利用函数凹凸性质证明不等式
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽 指导老师：邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2 凹凸函数及拐点的定义我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.2x lg y =.凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=12时，满足121211()()()222x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3 拐点的定义设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.X由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.2.4 拐点的判别法(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.例题1 求下列函数的拐点 ()1()()2211xf x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()()'3211x f x x -+=-，()()()''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0fx >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529f -=, 所以点52,9⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1()f x x x=+在0x =时的情况.易知''32()f x x =，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''()0f x <，当0x >时，''()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1 定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明：(1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数；(2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ⋅为凹函数.证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.两式相加：12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-, 即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ⋅=⋅+(1-+(1-+(1-1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-⋅+-221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.下面只要证明：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+12()()(1)()()f g x f g x λλ≤⋅+-⋅即可.采用做差法比较两者的大小：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+-12()()(1)()()f g x f g x λλ⋅+-⋅=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤. 综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ⋅+-≤⋅+-⋅.所以f g ⋅是凹函数.例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .由'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.所以()f x 为I 上的凹函数.3.2 函数凹凸性的判定定理定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数. 证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=-，21311x x x x λ--=- ， 因为 32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有： 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--. 即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-.所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.所以()f x 为I 上的凹函数.例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于00,x I ∀∈∃实数a ，使得x I ∀∈，有00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ∀∈.令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到1212()()f x f x a x x -≤-. 再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到3232()()f x f x a x x -≥-. 综上所述，32123212()()()()f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数. 3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的；(2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.注意：若在区间I 内的某一子区间上''()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'f 为I 上的增函数，可得：''2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ，有：'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-；所以，''133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.即()f x 在I 是凹函数；必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-. 由于()f x 是可导函数，令0h +→时可得()()()()21''1221f x f x f x f x x x -≤≤-. 所以()'f x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.（2）''()0f x ≤的情况类似的可以证明.例题5 求曲线3()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(0,)+∞，又'22()36ln 18f x x x x =-，''()72ln f x x x =，令''()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'()f x 与''()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：可得：在(0,1]内，''()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.在[1,)∞内，''()0f x ≥，因此是曲线的凹区间.所以：点(1,10)-是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理 如果()f x 是凸函数⇔对12,,[0,1]n ∀∂∂⋅⋅⋅∂∈，满足121n ∂+∂+⋅⋅⋅+∂=，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ∂+∂+⋅⋅⋅+∂≥∂+∂+⋅⋅⋅+∂. 特别地，当121n n∂=∂=⋅⋅⋅=∂=时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ∀≥，(1,2,,)i n =⋅⋅⋅， 恒有：1212111n n x x x nnx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时等号成立.证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：1212121111lnln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=. 即：12ln n x x x n++⋅⋅⋅+≥ln y x =在定义域上是单调递增的.12n x x x n ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 另一方面， ln 12111n nx x x ++⋅⋅⋅+=12111ln n x x x n ++⋅⋅⋅+-121111(ln ln ln )nn x x x ≤-++⋅⋅⋅+=即：12ln 111n nx x x ≤++⋅⋅⋅+又ln y x =在定义域上是单调递增的.所以有：12111nnx x x ≤++⋅⋅⋅+12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.综上所述有：1212111n n x x x n nx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ϕ是[,]m M 上的连续凸函数，则：11(())[()]b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ≥--⎰⎰（如果()t ϕ是凹函数，则不等式反向）. 例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数， 证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a≤--⎰⎰. 证明 令()ln t t ϕ=，由上述定理得：11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ϕ=--⎰⎰ ≥1ln ()b af x dx b a -⎰.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'()0,()0f x f x ≥≤.若0()()xF x f t dt =⎰，证明： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 证明 由0()()xF x f t dt =⎰，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ⋅+-⋅≥⋅+-.又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥⋅.另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-⎰，得101(0)(1)()102F F F t dt +≥-⎰. 即：10(1)()2F F t dt ≥⎰，又'()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()22F F x ≥， 即102()()F t dt F x ≥⎰.综上所述， 即有： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题9 设0(1,2,)k x k n >=⋅⋅⋅，试求 1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.解 设2()f x x =，则'22()f x x =-，''44()0x f x x=>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅+，得： 121221222()n nn x x x n x x x ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅. 化简整理得：1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22n ≥， 所以1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x b aλ-=-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b .记区间[,]a b 的中点为A ，且2a b A +=，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'x 则有 '22x x a b ++=，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b f x f m +≤-）.（其中min{(),()}m f a f b =）.所以()f x 的最大值为 ：2()2a b f m +-，（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.例题11 若,,,a b c d R +∈，且16a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.解 设2()f x x =，则'()2f x x =，''()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：1()[()()()()]44a b c d f f a f b f c f d +++≤+++. 即：22222()1()164a b c d a b c d +++≤+++. 化简整理得：222264a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数. 4.3 利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12 作出函数2()[cos(2arccos )]f αα=的图形.解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解 因为2cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.'()8(1)(1)f x x =-，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，在区间[1,0]-上，'()0f x =的解为0x =或x =''()0f x =，的解为x =.用点2x =-和6x =-把区间[1,0]-划分为[1,2--，[,26--，[6-三个部分区间.在各部分区间内'()f x 及''()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点因而在2x =-处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()69-和4)69. 函数的图象如下图所示：小结：利用函数凹凸性作图的步骤： (1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，并求出函数的一阶导数'()f x 及二阶导数''()f x .(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点.(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.(5)列表并作出函数图象.函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x=，()0x >.试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00f x f x f F x x x -==-为严格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ∀>，有()()00f x f ≥=.若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ∀>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：()()()()()21112111000f x f x f x f f x x x x x -->=>--，得()f x 为严格递增的()0x >.结 束 语本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing BaohuaAbstract Concave and convex function is one of the important properties in function.It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.Keywords concave and convex derivative inequality application.。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
高等数学《函数单调性与凸性的判别法》
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f (x)在区间I上连续,若对任意两点
x1, x2 I (x1 x2 ), 恒有 :
f
x1
2
x2
1
2
f
(x1)
f
(x2 )
则称曲线y=f (x)在I内是下凸的（或称凹弧）;如果恒有
f
x1
2
x2
1
2
f
(x1)
f
(x2 )
则称曲线y=f (x)在I内是上凸的（或称凸弧）。
在[a, b]上单调增加； （2）如果 x (a,b) , 有f ( x) 0 , 则函数 f ( x)
在[a, b]上单调减少 .
备注 如果 把区间[a,b] 换成其他各种类型的区间 (包括无穷区间) , 定理结论仍成立.
证 在 [a,b] 上任取两点 x1, x2 ,且 x1 x2 ,
在 [ x1, x2 ] 上应用拉格朗日中值定理 , 得
f ( x)
不存在
y f (x) 下凸
0
上凸
曲线在区间(,0]向下凸 , 在区间[0,]向上凸 , 点 (0,0) 为曲线的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
结论：
若曲线 y=f (x) 在点 x0 连续 ,
y 注意 拐点处若存在切线，
则必在拐点处穿过曲线. o
x
2) 拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
求拐点的方法:
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是由琴生发现的重要不等式，它 在解决有关函数不等式方面的 问题具有重要 作用。它也有多种变通形式，运用时要根据 具体情况而定。 琴生不等式与函数或曲线的凹凸性相关，其 判定有多种方法，主要是定义法和二阶导数 法。 若为ƒ(χ)下凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≥ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似 有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂) 若为ƒ(χ)上凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≤ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似 有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂)
高考中的考查
若x,y,z>0,且xyz=8。求证 1⁄√(1+x)+1⁄√(1+y)+1⁄√(1+z)<2。 作为压轴型的难题，其思维方式也大为迥异。 对考生的思维能力有很高的要求。我们再来 看一道相类似的试题。基于此，我们不难发 现高考与竞赛之间有着紧密的联系。这也就 提醒着我们的同学在平时学习过程中要对竞 赛类的试题也要有所接触，但不宜钻的过深。 造成基础不扎实，影响整体水平的发挥。只 需要对竞赛类的试题的处理方法有一定的了 解，掌握这类试题的分析和讨论的切入点， 以提高自身的应变能力。因为大多数的竞赛 试题在思维上，还是在创新上，都有着一定 的技巧。
琴生不等式
函数的凹凸性的判定定理：设在ƒ(χ)区间 (a,b)内具有二阶导数， 1若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)>0（ƒ₂(χ)为二阶 导数，下同），则函数ƒ(χ)在(a,b)是下凸 的； 2若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)<0，则函数ƒ(χ) (a,b)是上凸的。 这个定理高诉我们，要定出函数的凹凸性， 只要在函数的考察内，定出的同号区间以及 相应的符号。
琴生不等式建立幂平均不等式
琴生不等式建立幂平均不等式凹凸性是数学分析的重要概念之一，琴生不等式是不等式理论的最有力工具。
本节，我们采用两种方法，用。
我们由两个简单的引理开始： 引理4.1：设,,a b c 为正实数，在实数空间定义函数：()ln x x xa b c f x 3⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭其中：x R ∈. 则'()()13f 0abc =.证明：ln ln ln '()x x x x x xa ab bc cf x a b c ++=++，则：ln ln ln '()()13a b cf 0abc 3++==引理4.2：设f 为实数空间的连续函数，假设f 在(,)0+∞区间单调递增，且f 在(,)0-∞区间单调递增，则f 为实数空间单调递增。
证明：首先证明f 在[,)0+∞区间单调递增。
根据假设，对所有x 0>都有()()f x f 0≥那么，对所有(,)0x ε∈，总有()()f x f ε≥。
因为f 在x 0=点连续，故：()lim ()()0f x f f 0εε+→≥=同样，f 在(,]0-∞区间单调递增，我们现在证明，f 为实数空间单调递增。
若(,)0x y ∉，由假设我们得到结果。
若x 0y ≥≥，则()()()f x f 0f y ≥≥. 定理4.1：（三变量的幂平均不等式）设,,a b c 为正实数，定义实数空间的函数：(,,)()a b c M 0=(,,)()r r r a b c a b cM r 3⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭（r 0≠） ()47- 则：(,,)a b c M 为单调递增连续函数。
证明一：记(,,)()()a b c M r M r =，首先M 是连续的，M 在所有r 0≠的空间连续。
这足以证明：lim ()r 0M r →=设()ln x x xa b c f x 3⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭，其中： x R ∈. 因为()f 00=,引理4.2是指：()()()limlim '()r 0r 0f r f r f 0f 0r r 0→→-===-因为x e 是连续函数，即：()lim ()lim f r rr 0r 0M r ee →→===现在，我们证明M 是单调递增函数。
凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理
凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
凹凸函数与Jensen不等式
n n Thrye凹凸函数与Jensen 不等式(Jensen Inequality )i :凹凸函数的定义设函数f (x )为定义在区间(a , b )的函数 (1)若对∀x 1，x 2 ∈ (a , b )，有: f ( x 1 + x2 ) ≥ 2f (x 1 ) + 2 f (x 2 )当且仅当x 1 = x 2时，等号成立 则称f (x )在(a , b )上为凸函数. (2)若对∀x 1，x 2 ∈ (a , b )，有: f ( x 1 + x 2 ) ≤ 2f (x 1 ) + 2 f (x 2 )当且仅当x 1 = x 2时，等号成立 则称f (x )在(a , b )上为凹函数. ii : 判定定理若f (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有一阶和二阶导数， 若在(a , b )内,(1) f ''(x ) > 0，则f (x )在[a , b ]上为凹函数 (2) f ''(x ) < 0，则f (x )在[a , b ]上为凸函数 iii : Jensen 不等式(1)若f (x )在区间I 上为凸函数，则对∀x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ I1 n 1 n有不等式：f ( ∑ x i ) ≥ i =1 ∑ i =1 f (x i )当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立(2)若f (x )在区间I 上为凹函数，则对∀x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ I 1 n 1 n有不等式：f ( ∑ x i ) ≤ i =1 ∑ i =1 f (x i )当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立n nn n n n 凹凸函数与Jensen 不等式Jensen 不等式(Jensen Inequality )推广形式的证明若f (x )在区间I 上为凸函数，求证：nn对于∀1, x 2 , x 3 , , x n ∈ I ，有不等式：f (ϕ∑ x i ) ≥ϕ∑ f (x i )证明：令t =ϕ∑ x ii =1由泰勒展开式得：i =1(x - t )2 i =1f (x 1 ) = f (t ) + f '(t )(x 1 - t ) + f ''(t )1≤ 2f (t ) + f '(t )(x 1 - t ) 从而有：ϕf (x 1 ) ≤ϕ[f (t ) + ϕf (x 2 ) ≤ϕ[f (t ) + ϕf (x 3 ) ≤ϕ[f (t ) +ϕf (x n ) ≤ϕ[f (t ) + 所以：nf '(t )(x 1 - t )] f '(t )(x 2 - t )] f '(t )(x 3 - t )]f '(t )(x n - t )]nϕ∑ f (x i) ≤ϕf (t ) + ∑ϕx if '(t ) -ϕf '(t ) ⋅ t = f (t )i =1i =1 nn所以：f (ϕ∑ x i ) ≥ϕ∑ f (x i ).......①i =1i =1当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立证毕同理可证：若f (x )在区间I 上为凹函数，∀1, x 2 , x 3 , , x n ∈ I ，nn有不等式：f (ϕ∑ x i ) ≤ϕ∑ f (x i ).......②i =1i =1当ϕ= 1时，不等式①②可化为： n f ( 1 ∑ x ) ≥ 1 ∑f (x ).......n i =1 ③n i =1f ( 1 ∑ x ) ≤ 1 ∑f (x ).......i i n iini=1④ni=1不等式③④即为Jensen不等式的一般形式a b a b c a ： ， 凹凸函数与Jensen 不等式Jensen 不等式(Jensen Inequality )的应用Jensen 不等式需要先构造函数再与凹凸函数的性质结合使用，判断一个函数在(a , b )上是否为凹函数或凸函数，需要用到凹凸函数的判定定理。
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转
导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若均为任意实数，且,,x a b ，则的最小值为()()22231a b ++-=()()22ln x a x b -+-.A .18B .1C .19D -【解析】由于均为任意实数，且，所以动点到定点,a b ()()22231a b ++-=(),P a b ()2,3C -的距离为定值1，亦即动点的轨迹是以(),P a b 为圆心，半径的圆，()2,3C -1r =表示与动点(),P a b 的距离，而的轨迹是曲线(),ln Q x x (),ln Q x x，ln y x =如图，，当且仅当共线，1PQ CQ PC CQ ≥-=-,,C P Q 且点在线段上时取等号，以为圆心作半径为的圆P CQ C r 与相切，切点是，此时的公切线与半径ln y x =(),ln Q x x 垂直，，即，结合函数 ln 3112x x x-⋅=-+()()ln 13x x x =--+与的图象可知，所以，ln y x =()()13y x x =--+()1,0Q 11PQ CQ PC CQ ≥-=-≥故的最小值为.正确答案为D .()()22ln x a x b -+-()2119=-【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设，其中2D a =+，则的最小值为2.71828e ≈D.A .B .1C .1A +【解析】表示点与点之间的距离，而(),x P x e (Q a PQ点的轨迹是曲线，点的轨迹是曲线， (),x P x e x y e =(Q a ()240y x y =≥如图所示，又点到直线的距离为， (Q a 0x =a 自然想到转化为动点到抛物线准线的距离，Q 1x =-结合抛物线的概念可得2D a =+，所以，当且仅当共线，11PQ QH PQ QF =++=++11D PQ QF PF =++≥+,,P Q F又以为圆心作半径为的圆与相切，切点是，此时的公切线与半径垂直，F r x y e =(),x P x e ，即，所以，故.正确答案为C . 11xx e ex ⋅=--0x =min PF =min 1D =【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意，不0,b a R >∈等式恒成立，则实数的最大值为()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦m 【答案】..A .2B .C e .3A B 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数，曲线在点()2ln f x x ax b x =++()y f x =处的切线方程为.()()1,1f 2y x =（1）求实数的值；,a b （2）设分别是函数的两个零点，求()()()()21212,,0F x f x xmx m R x x x x =-+∈<<()F x 证：.0F '<【解析】（1）；1,1a b ==-（2），，， ()2ln f x x x x =+-()()1ln F x m x x =+-()11F x m x'=+-因为分别是函数的两个零点，所以，12,x x ()F x ()()11221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得，1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F mx x -'=+-=-要证明，只需证.0F '<1212ln ln x x xx -<-思路一：因为，只需证.120x x <<1122ln ln ln 0x x x x ->⇔>令，即证.()0,1t =12ln 0t t t-+>令，则，()()12ln 01h t t t t t=-+<<()()22212110t h t t t t -'=--=-<所以函数在上单调递减，，即证.()h t ()0,1()()10h t h >=12ln 0t t t-+>由上述分析可知.0F '<【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把转化为的函数，12,x x t 常把的关系变形为齐次式，设等，构造函数来解决，12,x x 12111222,ln ,,x x x xt t t x x t e x x -===-=可称之为构造比较函数法.思路二：因为，只需证， 120x x <<12ln ln 0x x ->设，则())22ln ln 0Q x x x x x =-<<， ()110Q x xx '====<所以函数在上单调递减，，即证. ()Q x ()20,x ()()20Q x Q x >=2ln lnx x ->由上述分析可知.0F '<【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于（或）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，1x 2x 达到待证不等式的证明．此乃主元法.思路三：要证明，只需证0F '<1212ln ln x xx x -<-即证，由对数平均数易得.1212ln ln x x x x ->-【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【知识拓展】对于，则，其中称之为对0,0,a b a b >>≠2ln ln a b b a b a +->-ln ln b ab a--数平均数.简证如下：不妨设，只需证明即可，即()1b ax x =>112ln x x x+->>（下略）. ()21ln 1x x x -<+【典例8】（A 10联盟2018年高考最后一卷）已知函数.()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈（1）当时，方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值0b =()()0f x g x +=()0,+∞a 范围；（2）当时，设是函数两个不同的极值点，0a b =>12,x x ()()()F x f x g x =-证明：. ()12ln 22x x a +<【解析】（1）因为，所以，即，()()0f x g x +=20xe ax +=2xe a x-=设，则，()()20xe h x x x=>()()32xx e h x x -'=所以在上单调递减，在上单调递增，()h x ()0,2()2,+∞，当时，，当时，，()()224e h x h ≥=0x →()h x →+∞x →+∞()h x →+∞要使方程在区间上有两个不同的实数根，则，解得()()0f x g x +=()0,+∞24e a ->，24e a <-故的取值范围是；a 2,4e ⎫⎛-∞-⎪ ⎝⎭【一题多解】本题也可以变形为，转化为过原点的直线与函数x e ax x =-y ax =xe y x=-图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.（2）由题意，，， ()2x F x e ax ax =--()2x F x e ax a '=--因为是函数两个不同的极值点，12,x x ()()()F x f x g x =-不妨设，，即，12x x <()()120,0F x F x ''==121220,20x x e ax a e ax a --=--=两式相减得.12122x x e e a x x -=-要证，即证明，()12ln 22x x a +<1222x x e a +<只需证，即，亦即. 1212212x x x x e e ex x +-<-12122121x x x x e e x x ---<-()121221210x x x x x x e e ----+>令，只需证当时，不等式恒成立， 1202x x t -=<0t <2210t t te e -+>设，则()()2210t t Q t te e t =-+<，()()()221221t t t t Q t t e e e t e '=+-=+-易证，所以，()10t t e t +<<()0Q t '<所以在上单调递减，，即.()Q t (),0-∞()()00Q t Q >=2210t t te e -+>综上所述，成立. ()12ln 22x x a +<【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题. 【典例9】（2018届合肥三模）已知函数有两个极值点 (e 为自然()212x f x e x ax =--12x x ，对数的底数).（1）求实数的取值范围； a（2）求证：.()()122f x f x +>解析：（1）由于，则，()212x f x e x ax =--()x f x e x a '=--设，则. ()()x g x f x e x a '==--()1x g x e '=-令，解得.()10x g x e '=-=0x =所以当时，；当时，. () 0x ∈-∞，()0g x '<()0,x ∈+∞()0g x '>所以.()()min 01g x g a ==-当时，，所以函数单调递增，没有极值点；1a ≤()()0g x f x '=≥()f x 当时，，且当时，；当时，1a >()min 10g x a =-<x →-∞()g x →+∞x →+∞.()g x →+∞此时，有两个零点，不妨设，则， ()()x g x f x e x a '==--12x x ，12x x <120x x <<所以函数有两个极值点时，实数的取值范围是；()212x f x e x ax =--a ()1,+∞【答案速得】函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点，亦即函数()f x ()f x '与直线有两个交点，如图所示，显然实数的取值范围是.x y e =y x a =+a ()1,+∞（2）由（1）知，为的两个实数根，，在上单调12x x ，()0g x =120x x <<()g x () 0-∞，递减.下面先证，只需证. 120x x <-<()()210g x g x -<=由于，得，()2220x g x e x a =--=22x a e x =-所以.()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+设，则， ()()20x x h x e e x x -=-+>()120x x h x e e'=--+<所以在上单调递减， ()h x ()0 +∞，所以，，所以.()()00h x h <=()()220h x g x =-<120x x <-<由于函数在上也单调递减，所以. ()f x ()1 0x ，()()12f x f x >-要证，只需证，()()122f x f x +>()()222f x f x -+>即证.222220x x e e x -+-->设函数，则. ()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，()2x x k x e e x -'=--设，则，()()2x x x k x e e x ϕ-'==--()20x x x e e ϕ-'=+->所以在上单调递增，，即. ()x ϕ()0+∞，()()00x ϕϕ>=()0k x '>所以在上单调递增，. ()k x ()0+∞，()()00k x k >=故当时，，则，()0x ∈+∞，220x x e e x -+-->222220x x e e x -+-->所以，亦即.()()222f x f x -+>()()122f x f x +>【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的，如果“脑中有‘形’”，如图所示，并不难得120x x <-<出.。
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利用函数的凹凸性质证明不等式内蒙古包头市第一中学 张巧霞摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式. 关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理(1)定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，若对于I 上的任意两点21,x x 及实数()1,0∈λ总有()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为I 上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为I 上的凹函数（上凸函数）.特别地，取21=λ，则有()()().2)2(2121x f x f x x f +≥≤+ 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数)(x f 在区间 I 上是二阶可微的，则函数)(x f 是凸函数的充要条件是0)("≥x f ，函数)(x f 是凹函数的冲要条件是.0)("≤x f三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式设)(x f 是定义在区间I 上的一个凸函数，则对()1,0,,,2,1,1=≥=∈∀∑=ni ii i n i I x λλ 有().)(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ特别地，当(),,,2,11n i ni ==λ有 ()()().2)2(2121n n x f x f x f x x x f +++≤+++琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式） 设(),,,2,1,0n i a i =≥则有naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111当且仅当n a a a === 21时，等号成立.证明 设,ln )(x x f -=因为(),,0,01)("2+∞∈>=x xx f 所以)(x f 是()+∞,0上的凸函数，那么就有().)(11ini iin i i x f x f ∑∑==≤λλ现取(),,,2,1,1,n i na x i i i ===λ 则有 (),ln ln 11ln 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n i n i i n i n i i a a n a n 得 ,ln 1ln 111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛∏∑==n i n i n i i a a n由x ln 的递增性可得nni i i n i a a n 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∏∑== （1） 同理，我们取01>=ii a x ，就有,1ln 1ln 111ln 1111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===ni n i i n i n i i a a n an 即nni i ni i a a n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∑== （2） 由（1），（2）两式可得naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤11111（2）柯西——赫勒德尔不等式qni q i pn i p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 其中()n i b a i i ,,2,1,, =是正数，又,1,0≠>p p p 与q 共轭，即111=+qp . 证明 首先构造函数()1,>=p x x f p 时，()()0,0">>x x f 所以()px x f =是()+∞,0上的凸函数，则有pi ni i pn i i i i ni i x x x f ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(λλλ 令 ,1∑==ni iii pp λ这里()n i p i ,,2,1,0 =>，则 ∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ini p ii pni i ni ii pxp p x p 1111即 1111-===⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑p ni i n i p i i pn i i i p x p x p由题设知111=+qp ，得1-=p pq ，所以 qni i pni p i i n i i i p x p x p 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===， 现取qi i i pi i p b x p a 11,==，()n i ,,2,1 = 则pi p i i i i qii pi i i a x p x p p x p b a ===,11，代入上式得qni q i pni p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令2==q p 时，即得到著名的不等式——柯西不等式211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i i n i i b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i i ni i b a b a 121221)(这里()n i b a i i ,,2,1,, =为两组正实数，当且仅当i i b a =时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n 边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r ，内接n 边形的面积为S ，各边所对的圆心角分别为n θθθ,,,21 ，则(),sin sin sin 21212n r S θθθ+++=因为()0sin "<-=x x f ， 所以()x x f sin =是[]π,0上的凹函数，由琴生不等式可得().1)(11i ni ni if nn f θθ∑∑==≥ 即 nnni ini i∑∑-=≥11s i ns i nθθnn ni i πθ2sinsin 1≤∑= 上式只有在n θθθ=== 21时等号才成立，也即正n 边形的面积最大.特别地，若A,B,C 为三角形的三个内角时，由上式可得323sin sin sin =++C B A . 例2 求证对任意的0,0>>y x ，下面的不等式2ln )(ln ln yx y x y y x x ++≥+成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令()0,ln >=t t t t f ，因().01">=tt f 故()t t t f ln =是()+∞,0上的凸函数， 所以有()()(),,0,,22+∞∈∀+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y f x f y x f 即(),ln ln 212ln 2y y x x y x y x +≤++ (),ln ln 2ln )(y y x x yx y x +≤++所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.例3 设i i i i d c b a ,,,都是正实数，证明∑∑∑∑∑=====≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i n i i n i i i i i d c b a d c b a 1414141441.分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办法将其变成标准形式。
证明 ()()4141⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==i i n i i i n i i i i i d c b a d c b a()()212221⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≤∑∑==n i i i ni i i d c b a=()()21222122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==ni i i n i i i d c b a ≤∑∑∑∑====ni i ni ini ini id c b a 14141414通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数列，然后列出式子.例4 设d c b a ,,,都是正实数，且().32222ba d c +≤+证明133≥+db c a . 证明 首先由均值不等式得()433433b c bda d acb a bd ac d b c a +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 42242b b a a ++≥=()222b a +再由柯西不等式得()()()21222122dcba bd ac ++≤+()()23222122dcb a ++≤=()222b a +即 ()≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22233b a d b c a ()bd ac d b c a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33 ()222b a +≥所以 133≥+db c a 六．总结由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.参考文献【1】 谢惠民.数学分析习题课讲义【M 】.高等教育出版社，2003.【2】 王仁发.高观点下的中学数学代数学【M 】.高等教育出版社，1999. 【3】 席博彦.不等式的引论【M 】.内蒙古教育出版社，2000.【4】华东师范大学数学系.数学分析【M 】.高等教育出版社，1991.。