抛物线测试题

抛物线测试题
2020年12月14日时长：30分钟满分：100分
一、选择题（本大题共4小题，共20分）
1.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，如果x1+
x2=6，则|PQ|等于
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
2.抛物线的准线方程是y=1
2
，则其标准方程是()
A. y2=2x
B. x2=−2y
C. y2=−x
D. x2=−y
3.已知抛物线ax2=y的焦点到准线的距离为1
2
，则实数a等于( )
A. ±1
B. ±2
C. ±1
4D. ±1
2
4.若抛物线x2=ay(a>0)的焦点到准线的距离为1，则a=()
A.2
B. 4
C. 1
2D. 1
4
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
5.若抛物线y2=mx与椭圆x2
9+y2
5
=1有一个共同焦点，则m=____________．
6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准
线方程为______．
7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2
4
−y2=1的右焦点与抛物线y2=2px(p>
0)的焦点重合，则p的值为______．
8.已知抛物线C：x2=4y，则其焦点坐标为______，直线y=x+1与抛物线C交于
A，B两点，则|AB|=______．
三、解答题（本大题共2小题，共60分）
9.已知抛物线C：x2=4y，过点P(1,0)作直线l．
(1)若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程．
(2)若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|．10.已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O，准线方程为x=−1
．
2
(1)求抛物线方程；
(2)过点(1,0)且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．
答案和解析
1.【答案】B
解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1.根据题意可得，|PQ|=|PF|+ |QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8．
2.【答案】B
解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=−2py(p>0)，
∵抛物线的准线方程为y=1
2，∴p
2
=1
2
，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=−2y．
3.【答案】A
解：因为抛物线ax2=y的标准形式为x2=1
a y，所以焦点到准线的距离为|1
2a
|=1
2
，
解得a=±1．4.【答案】A
解：由题意抛物线x2=ay(a>0)，则p=a
2，故焦点到准线的距离为a
2
=1，即a=2．
5.【答案】±8
解：椭圆x2
9+y2
5
=1的焦点为(−2,0)，(2,0)，显然抛物线y2=mx的焦点在x轴上，
当m<0时，其焦点为(m
4,0)，∴m
4
=−2，即m=−8；
当m>0时，其焦点为(m
4,0)，∴m
4
=2，即m=8；综上所述，m=±8，
6.【答案】x=−4
解：∵抛物线方程为y2=2px∴抛物线焦点为F(p
2,0)，准线方程为x=−p
2
又∵点M(1,m)到其焦点的距离为5，∴p>0，根据抛物线的定义，得1+p
2
=5，∴p=8，∴准线方程为x=−4．故答案为：x=−4．
由题意得：抛物线焦点为F(p
2,0)，准线方程为x=−p
2
.因为点M(1,m)到其焦点的距离为
5，所以点M到抛物线的准线的距离为：1+p
2
=5，从而得到p=8，得到该抛物线的准线方程．
7.【答案】2√3
双曲线x2
4−y2=1的右焦点为(√3,,0)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(p
2
,0)，
则p
2
=√3，所以p的值为2√3，故答案为2√3．
8.【答案】(0,1) 8
解：已知抛物线C ：x 2=4y ，则其焦点坐标为(0,1)，由{y =x +1
x 2=4y ，可得：x 2−4x −4=0，
直线y =x +1与抛物线C 交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点， 所以x 1+x 2=4，x 1，x 2=−4，
所以|AB|=√1+12×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2×√16+16=8．故答案为：
(0,1)，8． 9.【答案】解：(1)设直线l 的方程为y =k(x −1)，
联立{y =k(x −1)
x 2=4y
，消去y 得，x 2−4kx +4k =0，
则△=16k 2−16k =0，解得k =0或k =1，故直线l 的方程为y =0或y =x −1； (2)抛物线C 的焦点为F(0,1)，则直线l 的方程为y =−x +1，
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =−x +1
x 2=4y ，消去x 得，y 2−6y +1=0，则y 1+y 2=6，
故|AB|=y 1+y 2+p =8．
10.【答案】解：(1)抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线方程为x =−1
2，
F 为抛物线的焦点，可得F(1
2,0)，即p
2=1
2,p =1，抛物线的方程为y 2=2x ； (2)设直线l 方程为x =1+y,p(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),{x =1+y
y 2=2x ⇒y 2−2y −2=0,
则{Δ=12>0
y 1+y 2=2y 1.y 2=−2
,所以PQ =√1+12|y 1−y 2|=√2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√6,∵d =1+1
=
√22
,∴S △OPQ =1
2
×
√2
2
×2√6=√3．。