函数性态的研究(函数作图和曲率)
第三章6(作图,曲率)
3 5 补充点 : A(1,0); B(0,1); C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点 与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值
y
1 3
1 ( ,1) 3
1
(1, )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线 .
) 2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线
如果
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线 .
例如y arctan x有两条水平渐进线: y
若曲线方程为 y f ( x),曲率K
y (1 y )
3 2 2
.
例7.2
求等边双曲线 xy 1在(1,1)处的曲率 .
例7.3 求抛物线y x 2 4 x 3在其顶点处的曲率
以及曲率半径 .
0
极小值
拐点
1 16 ( , ) 3 27
32 27
பைடு நூலகம்
0
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A ( 1,0)
1
1 3
o
1 3
1
x
弧微分与曲率
弧微分 ds 1 y2 dx
d 曲率K lim , 或记为K . x 0 s ds
1 曲率半径 K
,y . 2 2
第三章曲率函数图形的描绘
[1 (2ax b)2 ]2
公式：k
y 3.
(1 y2 )2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
10
摆线
例3
t为何值时,
曲线
x y
a(t a(1
sin t); cos t),
(t) (t) 3(t)
(t) .
(t) (t) (t) (t)
k
3.
[ 2(t ) 2(t )]2 9
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
0
0
y
0
y
极 大
拐 点
极大点: x 5 , 极大值: f (5) 13.5 ,
拐点为 (1, 0) .
lim
x
(x 1)3 (x 1)2
,
曲线无水平渐近线 .
lim
x1
( (
x x
1)3 1)2
,
x 1为垂直渐近线 .
lim
x
lim
x
f
(x)
4( x
lim[
x
x2
1)
2]
2,
水平渐近线
y
2;
26
函数图形的描绘
4( x 1) f (x) x2 2
f
(
x)
4(
x x3
函数的图像及其性质研究与应用
函数的图像及其性质研究与应用函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在实际应用中，函数的图像是我们研究和分析函数性质的重要工具之一。
本文将从几个方面来探讨函数的图像及其性质的研究与应用。
一、函数的图像函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。
通常我们用平面直角坐标系来表示函数的图像，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
函数的图像可以通过绘制函数的关系式来得到。
例如，对于一元函数y=f(x)，我们可以通过给定自变量x的值，计算相应的因变量y的值，然后在坐标系中绘制这些点，最终得到函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性、周期性等特征。
例如，对于增函数来说，函数的图像随着自变量的增大而上升；对于周期函数来说，函数的图像在一个周期内重复出现。
二、函数的性质研究函数的性质研究是数学中的一个重要分支，它帮助我们深入理解函数的行为规律。
函数的性质包括但不限于增减性、奇偶性、周期性、单调性等。
1. 增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增减趋势。
对于一元函数来说，如果函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间内是增函数；如果函数在某个区间内的导数小于零，则函数在该区间内是减函数。
通过研究函数的增减性，我们可以确定函数的极值点和拐点，进而帮助解决最优化问题。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。
对于一元函数来说，如果函数满足f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于纵轴对称。
奇偶性的研究有助于简化函数的运算和化简复杂的表达式。
3. 周期性周期函数是一类具有重复性质的函数。
对于周期函数来说，存在一个正数T，使得对于任意的x，函数满足f(x+T)=f(x)。
周期函数的图像在一个周期内重复出现，因此我们只需要研究一个周期内的行为即可。
函数的图像与性质研究
函数的图像与性质研究函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
函数的图像是函数在坐标系中的表示，通过研究函数的图像，我们可以深入了解函数的性质和特点。
一、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示，通常用曲线来表示。
在笛卡尔坐标系中，自变量通常表示在横轴上，因变量表示在纵轴上。
通过将自变量的取值代入函数中，计算出对应的因变量的值，然后将这些点连接起来，就可以得到函数的图像。
函数的图像可以呈现出不同的形状和特点。
例如，线性函数的图像是一条直线，指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，三角函数的图像是一条周期性波动的曲线等等。
通过观察函数的图像，我们可以大致了解函数的增减性、奇偶性、周期性等基本性质。
二、函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的变化趋势。
当函数的图像在某一区间上升时，我们称该函数在该区间上是增函数；当函数的图像在某一区间下降时，我们称该函数在该区间上是减函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的增减性。
当函数的图像从左向右逐渐上升时，函数为增函数；当函数的图像从左向右逐渐下降时，函数为减函数。
如果函数的图像在某一区间上升，而在另一区间下降，我们称该函数在这两个区间上是增减函数。
三、函数的奇偶性函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性。
当函数的图像关于y轴对称时，我们称该函数为偶函数；当函数的图像关于原点对称时，我们称该函数为奇函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数为偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数为奇函数。
对于其他情况，函数既不是奇函数也不是偶函数。
四、函数的周期性函数的周期性描述了函数在定义域内的重复性。
当函数的图像在一定的区间内重复出现时，我们称该函数是周期函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的周期性。
如果函数的图像在一定的区间内重复出现，那么函数为周期函数。
例如，正弦函数和余弦函数的图像在一定的区间内重复出现，因此它们都是周期函数。
函数性态的研究(精)
10
f ( x2 ) f ( x1 ) 或 f ( x2 ) ( x1 x2 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 从而当 x2 x1 , f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
这表明 f ( x )在 I 上单调增 , 于是
(3) 得证.
第二章
§6 函数性态的研究 (2)
0.1 0.05 -1 -0.5 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25
1
0.5
1
1.5
四、函数的凹凸性(concavity)
凸函数的第一几何特征
以下凸函数为例，如图，
( x1 , f ( x1 ))
B( x2 , f ( x2 ))
x
A
x1
定义 1 (凸函数的分析定义)
若 x1 , x2 I , 及 [0， 1]，恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称f ( x )在I上是下凸函数 (或凸函数 )。
对下凸第一几何特征可简述为： 曲线在相应点间弦的下方。
4
凸函数的第二几何特征
下凸的光滑函数上任一点的切线在曲
线的下方，且 f 是单调增加的。
见下一页图示
5
6
定理 5 (凸性的判定法一, P.155.定理6.5)
设 f ( x )在I上可微, 则下列命题等价:
( 1 ) f ( x )在 I上是下凸函数 ;
(2) x1 , x2 I ,
0
Байду номын сангаас
利用: x0 x1 (1 ) x2
函数的图像与性质分析
函数的图像与性质分析函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的关系。
在数学中，我们经常需要通过函数的图像来分析函数的性质。
本文将探讨函数的图像与性质分析的方法和技巧。
一、函数的图像分析函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
通过观察函数的图像，我们可以获得函数的一些基本性质。
1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是指函数的因变量的取值范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
例如，对于函数y = x^2，我们可以看到函数的图像是一个开口向上的抛物线，从图像上可以看出函数的定义域是实数集，值域是非负实数集。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。
对于函数y = sin(x)，我们可以看到函数的图像关于原点对称，即函数关于原点是奇函数。
3. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的单调性。
例如，对于函数y = 2x + 1，我们可以看到函数的图像是一条斜率为正的直线，说明函数在整个定义域内都是递增的。
二、函数的性质分析函数的性质是指函数在数学上的一些特点和规律。
通过分析函数的性质，我们可以更深入地了解函数的行为。
1. 函数的极值点函数的极值点是指函数在定义域内取得最大值或最小值的点。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
例如，对于函数y = x^2，我们可以求出函数的导数为y' = 2x，然后令导数等于0，解得x = 0。
所以函数的极值点是(0, 0)。
2. 函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凹变凸或由凸变凹的点。
通过求函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。
例如，对于函数y = x^3，我们可以求出函数的二阶导数为y'' = 6x，然后令二阶导数等于0，解得x = 0。
所以函数的拐点是(0, 0)。
3. 函数的周期性函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
第六节-函数性态的研究
第六节 函数性态的研究四曲线的凹凸性和拐点1凹凸性的概念及判别法前面我们利用导数研究了函数的单调性，根据导数符号可以判断一个函数在某个区间上是单调增加的，还是单调减小的。
但是仅凭函数的单调性还不能完全反映一个函数在某个区间上的变化规律，因为，同样是增函数(或减函数) ，它可能向上弯曲，也可能向下弯曲，也可能在某些部分向上弯曲，某些部分向下弯曲。
因此，在研究函数曲线的变化规律时，考察其弯曲方向及弯曲方向发生变化的点，也是相当重要的。
下面我们就来研（1）曲线凹凸性的定义我们首先给曲线的弯曲方向下一个确切的定义。
从图形上可以看出，在向下弯曲的曲线上，每一点处的切线都在曲线的上方，而在向下弯曲的曲线上，每一点处的切线都在曲线的下方。
所以我们可以根据这种特点来描述曲线的弯曲方向。
定义：在某区间内，如果曲线弧位于其每一点处切线的上方，则称此曲线弧在这个区间上是凹的；如果曲线弧位于其每一点处切线的下方，则称此曲线弧在这个区间上是凸的。
（2）曲线凹凸性的判别法首先，我们来看一下怎样判别一个函数在某个区间上的凹凸性？下面，我们就通过对凹弧或凸弧曲线特征的讨论，推导出判断函数凹凸性的方法。
假设函数()x f y =在()b a ,内是凹的，在()b a ,内任取两点1x 、2x ，且21x x <，过1x 作曲线的切线1l ，倾斜角记为1α，过2x 作曲线的切线2l ，倾斜角记为2α，通过观察可以发现21ααtg tg <，即()()21x f x f '<'，这说明()x f '在()b a ,内是单调增加的，所以()0≥''x f 。
同理，假设函数()x f y =在()b a ,内是凸的，在()b a ,内任取两点1x 、2x 且21x x <，过1x 作曲线的切线1l ，倾斜角记为1α，过2x 作曲线的切线2l ，倾斜角记为2α，通过观察可以发现21ααtg tg >，即()()21x f x f '>'，这说明()x f '在()b a ,内是单调减小的，所以()0≤''x f 。
一次函数的图像和性质和研究方法
分析：解决此类问题通常是先列出函数关系式，然后列出方程或不等式求解，这样需建立相应的数学模型．当然此题还应用了分类讨论思想．
数形结合巧解题
山东 石少玉
一、由数到形
例1一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）
析解：本题可直接根据题意找出符合条件的图象．由这根蜡烛原长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，可知4小时燃完．再由燃烧时剩下的长度为y（cm），故y应是从20开始逐渐减少至0．故应选B．
练习1：某市出租车的收费标准如下：3千米以内的收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元；10千米以上的部分每千米加收1.9元．那么出租车收费y（元）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系用图象表示为（ ）
二、由形到数
例2某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图1所示，则对这种产品来说，下列说法正确的是（ ）
练习2：一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间的关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）
A．分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
参考答案：
练习1．Ｂ．
练习2．Ｃ．
解：设学校需刻录x张光盘，到电脑公司刻录费用为y1元，学校自刻费用为y2元，根据题意得：
y1＝９x，y2＝１２０＋４x．
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| (1
y | y2 )3/ 2
．
例 14
求椭圆
x 3cost y4sint
在
t
4
处的曲率．
d
y
| y |
K ds (1 y2 )3/ 2 (1 y2 )3/ 2
思考 抛物线 yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？
半径为 R 的圆上各点处的曲率 K 1
R
3 曲率圆与曲率半径 （仿圆）
那部分工件被磨去太多，砂轮的半径应 小于或等于抛物线上各点处曲率半径中的 最小值．
由思考题知，抛物线上顶点处的曲率最大，从而 曲率半径最小．
例 13 作函数 y x2 的图象． x1
解：(1) 函数的定义域为(-，-1)∪(-1，+)，
(2)
y
x22x ( x1)2
，
y
(
x
2 1)3
．
令
y0
，得
x0
设曲线 y f (x) 在点 M( x, y)处的曲率为 K （ K 0 ），
则曲线在点 M 处的 y 曲率半径 : 1
K
作曲线在点 M 处的法线并
在曲线凹向一侧的法线上
y f (x)
D
M
取一点 D，使
| DM | 1 ， o
x
K
半径为 R 的圆上各点的曲率 K 1
R
曲率半径 : 1
⌒
MM
s
s
所确定的点
M
处的切线正向与
x
轴
正
向的夹角为 ，称
―――弧
⌒
MM
的平均曲率
s
K lim ――曲线 L 在点M 处的曲率
s0 s
例 ？直线上各点处的曲率
直线上各点处的曲率都是零． y
L
例 13
半径为
R圆的上圆各上点各处点的处曲率的都曲相率等？，且MK
M
R1s．
y
DR
o
M
x
s
M
o
M
f ( x) 2xex2 ，令 f ( x) 0 ， 得驻点 x0 ， f (x) 2ex2 (2x2 1) ，令 f ( x) 0 ，得 x 2 ．
2
step 3. 讨论函数的凹凸性和拐点 列表讨论：
step 4. 图像的渐近线
∵ lim ex2 ＝0，∴ 直线 y0 为曲线的水平渐近线．
y
K
在曲线凹向一侧的法线上
取一点 D，使
| DM | 1 ，
K
以 D 为圆心， 为半径的圆 o
y f (x)
D
M
x
――曲线在点 M 处的曲率圆
曲率中心
曲率半径
曲率半径 : 1
K
例 15 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x2 ．现在 用砂轮磨削内表面，应用多大的砂轮比较合适．
分析： 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的
M M1
⌒ MN
⌒ MN1 ,
弧两端切线的夹角若相等，
弧大弯度小．
决定曲线弯曲程度的两个因素 (1) 曲线弧长 (2) 弧两端切线的夹角（转角）
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，T 随着转动到 NT 所
转过的角， ――转角．
N
M
T T
1．曲率的定义
(三) 函数作图 (自学)
例 12 作函数 f ( x) e x2 的图象． 解：step 1. 确定函数的定义域，
并讨论函数的奇偶性和周期性 定义域为(-，+)，
∵ f ( x) f (x) ， ∴ f ( x) ex2 是偶函数，图象关于 y 轴 对称．
Step 2. 讨论函数的单调性、极值点和极值
x
曲率 K lim d
s0 s
ds
2 曲率的计算公式
设曲线limy s0 d
f(s1x)，y( dylisfm)(20xdd)x具，d有os(二ds阶) 导d数 ds，
而 (ds)2 (dx)2 (dy)2 (1 y2 )(dx)2 ，
ds 1 y2dx ，
∴
K
d
ds
y (1 y2 )3/ 2
x
step 5. 根据需要补充图像上的若干点（如与坐标轴的交点）
辅助点：( 2 ，0.61)，（1，0.37），（ 2 ，0.14）． 2
step 6. 绘图
y
1
yex2
2 1
o1
2x
四曲、线平的面弯曲曲线程的度曲率
N N
N1
1 M
⌒⌒ MN MN1
1 ,
弧长若相等，
角大弯度大．
N1
y a lim x2 1 , x x(1 x)
x
b
lim( x 1
x2
x)
1
y x2 1 x
y x 1为斜渐近线． x1
(5) 辅助点： A( 1,1 ) ；
22
B(2,
4 3
)
；C(
3, 2
9 2
)
；
2 1 o
y x1
x
D(3, 9 ) ． 2
，
x2
．
y
(
2 x 1)3
无零点．
y
x22x ( x1)2
，
y
(
x
2 1)3
．
令
y0
，得
x0
，
x2 ．
y
(
x
2 1)3
无零点．
(3) 列表讨论如下：
x (, 2) -2 (2,1) -1 (1, 0)
0 (0, )
y +
0
-
-
0
+
y -
-
-
+
+
+
y
极大值
-4
间
极小值
断
0
(4) 渐近线： lim x2 x1为垂直渐近线， x1 x 1
Def 1. 设曲线 L 光滑．
y
y f (x)
在 L 上取定一点 M ，
作为弧长计算的起点，
M
s
取定曲线的一个走向作为弧长
增加的方向．
⌒
o
M
sM
x
当弧长 S MM 确定之后，
点 M 的位置就随之确定（规定切线的正向与弧长增大
的方向一致），于是 是 s 的 函数． 对于任何s ，由弧
长