第二章各向异性材料的应力应变关系解读
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系
三、正交各向异性材料的应力-应变关系
具有3个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。当图2.2中的
1O2，1O3和2O3平面均为弹性对称面时，按单对称材料的分析方法可以得到式
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233
C013
C23 0
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
即刚度矩阵或柔度矩阵具有对称性。因此，一般各向异性材料中独立的 性常数为21个。
二、单对称材料的应力-应变关系
事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。 单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材 料（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
应变—应力关系为:
11 S1111
22
S2211
33 23
各向异性材料应力和变形特性分析
各向异性材料应力和变形特性分析各向异性材料是指具有不同的物理性质和力学性质的材料。
与各向同性材料相比，各向异性材料的应力和变形特性更加复杂和多样化。
了解和分析各向异性材料的应力和变形特性对于材料的设计和工程应用至关重要。
本文将介绍各向异性材料的应力和变形特性及其相关分析方法。
首先，我们需要了解各向异性材料的基本概念。
各向异性是指材料在不同方向上具有不同的物理性质和力学性质。
这些不同的性质可以通过晶体结构和分子排列方式来解释。
晶体结构的对称性和分子排列的有序性决定了材料在不同方向上的物理性质和力学性质的异同。
各向异性材料的一个常见例子是单晶材料，其晶体结构呈现出明显的对称性差异。
了解各向异性材料的应力和变形特性是从事材料设计和工程应用的重要基础。
在实际应用中，我们经常面对各向异性材料的力学性能问题，如应力分布、应变变化和材料的耐久性。
因此，理解和预测各向异性材料在受力过程中的行为对于材料工程师和设计师至关重要。
在分析各向异性材料的应力和变形特性时，我们通常使用弹性力学理论。
弹性力学理论可以描述材料在受力过程中的应力分布和变形特性。
应力是指材料中的力在单位面积上的作用效果。
变形是指材料在受力作用下产生的形状或体积的变化。
弹性力学理论可以通过建立数学模型来描述各向异性材料的应力和变形行为。
在弹性力学理论中，我们经常使用应力张量和应变张量来描述各向异性材料的应力和变形特性。
应力张量是描述材料中应力分布的矩阵。
它可以用来计算各向异性材料在不同方向上的应力值。
应变张量是描述材料中变形情况的矩阵。
它可以用来计算各向异性材料在不同方向上的应变值。
为了更好地分析各向异性材料的应力和变形特性，我们可以使用各向异性材料力学模型。
这些模型基于各向异性材料的晶体结构和分子排列方式，可以用来预测材料在受力过程中的行为。
常见的各向异性材料力学模型包括弹性模型、塑性模型和粘弹性模型等。
弹性模型是最常用的各向异性材料力学模型之一。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
我所认识的应力与应变关系
我所认识的应力与应变关系经过分析，我们已经得知弹塑性问题中有15个未知量，9个方程，因此它是一个超静定问题，为了求解这一问题必须引入应力应变，它们之间一定存在必然的联系，这种联系就是我们所了解的应力应变关系。
应力应变关系即所谓的本构关系，是物质力学特性的反映，通常用本构方程来描述。
影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
图1-1、应力应变关系图从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
各向异性弹性力学课件
开发更先进的实验设备和方法，提高测 试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性 能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能 特点，确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例 分析
案例一：高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一，主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强 度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀，与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关
。
各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中 叶，当时主要关注天然材料的各向异性性 质。
20世纪初，随着复合材料和金属材料的 广泛应用，各向异性弹性力学的理论得到 进一步发展和完善。
随着科技的进步，各向异性弹性力学在航 空航天、土木工程、机械制造等领域得到 广泛应用，为解决复杂问题提供了重要的 理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上 表现出不同的弹性性质，导致其 力学行为非常复杂，难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框 架来描述各向异性弹性材料的本 构关系、边界条件和应力分析。
各向异性材料的应力分析
各向异性材料的应力分析材料科学与工程领域中，各向异性材料是一类具有不同物理性质和力学行为的材料。
相比于各向同性材料，各向异性材料在应力分析中具有更加复杂的特性。
本文将探讨各向异性材料的应力分析方法和相关理论。
首先，我们需要了解各向异性材料的基本特性。
各向异性材料是指其物理性质在不同方向上具有差异的材料。
这种差异可以体现在材料的弹性模量、热膨胀系数、导热性等方面。
在应力分析中，各向异性材料的主要特点是其应力-应变关系不再是简单的线性关系，而是具有非线性和非均匀性。
对于各向异性材料的应力分析，最常用的方法是使用张量分析。
张量是一种具有多个分量的数学对象，可以用来描述各向异性材料的物理性质和力学行为。
在应力分析中，我们通常使用应力张量和应变张量来描述材料的应力和应变状态。
应力张量是一个3x3的矩阵，表示材料内部的应力分布情况。
在各向异性材料中，应力张量的各个分量在不同方向上可能具有不同的取值。
例如，在一个各向异性材料中，沿x方向的应力分量可能与沿y方向和z方向的应力分量不同。
通过求解应力张量，我们可以得到材料内部的应力分布情况，从而进一步分析材料的强度和稳定性。
应变张量是一个3x3的矩阵，表示材料内部的应变分布情况。
在各向异性材料中，应变张量的各个分量也可能在不同方向上具有不同的取值。
通过求解应变张量，我们可以得到材料的变形情况，进而分析材料的可塑性和变形能力。
在实际的应力分析中，我们通常需要求解各向异性材料的弹性常数。
弹性常数描述了材料的弹性性质，包括杨氏模量、剪切模量和泊松比等。
对于各向异性材料，弹性常数的取值与材料的晶体结构和分子排列方式有关。
求解弹性常数是各向异性材料应力分析的关键步骤，可以通过实验测量或者计算模拟的方法得到。
除了张量分析和弹性常数的求解，各向异性材料的应力分析还涉及到一些其他的方法和理论。
例如，有限元分析是一种常用的数值计算方法，可以用来模拟各向异性材料的应力分布。
该方法通过将材料划分为许多小的单元，然后求解每个单元的应力和应变，最终得到整个材料的应力分布情况。