张量的梯度散度旋度
梯度、散度、旋度的关系
梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
1-3梯度-散度-旋度
例题 例题
已知： V = V (r , θ ) = V0 ⋅ r ⋅ cosθ 令： 求：
答案 1 答案 1
r ^ cosθ − a ^ sinθ )V E = −∇V = − (a r θ 0
r E = −∇V r E=?
法一：直接法 — — 求坐标系梯度公式！
r E = −∇ V = ?
^r ∇=a
引申出去：
梯度是表示 是表示标量 标量最大空间增长率 最大空间增长率
的大小和方向的矢量 的大小和方向的 矢量。 。
∆l
等值面
r dU = (∇ U ) • dl
∇
Hamiltonian
^ ∇U = gradU = a n
dU dn
引入算符 — — 哈密顿算符：
Gradient— — grad
不同坐标系下的表示
v v ∫ A ⋅ dS
s
v r dS = a ndS
S
C
散度
定义：单位体积的 定义： 单位体积的净流散 净流散通量 通量
r divA = r r ∫ A • ds lim S ∆V → 0 ∆V
不同坐标系下的表示
笛卡儿坐标系中： ∇ • A =
r
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
r ∂ r 1 ∂ r ∂ ∇ = ar + a y + az ∂r r ∂ϕ ∂z
r ^ ( r ⋅ dθ ) + a ^ dr + a ^ϕ ( r ⋅ sinθ ⋅ d ϕ ) dl = a r θ
r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ ∇ = ar + aθ + aϕ ∂r r ∂θ r ⋅ sin θ ∂ϕ
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解
1。
梯度gradient设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数,或者，对于一个线性函数,也就是线的斜率. 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度.在二元函数的情形，设函数z=f（x，y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P（x,y）∈D，都可以定出一个向量（δf/x)*i+（δf/y)*j这向量称为函数z=f（x,y）在点P(x，y）的梯度，记作gradf（x,y）类似的对三元函数也可以定义一个：（δf/x）*i+（δf/y）＊j+（δf/z）*k 记为grad［f(x,y，z）]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度.微积分学→多元微积分→多元函数积分中:设某量场由A(x，y，z）= P(x,y,z)i + Q(x.y，z)j + R（x，y,z）k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点（x,y，z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度,记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
张量矢量运算
三个矢量相乘：)()()(c b a c a b c b a c b a c b a ∙-∙=⨯⨯⨯∙=∙⨯ 直角坐标中的梯度、散度、旋度运算：)()()(x y z z x y y z x z y x z y x f y f x e f x f z e f z f y e f f zf y f x f ze y e x e ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇∂∂+∂∂+∂∂=∙∇∂∂+∂∂+∂∂=∇ ϕϕϕϕ 矢量微分运算符的运算公式：)()()()()()()()(g f g f g f f f f f f f ⨯∇∙-∙⨯∇=⨯∙∇⨯∇+⨯∇=⨯∇∙∇+∙∇=∙∇∇+∇=∇ϕϕϕϕϕϕϕψψϕϕψ f f f f g f g g f g f g f g f g f f g f g g f 2)()()()()()()()()()()()(∇+∙∇∇=⨯∇⨯∇∇∙+⨯∇⨯+∇∙+⨯∇⨯=∙∇∙∇-∇∙-∙∇+∇∙=⨯⨯∇ 积分变换公式： ⎰⎰⎰⎰∙⨯∇=∙∙=∙∇S L V S S d A l d A S d A dV A ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇-∇=∇-∇=∇⨯=∇⨯=⨯∇S V L S S V S V S d dV l d S d S d dV f S d f dV )()(22φψψφφψψφϕϕϕϕ张量运算公式：单位张量：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=1 0 00 1 00 0 1z z y y x x e e e e e e I单位张量的运算：Φ=∙Φ=Φ∙=∙=∙ I I f I f f I Φ=Φ=Φ trace I I ::张量的一次点乘：()()()T D D T F A E B F E B A ∙≠∙∙=∙张量的二次点乘： ()()()()()()F A E B F E B A D T trace kl ij ∙∙=:()()()T k z T j y T i x T ∙∂∂+∙∂∂+∙∂∂=∙∇张量的散度： ()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∂∂-∙∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∂∂-∙∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∂∂-∙∂∂=⨯∇T i y T j xk T k x T i z j T j z T k yi T 张量的旋度：T z k T y j T x i T ∂∂+∂∂+∂∂=∇张量的梯度：()()()()()()()T T T g f g f g f g f g f g f ∙∇+∙∇=∙∇∇⨯-⨯∇=⨯∇∇∙+∙∇=∙∇ ϕϕϕ矢量的梯度： z f e y f e x f e f z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰→∇⨯=⨯∇∙=∙∇S V SV S V d d T d d T T d d T στστστ 张量的积分变换：矢量与张量叉乘：()()()()f T T f B A f B A f e e f T e e f T T f j i j i ij j i j i ij ⨯≠⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯∑∑,, 矢量与张量叉乘： ()()()()f T T f f B A f B A f T B A f B A f T f ∙≠∙∙=∙=∙∙=∙=∙球坐标中的梯度运算： φψθθψψψφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r e r e r e r 球坐标中的散度运算：φθφθθθθf r f r f r r r f r ∂∂+∂∂+∂∂=∙∇sin 1) (sin sin 1)(122 球坐标中的旋度运算：()()()φθθφφθθφθφθθθe A rA r e rA r A r e A A r A r r r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=⨯∇1 sin 11 sin sin 1A 2∇在球坐标中的三个分量：()()()()φθθφθθφθθθθφθθθθθφφφφθθθφθ∂∂+∂∂+-∇=∇∂∂-∂∂+-∇=∇∂∂-∂∂--∇=∇A r A r A r A A A r A r A r A A A r A r A r A A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 2sin 1sin cos 22 sin 1sin 2sin sin 22直角坐标与球坐标之间的变换关系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r z y x 0 sin - cos cos sin cos sin sin sin - cos cos cos sin。
散度 旋度 梯度 运算
散度旋度梯度运算散度、旋度和梯度是数学中常用的运算符号，用来描述矢量场的性质和变化规律。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将分别介绍散度、旋度和梯度的定义、性质和应用。
一、散度（Divergence）散度是描述矢量场发散或收敛性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的流出或流入程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其散度定义为 D = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。
散度可以理解为该点上各个方向的流量之和。
若散度为正，则表示该点上的流量向外；若散度为负，则表示该点上的流量向内；若散度为零，则表示该点上的流量无净流出或流入。
散度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，根据散度定理，流体的质量守恒可以用散度来描述。
此外，在电场和磁场中，散度也可以用来描述电荷和磁荷的分布情况。
二、旋度（Curl）旋度是描述矢量场的旋转性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的旋转程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其旋度定义为 C =∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)。
旋度可以理解为该点上绕着某一轴旋转的程度。
若旋度为正，则表示该点上的旋转方向符合右手定则；若旋度为负，则表示旋转方向符合左手定则；若旋度为零，则表示该点上没有旋转。
旋度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋的生成。
此外，在电场和磁场中，旋度也可以用来描述电流和磁场的旋转情况。
三、梯度（Gradient）梯度是描述标量场变化率和方向的一个概念。
它表示标量场在某一点上变化最快的方向和速率。
具体地说，对于一个标量场f(x, y, z)，其梯度定义为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：分类：电子技术旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
梯度散度旋度例题
梯度散度旋度例题（最新版）目录1.梯度、散度、旋度的概念和计算方法2.梯度散度旋度例题的类型和特点3.解决梯度散度旋度例题的步骤和技巧4.总结与展望正文一、梯度、散度、旋度的概念和计算方法梯度、散度、旋度是向量分析中的三个基本概念，它们在物理学、数学以及工程领域中都有着广泛的应用。
1.梯度：一个向量场的梯度是指该向量场在某一点的变化率，也就是该点的切线方向。
在二维空间中，一个函数的梯度可以用一个向量表示，该向量的模长等于函数在该点的变化率，方向则指向变化最快的方向。
2.散度：一个向量场的散度是指该向量场在某一点的流出或流入速度。
在三维空间中，一个向量场的散度是一个标量值，它表示该向量场在该点的流出或流入速度。
3.旋度：一个向量场的旋度是指该向量场在某一点的旋转速度。
在三维空间中，一个向量场的旋度是一个向量值，它表示该向量场在该点的旋转速度。
二、梯度散度旋度例题的类型和特点梯度散度旋度例题主要分为两类：一类是计算某函数的梯度、散度、旋度；另一类是计算某向量场的梯度、散度、旋度。
这类题目的特点是涉及到向量运算和微积分知识，需要有一定的数学基础。
三、解决梯度散度旋度例题的步骤和技巧解决梯度散度旋度例题的一般步骤如下：1.确定题目中所给出的函数或向量场，理解其物理意义。
2.根据梯度、散度、旋度的定义，确定需要计算的量。
3.利用向量运算和微积分知识，进行计算。
4.根据计算结果，进行分析和解释。
解决这类题目需要掌握一定的数学技巧，例如向量运算技巧、微积分技巧等，同时还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力。
四、总结与展望梯度散度旋度例题是向量分析中的一个重要内容，掌握这类题目的解法对于理解和应用向量分析具有重要意义。
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张量的梯度散度旋度
张量是一个在数学和物理学中都非常重要的概念，它可以描述物体在不同方向上的运动或变形。
在研究张量的性质时，梯度、散度和旋度是非常重要的工具。
梯度指的是张量在空间中的变化率，散度则描述了张量的流入流出情况，而旋度则描述了张量的旋转情况。
梯度、散度和旋度的概念在微积分和向量分析中都有应用。
在物理学中，它们可以用于描述电场、磁场、流体力学和弹性力学等领域。
对于一个张量场，我们可以通过求取它的梯度、散度和旋度来深入了解它的性质和行为。
在求取这些量时，我们需要运用一些特定的数学工具，如偏导数、矢量算符和张量微积分等。
总之，梯度、散度和旋度是研究张量性质的重要工具，它们在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
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