态函数及其演化方程

态矢量的内积是一个复常数 定义了内积的线性空间成为线性内积空间 完备的线性 内空间称为希尔伯特空间 所谓完备空间 是指空间中的任一收敛矢量序列都收敛于 属于该空间的一个矢量 希尔伯特空间的一个重要性质是 该空间存在可数1的基矢量集 使任意矢量都可 写成这套基矢量集的线性叠加 基矢的存在使空间极大的简化 因此我们希望所有态函数构成希尔伯特空间 可 以证明 所有平方可积复函数因为有叠加原理和内积的定义而构成希尔伯特空间 即 使包含超出平方可积的 但满足放松的平方可积的态函数 我们也假定态函数空间有 一套可数的完备基矢集 和一般的完备线性内积空间 希尔伯特空间 相比 态函数空间还有一个重要的 特征 所有态函数同时乘一任意常数 没有任何可观测的变化 即每个态矢量的物理 意义不变 [作业]2.1 课本习题 2.1 2.3 薛定谔方程 动力学方程 经典力学 量子力学 方程的形式 z z z 牛顿方程 态函数演化方程 薛定谔方程 2.5
粒子的平均速度为 v
若取
∆τ = ∆s ⋅ vdt
概率
则上式右边便等于处于ψ 态的粒子在 dt 时间内被观察到通过逢 a 的
而 ψ a ( ra ) ∆s ⋅ vdt 等于处于ψ a 态的粒子的相应概率
v
2
对于稳定的过程
ψ和
ψ a 均与时间无关 设平均在时间 T 内有 1 个粒子通过衍射挡板 因为处于ψ a 态的粒
v
打开 b 逢并关闭 a 逢的态函数为ψ b (r )
v
4
直观上有
v v ψ a (r → rb ) = 0
v v ψ b (r → ra ) = 0
其态函数为
根据叠加原理
有一种可能的状态
v v v ψ (r ) = c1ψ a (r ) + c 2ψ b (r )
不妨设ψ a
ψ b 和ψ 均已归一化 因而 | c1 | 2 + | c 2 | 2 = 1
2.9
显然 2.8 和 2.9 可以推广到任意多个态函数的线性叠加 1 中的所谓 可 能状态 是指在给定边界条件下 原则上可以实现的状态 满足物理规律的状态 叠 加原理等同于假设态函数满足线性的波动方程
线性叠加系数 c1 和 c 2 的意义是什么呢 让我们再重温双逢衍射实验
a
b
设打开 a 逢并关闭 b 逢的态函数为ψ a ( r )
设 δ 是实常数 则e
iδ
经过归一化后的态函数仍有任意性 归一化的 且对应同一状态
iδ
v v ψ 1 (r ) 和ψ 1 (r ) 一样是
称 e 为常数相因子
在量子力学中描述状态的基本量是态函数 而态函数本身不是物理可观测量 因 此允许有不确定性 通过态函数计算得到的力学量的统计值才是可以与实验比较的 量 在经典物理中 描写客体状态的物理量本身就是实际可观测量 如位矢 动量等 力学量 注意 在原理二中提到的是 观察到 粒子的概率 而不说 粒子处于某处 的 概率 这是有一区别的 观察 强调了测量 只谈论测量的结果 而 处于 则可能 有更多的 不正确的 暗示 例如不管是否进行测量 粒子可以客观地处于某处 并且 如果它在某处 便不可能在别处等等 量子力学仅是一个关于测量的理论 它 不涉及任何与测量无关的或未测量前微观粒子行为的讨论
3
3
连续性 我们相信物理定律是定域的 态函数是某种微分方程 波动方程 的解 因此 如没有特殊的原因 我们也要求态函数连续 一阶导数连续 在某些特殊情况 如 势能有无穷大的跃变 态函数的导数可以不连续
2.2 叠加原理(Superposition principle) 干涉现象是波的线性叠加的后果 我们已经把粒子的这种波称为态函数 波函数 把它的线性叠加性数学化 便是下面的量子力学基本原理 叠加原理 量子力学基本假设之三 1 如果ψ 1 和ψ 2 是粒子的可能状态的态函数 则 2.8
粒子在 a 逢处体积微元 ∆τ 内观察到粒子的概率为
根据玻恩对态函数的解释
v 2 v v 2 v ψ (ra ) ∆τ = c1ψ a (ra ) + c 2ψ b (ra ) ∆τ =| c1 | 2 | ψ a (ra ) | 2 ∆τ
其中利用了 ψ b ( r → ra ) = 0
v
v
设每条逢的截面为 ∆s
v v v ψ (r ) = A exp(ik ⋅ r )
它的绝对值平方等于 A
2
2.7
为一常数
表示粒子在空间任意位置被观察到的概率都
一样 它的绝对值平方在全空间的积分正比于空间的体积 当空间体积为无穷大时 积分发散 因此 计算它的绝对概率密度 处处为零 是没有意义的 显然 严格 的平面波实际上是不能存在的 它只是一种理想状态 但由于下列的原因 量子力 学仍然允许这样的态函数 1 平面波 2.7 代表的理想状态物理图象是清楚的 没有定义的总概率物理上并不感性趣 2 存在真实的物理状态它在一定 有限 空间范围内 往往是物理感性趣的范围 可以非常好的由平面波描写 3 任意态 函数都可以用平面波展开 傅立叶展开 即任意态都可以看作是平面波的线性叠 加 故平面波给数学处理量子力学问题带来很大的方便 在经典物理也常用类似的理想状态 例如匀速直线运动 严格意义下是不存在 的 什么东西会不受到任何相互作用呢 但在经典物理中匀速直线运动没有任何数 学的奇异性 故很容易被接受下来了 再看另一个例子 理想单摆 它是一个没有 大小的重物通过一条没有重量的细线上 如果计算单摆的质量密度分布 则摆锤处 密度为无穷大 其它地方为零 没有人觉得不舒服 因为在理想单摆问题中 质量 密度是一个没有的概念 平方可积的要求在很多情况下都可放松为 在任意有限大的空间范围内 态函 数的绝对值平方的积分有限 若态函数的绝对值平方在全空间的积分发散 便不能对态函数归一化 这是 绝对概率密度的概念变成一个没用的概念 为了方便 有时仍希望态函数具有绝对 概率密度幅的意义 为了达到这个目的 可以假设整个物理空间虽然非常大 但是 是有限的 这个假设适用的前提是 我们关心的物理结果与远处边界条件的关系可 以忽略 为了满足平方可积条件 态函数在无穷远处必须足够快地趋向于零 如果基于 物理的考虑 所讨论的粒子不能跑到无穷远处 那么态函数就必须满足平方可积条 件 这种状态成为束缚态 对粒子可以跑到无穷远的情况 例如在散射实验中的粒子 态函数只需满足放 松后的平方可积条件即可 2 单值性 如果没有特殊的理由 很难接受一个基本物理量不是空间坐标的单值函数 但 态函数不是一个直接可以观测的量 所以它非单值也不是完全不可能的 但一定要 保证物理观测值 统计平均值 概率密度 概率流密度等 单值
v v (ψ , ϕ ) = ∫ψ * (r )ϕ (r )dτ
5
2.10
易证 内积有下列基本关系
数学上
这些关系作为内积的定义 等号仅当ψ = 0 时成立 2.12 2.13 2.11
(ψ ,ψ ) ≥ 0 (ψ , ϕ ) = (ϕ ,ψ ) *
(ψ , c1ϕ 1 + c 2ϕ 2 ) = c1 (ψ , ϕ 1 ) + c 2 (ψ , ϕ 2 )
v v ψ (r ) 和 cψ (r ) 表示同样的粒子态
从理论上讲 若粒子不生不灭 在非相对论情形成立 则在全空间观察到粒子的 总概率是常数 在全空间对 2.2 积分 得到粒子在全空间被观察到的概率 对单个 非相对论粒子 在全空间被观察到的概率应该等于一
∫ dW = ∫ C ∫ ψ (r )
v
−1
v
动量
能量
角动量等与其空间运动有关的物理
t0
粒子的态函数
v v Ψ (r , t 0 ) = ψ (r )
完全决定以后时间粒子的态函
v Ψ (r , t )
1926 解释给出
态函数的物理意义由玻恩 Born
基本假定之二
v 2 v ψ (r ) d 3r 正比于在 r 处体积微元 d 3 r 中观察到粒子的概率
ψ = c1ψ 1 + c 2ψ 2
也是一个可能的态函数 2 刻t 设在某时刻 t 0 其中 c1 和 c 2 为任意常数 2.9
态函数ψ 由ψ 1 和ψ 2 按 也就是说
线性叠加而成 三个状态ψ 1
则在大于 t 0 的时
这种叠加关系不变
如果到 t 时刻
ψ 2 和ψ 分别演化
′ 成ψ 1
′ 和ψ ′ 则他们仍然存在关系 ψ2 ′ + c 2ψ 2 ′ ψ ′ = c1ψ 1
子在时间 T 内通过 a 逢的概率为一 所以
v 2 ψ a (ra ) ∆s ⋅ vT = 1
故处于ψ 态的一个粒子被观察到走 a 逢的概率等于 | c1 | 同理 因此 的特征
2
处于ψ 态的粒子被观察到走 b 逢的概率等于 | c 2 | 我们得到一个猜想 设ψ 由ψ 1 和ψ 2 均已归一化
2
如果ψ 1 拥有一个可测量
体积微元
d 3 r = dxdydz = r 2 sin θdrdθdϕ ≡ dτ
在 r 处 dτ 体积微元中观察到粒子的概率为
2.1
v
v v 2 dW (r ) = const ⋅ ψ (r ) dτ
因此
2.2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v ψ (r ) 2 具有相对概率密度的意义 人们通常只关心与相对概率有关的测量
1
例如在衍射实验中 在某点接收到粒子的计数率与实验使用粒子的总数有关 通常是 无法准确知道的 而两点计数率之比等于这两点计数之比 独立于实验使用粒子的总 数 测量起来容易得多 在空间任意两点 r1 和 r2
基本假定之一 单粒子的空间运动状态由一个复函数 以后 如不特别声明
v ψ (r )
描述
所研究的系统是单个微观粒子
v ψ (r ) 称为概率幅 (probability amplitude) 或波函数 (wave function) 或态函数 (state