5分)设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，S^4a 3, a ^-2，则a^()S3 =4a 3 ,a7o丄 8X7 8a 1T -a 1 6d - -2解得 a =10 , d - -2 , a ? — a<| ' 8d —10 -16 - -6 . 故选：A .丄x y -1…。
广东省深圳市南山区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．22．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2 B．3 C．D．﹣4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4.55．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0] B． R C．①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．2考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把sinA，sinC以及a的值代入计算即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，a=6，A=60°，C=45°，∴由正弦定理=得：c===2，故选：D．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．解答：解：双曲线的渐近线方程是，即．故选C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力．3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2 B．3 C．D．﹣考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把n=1、2分别代入已知的式子，并利用等比数列的通项公式化简求出公比q的值．解答：解：∵等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，∴a2+a1=32，a3+a2=qa2+qa1=33，两个式子相除可得，公比q=3，故选：B．点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及递推公式的化简，属于基础题．4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4.5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得+=（+）（a+b）=（2++），由基本不等式求最值可得．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2当且仅当=即a=b=1时取等号，故选：B点评：本题考查基本不等式，属基础题．5．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0] B． R C．，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选A点评：本题考查了不等式的解法及分段函数，考查分类讨论的思想，本题解题的关键是对于求出的范围一定要和分段函数的范围分别并起来，本是一个基础题．6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=时，目标函数z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（，），B（3，），C（3，4），D（0，3）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，）=2×3﹣=故选：B点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件考点：特称命题；全称命题．专题：探究型．分析：对各命题逐个进行判断．A，显然x为负数时，恒成立；B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数；C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0；D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，故可得结论．解答：解：对于A，显然x为负数时，恒成立，故A为真命题；对于B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题；对于C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0，故C为真命题；对于D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，“x＜2”是“|x|＜2”的必要非充分条件，故D为假命题故选D．点评：本题考查命题的真假判断，考查四种条件的判断，解题时需对各命题逐个进行判断．8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设两船在B点碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，由题设知AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，由此能求出舰艇到达渔船的最短时间．解答：解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．故选：B．点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则¬p是∀x∈R，x2+2x≠3．考点：命题的否定．专题：规律型．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词命题的否定的形式，比较基础．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的几何量a，b，c即可求出双曲线方程．解答：解：焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线，可得c=10，a=8，b=6，焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为：．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．（5分）函数y=的最大值为．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用基本不等式，求得函数y=的最大值．解答：解：函数y=≤=，当且仅当2x2=1﹣2x2，即x2=时，取等号，故函数y=的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=1．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14，代入求和公式计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14=1，∴由求和公式可得S17==1故答案为：1点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．解答：解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f （x）≤1成立，则实数m的取值范围是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；简易逻辑．分析：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；从而可得m＜﹣3或m＞1；从而求实数m的取值范围．解答：解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；当x＞0或x＜﹣2时，|x+1|＞1，故f（x）＞1成立；当﹣2≤x≤0时，|x+1|≤1，故|x+m|＞1在上恒成立，故m＜﹣3或m＞1；故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，实数m的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了命题的否定与分段函数的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB值，即可求出B的度数；（2）利用正弦定理化简sinC=2sinA，得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，求出a与c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）∵△ABC中，a2+c2﹣ac=b2，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，则B=；（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=4c2+c2﹣2c2，解得：c=，a=2，则S△ABC=acsinB=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．利用a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出；（2）b n==，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．解答：（1）解：∵数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．∴a1=S1==1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时上式也成立，∴a n=3n﹣2．（2）证明：b n===，∴设数列{b n}前n项和为G n=+…+=＜，∴G n．点评：本题考查了数列递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．考点：圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆C：过点（0，4），离心率为，知，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M （x，y），利用点差法能够求出过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，得①﹣②，得16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴32x（x1﹣x2）+50y（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率k==﹣，∵直线AB过点（3，0），M（x，y），∴直线AB的斜率k=，∴﹣=，整理，得16x2+25y2﹣48x=0．当k不存在时，16x2+25y2﹣48x=0也成立．故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2﹣48x=0．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），可得当a=1时，a1•a2=1×a2=4，a2a3=42，解得a2，a3．由=4，可得a n+2=4a n，即可得出a2n．（2）由于数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q，a．即可得出a n．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得到．解答：解：（1）∵a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），∴当a=1时，a1•a2=1×a2=4，解得a2=4，由a2a3=42，解得a3=4．∵==4，∴a n+2=4a n，可得a2n=4n．（2）∵数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q=2，a=．∴a n=．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，∴数列{b n}的前n项和S n=，2S n=…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n]，∴﹣S n=（1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n）==，∴S n=．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．考点：点、线、面间的距离计算；空间中的点的坐标；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），由此能求出，又=，能求出G（0，0，1）．（2）由=（﹣1，0，0），，能求出异面直线EF与AD所成的角．（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG的距离．解答：解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），∴=（﹣1，0，1），又∵=，设G（0，0，z），∴（﹣1，0，z）=（﹣1，0，1），解得z=1，∴G（0，0，1）．（2）∵=（﹣1，0，0），，∴cos＜＞==，∴异面直线EF与AD所成的角为45°．（3）设平面AEFG的法向量，∵=（﹣1，0，1），=（0，4，3），∴，取z=4，得=（4，﹣3，4），∵C（0，4，0），，∴点C到截面AEFG的距离d===．点评：本题考查和点G的坐标的求法，考查异面直线EF与AD所成的角的求法，考查点C到截面AEFG的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．考点：轨迹方程；圆锥曲线的综合．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出N的坐标，利用中点坐标公式求出P点的坐标，代入圆的方程后整理即可得到答案；（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，即可求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，可得曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．解答：解：（1）设N（x，y），则由中点坐标公式得P（x，2y），因为P是圆x2+y2=4上任意一点，所以x2+4y2=4，整理得，．（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，所以曲线C1的方程为x2=8（y﹣1）；（3）在（2）的条件下，曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为y=1．点评：本题考查了轨迹方程问题，考查了代入法求轨迹方程，是中档题．。
深圳市南山区上学期期末考试题高二数学及答案上高二理数
--高 二 教 学 质 量 监 测数 学（理科）注意:本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间１2０分钟．1．答卷前,考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。
２．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题,每小题５分，满分60分.在每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求的.１．设命题P ：.02,2>+∈∀x R x 则P ⌝为A. 02,200>+∈∃x R x ﻩB. 02,200≤+∈∃x R x C ． 02,200<+∈∃x R x ﻩD ． 02,2≤+∈∀x R x 2． 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，公差2-=d ,213=S 则1a 的值为:A. 10 ﻩB. 9 ﻩＣ. 6 D. 53.“21cos =α”是 “3πα=”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件4． 已知向量(2,1,4),(1,0,2)a b →→==，且→→+b a 与→→-b a k 互相垂直，则k 的值是 A. １ ﻩC ． ﻩD. 2017.01.04--５． 在AB C ∆中,若013,3,120AB BC C ==∠=，则AC =A ．1ﻩ ﻩB ．２ﻩ ﻩﻩﻩC.3ﻩ ﻩ Ｄ.46. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线经过点()4,3，则此双曲线的离心率为 Ａ.37 ﻩﻩＢ． 45ﻩC.34 ﻩ D ． 357. 若b a ,均为大于1的正数,且100=ab ,则b a lg lg ⋅的最大值为A. 0 ﻩﻩﻩB. 1 ﻩ C ． 2 ﻩ D.258. 已知数列{}n a ：11=a ，()++∈+=N n a a n n ,321 ,则=n aA ． 321-+n ﻩB. 12-n Ｃ. 12+n ﻩＤ.722-+n9. 已知直线022=-+by ax ()0,0>>b a 平分圆064222=---+y x y x ,则21a b+的最小值是 A.22-ﻩB.12- ﻩC.223+ ﻩD.223-１０. 设y x ,满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则y x z 2-=的取值范围为A. ()3,3- ﻩB ． []3,3- C. [)3,3- ﻩD. []2,2- 11． 如图,过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ,交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为1531C 2BC BF =3AF =Ａ. 23 2y x=Ｂ.D．１2. 在锐角AB C∆中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,，2a=, ABCS∆＝2，则b的值为B．2ﻩＣ．ﻩﻩＤ.二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)11. 在中,0075,45,3===CAAC ,则BC的长为 .1２. 已知数列{}na满足：()++∈=+Nnaann,log1log133，且9642=++aaa，则)(log97531aaa++的值为 .1５. 设不等式()(2)0x a x a-+-<的解集为N，若Nx∈是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-=∈2,21Mx的必要条件，则a的取值范围为_________1６．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为21,FF,过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C,若→2→22=CFAF,则椭圆的离心率为__＿______三、解答题(本大题共６小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算23y x=29y x=ABC∆----步骤.)1７．(本题满分10分)已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足:n n n a a S +=22，()+∈Nn（1)求321,,a a a 的值 (2）求数列{}n a 的通项公式18．(本题满分12分）在AB C ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且B c a C b cos )2(cos -=. (1)求角Ｂ的值；(２)若c b a ,,成等差数列，且3=b ,求ABC ∆面积19．(本题满分１２分）已知递增的等比数列{}n a 满足:9,84132=+=⋅a a a a (1）求数列{}n a 的通项公式;（２）设数列{}())∈(122=:+N n a n b b n n n -，求数列{}n b 的前n 项的和n T--２0．(本题满分1２分),是平面内的一个动点，直线与交于点,（1)求动点的轨迹的方程;（2)设直线与曲线交于M 、N 两点,当线段的中点在直线上时，求直线l 的方程.2１．（本题满分1２分）如图，在以Ａ,B ,Ｃ,D ,Ｅ，F 为顶点的五面体中，面A ＢＥF 为正方形，ＡF =2ＦD ,∠ＡFD =９0°,且二面角D ﹣AF ﹣Ｅ与二面角C ﹣B Ｅ﹣F 都是6０°．(１)证明平面ABE Ｆ⊥平面EF ＤC ; (2)证明:C Ｄ//ＥＦ（3）求二面角E ﹣BC ﹣A 的余弦值.P PA PB P P C 1:+=kx y l C MN 20x y +=2１题图 22题图22.(本题满分１2分）已知Ｏ是坐标系的原点，Ｆ是抛物线C：x２＝4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AＢ的中点为Ｍ，△OAB的重心为Ｇ．(1）求动点G的轨迹方程;(2)设(1）中的轨迹与ｙ轴的交点为D,当直线AB与x轴相交时，令交点为E,求四边形ＤEＭG的面积最小时直线AB的方程.高二数学理科数学参考答案：一、选择题1—１2BBCDA DBACB ＢA二、填空题----1３.2 1４. 5- １5. 25或21≥-≤a a16. 5三、解答题１7. 解:(1）3,2,1321===a a a ……３分(2）22n n a S = +n a , ①1211n 2+++=∴+n n a a S ② ②-① 得 ()()0111=--+++n n n n a a a a …．．5分0,01>+∴>+n n n a a a 1-1=∴+n n a a ……７分{}n a ∴是首项为1,公差为１的等差数列……..8分()n n a n =⨯-+=∴111……１0分 (学生用数学归纳法做相应给分)１8．解: （1）∴-=，B c a C b cos )2(cos 由正弦定理，B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -= ∴，B A C B C B cos sin 2sin cos cos sin =+……２分∴，）（B A C B cos sin 2sin =+……3分 又π=++C B A ∴，B A A cos sin 2sin =……４分21cos =∴B 又B 为三角形内角 ……5分 3π=∴B ……6分(2）由题意得 ,62=+=c a b ……７分 又 3π=B--()acac c a ac b c a B 292221cos 2222--+=-+==∴ ……9分9=∴ac 0439sin 21==∴∆B ac S ABC ……12分1９. 解:（1）由题意,得,84132==a a a a 又,941=+a a所以,8,141==a a ， 或 ,1,841==a a ，……3分由{}n a 是递增的等比数列,知1>q 所以,8,141==a a ，且2=q ……………4分 1111221---=⨯==∴n n n n q a a ……………５分（２）由（1）得()()nn n n a n b 212122-=-=，…………………………6分所以123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅所以23412123252...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅……………………8分所以1231122(22...2)(21)2n n n T n +-=⋅++++-- 0得()12326n n T n +=-+． (2)20．--(11分3分6分 (２）设MN 的中点坐标为00(,)x y ………………7分得22(21)40k x kx ++=…………………………９分11分 由0020x y +=，得1k =所以直线的方程为：…………………………1２分21. 解：（Ⅰ)证明:∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥EF ． ∵∠AF Ｄ=90°，∴AF ⊥DF ， ∵DF∩EF=F,∴AF ⊥平面E ＦＤC ， ∵A Ｆ⊂平面A ＢEF ，∴平面ＡB ＥF ⊥平面ＥFD Ｃ; ………………………………４分 (Ⅰ)解：由ＡF ⊥D Ｆ,A Ｆ⊥EF ，1y x =+可得∠DFＥ为二面角D﹣AＦ﹣E的平面角；……………………5分由CE⊥ＢE，BE⊥EF，可得∠CEＦ为二面角C﹣ＢE﹣F的平面角．…………………………6分可得∠DFＥ=∠CEF=6０°.∵ＡB∥EF,AＢ⊄平面EFDC，ＥF⊂平面ＥＦDＣ，∴AB∥平面EFDC，……………………………………７分∵平面EFDC∩平面ＡBCD=ＣD，AB⊂平面ABCＤ，∴AB∥ＣD，∴CＤ∥ＥF，∴四边形ＥＦDC为等腰梯形．……………………………………8分以E为原点,建立如图所示的坐标系，设ＦＤ＝a,则E（０，０，0),B（0，2a，０)，C(,0，a)，Ａ（２a,2a，0）,∴=(０，２ａ,0），＝（,﹣２a，a）,＝(﹣2ａ，0，0）…………９分设平面ＢEC的法向量为＝(x１，ｙ1，ｚ1),则，则,取=（，0,﹣1).………………1０分设平面ABC的法向量为=（x２，ｙ2,z2)，则，则，取=(0，,4) (1)--设二面角Ｅ﹣BＣ﹣Ａ的大小为θ，则cosθ＝＝＝﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.…………………………１２分22. 解:（Ⅰ)焦点F（０,1)，显然直线AB的斜率存在，设AB:ｙ=kx+1,联立ｘ2＝4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A(x1，y1）,B（x2,y2),G（ｘ,y）,则x１+x２=４ｋ，x1x2＝﹣4，所以，所以，消去k,得重心Ｇ的轨迹方程为;…………………………4分--(Ⅰ)由已知及(Ⅰ）知，,因为，所以DG∥ＭＥ,(注:也可根据斜率相等得到），…………5分，……6分D点到直线AB的距离,……………………7分所以四边形DEMG的面积,………………１０分当且仅当，即时取等号,………………11分此时四边形DEＭG的面积最小，所求的直线ＡB的方程为.………………1２分--。
2016-2017年广东省深圳市南山区高三(上)期末数学试卷和参考答案(文科)
2016-2017学年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）已知集合A={x|y=}，集合B={x|x≥2}，A∩B=（）A．[0，3]B．[2，3]C．[2，+∞）D．[3，+∞）2．（5分）若复数z满足，（4+3i）z=|3﹣4i|，则z的虚部为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣i D．﹣i3．（5分）椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点的距离为（）A．3 B．5 C．7 D．84．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a2+a6+a10=，则tan（a3+a9）的值为（）A．0 B．C．1 D．5．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（）A．4cm B．12cm C．2cm D．13cm8．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，且a=1，b=，tanC=1，则△ABC外接圆面积为（）A．πB．πC．πD．π9．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π10．（5分）如图所示，输出的n为（）A．10 B．11 C．12 D．1311．（5分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣212．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）﹣（m+1）x≥0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，1]C．[0，2]D．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上．13．（5分）已知向量，满足•=0，||=1．||=2，则|+|=．14．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值是．15．（5分）若a∈R+，则当a+的最小值为m时，不等式m＜1的解集为．16．（5分）若0，﹣＜β＜0，cos（）=，sin（+）=，则cos（2α+β）=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b1=，4b n=a n﹣1a n，设{b n}的前n项和T n．证明：T n＜1．18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．19．（12分）如图（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，若a=2，求四棱锥A1﹣BCDE的体积．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx+（Ⅰ）若a≥0或a≤﹣1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x）至多一个零点．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，求点P到曲线C2的距离|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≤2|x﹣2|；（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）已知集合A={x|y=}，集合B={x|x≥2}，A∩B=（）A．[0，3]B．[2，3]C．[2，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：集合A={x|y=}={x|3﹣x≥0}={x|x≤3}，集合B={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x≤3}=[2，3]．故选：B．2．（5分）若复数z满足，（4+3i）z=|3﹣4i|，则z的虚部为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣i D．﹣i【解答】解：由（4+3i）z=|3﹣4i|，得，∴z的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点的距离为（）A．3 B．5 C．7 D．8【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点的距离为：10﹣2=8．4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a2+a6+a10=，则tan（a3+a9）的值为（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a1+a6+a10=，∴a2+a6+a10=3a6=，解得．∴a3+a9=2a6=，∴tan（a3+a9）=tan=．故选：D．5．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，当x≥0时，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，当x＜0时，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函数g（x）=f（x）+1的零点个数是2个，故选：B．7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（）A．4cm B．12cm C．2cm D．13cm【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于12，宽等于4，由勾股定理d==4．故选：A．8．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，且a=1，b=，tanC=1，则△ABC外接圆面积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：∵tanC=1，a=1，b=，∴cosC==，sinC==，∴由余弦定理可得：c==1，∴由正弦定理可得2R===，∴△ABC外接圆面积S=πR2=π×（）2=．故选：A．9．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C．10．（5分）如图所示，输出的n为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：n=1，S=﹣满足条件S＜0，执行循环体，依此类推，n=12，S=满足条件S＜0，执行循环体，n=13，S=+不满足条件S＜0，退出循环体，最后输出的n即可．故选：D．11．（5分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2【解答】解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，a2=b2+c2，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）﹣（m+1）x≥0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，1]C．[0，2]D．[2，+∞）【解答】解：若f（x）﹣（m+1）x≥0，即有f（x）≥（m+1）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+1）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，（x2+2x）′=2x+2，则m+1=2，解得m=1，由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有0≤m+1≤2，解得﹣1≤m≤1．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上．13．（5分）已知向量，满足•=0，||=1．||=2，则|+|=．【解答】解：∵•=0，||=1．||=2，∴=1+4=5．∴|+|=．故答案为：．14．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值是．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率结合图形可知，当直线过OB时斜率最小，OA斜率最大，由于可得A（3，2），此时k==故答案为：．15．（5分）若a∈R+，则当a+的最小值为m时，不等式m＜1的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1} ．【解答】解：∵a∈R+，∴a+≥2=，当且仅当a=，即a=时取“=”；∴a+的最小值为m=；∴不等式m＜1为：（）＜1，等价于x2+4x+3＞0，解得x＜﹣3或x＞﹣1；故所求不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．16．（5分）若0，﹣＜β＜0，cos（）=，sin（+）=，则cos（2α+β）=．【解答】解：∵cos（）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，①∴两边平方可得，1﹣sin2α=，解得：sin2α=，∵0，可得：cosα+sinα==，②∴由①②解得：cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=，又∵sin（+）=，可得：（sin+cos）=，两边平方，可得：sinβ=，cosβ=，∴cos（2α+β）=cos2αcosβ﹣sin2αsinβ=×﹣×（﹣）=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b1=，4b n=a n﹣1a n，设{b n}的前n项和T n．证明：T n＜1．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2），∴，…（1分）又a1=1，3a2﹣a1=1，∴，∴=，…（3分）∴{}是首项为1，公差为的等差数列，…（5分）∴=1+，∴a n=．…（7分）（Ⅱ）证明：∵数列b1=，4b n=a n﹣1a n，∴b n==，…（9分）∴T n=b1+b2+…+b n=（1﹣）+（）+…+（）=＜1．故T n＜1．…（12分）18．（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．19．（12分）如图（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，若a=2，求四棱锥A1﹣BCDE的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）在图（1）中，因为AD∥BC，AB=BC=AD=a，E是AD中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，且CD∥BE，所以在图（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，…（4分）又BE⊥平面A1OC，CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，可知平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，又由（1）可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，…（8分）由图（1）知，A1O=AB=a，，又a=2，所以四棱锥A1﹣BCDE的体积V==．…（12分）20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…（5分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx+（Ⅰ）若a≥0或a≤﹣1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x）至多一个零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，①a≥0时，ax+a+1＞0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．②a≤﹣1时，ax+a+1＜0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）对于函数f（x）：﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=1或﹣，﹣1＜a＜﹣时，0＜﹣＜1，故当x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．a=﹣时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．﹣＜a＜0时，﹣＞1，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．故有①设a≥0，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，f（x）无零点，②设a≤﹣1，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，f（x）无零点，③设a=﹣，f（x）单调递减，至多一个零点，④设﹣1＜a＜﹣，则当x∈（0，﹣）时，f（x）单调递减；当x∈（﹣，+∞）时，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，因此f（x）至多一个零点，⑤设﹣＜a＜0，则当x∈（﹣，+∞），f（x）单调递减；当x∈（0，﹣）时，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，因此f（x）至多一个零点，综上，f（x）至多一个零点．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，求点P到曲线C2的距离|PQ|的最大值．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得=1．…（3分）由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0．…（5分）（2）设P（cosθ，sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==…（8分）当cos（θ+）=﹣1时，d有最大值3，所以|PQ|的最大值为3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≤2|x﹣2|；（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤2|x﹣2|，即|x+1|≤|x﹣2|，即（x+1）2≤（x﹣2）2，解得：x≤．（2）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣（x+a）|=|a+2|，若f（x）≥2恒成立，只需|a+2|≥2，即a+2≥2或a+2≤﹣2，解得：a≥0或a≤﹣4．。
南山区期末考高二数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2 - 1B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + x2. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(-x)的图像是（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位3. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. x^2 < 4C. x > 2 或 x < -2D. x^2 > 44. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10为（）A. 95B. 100C. 105D. 1105. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 16. 下列方程中，无实数解的是（）A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 + 4x + 4 = 07. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数f(x)的图像的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -28. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项an为（）A. 19B. 20C. 21D. 229. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则函数f(x)的定义域为（）A. x > -1B. x ≥ -1C. x < -1D. x ≤ -110. 已知直线l的方程为3x - 4y + 12 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (4, 0)B. (-4, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(2)的值为______。
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高 二 教 学 质 量 监 测数学（理科）注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。
2．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．设命题P ：.02,2>+∈∀x R x 则P ⌝为A. 02,200>+∈∃x R x B.02,200≤+∈∃x R x C.02,200<+∈∃x R xD.02,2≤+∈∀x R x2. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，公差2-=d ，213=S 则1a 的值为： A. 10 B. 9 C. 6D. 53.“21cos=α”是 “3πα=”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．不充分也不必要条件4. 已知向量(2,1,4),(1,0,2)a b →→==，且→→+b a 与→→-b a k 互相垂直，则k 的值是 A. 15. 在ABC ∆，则AC = A ．1B ．2C ．3D ．46. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线经过点()4,3，则此双曲线的离心率为A. 37B.45C. 34D.357. 若b a ,均为大于1的正数，且100=ab ，则b a lg lg ⋅的最大值为A. 0B.1C. 2D.252017.01.048. 已知数列{}n a ：11=a ，()++∈+=N n a a n n ,321 ，则=n a A. 321-+n B.12-nC. 12+nD.722-+n9. 已知直线022=-+by ax ()0,0>>b a 平分圆064222=---+y x y x ，的最小值是 A.22-B.12-C.223+D.223-10. 设y x ,满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则y x z 2-=的取值范围为A. ()3,3-B.[]3,3-C. [)3,3-D.[]2,2-11. 如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点，若A. 232y x =B. D. 12. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若223=，2a =， ABC S ∆=2，则b 的值为AB ．2C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 在中,0075,45,3===C A AC ,则BC 的长为.12. 已知数列{}n a 满足:()++∈=+N n a a n n ,log 1log 133，且9642=++a a a ，则)(l o g 97531a a a ++的值为.15. 设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若N x ∈是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-=∈2,21M x 的必要条件，则a 的取值范围为_________C 23y x =29y x =ABC ∆16. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若→2→22=C F AF ，则椭圆的离心率为_________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足：n n n a a S +=22，()+∈N n（1）求321,,a a a 的值 （2）求数列{}n a 的通项公式18．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B c a C b cos )2(cos -=. （1）求角B 的值；（2）若c b a ,,成等差数列，且3=b ，求ABC ∆面积19．（本题满分12分）已知递增的等比数列{}n a 满足：9,84132=+=⋅a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}())∈(122=:+N n a n b b n n n -，求数列{}n b 的前n 项的和n T20．（本题满分12分），是平面内的一个动点，直线与交于点,（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于M、N两点，当线段的中点在直线上时，求直线l的方程．21．（本题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD//EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．21题图 22题图22．（本题满分12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（1）求动点G的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．P PA PB PP C1:+=kxyl C MN20x y+=高二数学理科数学参考答案： 一、选择题1—12 BBCDA DBACB BA 二、填空题13.2 14. 5- 15.25或21≥-≤a a 16. 三、解答题17. 解:（1）3,2,1321===a a a ……3分（2）22n n a S = +n a , ①1211n 2+++=∴+n n a a S ② ②-① 得 ()()0111=--+++n n n n a a a a …..5分0,01>+∴>+n n n a a a 1-1=∴+n n a a ……7分{}n a ∴是首项为1，公差为1的等差数列……..8分()n n a n =⨯-+=∴111……10分 （学生用数学归纳法做相应给分）18.解：（1）∴-=，B c a C b cos )2(cos 由正弦定理，B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -= ∴，B AC B C B cos sin 2sin cos cos sin =+……2分 ∴，）（B A C B cos sin 2sin=+……3分 又π=++C B A ∴，B A A cos sin 2sin =……4分21cos =∴B 又B 为三角形内角 ……5分3π=∴B ……6分（2）由题意得 ,62=+=c a b ……7分 又 3π=B()acac c a ac b c a B 292221cos 2222--+=-+==∴……9分 9=∴ac ……10分 439sin 21==∴∆B ac S ABC ……12分19. 解：（1）由题意，得,84132==a a a a 又,941=+a a 所以,8,141==a a ， 或 ,1,841==a a ，……3分由{}n a 是递增的等比数列，知1>q 所以,8,141==a a ，且2=q ……………4分1111221---=⨯==∴n n n n q a a ……………5分（2）由（1）得()()n n n n a n b 212122-=-=，…………………………6分 所以123123252...(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ 所以23412123252...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅……………………8分所以1231122(22...2)(21)2n n n T n +-=⋅++++--…………………………10分 得()12326n n T n +=-+ .…………………………………………12分20.（11分3分6分 （2）设MN 的中点坐标为00(,)x y ………………7分得22(21)40k x kx ++=…………………………9分11分 由0020x y +=，得1k =所以直线的方程为：…………………………12分1y x =+21. 解：（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；………………………………4分（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；……………………5分由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．…………………………6分可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，……………………………………7分∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．……………………………………8分以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）…………9分设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．………………10分设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．……………………11分设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．…………………………12分22. 解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；…………………………4分（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），…………5分，……6分D点到直线AB的距离，……………………7分所以四边形DEMG的面积，………………10分当且仅当，即时取等号，………………11分此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．………………12分。