从线性规划谈中学数学建模
线性规划数学模型
目标规划的数学模型
4.达成函数(即目标规划中的目标函数) 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负 偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每 一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。 因此目标规划的目标函数只能是minZ = f(d＋、d－)。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： (1)要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽 可能小，则minZ = f(d＋＋ d－)。 (2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正 偏差变量尽可能小，则minZ = f(d＋)。 (3)要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f(d－)。 对由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。
• 为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计 划指标之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规 划方法，从而使一些线性规划无法解决的问题得到满 意的解答。
目标规划与线性规划的比较
• 线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条 件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
润比作为权系数即70:120，化简为7:12，P2(7d2＋+12d2 -)
第二目标：P3(d4＋+d4 -)
MinZ = P1d1- + P2 (7d2+ +12d3- ) + P3 (d4- + d4+ )
st
3974xx102xxx11+1x+++1+dd+1542-3-01xx--2x2220d+dx2+3+d223=40=-+00-22d000510d-004+-
线性规划数学模型
七、生产计划问题的数学模型
一、决策变量
设xj为第j种产品的计划产量
二、约束条件 ⑴ 指标约束 ⑵ 需求约束 ⑶ 资源约束
三、目标函数 ⑴ 总产值 ⑵ 总成本
xj ≥ ej ,
xj ≤ dj ,
n
∑a x j=1 ij j
≤
bi,
j = 1,2,… ,n j = 1,2,… ,n i = 1,2,…,m
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
数学建模-线性规划
第八章 线性规划 8.1 引言 有一个关于伟大数学家欧拉（Euler）的故事是这样说的，因为没有足够的篱笆，小欧拉的父亲为修建羊圈而发愁，小欧拉问父亲：为什么不将羊圈建成方的，这样不就能用更少的篱笆围成更大的面积吗？这个三百年前出自一个小儿之口的问题道出了一大类的科学问题：最优化问题。这类问题是如此的普遍，它遍及宇宙的每一个角落，也渗透在人们的每一根神经之中。 这类问题的特点是有一个目标，这个目标，在一定的条件下可以用函数表达出来，比如上面的面积是矩形的长和宽的函数。我们的目的就是使目标函数达到最大或者最小。但是面积并不能无限的大，因为受到篱笆长度（周长）的限制。也就是说最大化的同时要受到约束条件的限制。 通过分析上面的例子可以发现，描述最优化问题有三个基本要素，即决策变量、目标函数和约束条件。 决策变量：确定问题目标值大小的众多因素中，其中决策者可以控制的量称为决策变量。决策变量的取值确定了系统的最终性能，也是决策者采用决策的依据。应该注意，在系统中还有一些量，它们不能由决策者所控制，而是由系统所处的环境所决定，我们称之为参数。在一些问题的建模过程中，确定变量经常是第一步的同时也可能是最困难的工作。 目标函数：它代表决策者希望对其进行优化的那个指标。目标函数是决策变量的函数。对应决策者而言，对其有利的程度必须定量的测度, 在商业应用中，有效性的测度经常是利润或者成本, 但对于政府，更经常的使用投入产出率来测度。表示有效性测度的经常称为目标函数。大部分的模型中，确实目标函数比较简单，因此，我们建模是往往从这里寻找思路。 约束条件：它们是决策变量在现实世界中所受到的限制，约束条件决定了决策变量和参数之间的关系。约束集界定决策变量可以取某些值而不能取其他的值。在实际问题中，决策变量带有约束是普遍的。有时一些问题的约束可能非常复杂。 一般地，建立最优化模型遵循如下的过程： （1）明确问题的目标，找到确定目标性能的主要因素，从而确定决策变量； （2）分析上面给出的决策变量和目标之间的函数关系，确定目标函数； （3）确定决策变量和参数之间的关系和限制，确定约束条件。
线性规划问题求解----数学建模实验报告
由题目所给的数据可建立如下的线性规划模型：
Min z(1.250.25)(������1 ������2 )(20.35)������8 (2.80.5)������9 10������6 )
084 实验报告
1、 实验目的：
（1)学会用 matlab 软件解决线性规划问题的最优值求解问题。 （2） 学会将实际问题归结为线性规划问题用 MATLAB 软件建立恰 当的数学模型来求解。 （3）学会用最小二乘法进行数据拟合。 （4）学会用 MATLAB 提供的拟合方法解决实际问题。
2、 实验要求：
（1）按照正确格式用 MATLAB 软件解决课本第 9 页 1.1、1.3， 第 100 页 5.1、5.3 这几个问题，完成实验内容。 （2）写出相应的 MATLAB 程序。 （3）给出实验结果。 （4）对实验结果进行分析讨论。 （5）写出相应的实验报告。
3、 实验步骤：
（1)、对于习题 1.1: a.将该线性规划问题首先化成 MATLAB 标准型 b．用 MATLAB 软件编写正确求解程序：程序如下:
（4)、对于习题5.3:用MATLAB中最小二乘法求拟合表中的数据。 程序如下：x=[1:8]';
y=[15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.87,117.6]'; xishu=[ones(8,1),x];%构造系数矩阵 cs=xishu\log(y);%线性最小二乘法拟合参数 cs(1)=exp(cs(1));%把lna变换成a
对应整数规划的最优解为 x11200，x2230，x30，x4859，x5571，x60，x7500，x8 500，x9324， 最优值为 z1146.414 元。
初中数学教案：线性规划
初中数学教案：线性规划线性规划是数学中的一个重要概念，也是初中数学的一部分内容。
它是一种数学建模方法，用于解决一类特定的优化问题。
线性规划在实际生活中有广泛的应用，例如资源分配、生产调度、投资组合等方面。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数与约束条件线性规划的核心是目标函数和约束条件。
目标函数用来描述优化的目标，约束条件则是限制实现目标所需满足的条件。
目标函数和约束条件都是一次线性函数。
1.2 变量与常数在线性规划中，我们需要确定一些变量和常数。
变量是我们需要优化的决策变量，可以是实数或非负整数。
常数是问题中给定的已知值。
二、线性规划的解决方法2.1 图形解法对于二维平面上的线性规划问题，我们可以通过绘制等式和不等式的图形来求解最优解。
通过图形的交点确定最优解的坐标值。
2.2 单纯形法单纯形法是一种常用的用于求解线性规划问题的算法。
它通过不断地在可行解空间中移动，逐步接近最优解。
三、线性规划的实际应用3.1 资源分配线性规划在资源分配中有着广泛的应用。
例如，一个公司需要在有限的资源下进行生产调度，使得利润最大化。
线性规划可以帮助我们确定各个生产项目的分配比例，从而实现资源的最优利用。
3.2 生产调度在生产调度中，线性规划可以帮助我们确定各个生产环节的时间分配，以及设备和人员的调度安排。
通过合理的线性规划模型，我们可以提高生产效率，降低成本，实现最优的生产调度安排。
3.3 投资组合投资组合是指将资金分配到不同的投资项目中，以实现风险和回报的平衡。
线性规划可以帮助我们确定不同投资项目之间的权重，从而实现经济效益的最大化。
四、线性规划在实际问题中的思维方法4.1 简化问题复杂的实际问题需要我们进行简化，将问题转化为线性规划的形式。
这需要我们深入理解问题的本质，找到合适的变量和约束条件。
4.2 分析优化目标在解决实际问题中，我们需要明确优化的目标是什么。
例如，是最大化利润还是最小化成本。
只有明确目标，才能设计合适的线性规划模型。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，其中最常用的有三种，分别是线性规划、整数规划和动态规划。
一、线性规划线性规划是一种优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找目标函数最大或最小值的一种方法。
它的数学形式是以线性约束条件为基础的最优化问题。
线性规划的基本假设是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划通常分为单目标线性规划和多目标线性规划，其中单目标线性规划是指在一个目标函数下找到最优解，而多目标线性规划则是在多个目标函数下找到一组最优解。
线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。
单纯形法是最常用的求解线性规划问题的方法，它的核心思想是通过不断迭代改进当前解来达到最优解。
内点法是一种相对较新的求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过从可行域的内部最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它在线性规划的基础上增加了变量必须取整数的限制条件。
整数规划具有很强的实际应用性，它能够用于解决很多实际问题，如资源分配、生产优化等。
整数规划的求解方法通常有两种：分支定界法和割平面法。
分支定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它的基本思想是通过将问题划分为若干个子问题，并通过求解子问题来逐步缩小解空间，最终找到最优解。
割平面法也是一种常用的求解整数规划问题的方法，它的主要思想是通过不断添加线性割平面来修剪解空间，从而找到最优解。
三、动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的数学方法。
多阶段决策问题是指问题的求解过程可以分为若干个阶段，并且每个阶段的决策都受到之前决策的影响。
动态规划的核心思想是将问题划分为若干个相互关联的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
动态规划通常分为两种形式：无后效性和最优子结构。
无后效性是指一个阶段的决策只与之前的状态有关，与之后的状态无关。
最优子结构是指问题的最优解能够由子问题的最优解推导而来。
从线性规划教学提升学生数学模型思想
从线性规划教学提升学生数学模型思想
贾芳
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2012(000)008
【摘要】线性规划是我们在高中数学教学中接触到与运筹学相关的简单知识,涉及到了在工业生产上的应用.线性规划方法简便易学,图形表示简单明了.在这一部分的教学中,学生会对数学模型的建立有所了解.一、简单的数学模型思想——线性规划数学建模是解决实际问题的一种方法,一般是指人们用数学方法解决实际问题时,把实际问题转化成某个数学模型的过程.数学模型实质是以实际问题原型而进行思考分析、加工抽象、参数表达之后得到的数学表达式.随着工
【总页数】2页(P7-8)
【作者】贾芳
【作者单位】江苏省邳州市炮车中学，221300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.农村初中思想品德教学提升学生法律素养探究 [J], 陈进号
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数学建模线性规划模型
设xj(j=1,2)为第j个化工厂每天处理污水量 （河水流量中忽略了工厂的排入量。） 模型为：
min Z 1000 x1 800 x2
工厂1
500 200 工厂2
700
x1 1 0.8 x x 1.6 1 2 s.t x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
6、投资决策问题：
公司拟在某市东、南、西三区建立连锁店， 拟议中有7个位置Ai(i=1,2,…,7)可供选择， 规定东区在A1,A2,A3中至多选2个，西区在 A4,A5中至少选1个，南区在A6,A7中至少选 1个，并选用Ai点，投资bi元，估计每年获 利ci元，但投资总额不得超过B元。问应如 何选址，可使每年利润最大？
请同学们考虑：如何裁，才能使浪费（料头） 最少。
一般的合理下料问题可叙述为：
要利用某类钢材下A1,A2,…,Am一共m种零件 毛料，根据省料原则，在一块钢材上设计出 n种不同的下料方式，设在第j种下料方式中， 可得Ai种零件aij个，设第i种零件的需求量为 bi（如表）.问应采取什么方式，使既满足问 题需要，又使所用钢材最少？
方式 1 … n 需求量
A1
… Am
a11
… Am1
…
… …
a1n
… Amn
b1
… bm
设xj为用第j种方式下料所用钢材数 模型为：
min Z X j
j 1
n
n i 1, m aij X j bi s.t j 1 x 0 j 1, n j
5、指派问题：
一公司饲养动物生长对饲料中三种营养成 分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感， 每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质 3g、维生素10mg，该公司买到五种不同的 饲料，每种饲料1㎏所含营养成分如表
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从线性规划谈中学数学建模王 斌(宁德职业中专学校,福建宁德 352100)摘要:从数学建模的过程框架出发,通过实例说明中学数学建模的实际操作,分析线性规划问题的求解步骤及其实际应用,阐述中学数学的建模技巧及其现实意义.关键词:中学;数学建模;线性规划中图分类号:G 633.6 文献标识码:A 文章编号:1004-2911(2008)02-0185-04数学文化素养越来越成为当今每个公民,以至整个民族文化素养的重要内容和标志.数学教育从传统的/传授知识0模式更多地转变为/以激励学习为特征0的实践模式;更着重于培养、发展学生的广泛的数学能力.因此,当今的中学数学教育中,问题解决(Proble m Sol v ing)已成为一个热点.数学建模可以看成是问题解决的一部分,它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程;数学工具、方法、模型的选择和使用过程;模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程.更完美了学数学和用数学的关系.数学建模对象是未经数学抽象和转化的/原坯0型问题.建模步骤不仅要求有相应的数学知识,还要涉及许多非数学领域的知识.求解过程除了数学和物理方法外,还常用到计算机进行模拟、试算、检验等.这不仅对中学生,而且对教师会遇到知识或方法上的困难和障碍.本文通过对线性规划应用的分析,浅述笔者对中学数学建模的理解和尝试.1 数学建模的过程框架数学建模(Mathe m atica lMode ling)是建立数学模型的过程的缩略表示,在工业设计、经济设计或任何其它设计中运用数学的语言和方法实际上就是数学建模.一般地,数学建模的过程可用下列框架图[1]表示,见图1.2 线性规划的建模及其应用线性规划是数学规划的一种,运用在工农业生产和国民经济中,解决运输调配、经济计划、生产安排、产品用料配方等一类数学规划问题.2.1 线性规划的提法和意义在n 维空间R n中,线性不等式a 1x 1+a 2x 2+,+a n x n Fb ;(E b)表示一个超半空间.(m >n )个n 元线性不等式E n i=1aij x i F b j (E b), j =1,2,,,m (*)确定R n 中一个维单形V n (n =2,3时分别表示三角形和四面体),或一无界区域.线性规划可以归结为一个线性函数(目标函数)f (x )=c 1x 1+c 2x 2+,+c n x n 在一组线性不等式约束条件(*)之下,求极大(小)值.因此,线性规划的意义就是[3]:目标函数在f(x)由(*)确定的单形第20卷第2期 宁德师专学报(自然科学版)2008年5月 Journa l of N i ngde Teachers Coll ege(Na t ura l Sc i ence)Vol 120 No 12 M ay 2008*收稿日期:2008-04-10作者简介:王 斌(1967-),男,中学1级教师,福建宁德人,现从事职业中专数学教学与研究.E-ma i:l WB9001@126.co mV n 上,求极大(小)值点和极大(小)值.V n 称为可行性解集,所求极值解称为优值解.理论上已经证明:目标函数f (x )的极大(小)值,一定在单形V n 的顶点上取到.2.2 线性规划问题建模举例(A)现实世界的问题或情况.涉及线性规划的现实问题很多,例如,实际生产中的运输问题、计划安排、合理配料等都可以借助于线性规划来解决.下料问题是线性规划模型可以解决的一类常见问题.(B )现实的模型.例1 若需在长为4000mm 的圆钢上截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样截取才能使残料最少?(C )数学模型.初步分析,可先考虑两种/极端0:(1)全部截出长为698mm 的甲坯,可截出4000698=5件,残料长为510mm;(2)全部截出长为518mm 的乙坯,可截出4000518=7件,残料长为374mm.由此可想到,若将个甲坯和个乙坯搭配下料,将截取条件数学化地表示为:689x +518y F 4000x I [0,5];y I [0,7],x,y I z ,目标是使函数z =698x +518y 4000(材料利用率)尽可能地接近或等于1.表1 解法1用表x 012345y 765320z /%90.6595.1599.6591.2095.7087.25(D )数学模型的解.解法1(穷举法) 由表1可知,取x =2,y =5时,z =99.65%最接近于1.解法2(图解法) 条件(1)(2)对应的是图中v A OB 内的格点,见图2.当格点越靠近A B,残料就越少.从图2易知点E (2,5)距AB 最近,故取x =2,y =5时残料最少.(E )实际问题的解.由上述解法知,截取2个甲坯、5个乙坯最佳.2.3 求线性规划问题的步骤从例1可归纳出线性规划问题的求解步骤如下:(1)分析与建模.建立目标函数f (x)及其约束条件(*).(2)求解线性方程组(*).它的每个解确定V n 的一个顶点E i I R n (1F i F n ).(3)定解.将各顶点E i 坐标代入目标函数f (x)计算函数值,其中最大(小)的一个,即为所要求的最优解.当=2,3时,上述步聚不难实现;当n \4时,计算量较大,可采用单纯形法.例2 家俱公司制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序.已知木工平均4h 做一把椅子,8h 做一张书桌;漆工平均2h 漆一把椅子,1h 漆一张书桌;该公司每周木工、漆工的最多工时分别有8000个和1300个.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元.怎样安排生产才能获得最大利润?分析与建模:设每周生产x 把椅子,y 张书桌,则由此得到以下数学模型,求目标函数(利润)f (x,y)=15x +20y 在约束条件4x +8y F 80002x +y F 1300x ,y E 0下的最大值.#186# 宁德师专学报(自然科学版) 2008年5月求解(*):问题的可行性解集是由约束条件所界定的四边形区域OA BC,见图3,它们的边界分别为4x +8y=8000(A B ),2x +y =1300(BC),x =0(OA)和y =0(OC ),顶点坐标分别为A(0,1000),B (200,900),C (650,0).定解:目标函数f (x,y)的等值线为一组平行线l Bf (x ,y )=15x +20y =p,它在顶点处B (200,900)取得最大值(也可用穷举法将O ,A ,B,C 坐标代入f (x,y )一一求值,选择确定):f (200,900)=15@200+20@900=21000(元).即安排生产200把椅子,900张书桌,可以获得最大利润21000元.3 中学数学建模的技巧数学建模所涵盖的内容很多,数学的许多分支的产生和发展都经历了一个从/问题y 建模y 扩展完善模型y 应用y 新的问题和更广泛的模型y ,,0的过程.中学数学中的函数、方程、数列、向量、线性规划等都是解决一类问题的数学模型.中学数学建模很多是为了应用性问题的解决.因此,建立相应的数学模型是有一定技巧的.(1)通过平时积累,建立中学数学的/模型库0.如,工农业生产问题、商业问题、社会问题、自然科学问题等.(2)由纯数学知识反推问题所涉及的可能影响最终结果的量,并将这些量(尤其是表示主要因素的量)转化为用数学语言描述.如,与数量相关想到代数(函数、方程、不等式、数列等)模型,与形状相关想到平几或立几模型,与位置相关想到解析几何或三角模型[4].(3)从得到结果的实际操作过程出发,建立模型或受到启发.例3 把一块边长为130c m 的正方形铁皮,剪成四小块,见图4,再把它们拼成一块长210c m,宽80c m 的矩形铁皮,见图5.从面积上考虑,正方形铁皮的面积为130@130=16900c m 2,而矩形铁皮的面积为(130+80)80=16800c m 2,请问还有100c m 2的铁皮哪里去了?这是一个铁皮剪拼问题.与形状相关,应想到平面几何模型.面积确实少了,应想到有重叠部分,但重叠部分在哪里呢?想象一下平常拼纸板的情形,见图5,I 与I V ,II 与III 直角边部分是毫无疑问可以这样拼成的,但斜边部分能成一直线吗?问题就出在这里.(4)建模时尽可能用简单模型取代复杂模型.如,涉及/至多0、/至少0的应用题一般说来既可以用不等式又可以用方程,最好用方程;有明显递推规律的,最好在搞清特殊情况以后再递推,而不是一开始就考虑一般情况.例4 摄影胶片绕在盘上,空盘时盘芯直径100mm,满盘时盘的直径200mm,若胶片厚度是0.2mm,那么满盘时一盘胶片的长度有多少?这是一个胶片缠绕问题,若一圈一圈地考虑,可建立数列模型,若从面积考虑则可建立方程模型.建议用两种方法去求解,然后比较模型的优劣,以积累经验.(5)依托图表,分类讨论,是建模时不可忘记的技巧.#187# 第2期 王 斌:从线性规划谈中学数学建模总之,对建模技巧的探索和总结是无止境的,只有在建模实践中不断概括和总结成功经验,才能形成和丰富指导建模的理论体系.数学教育具有基础扎实,训练严格的传统优势.但知识面窄、内容过于形式刻板、重理论轻应用的倾向不能不说是数学教育现实中的问题.现代社会的发展,使股票、保险、利息、工期、效益、预测、评估、优化、选择、决策等大量应用问题需要用数学来解决.数学不再仅仅是思维的体操了,它已更广泛地渗透到生产生活中.因此,加强数学应用意识和能力的培养,对于学生具有特别重要的意义.参考文献:[1]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M ].北京:北京教育出版社,1998.7.[2]吴炯圻,林培榕.数学思想方法[M ].厦门:厦门大学出版社,2001.6.[3]胡炳生.现代数学观点下的中学数学[M ].北京:高等教育出版社,1999.[4]兰永胜.数学思想方法与建模技巧[M ].青岛:青岛海洋出版社,2000.7.Ta lk abou t the m idd le school m a th e m atics fro mthe li near p rogram buil d i ng a m odelW ANG Bin(N i ngde Vocati on Seco nda ry Spec i a lized Schoo,l N i ngde Fuji an 352100,Ch i na)K ey w ord s : mathe matics ;builds a mode;l li n ear pr ogra m #188# 宁德师专学报(自然科学版) 2008年5月。