中考数学复习知识点专题讲解28---一次函数图象截出的等腰三角形问题

中考数学复习知识点专题讲解
一次函数图象截出的等腰三角形问题
当一次函数图象与坐标轴围成的三角形是一个等腰直角三角形时，这个特殊的三角形能给我们解题带来许多的精彩.
例1 如图1，直线4y x =−+与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，点M 是线段AB 上任意一点(A 、B 两点除外)，过点M 分别作MC OA ⊥于点C ，MD OB ⊥于点D .
(1)当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由;
(2)当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?
(3)如图2,3当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为(04)a a <<，正方形OCMD 与AOB ∆重叠部分的面积为S .试求S 与a 的函数关系式，并画出该函数的图象.
分析 第(1)问，要想确定四边形的周长在点的运动过程是如何变化的，首先要解
决的问题就是结合图形表示出四边形的周长.根据矩形的性质，已知这里四边形的周长是2()OC MC +，四边形周长的变化规律就取决于线段和OC MC +的变化规律.结合题目条
件，我们会有两种基本的思路:一是坐标法表示线段，线段OC 的长恰好是点M 的横坐标的绝对值，MC 的长恰好是点M 的纵坐标的绝对值，这是这一方法的精髓;二是转化线段和法，根据条件知道OAB ∆是一个等腰直角三角形，且腰4OA OB ==，因此MC CA =，所以
线段MC OC +就转化成了OC AC OA +=，从而也能将所求问题化解.
第(2)问，在探求周长的基础上，进一步探求四边形的面积变化规律.借鉴第(1)问的 思路，解题的关键是先表示出四边形的面积，即OC MC ×，利用坐标法就可以将四边形的面积问题转化成二次函数的问题，最值自然就可以确定.
第(3)问，解答时体现两种数学思想的灵活应用:一是数形结合的思想，初步判定重合部分图形的形状，确定面积的分割法表示;二是分类的思想，抓住a 的变化规律，立足正方形成立的条件，给出a 的正确分类也是解题的重要因素.
解 (1)因为直线4y x =−+与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，所以点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,4).所以4OA =,4OB =，所以ABO ∆是等腰直角三角形.因为MC OA ⊥，MD OB ⊥，所以四边形OCMD 是矩形，且MCA ∆是等腰直角三角形，所以MC AC =.因为矩形OCMD 的周长为2()2()28OC MC OC CA OA +=+==，所以四边形OCMD 的周长是定值，且为8;
(2)设四边形OCMD 的面积为S ，根据题意，得
22(4)4(2)4S MC MD x x x x x ==−+=−+=−−+
所以四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标(04)x x <<的二次函数，并且当
2x =，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4;
(3)设两个图形重合部分的面积为S ，正方形OCMD 与直线的交点Q ，如图2，当
02a <≤时，2142
S a =− 如图3，当24a <<时，此时a 为正方形的边与直线交点的横坐标，所以交点的纵坐标为4a −+;纵坐标的绝对值恰好是重叠图形的等腰直角三角形的腰长，所以
21(4)2
s a =−;所以S 与a 函数的图象如图4所示.
点评 这道题是知识与方法的盛宴.涉及的知识点广，有几何知识，一次函数知识，二次函数知识等;涉及的数学思想多，有数形结合的思想，转化的思想，分类的思想，平移的思想等，可谓是包罗万象，值得深思与探究.
例2 (2013年长沙中考题)如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2.
(1)求OAB ∠的度数;
(2)求证AOF ∆∽BEO ∆;
(3)当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，
记此三角形的外接圆面积为1S ，OEF ∆的面积为2S ，试探究:12S S +是否存在最小值?若存在，请求出该最小值;若不存在，请说明理由
.
分析 第(1)问的证明是比较容易的;第(2)问的证明抓住一个关键点:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;第(3)问的关键在判定三条线段组成的三角形的形状. 解 (1)当0x =时，2y =，当0y =时，2x =，所以点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(0,2)，OA OB =，所以45OAB ∠=° ;
(2)法 1 因为矩形OMPN 的面积是2，所以点P 坐标为2(,)a a
，点E 坐标为(,2)a a −+，点F 坐标为222(,a a a
−
AF =
，BE =
OA BE ==Q
，2AF a OB == OA AF BE OB
∴= 45OAF EBO ∠=∠=°Q
∴AOF ∆∽BEO ∆
法2：(2,0)A Q ，(0,2)B
2OA OB ∴==
4OA OB ∴=
Q 点P 的坐标为(,)a b
(,2)E a a ∴−，(2,)F b b −，如图5
在等腰直角三角形AFD 中，得AF =，
在等腰直角三角形BEP 中，BE =，
2AF BE ab ∴==
因为矩形的面积是定值2，2ab ∴=
4AF BE ∴=
AF BE OA OB ∴=
OA AF BE OB
∴= 45OAF EBO ∠=∠=°Q
AOF ∴∆∽BEO ∆
(3)根据(2)知，以BF EF AE ，，为边的三角形是直角三角形，且斜边是
2)EF a b =+−，所以三角形的外接圆面积为
21S π=2(2)2
a b π=+−
过点O 作EF 边上的高OD ，易求得高为OD =
212)2
S a b ∴=+−2a b =+− 212(2)(2)2S S a b a b π∴+=+−++−
所以关于2a b +−的二次函数的开口向上，所以12S S +有最小值，当12a b π
+−=−
时，函数有最小值，但是此值不在取值范围内，因此取不到.因为a ，b 都是正数，
a b ∴+≥=
1
22a b π∴+−≥−>−
∴当22a b +−=时，12S S +的值最小，最小值为
22)22π−+
反思 此题可以引申出如下几个独立的新结论: 结论1 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，求证:EOF ∠是一个定值.
第(2)问的三种证明方法都可以帮助你实现证明.
结论2 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，试判断以BF EF AE ，，为边的三角形的形状，并证明你的猜想.
相信读者也会轻松解决.
结论3 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，设OBF ∆面积为1S ，OEF ∆的面积为2S ，OEA ∆的面积为3S ，试判断1S ，2S ，3S 之间的关系，并证明你的猜想.
根据结论2，你同样能轻松解决.
结论4 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，设BNF ∆面积为1S ，PEF ∆的面积为2S ，MEA ∆的面积为3S ，试判断1S ，2S ，3S 之间的关系，并证明你的猜想.
结论5 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =−+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，确定点P 所在函数的解析式.
上述结论的答案分别是:
结论1：45EOF ∠=°.
结论2：直角三角形.
结论3：222213S S S =+.
结论4：213S S S =+.
结论5：2y x
=.。