第三节 隐函数及由参数方程
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
隐函数及参数方程确定函数求导法则
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
y2
x a x ,
[( x )ln x 1ln x x
x
x 1
] x
xx
x
ax
x a ). ( a x ln a ln x x
( x 1) 3 x 1 , 求 y . 6. 设 y ( x 4)2e x
( x 1) 3 x 1
( x 4)2 e x
, 求 y .
x 3 t t 3, dx 求 . 7. 设 dy 2 y 3 t , x t 2 2 t (0 1) 8. 设由方程 2 t y sin y 1 dy y y ( x ), . 确定函数 求 dx
v u y u ( v ln u ) u
v
按指数函数求导公式
（二）由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系: y (t )
y y( x), 则称此函数为由参数方 程所确定的函数 .
2 x x 故 y 1 x. y t 2 ( )2 4 2 2 问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何 求函数的导数?
四、同步练习解答
1.
x 2 x y (sin x )tan x ln x 3 , 求 y . 2 (2 x) x y1 y2 分别用对数求导法求 y1 , y2 . y y1 y2 (sin x)tan x (sec2 x lnsin x 1)
ln x 3
x x ln x 1
故
[( x )ln x 1ln x x y1
x
x 1
] x
xx
x a 1 x x y a ln a ln x , ln y2 a ln x , 2 x y2 x x a a x ( a x ln a ln x ) 所以 y 2 x y y1 y2
第二章第三节隐函数的导数参数方程导数
解: 曲线上与 t
3 对应的点为 M (2 2 , 2 ), 4
曲线在 M 处的切线的斜率为
dy dx
t 3 4
(2 sin t ) (4 cos t )
t
3 4
2 cos t 4 sin t
1 3 t 2 4
于是,所求的切线方程为 即
1 y 2 (x 2 2) 2
t ( , ),
所确定的函数y=y(x)的 sin t
则，
dy 2sin t d y dt 2cos t cot t . d x d x 2cos t 2sin t dt
例6
设参数方程 x arctan t 2 y ln(1 t )
y' 4x 4x3 2x 2 4 2 , y x 2 x 1 x 1
4x 4x3 2x 于是 y' y ( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1 ( x 2 2) 2 4x 4x3 2x 即 y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
三、由参数方程确定的函数的导数
若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的 函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程 x (t )
y (t ) t ( , ),
所确定的函数．
1 t ( x) x ( t ) 这个函数是由 的反函数
课堂练习：用对数求导法则求下列函数的导数：
1.
yx
y
x2
2.
x 2( 3 x ) 4 ( x 1) 5
解答： x2 1.ln y ln x x 2 ln x
高等数学同济大学版2.3隐函数的求导法则
若函数 x (t), y (t)都可导, 且 (t ) 0, 则
dy (t) dy / dt
.
dx (t) dx / dt
dy
分析： dy dy dt
dy
1
dt .
dx dt dx dt dx dx
dt dt
例1
求由参数方程
x
y
2t t2
所表示的函数
y
y( x)的导数.
dy
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如,
x y
2t t2
t
x 2
,
y
t2
x 2
2
x2 4
,
y
x 2
.
又如,
x
y
a(t a(1
sin t) ,
cos t)
求
dy dx
.
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
参数方程求导法则：
设
x (t)
y
(t
)
tI
利用复合函数和 反函数求导法则 可证明该法则
解 等式两边取对数得
ln y sin x ln x
两边对 x 求导得
1 y
y'
cos
x
ln
x
sin
x
1 x
,
y'
ycos x ln x
sin
x
1 x
xsin x cos
x ln
x
sin x
x .
完
例2 设(cos y)x (sin x) y , 求 y'.
外导 •
内导
eln xsin x
cos
x
三节隐函数和参数方程
-1
0.5
1
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法
极坐标方程求导
4. 用Mathematica求两种函数的导数。
课后练习
P54
3．利用M athematica求由下列方程所确定的各
隐函数
y
y(x)
的导数
ey 故 y ' 1 xe y
注：求导后得到一个关于 x 的方程，解此方程则得
y 的' 表达式，在此表达式中允许含有 y 。
例2 求曲线 y3 x3 2xy上点 (1 , 1 ) 处的切线方程。
解 方程两端对 x 求导数，得
3y2y'3x22y2xy'
解出 y ' ，得 2y3x2
y' 3y22x
dy 。
dx
解 方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
一样的，都表示函数
意义是 的一阶导数。
例4 求方程 导数。
解
所确定的隐函数的
即
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
dt
dx dy
(t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
例5 已知圆的参数方程为
求
解 d yd y/d x(asint)'aco stco st d x d t d t (aco st)' asint
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第 二 章
( x − 1)( x − 2) 例6 求 y = 的导数 ( x − 3)( x − 4) 解 这函数的定义域 x > 4, 2 < x < 3, x < 1
Calculus
若 x > 4 两边取对数得 1 ln y = [ln( x − 1) + ln( x − 2) − ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2 两边对 x 求导得 1 1 1 1 1 1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 4
同理 若 2 < x < 3 y 1 1 1 1 ⇒ y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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第 二 章
dy 例7 设 x = y 求 dx 解 两边取对数得 y ln x = x ln y 两边对 x 求导得 1 1 y′ ln x + y ⋅ = ln y + x ⋅ ⋅ y′ x y 2 xy ln y − y ⇒ y′ = xy ln x − x 2 dy an a1 a2 例8 设 y = ( x − a1 ) ( x − a2 ) L( x − an ) 求 dx 解 两边取对数得 ln y = a1 ln( x − a1 ) + a2 ln( x − a2 ) + L + an ln( x − an )
y x
Calculus
两边对 x 求导得
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1 a1 a2 an ⋅ y′ = + +L+ x − a1 x − a2 x − an y a1 a2 an ] y′ = y[ + +L+ x − a1 x − a2 x − an
多个函数相乘、乘方、 开方和幂指函数
u( x )v ( x )的情形 .
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3 ( x + 1 ) x − 1 例5 设 y = , 求y′. 2 x ( x + 4) e
Calculus
解
等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3
由原方程知 x = 0, y = 0,
dy ∴ dx
x=0
ex − y = x+ey
x=0 y=0
= 1.
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Calculus
例2 设曲线 C 的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过 C 上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C 在该点的法 2 2 线通过原点 .
y0 =− x = x0 x0
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Calculus
切线方程为
⇒ ⇒ x0 y +
y0 ( x − x0 ) y − y0 = − x0
y0 x = x 0 y0 + x 0 y0 + y0 x 0 y0 ) = a x 0 y0 y0 x 0
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一般地
f ( x ) = u( x )v ( x ) ( u( x ) > 0)
Q ln f ( x ) = v ( x ) ⋅ ln u( x )
d 1 d 又Q ln f ( x ) = ⋅ f ( x) dx f ( x ) dx
上式两边对 x求导得
1 1 2 y′ = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 ∴ y′ = [ + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
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⇒ y 1 1 1 1 y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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(1 − x )( 2 − x ) 两边取对数得 若 x<1 y= ( 3 − x )(4 − x ) 1 ln y = [ln(1 − x ) + ln( 2 − x ) − ln( 3 − x ) − ln( 4 − x )] 2 两边对 x 求导得 −1 −1 1 1 −1 −1 ⋅ y′ = [ + − − ] y 2 1− x 2− x 3− x 4− x ⇒ y 1 1 1 1 y′ = [ + − − ] 2 x −1 x − 2 x − 3 x − 3
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第三节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
(1)函数的表示法
1.直接表示 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数 2.间接表示 (1)由一个方程 F(x,y)=0 所确定的函数
d ∴ f ′( x ) = f ( x ) ⋅ ln f ( x ) dx
∴ f ′( x ) = u( x )
v( x)
v ( x )u′( x ) [v ′( x ) ⋅ ln u( x ) + ] u( x )
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⇒
记 z = f ( y)
dz dz dy dy = ⋅ = f ′( y ) ⋅ dx dy dx dx
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Calculus
du 将求出的这些导数代入 =0 dx dy 得到关于 的代数方程， dx dy = g ( x , y )即为所求 解得 dx 至于隐函数求二阶导数，与上同理 dy 在 = g ( x , y )两边再对 x求导 dx dy d2y ′ 再将 = g ( x , y )代入 ⇒ 2 = G( x, y, y ) dx dx
Calculus
例9
解
设 y = x sin x ( x > 0), 求y′.
等式两边取对数得
ln y = sin x ⋅ ln x
上式两边对 x求导得
1 1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ y x 1 ∴ y ′ = y(cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ ) x sin x sin x = x (cos x ⋅ ln x + ) x
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Calculus
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
x =0
.
注意 y = y(x),
解 方程两边对 x 求导,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y y ( x + e ≠ 0) = , 解得 y dx x + e
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Calculus
用隐函数求导方法证明反函数的求导法则
设x = ϕ ( y )为直接函数， y = f ( x )为其反函数
y = f ( x )可视为由方程 x − ϕ ( y ) = 0确定的一个 隐函数
由隐函数的求导法则
Calculus
v( x) f ( x ) = u ( x ) ( u( x ) > 0) 也可表 幂指函数
示成
f ( x ) = e v ( x ) ln u( x )
这样,便可直接求得
f ′( x ) = e
v ( x ) ln u ( x )
解
方程两边对 x求导得 ′ 1 1 ⎛ y⎞ 2 2 ⋅ ( x + y )′ ⎟ = 2 ⋅⎜ 2 2 x +y ⎛ y⎞ ⎝ x⎠ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ x2 y′x − y 1 2 x + 2 yy′ ⇒ = ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 2 x +y x x + y 2 x2 + y2
⇒
y′x − y = x + yy′ dy x + y ⇒ = dx x − y
方程x = ϕ ( y )两边对 x求导得 dy 1 = ϕ ′( y ) ⋅ dx ⇒ dy 1 = dx ϕ ′( y )
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Calculus
y dy 2 2 . 例3 设 arctan = ln x + y , 求 x dx