常见分布的数学期望和方差
常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
【精选】泊松分布的数学期望与方差
【精选】泊松分布的数学期望与方差
泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件的发生次数。
泊松分布的数学期望和方差可以通过其参数λ来计算。
泊松分布的数学期望为μ = λ，即平均每个单位时间或单位空
间内事件的平均发生次数等于λ。
例如，λ=2表示平均每个单
位时间或单位空间内发生2次事件。
泊松分布的方差为σ^2 = λ，即每个单位时间或单位空间内事
件的发生次数的方差等于λ。
方差表示随机变量的离散程度，
泊松分布的方差等于其数学期望。
如果泊松分布的参数λ较大，那么其数学期望和方差也会相应增加，整个分布会呈现出较大的中心趋势和较大的离散程度。
反之，如果λ较小，分布的中心趋势和离散程度也会相应减小。
泊松分布的数学期望和方差都与其参数λ有关，数学期望等于λ，方差也等于λ。
常见分布的期望与方差的计算知识分享
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
数学期望和方差
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
概率计算中的期望与方差计算
概率计算中的期望与方差计算概率论是数学中的一个重要分支，其中期望值和方差是计算概率分布特征的核心概念。
在概率计算中，期望值和方差的计算可以帮助我们了解随机事件的平均趋势和离散程度。
本文将介绍期望值和方差的概念、计算方法以及其在概率计算中的应用。
1. 期望值的定义与计算方法期望值是一组数据中各数值与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量的平均取值。
设随机变量X有n个取值x1, x2, ... , xn，并且对应的概率为p1, p2, ... , pn，则期望值的计算公式为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn其中E(X)表示X的期望值。
通过计算，可以得到随机变量X的平均取值。
2. 方差的定义与计算方法方差是一组数据中各数值与其期望值的差的平方与其概率加权平均的结果。
它可以理解为随机变量取值与其平均取值的离散程度。
方差的计算公式为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn其中Var(X)表示X的方差。
通过计算，可以得到随机变量X的离散程度大小。
3. 期望值与方差的应用举例在实际应用中，期望值和方差有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：3.1 投掷硬币假设投掷一枚公平的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。
则硬币的期望值为E(X) = p * 1 + (1-p) * 0 = p，方差为Var(X)= (1-p)^2 * p + p^2 * (1-p) = p(1-p)。
通过计算可以知道，硬币投掷的平均结果为正面与反面的概率加权平均，且平均偏离程度由p(1-p)表示。
3.2 随机抽样在随机抽样中，假设有n个样本，每个样本的概率为p，被抽中的概率为1-p。
则样本的期望值为E(X) = p，方差为Var(X) = p(1-p)/n。
通过计算可以得到，样本的平均结果由单个样本的概率加权平均，且偏离程度与样本数量n成反比。
经典分布及其他公式
续表：
对总体（或样 本）的要求
假设
检验统计量及其分布
H0 的拒绝域
H 0 : 0
正态总体
H1 : 0 H 0 : 0 H1 : 0
2
未知
t
x 0 s/ n
t t
2
t t t t
H 0 : 0 H1 : 0 H 0 : 1 2
2
2.
2分布
设x1 , x 2 , , x n 是独立同分布随机变量 ，且每个随机变量都服 从 标准正态分布 N 0,1, 则随机变量 xi2 服从自由度为 n的卡
2 i 1 n
方分布 2 (n).
2 若对于给定的 （0 1)，存在 (n)，使得
两正态总体 方差已知
H1 : 1 2 H 0 : 1 2 H 1 : 1 2 H 0 : 1 2 H 1 : 1 2
Z
( x1 x 2 ) ( 1 2 )
Z Z
2
12 22 n1 n2
Z Z Z Z
正态总体
2
(n 1) s 2
2
方差比
2 1 2 2
两正态总体
2 2 s2 / 2 F 2 s1 / 12
假设检验小结表
对总体（或样 本）的要求 假设 检验统计量及其分布 H0 的拒绝域
H 0 : 0 H1 : 0
正态总体
H 0 : 0 H1 : 0 H 0 : 0 H1 : 0 H 0 : 1 2
t t
2
t t t t
续表：
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O
1
x
1
dx
x
( x y)dy
1
dy
y
(x
y ) dx
1
．
0
0
0
0
3
E(Z ) E[g( X , Y )]
g( x, y) f ( x, y)dxdy
22
练习：
P131 习题四
23
分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f(x)来自e x0,,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
15
2. 指数分布 X ~ E( ) .
E( X )
1
，D( X
)
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
0
x 2 de x x 2ex
0
0
2
0
x ex
dx
2
2
.
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
a ba
1 b3 a3 b2 ab a2 ，
ba 3
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 (b a)2 . 12
14
2. 指数分布 X ~ E( ) .
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
2q p2
p
1 q p2
，
所以
1 q D( X ) p2
1 p2
q p2
1 p p2 .
9
xk
1
，x 1
k0
1 x
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
再逐项求导， k(k
k2
1) x k2
2 (1 x)3
，
x
1
令 x q，
k(k 1)qk2
k2
2 (1 q)3
概率分布或概率密度
数学期望
方差
种
0-1 P{ X k} pkq1k ，k 0,1
常 分布
(0 p 1, q 1 p)
p
见 分
二项 分布
P{ X
k}
C
k n
pk q nk
k 0,1,2, , n (0 p 1,q 1 p)
np
布 的
泊松 P{ X k} k e ，( 0)
.
10
例1 设X服从二项分布B(n,p),则有 ( ).
A. E(2 X 1) 2np B. E(2 X 1) 4np 1 C. D(2 X 1) 4np(1 p) 1 D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解 选(D).
例2 设随机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
.
20
例2 设随机变量 X 在区间[a, b] 上均匀分布， EX 1 ， EX 2 4 ，试求 a 和 b（a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
17
3. 正态分布 X ~ N(, 2 ) E( X ) ，D( X ) 2
令 x t
D( X ) E[X E( X )]2 1
(x
)2
e
( x )2 2 2
dx
2
2
2
t2
t
2e
2
dt
2
2
t2
t de 2
2 2
t2
te 2
2 2
t2
e
2 dt
2
.
18
几 分布
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
E( X ) ，D( X )
E( X 2 ) k 2 k e k k e
k0 k!
k1 (k 1)!
k
(k 1)
e
k2
(k 1)!
k e
k1 (k 1)!
2
，
所以 D( X ) 2 2 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上
均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
解 易见X和Y的联合概率密度为
y x y
f (x,
y)
1, 0，
0
x 1，0
其它
y
1，
1
x y
x y
11
E | X Y | 0 0 | x y | dxdy
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
1
2
.
16
3. 正态分布 X ~ N(, 2 )
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
，
x
( 0)
2
E( X ) xf ( x)dx
1
2
(
xe
x )2 2 2
dx
奇
函
数
1
t2
( t ) e 2 dt
2
令 x t
t2
te 2 dt
1
t2
e 2 dt .
2
2
5
3. 泊松分布 X ~ P()
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
由无穷级数知识知， ex
xk ,
x (, )
k0 k!
E( X ) k k e k e
k0 k!
k1 (k 1)!
e i e e .
i0 i!
6
3. 泊松分布 X ~ P()
n1
np
(n 1)!
p i q n1 i
i0 i!(n 1 i)!
令i k1
np( p q)n1 np .
3
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X ) np ，D( X ) np(1 p)
第三节
1
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
D.以上均不成立
解 选(B).
11
例3 设事件A在每次试验中出现的概率为0.5，试利 用切比雪夫不等式估计1000次独立试验中，事件A出 现450到550之间的概率．
解 设X表示事件表示在1000次独立试验中出现的次数，
则 X ~ B(1000, 0.5) ,
2
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X )
n
k
C
k n
p
k
q
n
k
k0
n
k
k 1
n! k!(n
k )!
pk q nk
n
np
(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)!(n k )!
EX 1000 0.5 500，DX 1000 0.5 0.5 250．
由切比雪夫不等式，
P{
X
}
2 2
P{450 X 550} P{| X 500 | 50}
1
DX 502
1
250 2500
0.90 .
12
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
E( X 2 )
n
k 2Ckn
k0
pkqnk
n
np k
k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k)!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k)!
p
k
1
q