第6章相似三角形复习
苏科版九年级数学下册第6章《相似三角形》专题练习
《相似三角形》专题练习【小题热身】1．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝2．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1），在网格中画出一个与△ABC相似且面积最大的格点△DEF，△DEF的面积为．3．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，在△ABC中，点E、D分别为AB与AC边上两个点，请添加一个条件：，使得△ADE∽△ABC．5．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D 的坐标为时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似．6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E为AD中点，CF⊥BE，垂足为G，交BC边于点F，则CF的长为．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，若四边形DEFC为正方形，则它的边长为．9．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ＝DC．若AB＝16，BC＝20，则图中阴影部分的面积是．10．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC＝20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．11．如图：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F是CD的中点，一束光线从A点出发，通过BC边反射，恰好落在F点，那么反射点E与C点的距离为．12．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE 与△ABC相似时，x的值可能是．【典型例题】1．（相似与二次函数）如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．2．（相似与圆）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．3．（一线三直角必有相似）（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD ＝90°，求证：△ABC∽△CED；（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD 的长．4．（动态问题与相似）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？5．（相似性质）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，矩形DEFC的顶点D、E、F都在△ABC的边上．（1）设DE＝x，则AD＝（用含x的代数式表示）；（2）求矩形DEFC的最大面积．6．（一线三直角）如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．7．（圆中相似计算）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BG＝4，求BE的长；（3）若AB＝6，CE＝1.2，请直接写出AD的长．8．（圆中动态问题与相似计算）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM＝x，OA＝R，求R关于x的函数关系式；（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．9．（相似与作图）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？10．（遇到比例式问题处理）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD．（1）求证：△ADC∽△BGC；（2）求证：CG•AB＝CB•DG．11．（一线三等角与相似）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．12．（动态问题中的相似计算）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s 的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．13．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC＝3，AB＝5，BC＝4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？【作业】1．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝．4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC 的长．5．如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE 上．若BE＝9，则小正方形EFGH的边长．6．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE，AC与BE交于点F，则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是．7．如图，在△ABC和△APQ中，∠P AB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB＝∠PBC，则CP的最小值为．10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC 的长．11．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E三点，且∠AOD＝120°．设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为．12．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ 与△ABC相似？13．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D，设AD＝x，BC＝y．（1）求线段CE的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O为BC的中点，动点E在AB边上移动，动点F 在AC边上移动．（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF＝45°的等腰三角形？若能，求BE的长；若不能，请说明理由；（2）当∠EOF＝45°时，设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB＝8，DC＝6，BC＝14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．（1）求证：△AFC∽△ACE；（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．17．学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地你可以得到：“满足，或，两个直角三角形相似”．（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，．试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．。
第6章《图形的相似》知识讲练(学生版)
2023-2024学年苏科版数学九年级下册章节知识讲练知识点01：比例线段及黄金分割1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．3. 黄金矩形与黄金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．知识点02：相似图形1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.知识点03：相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：ABAP AP PB此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．知识点04：图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•仪征市校级月考）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•靖江市一模）已知，则的值是（）A．B．C．3 D．3．（2分）（2023•姑苏区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝4，，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCD的面积为（）B．C．74．（2分）（2023•盐都区三模）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．25．（2分）（2023•锡山区校级四模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为（）A．B．2 C．D．46．（2分）（2023•大丰区校级模拟）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．（2分）（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PQ∥BC，且PQ＝2，在下列结论中：①DE＝CF；②AE2＝FP•FC；③在运动过程中，线段AP最小值为；④当∠CBQ的度数最大时，BQ的长为，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2分）（2023春•滨湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边AD上，且AE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为（）A．B．6 C．5 D．29．（2分）（2023•海州区校级三模）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使＝，连结EF交DC于点G，则＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：910．（2分）（2023•沛县校级模拟）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（）A．B．C．D．15二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•宝应县二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC＝．12．（2分）（2023•青岛一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（﹣3，0），B （﹣4，3），△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C在第四象限的坐标为．13．（2分）（2023•姜堰区二模）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝．14．（2分）（2023•梁溪区一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是．15．（2分）（2023•张家港市校级二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于．16．（2分）（2023•泉山区校级三模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，且，△CDE与四边形ABED的面积的比为．17．（2分）（2023•玄武区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为．18．（2分）（2023•阜宁县二模）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度ACm，CD＝12m，则树高AB＝m．19．（2分）（2023•工业园区校级模拟）如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的顶点）同时形变为△A′E′F′．当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：时，则A′C′＝．20．（2分）（2023•海安市一模）已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•姑苏区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）．（1）求线段AP的长；（2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．22．（6分）（2023•沭阳县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DFm，EFm，测得边DF离地面的高度ACm，CD＝10m，求树高AB．23．（8分）（2023•滨湖区一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，D是的中点，连接BD、OD分别交AC于点E、F．（1）求证：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面积．24．（8分）（2023•江都区模拟）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD 长为2mm的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高度是多少？25．（8分）（2023•海陵区校级二模）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为；（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）26．（8分）（2023•宿城区校级模拟）问题提出如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD＝30°，若AD ＝1，连接BD，求BD的长．问题探究（1）请你在图（1）中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）（2）根据（1）中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是；你求得BD的长为；问题拓展（3）如图（2），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，若AD＝，BD＝2，CD＝4，求BC的长．27．（8分）（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DEm，点F到地面的高度CFm，灯泡到木板的水平距离ACm，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．28．（8分）（2023•邗江区校级模拟）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形．（1）[初步理解]：如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求证：△ACB和△ADC为邻似三角形；（2）[尝试应用]：在（1）的基础上，如图2，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四边形ABCD的周长；（3）[拓展应用]：如图3，四边形ABCD中，△ACB和△ADC为邻似三角形，对角线AC平分∠BAD，且∠ADC＝∠ACB．若AB＝9，AD＝4，∠BAD＝60°，求△BCD的面积．。
苏科版九年级下册数学 第6章 相似三角形的性质
SS△△AA'BBC'C'=(BB'CC')2
16
3
知1－讲
知识点 2 相似三角形对应线段的性质
知2－讲
1. 定理相似三角形对应线段的比等于相似比.
2. ห้องสมุดไป่ตู้号语言
(1)相似三角形对应高的比等于相似比(k). 如图6.5-3所示，如果
△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别为对应边BC，B′C′上的
一题多解: 例2也可以用另一种方法求解，如：过点A′作A′D′⊥B′C′ 于D′，利用相似三角形的性质先求出△A′B′C′中B′C′边 上的高A′D′的长，再利用S△A′B′C′=B′C′·A′D′求面积.
1 2
解：S△ABC=1BC·AD=×61×4=12.
∵△ABC∽△2A′B′C′，∴，2 即∴即，S△△SA△1AA′2B'B′B′'CC′'=C′的(′64=1)面，22=×9积944为=13.6
12 3 A. 5 B. 4
16
15
C. 9 D. 4
知2－讲
解题秘方：首先根据相似三角形的判定得出
△EAD∽△CAB，进而得AD出，AF即可得出答
案.
AB=AG
知2－讲
特别警示： 利用相似三角形的性质求线段长度的前提是两个三
角形必须相似.如果已知条件没有相似，则先证明与已知 (或待求)的边有关的三角形相似，然后再运用相似三角形 的性质进行计算.
第6章图形的相似
6.5相似三角形的性质
1 课时讲解 相似三角形的性质
相似三角形对应线段的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 相似三角形的性质
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
相似三角形详细讲义
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
苏教版九年级上册数学第六章【5】相似三角形的性质
18m．现在的问题是：被削去的部分面积有多大？它的
A 周长是多少？
30m
D
E
18m
B
C
6.5 相似三角形的性质（1）
全等三角形 对应边相等 对应角相等 周长相等 面积相等
相似三角形 对应边的比等于相似比 对应角相等 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
6.5 相似三角形的性质 （2）
6.5 相似三角形的性质（2）
A
B
C
如图，△ABC∽△A'B'C'，
A′
△ABC与△A'B'C'的相似比是2:3，
则△ABC与△A'B'C'的面积比是
多少？你的依据是什么？
B′
C′
回顾“相似三角形的面积比
等于相似比的平方”这个结论
的探究过程，你有什么发现？
6.5 相似三角形的性质（2）
如图，△ABC∽△ A'B'C', △ABC与△ A'B'C'的 相似比是k，AD、A 'D'是对应高． A′
如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的 相似比是k，AD、A′D′是对应高． A′
A
zxxkw
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B
DC
S ∵△ABC∽△A'B'C'
B′
∴∠B＝∠B'
S ∵AD⊥BC, A'D′⊥B'C'
∴∠ADB＝∠A′D′B'＝90°
∴△ABD∽△A'B'D'
D′ 1C′
ABC ＝
＝
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
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4、△ABC中，DE//BC，BE与CD交于点 O，图中有哪几对相似三角形？
Aபைடு நூலகம்D
O
E C
B
5、△ABC中， ∠APQ= ∠ACB， BQ与 CP交于点O，图中有哪几对相似三角形？ 为什么？ A Q P O
B
C
6、△ABC中，DE//BC，BE与CD交于点
O，连接AO并延长分别交DE、BC分别 于点M、N，求证：AM = OM AN ON A D M
A D B
C
2、△ABC中，AB =AC，且∠A=360， （1）过点B画直线BD交AC于D，使所截得 的三角形与△ABC相似； （2）求证：AD2=AC CD
●
A D B C
3、△ABC中，AB=3，AC=6，点P在AB 上，AP=2，过点P画直线交AC于点D， 使所截得的三角形与△ABC相似，则 1或4 AD=__________ 。 A D P ● D C B
第6章 相似三角形复习
概念区分
1、相似与全等之间有什么关系？ 2、相似与位似之间有什么关系？
实战练习：
1、△ABC中，∠ABC＞∠C，（1）过点B画直 线BD交AC于D，使截得的△ ABD与△ABC 相似；（2）若∠ABC=900，求证： AB2=AD●AC，BC2=CD ● CA ；（3）在（2） 条件下将AB2+BC2你有什么发现？
O
E
N
B
C
7、如图，∠ABC= ∠ACE = ∠CDE ， AB=DE=2，BD=5，求BC。
A
E
B C 一线三等角
D
相似三角形中常见的基本图形
平移型
翻转型
旋转型
翻折型
一线三等角