练习与答案GP2910毕-萨定律应用磁场高斯定理安培环路定理安培力

单元9 毕奥－萨伐尔定律的应用 (2 ) 磁通量和磁场的高斯定理一. 填空、选择题1. 已知两长直细导线A 、B 通有电流A I A I B A 2,1==， 电流流向和放置位置如图XT_0137所示，设B A I I ,在P 点产生的磁感应强度大小分别为B A 和B B ，则B A 和B B 之比为：1:1，此时P 点处磁X 轴夹角为：030=θ。

2. 一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。

若作一个半径为R=5a 、高为3a (如图XT_0138所示)， S 上的积分:0SB dS ⋅=⎰。

3. 取一半径为R 的圆， 成60°角，如图XT_0139所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的磁通量：212m SB dS B R πΦ=⋅=-⎰。

4. 半径为R 通过环心并垂直于环面的轴匀速转动，则环心处的磁感应强度λωμ0021=B ，轴线上任一点的磁感应强度30223/22()R B R x μλω=+。

5. 一电量为q R 的匀速率圆运动，在圆心处产生的磁感应强度Rq B πωμ40=。

二．计算题1. 如图XT_0140所示， 宽度为a 的无限长的金属薄片的截面通以总电流I ， 电流方向垂直纸面向里，试求离薄片一端为r 处的P 点的磁感应强度B 。

选取如图所示的坐标，无限长的金属薄片上线电流元dx aIdI =在P 点产生磁感应强度大小： dx aIx a r dB )(20-+=πμ —— 方向垂直金属薄片向下无限长载流金属薄片在P 点产生磁感应强度大小：dx aIx a r B a)(20-+=⎰πμ，r a r a I B +=ln 20πμ2. 如图XT_0141所示， 两个共面的平面带电圆环， 其内外半径分别为21,R R 和32,R R ， 外面的圆环以每秒钟2n 转的转速顺时针转动，里面的圆环以每秒钟1n 转的转速反时针转动，若电荷面密度都是,σ求21,n n 的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零。

在内环距原点O 为r ，选取一个宽度为dr 的环形电荷元：rdr dq πσ2⋅=此环形电荷元形成的电流环：Tdq dI =122ωππσrdrdI ⋅=，112n πω=，rdr n dI ⋅=σπ12 此电流环在O 点产生的磁感应强度大小：rdIdB 20μ=rdr n rdB ⋅=σπμ1022, dr n dB σπμ01=里面的圆环逆时针转动时在O 点产生的磁感应强度大小：⎰=21011R R dr n B σπμ，)(12011R R n B -=σπμ —— 方向垂直纸面向外同理外面的圆环顺时针转动时在O 点产生的磁感应强度大小：⎰=3222R R dr n B σπμ)(23022R R n B -=σπμ —— 方向垂直纸面向里圆心处的磁感应强度大小：)()(2302120121R R n R R n B B B ---=-=σπμσπμ令0=B ，)()(232121R R n R R n -=-122321R R R R n n --= 3. 两平行直导线相距cm d 40=，每根导线载有电流A I I 2021== ，如图XT_0142所示，求：1) 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度； 2) 通过图中斜线所示面积的磁通量。

(cm L cm r r 25,1031===) 通电为I 的长直导线在空间产生的磁感应强度大小：rIB πμ20=电流1在中点的磁感应强度大小：dI B πμ101= —— 方向垂直纸面向外电流2在中点的磁感应强度大小：dI B πμ202= —— 方向垂直纸面向外中点磁感应强度大小：)(21021I I d B B B +=+=πμ dI B πμ02=，T B 5104-⨯= —— 方向垂直向外 选取如图所示的坐标，P 点的磁感应强度大小：21B B B +=)(222010x d I x I B -+=πμπμ 穿过长度为L 、宽度为dx 面积元的磁通量为：m d B dS Φ=⋅012()2m I Id ldx x d x μπΦ=+-，穿过长度为L 、宽度为r 2面积的磁通量为：m SB dS Φ=⋅⎰ 121012()2r r m r I ILdx x d xμπ+Φ=+-⎰0112021211ln ln 22m I L r r I L d r r r d r μμππ+-+Φ=-- 将I I I ==21和321r r r d ++=，31r r =带入得到：01201112ln ln 22m IL r r IL rr r r μμππ+Φ=-+ 0121ln m IL r r r μπ+Φ=4. 两根导线沿半径方向被引到铁环上A ，C 两点，电流方向如图XT_0143所示，求环中心O 处的磁感应强度。

电流I )(A ∞和电流I )(∞C 在O 点的磁感应强度为零。

设I 1电流的长度为l 1，I 2电流的长度为l 2 且有：1221l l I I =电流I 1在O 点的磁感应强度大小：121014l R I B πμ=—— —— 方向垂直纸面向外； 电流I 2在O 点的磁感应强度大小：222024l RI B πμ=—— —— 方向垂直纸面向里。

O 点的磁感应强度大小：21B B B +=，2220121044l RI l R I B πμπμ-=0)(422112=-=l I l I RB πμ单元10 安培环路定理、安培力一． 选择、填空题1. 如图XT_0144，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ， 则由安培环路定理可知： 【 B 】(A)0LB dl ⋅=⎰ 且环路上任意一点0=B(B)0LB dl ⋅=⎰ 且环路上任意一点0≠B(C)0LB dl ⋅≠⎰，且环路上任意一点0≠B(D)0LB dl ⋅≠⎰ 且环路上任意一点B Constant =2. 所讨论的空间处在稳恒磁场中，对于安培环路定律的理解，正确的是 【 C 】(A) 若0LB dl ⋅=⎰，则必定L (B) 若0LB dl ⋅=⎰， 则必定L 不包围电流(C) 若0LB dl ⋅=⎰，则L 所包围电流的代数和为零 (D) 回路L 围的电流有关。

3. 两根长直导线通有电流I，图XT_0145示有三种环路，在每种情况L B dl ⋅⎰等于：I0μ(对环路a )、0(对环路b )、I0μ(对环路c )4. 如图XT_0146在内的位置一样，但在(B) 图中外又有一无限长直电流，21PP与为两圆上的对应点，在以下结论中正确的结论是【C】(A)1212,P PL LB dl B dl and B B⋅=⋅=⎰⎰(B) 1212,P PL LB dl B dl and B B⋅≠⋅=⎰⎰(C)1212,P PL LB dl B dl and B B⋅=⋅≠⎰⎰(D) 1212,P PL LB dl B dl and B B⋅≠⋅≠⎰⎰5. 在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线的根数不同，但电流的代数和相同，则磁感应强度沿各闭合回路的线积分相同，两个回路的磁场分布不相同(填相同，不相同)。

6. 有一根质量为m，向如图XT_0147所示，当导线所受磁力与重力平衡时，导线中电流BlmgI=。

二．计算题1. 如图XT_0148_01所示，无限长载流空心圆柱导体壳的内外半径分别为a ，b ，电流I 在导体截面上均匀分布，求;;r a a r b r b <<<>B －r 曲线。

根据安培环路定理：LB dl I μ⋅=⎰，选取如图XT_0148_01所示的圆形回路为闭合路径。

:r a <0=B:a r b << )()(222220a r ab I r B --=⋅ππμπ， 222202a b a r r I B --=πμ :r b >I r B 02μπ=⋅，rIB πμ20=—— 磁感应强度B －r 曲线如图XT_0148_02所示。

2. 如图XT_0149所示，一根半径为R 的无限长直铜导线，导线横截面上均匀通有电流，试计算:1)2) 通过单位长度导线内纵截面S 的磁通量(如图所示，OO ’为导线的轴)根据安培环路定理：LB dl I μ⋅=⎰—— 选取圆形回路为闭合路径:r R <2202r R I r B ππμπ=⋅，r R I B 202πμ=:r R >I r B 02μπ=⋅，rIB πμ20=通过距离轴线为r ，长度为l 、宽度为dr 的面积元的磁通量为：m d B dS Φ=⋅022m Id r ldr R μπΦ=⋅ 通过单位长度导线内纵截面S 的磁通量：0202Rm Ir dr R μπΦ=⋅⎰ 04m IμπΦ=3. 如图XT_0150所示，一根外半径为管内空空心部分的轴与圆柱的轴平行，但不重合，两轴间距为a 且2R a >， 现有电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。

求 1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 2) 空心部分轴线上磁感应强度的大小。

3) 设mm R 101=,mm R 5.02=,mm a 0.5=,A I 20=, 分别计算上述两处磁感应强度的大小。

应用补偿法计算磁感应强度。

空间各点的磁场是外半径为1R 、载流为2221212122211)()(R R IR R R R I I -=-=ππ的无限长圆形导体管 和电流方向相反、半径为1R 、载流为2221222222212)()(R R IR R R R I I -=-=ππ的无限长圆形导体管共同产生的。

圆柱轴线上的磁感应强度的大小：21B B B +=，01=Ba I B B πμ2202==，)(22221220R R a IR B -=πμ T B 6102-⨯=空心部分轴线上磁感应强度的大小：21B B B +=，02=B)(222111a R I a B ππμπ=⋅ 211012R a I B πμ=，将2221211R R IR I -=代入得到： )(222210R R IaB -=πμ，T B 4102-⨯=4. 如图XT_0151所示，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明它所受的安培力等于载流直导线ab 所受的安培力。

建立如图所示的直角坐标系，任意形状导线上电流元表示为：j Idy i Idx l Id+=磁感应强度：k B B-=电流元所受到的安培力：B l Id F d⨯=)()(k B j dy i dx I F d-⨯+= i IBdy j IBdx F d -=任意形状的载流导线受到安培力：⎰⎰-=y x bb i IBdy j IBdx F 0i IBb j IBb F y x -=同理得到载流直导线ab 所受的安培力：⎰⎰-=y x bb i IBdy j IBdx F 0' ，i IBb j IBb F y x -='所以：'F F= —— 一个在均匀磁场中任意形状的闭合载流回路受到的安培力为零。