函数的性态
函数的简单性态
函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
函数的性态分析
高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。
思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。
例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。
函数性态的研究(凹凸性和渐近线)
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C
函数的性态知识点总结
函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。
2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。
5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。
三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。
2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。
四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。
3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。
4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。
五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。
2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。
3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。
4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。
六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。
2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。
3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。
七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。
函数的性态研究(林威)
专题1 函数的性态研究（3课时）苍南龙港高中林威【考点透视】1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值）、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。
在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。
函数是一种思想，它重在渗透。
函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。
函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。
函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法解决问题。
近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。
对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。
解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。
解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。
3、合理预测单调性、性质会在解答题中出现。
分值会在10—15分左右。
一、 2004高考题汇总【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。
（一）选择题1 (2004. 某某卷)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =( A ) (A)42 (B)22 (C)41 (D)21 2. （2004.某某）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( B )(A)3 (B)32 (C)43 (D)653．(2004.全国理)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ B ）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b1 4．(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是 （ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)5、（2004.某某理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( A )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x. 6、（2004. 某某卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=(A )(A)10x -1. (B) 1-10x . (C) 1-10-x . (D) 10-x -1.7．（2004.某某理）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ C ）A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 8．（2004. 某某理）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是 （ B ）9．（2004. 某某理）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ D ）A ．f (sin 6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)10．（2004. 某某理）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （C ） A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 11．（2004. 某某卷）对于10<<a ，给出下列四个不等式D①)11(log )1(log a a a a +<+②)11(log )1(log a a a a +>+③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是 A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④12．（2004.某某理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则 )(b a f +的值为 （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 213．（2004.某某理）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004.某某理）设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ D ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞（二）填空题15．（04. 某某春季高考）方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.216．（04. 某某春季高考）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.1xx 11-+ (x ≠0)， 17．（2004. 某某理）设函数f(x)= a (x =0). 在x =0处连续，则实数a 的值为 1/2 . 18．（2004. 某某理）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为2/3 时，其容积最大. 19、（2004.某某理）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值X 围是a>0且b≤0 .20、（2004. 人教版理科）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值X 围为（ ）A 、(][]10,02, -∞-B 、(][]1,02, -∞-C 、(][]10,12, -∞-D 、[)[]10,10,2 -二、错解分析 1．已知函数2221()log log (1)log (),(1)()1x f x x p x f x x +=+-+--求的定义域;(2)求f(x)的值域。
函数性态的描述、刻画与应用分析研究
函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。
函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。
函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。
本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。
一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。
对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。
函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。
1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。
连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。
这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。
二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。
常见的刻画工具有极限、导数、积分等。
通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。
比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。
这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。
2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。
通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。
比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。
图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。
三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。
4-3 函数的性态(二)
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0)为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在(0, )为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那么 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
d2 y 由 2 0, 得t1 1, t2 1 dx
d2 y 当 t < – 1 时, 0, 即x < –4, y = f (x)是凸的. 2 dx d2 y 当–1< t <1时, 2 0, 即–4< x <4时, y = f (x)是凹的. dx
当 t > 1时,
d2 y 0, 即x >4时, y = f (x)是凸的. 2 dx
两侧邻域同号，那么它就不是曲线y=f(x)的拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
函数性态的研究(精)
10
f ( x2 ) f ( x1 ) 或 f ( x2 ) ( x1 x2 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 从而当 x2 x1 , f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
这表明 f ( x )在 I 上单调增 , 于是
(3) 得证.
第二章
§6 函数性态的研究 (2)
0.1 0.05 -1 -0.5 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25
1
0.5
1
1.5
四、函数的凹凸性(concavity)
凸函数的第一几何特征
以下凸函数为例，如图，
( x1 , f ( x1 ))
B( x2 , f ( x2 ))
x
A
x1
定义 1 (凸函数的分析定义)
若 x1 , x2 I , 及 [0， 1]，恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称f ( x )在I上是下凸函数 (或凸函数 )。
对下凸第一几何特征可简述为： 曲线在相应点间弦的下方。
4
凸函数的第二几何特征
下凸的光滑函数上任一点的切线在曲
线的下方，且 f 是单调增加的。
见下一页图示
5
6
定理 5 (凸性的判定法一, P.155.定理6.5)
设 f ( x )在I上可微, 则下列命题等价:
( 1 ) f ( x )在 I上是下凸函数 ;
(2) x1 , x2 I ,
0
Байду номын сангаас
利用: x0 x1 (1 ) x2
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(2) 类似可证 .
例4. 求函数
的极值 .
f ( x ) 6 ( x 2 导数
f ( x ) 6 x ( x 2 1) 2 ,
2) 求驻点 令 f ( x ) 0 , 得驻点x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ; 又 f ( 1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
五、曲率及其计算公式
, 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长 s 对应切线
转角为 , 定义
弧段s上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率为
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
的渐近线 .
2 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1 为垂直渐近线. x 1 x 1
2. 斜渐近线
若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
0
故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕
思考与练习
1.设在 [0 ,1] 上 f ( x ) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
x 1
tan x
因此
从而
例如
y
f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
是极大值 为极大点 , 是极小值 o 1 2 x 为极小点 , 注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 极值可能出现在导数为 0 或导数不存 在的点. y x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 凸, 3 27
四、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为曲线C 的渐近线 . y y f ( x) C M 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线
2
( 9) 4 2 12 81 96 0
2
0取最小值 x 2x 9 x 12 故函数在 00 ;在 x
2
5 1及 2
取最大值 5.
例5. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 . 说明: 2 ( x ) f ( x) 令 ( x) 由于 ( x) 与 f ( x) 最值点相同 因此也可通过 , 求最值点.( 自己练习 )
(或 x 1)
y x2
所以有铅直渐近线 x 3及 x 1
f ( x) x2 lim 2 又因 k lim x x x x 2 x 3
3
1
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
2 1
x3 不是极值点
定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时 , (1) f ( x ) “左正右负” , 则 f ( x ) 在 x0 取极大值 . (2) f ( x ) “左负右正” , 则 f ( x ) 在 x0 取极小值 ;
提示: 利用 f ( x ) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
例1. 确定函数
令 f ( x ) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x ) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
3 2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 1 5 1 2 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2 4 2 f ( x ) x ( 2 x 2 9 x 12) x1 0 , x2 1, x3 2
L
PN
y kxb
o
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
y
x
x
无渐近线 .
o
1. 水平与铅直渐近线
若
(或 x )
则曲线 则曲线
有水平渐近线 y b .
若
(或 x x0 )
有垂直渐近线 x x0 .
例9. 求曲线
1 2) 2 解: lim ( x x 1
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
(2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , ( 2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
36 x ( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2) 求拐点可疑点坐标
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 27 3 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
f ( x) f ( x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) lim x x0 x x0 x x0 x x0
由 f ( x0 ) 0 知 , 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x ) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x ) 0 , 当 x0 x x0 时， x0 x0 x0 f ( x ) 在 x0 取极大值 .
思考与练习
f ( x) f (a) 1, 则在点 a 处(B ). 2. 设lim 2 xa ( x a )
( A) f ( x) 的导数存在 且 f ( a ) 0 ； ( B ) f ( x ) 取得极大值 ; (C ) f ( x ) 取得极小值; ( D ) f ( x ) 的导数不存在.
例6. 判断曲线
3 解: y 4 x ,
的凹凸性.
y
故曲线
说明:
在
上是向上凹的.
o
x
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线 的一个拐点.
或不存在,
但 f ( x ) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( )( x1 ) ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 )( x2 f ( x2 ) f ( ) f ( ) ) 2 ! ( x2 2 2 2 2 两式相加
例7. 求曲线
的拐点.
2 3
x 解: y 1 3
x
2x , y 9
5
3
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )
凸
的拐点 .
例8. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x 3 12 x 2 ,
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
(
1 2!
x 2 x1 2 [f 2
)
(1 ) f ( 2 )]
当 f ( x ) 0时,
f
x1 x2 ( ), 2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
(自证)
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例3. 求函数
2 3
解:1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 2; 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 令 f ( x ) , 得 x2 0 3) 列表判别
x ( , 0) f ( x ) f ( x)
提示: 利用极限的保号性 .
三、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
连续曲线上凹凸分界点称为拐点 .
y y y
o o o
xx xx x x 1 x x 1 22 x 1 x 1 22 x 22