D24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
大一高数课件第二章隐函数的导数--由参数方程所确定的函数的导数--相关变化率讲义资料
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法
求出导数.
--------对数求导法
适用范围:
多个函数相乘和 数幂 u(x指 )v(x函 )的情.形
例4 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
x 2(3 x)4 [
1
4 5 ]；
( x 1)5 2( x 2) 3 x x 1
3、 1 x sin x 1 e x [ 1 cot x e x ].
2
x
2(1 e x )
四、1、
a
2
b sin
3
t
；
2、 1 . f (t )
t4 1 五、 8t 3 .
六、2 1 . x2
dt
( tant ) (acos3 t)
3acsoe2s2cttsint
sec4 t 3a sin t
四、相关变化率
设xx(t)及y y(t)都是可导,函 而数 变量 x与y之间存在
某 种 关,从 系而 它 们 的 变 dx与 化d率 y之 间 也 存 在 一, 定 dt dt
这样两个相互依 化赖 率的 称变 为相关.变化率
解 等式两边取对数得 ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3 上式两边x求 对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
解 设时刻 t水深为 h(t),
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(3)
称为 隐函数(implicit function). y = f (x)的形式称为 显函数.
F(x, y) 0 例
y f ( x) 隐函数的 显化. 可确定显函数
开普勒方程
y关于x
的隐函数客观存在, 但无法将y表达成x的显式表
达式.
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2
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
5
考研(数学二) 填空, 4分
隐函数
设函数y=f (x)由方程 xy 2ln x y4所确定,
则曲线y=f (x)在点(1,1)处的切线方程是( x y )0. 解 将方程两边求微分, 得 ydx xdy 2 dx 4 y3dy x
再将点(1,1)代入上方程, 得 dy 1 dx (1,1)
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11
设 y xsinx ( x 0), 求y.
解2
等式两边取对数, 得 ln y sin x ln x
再将上式两边求微分, 得 d(u v) vdu udv
1 dy ln x (cos xdx) sin x ( 1 dx), y [cos x ln x sin x]dx, x
23
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
星形线
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
y
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
dt
a
aa
O
x
a
tan t,
d2 y dx 2
d (dy ) dx dx
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
高等数学 第2章 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
0
解得:
t
t0
2v0
sin
g
,
射程:
x(t0
)
v
2 0
g
s in 2
12
参数方程高阶求导法举例
补充例题：
由
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
(t 2n , n Z ),
求d2y. dx 2
d 2 y dy' dy' dx y't
dx2 dx dt dt
x
' t
cot t 2t
x
7
3.隐函数的高阶导数举例
补充例题： 方程 y tan( x y) 确定函数 y f ( x), 求 y.
解： 先求 y :
y tan(x y)
方程两边分别对x 求导数
y ' sec2 ( x y) (1 y ') (1 y 2 )(1 y ')
解得: y' 1 y 2 y 2 1 ( y 0) y2
3
2
2
两边对x求导得：
1 y 5 1 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
则
y
y 53
1 3 3x 1
1 2
1 x 1
1 2
x
1 2
5
(3x 1) 3
x x
1 2
3
5 x
1
1
2x
1
1
2x
2
5
解（二）：
由对数求导法
y'
y ln (3 x
5
1) 3
代入上式得d 140 0.14(rad / min)
高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
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6
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
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1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
13
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例5
由椭圆的参数方程
x y
a b
cos t, sin t,
所确定的函数
y y(x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
解： d y y t ( b s in t ) b c o s t b co t t d x x t ( a c o s t ) a ( s in t ) a (t 0,π,2π)
(t) (t)
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dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
9
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
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隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
隐函数及由参数方程所确定的函数
数
学 解:将题设方程两边都对x求导,得到
电
子 教
y
x
dy dx
ex
ey
dy dx
0
dy dx
y ex ey x
案
方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的
复合函数,
武 汉
例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按
科 技
复合函数求导方法做.
学
院
数
理
系
2021/4/22
技
学 院
参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方
数
理 系
法得到它的导数.
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9
高 等
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
数
学• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、
电 心、肺、肾等多脏器严重损害的，
子 教 案
全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴
电
子 间存在某种关系，从而变化率 dx/dt 与 dy/dt 之间也
教
案 存在一定关 系。
两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
武 相关变化率问题是研究这两个变化率之间的关系，以便
汉
科 技
从其中一个变化率求出另一个变化率.
学
院 数
通 过举例说明
理
系
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高 例5 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率
有全身不适症状，如-全身肌肉酸
武 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两
汉
科 腿费力；举手梳理头发时，举高
技
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第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、填空题
1.设函数()y y x =由方程sin()y x y =+所确定，则d d y x =cos()1cos()
x y x y +-+. 2.设函数()y y x =由方程e xy
y x =+所确定，则(0)y '= 2 . 3.设函数()y y x =由方程y x y =所确定，则d d y x =1(1ln )x y +. 4.由参数方程(1sin )cos x y θθθθ
=-⎧⎨=⎩所确定的函数的导数0y θ='= 1 . 5.曲线2
31x t y t ⎧=+⎨=⎩
在2t =处的切线方程为37y x =-. 二、单项选择题
1.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d y x
= B . A.22
()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+ C.22
2()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 2.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩
的函数()y y x =的二阶导数22d d y x = B . A.2csc b t a - B.32csc b t a - C.2csc b t a D.32csc b t a
3.设()y y x =由参数方程2e 321πsin 02
x t t t y y ⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定，则0d d t y x == B . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23
三、解答题
1.
求由方程arctan
ln y x =()y y x =的导数d d y x
. 解：对方程两边同时求导，得
2221xy y
x y x '-'=+， 化简得：xy y x yy ''-=+，即x y y x y
+'=-. 2.2ln(1)arctan x t y t t
⎧=+⎨=-⎩，求d d y x ，22d d y x . 解：22d 11d d 1d 2d 2d 1y y t t t x t x t t -+===+ ，2222
d d d d 111d 2d d d 241y y t t x t x t x t
t +=⋅=⋅=+ . 3.
设y =d d y x
. 解：两边取对数得：()()1ln ln 1ln 12y x x x =+--⎡⎤⎣
⎦，两边求导得: 2111211x xy y y x x x '-⎛⎫⋅=- ⎪+-⎝⎭,
故
21y y y x x '=-=-.
4.一正圆锥体的底部半径以5cm/s 速率增加，而它的高以24cm/s 的速率减小，求该圆锥在半径为30cm ，高为70cm 时的体积变化率.
解：底部半径()r r t =，高()h h t =，且有()5r t '=，()24h t '=-，
锥体体积为 2π()()3V r t h t =，22d ππ(2)d 33
t V r h rr h r h t '⎛⎫''==+ ⎪⎝⎭， 将30r =，70h =代入得23d π[23057030(24)]200π(/)d 3
V cm s t =⨯⨯⨯+-=-， 故体积变化率为3200π/cm s -.。