函数的简单性态
第三节 函数的性态研究
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在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述 方法：
设函数 f ( x ) 在区间 I (开或闭， 可无限)上连续， 且在 I 内部 (即去掉端点 )只有一个驻点或不可导点x 0 ，则
若 f ( x 0 ) 是极小值，即为最小值；
若 f ( x 0 ) 是极大值，即为最大值。
19
四、曲线的凹凸性与拐点
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例3
求函数 y 2 x 3x 12 x 14 在[3, 4]
3 2
上的最大值与最小值.
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
令 f ( x) 0, 得
x1 2, x2 1.
计算 f ( 3) 23; f ( 2) 34; f (1) 7; f (4) 142; 比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
x
(, 0)
2 3
0
无
极 大 值
( 0, 1)
1
(1, )
f ( x )
f ( x)
0
极 小 值
极大值 f (0) 0 ，
1 极小值 f (1) . 2
14
求极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域；
(2) 求导数 f ( x );
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.
(2) 求出端点的函数值 f (a ), f (b) ；
(3) 最大值 max max{f ( x1 ),, f ( xk ), f (a ), f (b)}
x[ a ,b ]
函数的性态分析
高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。
思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。
例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。
函数的性态知识点总结
函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。
2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。
5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。
三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。
2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。
四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。
3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。
4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。
五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。
2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。
3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。
4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。
六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。
2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。
3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。
七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。
函数单调性及其应用论文
函数单调性及其应用函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用.1.函数单调性的概念1.1、函数单调性的定义定义如果函数对于区间i内的任意两点，当时有，则称此函数在i上单调增加，i称为单调增区间；当时有，则称此函数在i上单调减少，i称为单调减区间.1.2.1、函数单调性的判定的预备知识以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.定理1.2.1（罗尔中值定理）设函数满足以下三个条件：（1）在闭区间内连续；（2）在开区间内可导；（3）则至少存在一点，使得 .定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数满足以下两个条件：在闭区间内连续；（1）在开区间内可导则至少存在一点，使得 .定理1.2.3（根的存在定理）设函数在闭区间内连续且，则至少存在一点，使得 .即方程至少存在一个根 .1.2.2、函数单调性的判定有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。
但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。
因此需要借助以下定理：定理1.2.4 设函数在区间内可导，若导函数，则函数在区间内单调递增；若导函数，则函数在区间内单调递减.2.函数单调性的应用2.1、证明不等式用函数单调性可以证明不等式.例2.1.1 证：当时， .证构造辅助函数，有，当时有即在内单调增加，从而当时有故也即 .即证.例2.1.2 证：当时， .证构造辅助函数当时，即在内单调减少.从而当时，有 .由的定义知，有，由对数的性质可得 .故原证题得证.这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当时，有幂的大小关系 .2.2、求函数的最值用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.例2.2.1 求在闭区间内的最大值和最小值.解当时，有即在闭区间内单调增加。
因而函数在闭区间内的最大值为，最小值为 .例2.2.2 求的最大值和最小值.解函数的定义域为实数域，现考虑该函数在实数域上的最大值和最小值。
4-3 函数的性态(二)
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0)为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在(0, )为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那么 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
d2 y 由 2 0, 得t1 1, t2 1 dx
d2 y 当 t < – 1 时, 0, 即x < –4, y = f (x)是凸的. 2 dx d2 y 当–1< t <1时, 2 0, 即–4< x <4时, y = f (x)是凹的. dx
当 t > 1时,
d2 y 0, 即x >4时, y = f (x)是凸的. 2 dx
两侧邻域同号，那么它就不是曲线y=f(x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
高等数学基本知识点大全
高等数学基础知识大全一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。
如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N +或N +。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z 。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q 。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R 。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作AB （或B A ）。
⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即AA②、对于集合A 、B 、C ，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
高数基础知识点汇总
高数知识点汇总第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。