概率

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概率知识点总结

概率知识点总结概率是研究随机事件的可能性的数学分支。

下面是概率知识点的总结：1. 随机试验：一种具有多种可能结果的试验，每次试验结果是随机的。

2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，通常用S表示。

3. 事件：样本空间的子集，表示某个或某些结果的集合。

4. 事件的概率：事件A在样本空间S中发生的可能性大小，通常用P(A)表示，满足0≤P(A)≤1。

5. 等可能概型：每个样本点发生的概率相等。

6. 古典概型：每个样本点发生的概率相等且有限个。

7. 概率的性质：- 非负性：对于任何事件A，P(A)≥0。

- 规范性：对于样本空间S，P(S)=1。

- 加法性：对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)。

- 减法性：对于事件A和B，P(A-B) = P(A) - P(A∩B)。

8. 条件概率：事件B在事件A已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

9. 独立事件：事件A和事件B相互独立，表示为P(A|B) = P(A)或P(B|A) = P(B)。

10. 乘法定理：对于独立事件A和B，P(A∩B) = P(A) * P(B)。

11. 全概率公式：对于一组互不相容的事件A1, A2,..., An，且它们的并集构成了样本空间S，对任意事件B，有P(B) =P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)。

13. 随机变量：将样本空间S映射到实数集的函数。

14. 离散型随机变量：取有限或可数个值的随机变量。

15. 连续型随机变量：取值可以是实数的随机变量。

概率公式大全

概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。

本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。

1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。

事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。

2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。

2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。

条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。

根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。

3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。

全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。

这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。

4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。

根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

有关概率的公式

有关概率的公式概率是描述事件发生可能性的一种数学概念。

它可以帮助我们预测和分析事件发生的可能性，而概率公式则是用来计算概率的数学公式。

首先，我们需要了解一些基本的概率概念。

在概率论中，事件的概率通常用P(A)来表示，其中A是一个事件。

概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。

在计算概率时，我们尝试使用一些公式和规则来辅助计算。

下面是一些常用的概率公式：1.加法法则：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)加法法则用于计算两个事件中至少一个事件发生的概率。

P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2.乘法法则：P(A且B)=P(A)某P(B，A)乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

3.条件概率：P(A，B)=P(A且B)/P(B)条件概率用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

4.独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的，那么P(A且B)=P(A)某P(B)。

5.贝叶斯定理：P(A，B)=(P(B，A)某P(A))/P(B)贝叶斯定理用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

6.全概率公式：P(B)=Σ(P(Ai)某P(B，Ai))全概率公式用于计算事件B的概率。

假设事件A1，A2，...，An是样本空间的一个划分（即这些事件互不相交且并集等于样本空间），P(Ai)表示事件Ai的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。

概率的基本概念

概率的基本概念1 概率是什么概率是表⽰某种情况（事件）出现的可能性⼤⼩的⼀种数量指标，它介于0与1之间。

1.1 主观概率凭着经验和知识对事件发⽣的可能性作出的⼀种主观估计，主观概率可以理解为⼀种⼼态或倾向性。

这⾥的某种事件后⾯即定义为随机事件，所谓“随机事件”，即它的结果具有偶然性。

1.2 古典概率的定义假定某个试验有有限个可能的结果e1,e2,…,e N。

假定从该试验的条件及实施⽅法去分析，我们找不到任何理由认为其中某⼀结果，例如e i，⽐任⼀其他结果，例如e j，更具有优势（即更倾向于易发⽣），则我们只好认为，所有结果e1,e2,…,e N在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会。

常常把这样的试验结果称为“等可能的”。

设⼀个试验有N个等可能的结果，⽽事件E恰包含中的M个结果，则事件E的概率，记为P(E)，定义为：P(E)=M/N上⾯的古典定义它只能⽤于全部试验结果为有限个，且等可能性成⽴的情况，某些情况下，这个概念可以引申到试验结果有⽆限多的情况。

古典概率的核⼼实际上就是"数数"，⾸先数样本空间中基本事件的个数N，再数事件A包含的基本事件个数M1.3 ⼏何概率甲、⼄⼆⼈约定1点到2点之间在某处碰头，约定先到者等候10分钟即离去。

设想甲、⼄⼆⼈各⾃随意地在1-2点之间选⼀个时刻到达该处，问“甲⼄⼆⼈能碰上”这事件E的概率是多少？如果我们以⼀个坐标系来代表所有事件发⽣的平⾯，则x轴代表甲出发的时刻，y轴代表⼄出发的时刻，如果甲⼄能碰上则必须满⾜：|x−y|<10可以计算在坐标轴平⾯上，满⾜上⾯不等式的区域的⾯积。

⼏何概率的基本思想是把事件与⼏何区域对应，利⽤⼏何区域的度量来计算事件发⽣的概率。

1.4 概率的频率定义⽅法1）与考察事件A有关的随机现像可⼤量重复进⾏2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，⼜称n(A)为事件A的频数。

称f n(A)=n(A)n为事件A出现的频率。

什么是概率

什么是概率（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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概率的基本概念与计算

概率的基本概念与计算概率是指某个事件发生的可能性或者可能发生的程度。

在数学上，概率通常用一个介于0和1之间的数字来表示，其中0代表不可能发生，1代表一定会发生。

这篇文章将介绍概率的基本概念和计算方法。

基本概念事件是指一个可能发生或者不发生的行动或事情。

例如，抛一枚硬币会出现正面或反面，这就是一个事件。

把一个骰子扔在桌子上，会出现1到6的其中一个数字，这也是一个事件。

在概率中，事件通常用大写字母来表示，例如A、B、C等等。

样本空间是指一个事件发生的所有可能结果的集合。

例如，抛一枚硬币可以出现正面或反面，所以样本空间可以写为{正面，反面}。

扔一个骰子可以出现1、2、3、4、5或6，所以样本空间可以写为{1，2，3，4，5，6}。

在概率中，样本空间通常用大括号来表示，例如{ }。

概率是指某个事件发生的可能性大小。

在概率中，概率的定义方式有很多，其中一个典型的方法是用事件A发生的次数n除以总事件数N，即P(A)=n/N。

换句话说，概率是指一个事件在所有事件中占据的比例。

在实践中，我们通常也可以通过试验来确定某个事件的概率。

计算方法加法规则加法规则是指当两个或多个事件没有同时发生的可能性相加时，概率可以直接相加。

例如，当抛一枚硬币或一颗色子时，出现正面或者出现数字1的概率可以直接相加，即P(正面或1)=P(正面)+P(1)。

乘法规则乘法规则是指两个或多个事件同时发生的可能性相乘时，概率可以直接相乘。

例如，当抛两枚硬币时，出现正面的概率是1/2，两枚硬币同时出现正面的概率是1/2*1/2=1/4。

在概率计算中，乘法规则通常用于计算复杂事件的概率。

条件概率条件概率是指在已知一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。

例如，在已知一枚硬币正面的前提下，另一面为正面的概率是多少。

在这种情况下，条件概率可以直接用乘法法则来计算，即P(B|A)=P(AB)/P(A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的前提下，事件B 发生的概率，P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率。

概率名词解释

概率名词解释概率，又称或然率、机会率、机率(几率)或可能性，是概率论的基本概念。

概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

越接近1，该事件更可能发生;越接近0，则该事件更不可能发生。

人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。

如果一个试验满足两条：(1)试验只有非常有限个基本结果;(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验就是古典试验。

对于古典试验中的事件a，它的概率定义为：p(a)=m/n，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。

m表示事件a 包含的试验基本结果数。

这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

1、顺利呈圆形概率分布，关键就是你能够无法秉持至顺利已经开始呈现出的那一刻。

2、奇迹出现的概率，永远取决于努力。

3、我们时常真的这些事出现的概率太小，而真正出现时，才晓得其实他不是无稽之谈锡尔弗其言。

其实只要信任，也不是什么大不了的事。

4、假如进化的历史重来一遍，人的出现概率是零。

5、能够和你现在拖著手的那个人，你们碰面的概率简直就是近乎奇迹，期望你们无论怎样都不要放宽彼此的手。

6、太复杂的设计实际上是降低了成功的概率。

7、据传人一生可以碰到三千万人，两个人重归于好的概率没0.。

于是我晓得，碰到你就是我的缘分，爱上你就是我的情分，守护者你就是我的本分。

快乐你永不变小。

8、唯一的不同是哪个问题我们最紧张，我们就会把它的概率给抛到九霄云外去。

9、我真的能够重新认识你，类似于某个极低概率的奇迹。

10、若一种动物对新奇的事物没有心存戒备，其生存概率就会很低。

11、你们碰面的概率简直就是近乎奇迹。

12、我们的生命，端坐于概率垒就的金字塔的顶端。

面对大自然的鬼斧神工，我们还有权利和资格说我不重要吗。

13、电压暂降概率评估的结果可以用作推论电力系统网络结构与否合理。

14、利用经典大偏差的方法，在一定的条件下，得到了相应概率的对数渐近式及测度族的大偏差原理。

概率的基本概念及计算方法

概率的基本概念及计算方法概率是描述不确定性的数学语言,在日常生活中无处不在。

了解概率的基本概念和计算方法,不仅有助于科学研究,也有助于我们更好地认识和应对周围的不确定性。

概率的基本概念1. 样本空间和事件样本空间指一个事件可能发生的所有可能结果的集合。

事件则是样本空间的子集,即某些可能结果的集合。

例如,掷骰子实验的样本空间为{1,2,3,4,5,6},某事件"掷到偶数点数"就是这个样本空间的一个子集{2,4,6}。

2. 概率的定义概率是对事件发生的可能性的量化描述。

根据古典概型,如果一个事件A在n次独立试验中有m种可能结果,那么事件A发生的概率P(A)=m/n。

根据频率概型,如果事件A在n次独立试验中发生了k次,那么事件A的概率P(A)=k/n。

3. 概率的基本性质(1)概率值域在[0,1]之间,P(A)=0表示事件A不可能发生,P(A)=1表示事件A必然发生。

(2)互斥事件的概率之和等于1,即P(A)+P(B)=1,其中A和B是互斥事件。

(3)对于任意事件A,0≤P(A)≤1。

概率的计算方法1. 古典概型计算当样本空间中所有结果是等可能的时,可以使用古典概型公式计算概率:P(A)=m/n,其中m是事件A发生的结果数,n是样本空间中所有可能结果的总数。

例如,掷骰子实验中,事件"掷到3点"的概率为P(3)=1/6。

2. 频率概型计算当无法确定样本空间中结果的等可能性时,可以使用频率概型计算概率。

根据大数定律,事件A在n次独立试验中发生的频率k/n,当n趋于无穷大时,收敛于事件A的概率P(A)。

例如,统计1000次掷硬币实验,正面朝上的次数为501次,则硬币正面朝上的概率为501/1000=0.501。

3. 条件概率计算条件概率描述了在某个事件B发生的前提下,另一个事件A发生的概率。

条件概率用P(A|B)表示,计算公式为:P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。

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( x a) ( y b) r 的a,b,r，求使圆心与
2 2 2
原点的连线垂直于l的概率。
（3）、从1，2，3，4，5这5个数字中，任意有放回地连续抽3个数 ①抽的3个数字完全不同的概率； ② 3个数字不含1和5的概率； ③ 3个数字中5恰好出现两次的概率。
Hale Waihona Puke 例14、甲、乙、丙三个人去住三间房，每人可以住进任一房间，且进住各房间是等可能的，求（1）每间恰有1人的概率；（2）恰空一间房的概率。
3、等可能试验：一般地，如果一个试验共有N种等可能出现的结果，而且其中任意两个结果都不可能同时出现，则成这个试验为等可能试验
注：1）试验在同样的条件下可反复进行的。 2）试验的各可能的结果是等可能的。 3）任何2个结果都不可能同时出现。
注：判断一个试验是不是等可能试验，与如何区分试验可能出现的结果有关
反面朝上的概率? 若抛出两枚呢？
例2、在盒子里有3个大小相同的小球，1个黑球，1个蓝球，1个红球，从中摸出一球（1）有哪几种可能出现的结果？（2）摸到红球的概率？摸到黑球的概率？摸到蓝球的概率？例3、在盒子里有4个大小相同的小球，2个黑球，1个蓝球，1个红球，从中摸出一球（1）可能出现的结果？（2）哪种可能性大？（3）摸出黑球的概率？
例10、15名学生，3名优秀生，15名学生平均分到3个班，每个班级分到1个优秀生的概率？
例11、一副扑克牌（52张）任取4张，求 1）黑桃、红桃、梅花、方块各一张的概率 2）4张牌点数相同 3）4张黑桃 4）4张同一花色 5）若取出5张，其中恰好是3张同点，另2张也同点； 6）若取出5张，恰好是5张同花色且点数相连
5、概率：对随机事件出现可能性大小的数值度量叫做这个随机事件的概率。随机事件A的概率记作 P(A)
6、古典概型中概率的计算
随机事件A 出现的概率P(A)
事件A所包含的基本事件数 k 试验中所有的基本事件数 N
例1、抛出一枚均匀的硬币（1）有哪几种可能出现的结果? （2）正面朝上的概率?
概率初步
一、基本概念 1、现象：确定性现象：在一定条件下必定会出现或必定不出现的现象
①必定会出现的现象，叫必然现象。例如:地球围绕太阳转；导体通电后会发热；在标准大气压下，纯水加热到100度就会沸腾 ②必定不出现的现象，叫不可能现象。例如:太阳从西边出来；在常温下，铁会融化；在三角形中，大边对小角；
⑴第一个盒没有球的概； ⑵第一个盒恰有1个球的概率； ⑶第一个盒恰有2个球的概率； ⑷第一个盒恰有一个球，第二个盒恰有二个球的概率
例15、某人有5把钥匙，但忘记开房门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，问（1）恰好第3把打开的概率；（2）3次内打开的概率；（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么3 次内打开的概率。
注:(1)分清返回抽样和不返回抽样 (2)关于不返回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无序的，其结果是一样的，但必须
袋中有4个白球和5个黑球，连续从中取出3个球，计算：（1）“取后放回，且顺序为黑白黑” 的概率；（2）“取后不放回，且取出2黑1白” 的概率。
例9、（1）8本不同的书，其中3本外语，2本数学， 3本物理，排成一排，求外语排一起，数学排一起的概率；（2）从1，2，3，4，5中取2个数组成无重复数字的两位数，求大于40的概率；
（3）有5条线段，长度分别为1，3，5，7， 9，从中取3条，求所取线段能构成三角形的概率。（4）在分别写有2，4，6，7，8，11，12， 13的八张卡片中任取2张，把卡片数字相加和为3的倍数的概率。
练习：
例13、（1）从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，任取4个组成没有重复数字的四位数，求： ①这个四位数是偶数的概率； ②这个四位数能被5整除的概率； ③这个四位数小于4000的概率.
（2）已知直线l：x+3y+1=0,A={n|n<10,n为非零自然数}，从A中任取3个元素分别作为
Eg：在52张牌中，抽一张牌 1）把“抽到黑桃”，“抽到红桃”，“抽到梅花”， “抽到方块”看作试验结果等可能试验 2）把结果简单地划分为“抽到黑桃”，非等可能试验与“没有抽到黑桃”看作试验结果
4、古典概型的特点：（1）一次试验所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等；
随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现且有统计规律的现象。
例如:“明天下雨”和“明天天晴” 扔硬币；买彩票中奖；
2、对随机现象的一次观察叫做一次试验。一次试验的所有可能结果都叫做试验结果或基本事件所有可能的基本事件所组成的集合叫做基本事件全集，记作基本事件全集的子集叫做随机事件，简称事件。用大写的字母A、B、C等来表示试验后必定出现的事件叫做必然事件。试验中不可能出现的事件叫做不可能事件。
大数定律
当试验次数增大时，频率（经验概率）非常接近于古典概率。概率的这一性质叫做大数定律。
大数定律可解释为，频率在大数次重复试验中稳定于某一常数（概率）。
也叫做事件E出现的经验概率，记作
m P( E ) n
例：某射手向一靶射击125次，中靶的次数为70次，求射手中靶的经验概率。练习：曾经有人对1930年至1988年世界各地 53274场重大足球比赛中罚点球的情况作了统计，在判罚的15382个点球中，有11172个射中，求点球射中的经验概率。（精确到 0.001） <注>用频率（经验概率）稳定于某常数来定义概率与古典概型中定义的概率是一致的。
例4、袋中装有大小相同6个白球和4个黑球，从中任摸3球（1）有几种等可能的结果？（2）出现3个白球的概率？（3）出现1个白球，2个黑球的概率？（4）取出不都是白球的概率？
P 对立事件：( A) P ( A) 1

例5、100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中取出4件（1）恰含1件二等品的概率？（2）至少含一件二等品的概率？（精确到0.01）
例12、一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的概率：
（1）从中摸出一个放回再摸出一个，两次摸出的球是一白一黑的概率；（2）从袋中摸出一个是黑球，放回再摸出一个是白球的概率；（3）从袋中摸出两个球，一个是黑球，一个是白球的概率；（4）从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球的概率；（5）从袋中摸出两个球，后一个是白球的概率。
例16、已知8支球队有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A,B两组，每组4支，问：（1）A,B中有一组恰有2支弱队的概率；（2）A组中至少有2支弱队的概率。
频率
当基本事件有无限多个，或者基本事件出现的可能性不相等，此时要确定事件的概率，需要用重复试验。
频率：假设某事件E在n次重复试验中出现 m 了m次，那么就是事件E出现的频率。 n
例6、 1）从3名男生，n名女生中任选3人参加数学竞赛，已知3名中至少有一名是女生的概率为 34 ，求n
35
2）10件产品中2件次品，为了保证2件次品，全部检验出来的概率在0.6以上，至少应抽多少件？
例7、10个同学中至少2个在同一月份生日的概率？
例8、5个学生站一排，其中任意2个身高都不同（1）自左至右恰好由高到矮的概率？（2）最高的人站中间的概率？（3）最高和最矮的两人恰好站在两边的概率？
练习：（1）有6个房间安排4位旅游者住，每人可以住进任一房间，且进住各房间是等可能的，求：
①指定的4个房间各有1人的概率？ ②恰有4个房间各有1人的概率？ ③第一号房间有1人，第三号房间有3人的概率？
（2）将4个编号的球放入3个编号的盒中，对一于每一个盒来说，所放的球数K满足 0≤K≤4，在各种放法的可能性相等的条件下，求：