直线与圆锥曲线的位置关系综合应用(附详细答案)【打印讲义】
二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用
【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。
【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。 【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.
1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】
1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）
A 、5
B 、10
C 、9
D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12
-=-x k x
有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A 、)3
3,3
3(-B 、)
3,3(-C 、???
?
?-0,33D 、??????????? ??--33,
2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）
A 、双曲线x 2
-y 2
=1 B 、双曲线x 2
-y 2
=1的右支 C 、半圆x 2
+y 2
=1(x<0) D 、一段圆弧x 2
+y 2
=1(x>
2
2)
4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为
5、椭圆
19
16
2
2
=+
y
x
在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBO
S 四边形
的最大
值为
题型一、最值及值域问题
例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：222
2
1(0)y x a b a
b
+
=>>的
上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：2
4x y =的焦点，
点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3
MF =。
（1）求椭圆C 1的方程； （2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线y ＝kx （k ＞0）与AB 相交于点D ，与椭圆C 1相交于点E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。
【跟踪训练1】
【广东省肇庆市2013届高三一模】已知椭圆2212
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>
的离心率为3
e =
，直线
:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.
（1）求椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0=?RS QR ，求||Q S
的取值范围.
题型二：定点、定值问题
例2.【湖北省八市2013届高三3月调考】已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，且,A C B C 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠．
（Ⅰ）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线； （Ⅱ）当12
m =-
时，过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为
Q (,M Q 不重合)．求证直线M Q 与x 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．
例3.【北京市朝阳区2013届高三一模】已知椭圆()222
2
:10x y C a b a
b
+
=>>过点(2,0)A ,
2
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线A E ，A F 分别交
直线3x = 于M ，N 两点,线段M N 的中点为P .记直线P B 的斜率为k '，求证: k k '?为定值.
【跟踪训练2】【浙江省金华十校2013届高三联考】
题型三：圆锥曲线中的探究性问题
例 4.【京市西城区2013届高三一模】如图，已知椭圆2
2
14
3
x
y
+
=的左焦点为F ，过点F 的直线交
椭圆于,A B 两点，线段A B 的中点为G ，A B 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点． （Ⅰ）若点G 的横坐标为14
-
，求直线A B 的斜率；
（Ⅱ）记△G FD 的面积为1S ，△O ED （O 为原点）的面 积为2S ．试问：是否存在直线A B ，使得12S S =？说明理由．
【跟踪训练3】
【福建省厦门市2013届高三3月质量检查】已知圆22:34O x y +=，椭圆2
2
:
1259
x
y
C +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段O P 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标； （Ⅱ）现有如下真命题：
“过圆222253x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”； “过圆2
2
2
2
47x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆222
2
14
7x y
+
=的两条切线，则这两条切线互相垂直”
． 据此,写出一般结论，并加以证明．
【练习与作业】
相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OB OA OP +=，证明FQ OP .为定值并求出该值.
2.【湖北省荆州市2013届高三3月第二次质量检查】已知圆Ｃ：＝８及点Ｆ（１，０），
Ｐ为圆Ｃ上一动点，在同一坐标平面内的动点Ｍ满足：,│
│＝│
│．
（１）求动点Ｍ的轨迹Ｅ的方程；
（２）过点Ｆ作直线l 与（１）中轨迹Ｅ交于不同两点Ｒ，Ｓ，设＝λ，λ∈［－２，－１），
求直线l 的纵截距的取值范围．
3.【福建省南平市2013届高三毕业班质量检查】如图，设椭圆C :12
22
2=
+
b
y a
x （0a b >>
）的离心率2
e =
M 、N 的距离
O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B
两点.
（ⅰ）试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是请求
出这个定值，若不是请说明理由； （ⅱ）求AB 的最小值.
【课题】直线与圆锥曲线的位置关系综合应用参考答案
【基础训练】1、B 2、C 3、B 4、12003。5、26 设P(4cos ?,3sin ?)(0
2
π
)
)4
(26)cos (sin 6cos 432
1sin 342
1π
?????+
=+=??+??=
+=??sn S S S OBP OAP APBO
四边形
，
当?=4
π
时,APBO
S 四边形
的
最大值为26 【例1】
【跟踪训练1】
解：（1）椭圆的方程是2
2
1:
13
2
x
y
C +
=. （4分）
（2）由条件，知2||||M F M P =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物
线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. （7分）
（3）由（2），知(0,0)Q ，设22
12
12,,,44y y R y S y ????
? ?
????
，∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ????-==- ? ?????
由0=?RS QR ，得
()
()2
2
2
1
2
1
1210
16
y y
y y y y -+-=，∵12y y ≠，∴21116y y y ?
?=-+
??
?
，
∴222121
256323264y y y
=+
+≥=，当且仅当2
121
256y y
=
，即14y =±时等号成立.
（11分）
又
||Q S =
（12分）
∵22
64y ≥，∴当22
64y =，即28y =
±时，min ||QS =
（13分）
故||Q S
的取值范围是)
?+∞?
. （14分）
【例2】（Ⅰ）由题知：
11
y y m x x
-+?= ，化简得：22
1(0)m x y x -+=≠ …………2分
当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；
当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点； ……………………………6分 （Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ?≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+， 代入
2
21(0)2
x
y x +=≠整理得22
(2)210t y ty ++-=
122
22t
y y t -+=+，122
1
2
y y t -=
+， ………………………………9分
又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-
Q MQ 的方程为121112
()y y y y x x x x +-=
-- 令0y =，
得121121121112
12
12
()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+
=++
=
+=+++
故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分 解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ?≠
依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =- 代入
2
21(0)2
x
y x +=≠整理得：222
2
(12)4220k x k x k +-+-=
2122
412k
x x k
+=
+,2
122
2212k x x k -=
+， ……………………………9分
Q MQ 的方程为12
1112
()y y y y x x x x +-=
-- 令0y =，
得12112112121112
1212()(1)()2()2(2)
2
y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+
=+
=
=++-+-
∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分
【例3】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为
2
2
14
x
y +=. …4分
（Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.
由2
2
(1),
440
y k x x y =-?
?
+-=?得2222(41)8440k x k x k +-+-=.
设1122(,),(,)E x y F x y ,则2
2
12122
2
844,41
41
k
k x x x x k k -+=
=
++.
直线A E ，A F 的方程分别为：12
12(2),(2)2
2y y y x y x x x =-=
---，
令3x =，则1212(3,
),(3,
)2
2
y y M N x x --,所以1
2121
(3,
(
))22
2
y y P x x +
--.
所以122112(1)(2)(1)(2)4
(2)(2)
k x x k x x k k k x x --+--'?=?--2
1212121223()4
4
2()4
k x x x x x x x x -++=?
-++ 2
2
2
2
2
222
2
8824164
414416164
4
41
k k k k
k k k k k --+++=?
--+++2
241
444k
k -=?=-. ……………14分 【跟踪训练2】
【例4】（Ⅰ）解：依题意，直线A B 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ……1分
将其代入
2
2
14
3
x
y
+
=，整理得 2222
(43)84120k x k x k +++-=． ……3分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2
122
843
k
x x k -+=
+． ……4分
故点G 的横坐标为
2
12
2
42
43
x x k
k +-=
+．依题意，得
2
2
4143
4
k
k -=-
+， 解得 12
k =±
． 7分
（Ⅱ）解：假设存在直线A B ，使得 12S S =，显然直线A B 不能与,x y
轴垂直．由（Ⅰ）可得 2
2
2
43(
,
)4343
k
k
G k k -++． ……8分
因为 D G A B ⊥，所以
2
2
2
3431443
D k
k k k
x k +?=---+， 解得 2
243D k
x k -=+， 即 2
2(,0)43k
D k -+． 因为 △G FD ∽△O ED ，所以 12||||S S G D O D =?=． ………11分
所以
2
2
43
k
k -+， ………12分
整理得 2890k +=． 因为此方程无解，
所以不存在直线A B ，使得 12S S =． ………14分
【跟踪训练3】解：本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分．
（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则22
0034x y +=， （1） ……………………1分
设线段O P 的垂直平分线与O P 相交于点M ，则M 00(
,
)2
2
x y ，……2分
椭圆2
2
:
125
9
x
y
C +
=的右焦点(4,0)F ， M F O P ⊥Q ,∴1O P M F k k ?=-，∴
00
2
14
2y y x x -?=--， ∴2
2
00080y x x +-=， （2）……………4分
由（1），（2），解得0174
x =
，∴点P 的横坐标为
174
．…5分
（Ⅱ）一般结论为：“过圆2222
x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆222
2
1x y a
b
+
=的
两条切线，则这两条切线互相垂直．”…6分 证明如下：
（ⅰ）当过点Q 与椭圆
222
2
1x y a
b
+
=相切的一条切线的斜率
不存在时，此时切线方程为x a =±，Q 点Q 在圆2222
x y a b +=+上 ，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b
=±恰好为过点Q 与椭圆
222
2
1x y a
b
+
=相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．……7分
（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆
222
2
1x y a
b
+
=相切的切线的斜率存在时，
可设切线方程为()y n k x m -=-，由22
221,(),x y a
b y n k x m ?+=???-=-?
得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=， 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，…9分
Q 直线与椭圆相切，∴4222222222
4()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ?=--+--=，整理得
()()2
2
2
22
20m
a
k
mnk n b
--+-=，
……11分∴2212
2
2
n b
k k m a
-=
-， 点(,)Q m n 在圆2222
x y a b +=+上，
∴22
22
m n a b +=+，……13分
∴2
2
2
2
m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，
综上所述，命题成立．……………………14分
【练习与作业】 1.
2.
3. 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为
2
2
14
x
y +=………4分
（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分
设),(),,(2211y x B y x A ,
① 当直线AB 的斜率不存在时，则AO B ?为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =，将x y =代入
14
2
2
=+y x
，解得55
2±
=x
所以点O 到直线AB 的距离为55
2=d ；………6分
② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2
2
14
x
y +=
联立消去y 得2
2
2
(14)8440k x kmx m +++-=，122
814km x x k
+=-
+，2
12244
14m x x k -=+………8分 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(2
21212
=++++m x x km x x k ，所以2
222
2
2
2
448(1)
1414m k m k m k
k
-+-
+=++，整理得22
54(1)m k =+，
所以点O 到直线AB
的距离d =
5
=
综上可知点O 到直线AB 的距离为定值
55
2………11分
（ⅱ）在Rt AOB ?中，因为OB OA AB d ?=? 又因为OB OA ?2≤2
2
2
AB
OB
OA =+，所以2
AB ≥AB d ?2………13分
所以AB
≥25
A B d ≥=
OB OA =时取等号，即AB 的最小值是
55
4………14分
解法二：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值，设()00,y x A ,
①当直线OA 的斜率为0时，2=OA ，1=OB ，此时55
2=
?=
AB
OB OA d
同理，当直线OA 的斜率不存在时，55
2=d ………6分
②当直线OA 的斜率存在且不为0时，设直线OA 的方程为kx y +
=与椭圆C ：2
2
14
x
y +=
联立，解得1
442
2
0+=
k x ， 1
4)1(4)1(2
2
2
202
++=
+=k k k x OA
………8分
同理，4
)1(42
2
2
++=
k k OB
，所以4
511
2
2
=
+OB
OA
………10分
所以
5
5
2=
?AB
OB OA ，即55
2=
d ，综上可知点O 到直线AB 的距离为定值5
5
2
………11分
（ⅱ）4
174)
1(202
4
2
2
2
2
2
+++=
+=k k k OB
OA
AB
………12分
2
194201
294202
2
2
4
2++
+
=+++
=k
k k k k
≥
5
164
9420=
+
………13分
当且仅当
2
2
1k
k
=
，即1±=k 时，
AB
的最小值是5
5
4
………14分
圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
圆锥曲线培优讲义
圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆 的离心率为，且过点 ．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ． （1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距 离，并证明 S =1 2∣x 1y 2?x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33, √3 3)，S =1 3，求 k 的值． （3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变 动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆()0,01:22 22 >>=+b b y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -, 椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ?中，满足 .12 7,12 1221π π = ∠= ∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程； （2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ?=?，求 22OC OB +的值. 4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率 之积为1 4 -
直线和椭圆(圆锥曲线)常考的题目型
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2 2 4 2 (21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。
高考数学-直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=--
圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案
圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，
“圆锥曲线与方程”复习讲义
“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
最新高考数学二轮专题综合训练-圆锥曲线(分专题-含答案)
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649 x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +? =????=??，∴00262x x y y =-??=?． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ， 8=c ，有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
圆锥曲线练习题(附答案)
) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 .
9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程.
2021新高考数学二轮总复习专题突破练25直线与圆及圆锥曲线含解析
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1: x 2a + y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4 3|AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|.
4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3 2 )是椭圆上 一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA =6S△PHN,求直线MN的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
圆锥曲线大题练习1(供参考)
1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离； （Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由.
圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义
前言 编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂 结论。本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。 不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。 本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。 由于本书核心部分来自孙斌老师。我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。如有疏漏与错误，还请包涵与指正。QQ:21113823 湖北省广水实高李大丹 目录 第一章题目信息转化为坐标表达/2 1.1距离公式与弦长公式/3 1.2题目核心条件转化为坐标/9 1.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/25 2.1通过表示点的坐标解决问题/25 2.2怎么获取点的坐标/26 2.3设点与设直线结合起来/41 第三章定点定值/49 3.1什么样的直线过定点/49 3.2怎么解决直线过定点/50 3.3圆过定点与定值举例/58 第四章优化计算/60 4.1反设直线/60 4.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/66 5.1三角形的面积表达/66 5.2求最值之变量化一/77 5.3求最值之均值不等式/79 5.4求最值之借助导数/83第六章切线/86 第七章轨迹方程/98 第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136 第十章对称问题/143 第十一章弦中点与点差法/149
第1讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质
第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 [选题明细表] 知识点、方法题号 直线与圆2,3,13 圆锥曲线的定义与标准方程的应用1,7,8,9,14 圆锥曲线的几何性质5,10,11,16 圆锥曲线的离心率4,6,12,15 一、选择题 1.(2019·武汉模拟)已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P(x,y)满足|PF1|- |PF2|=6,则P点的轨迹为( D ) (A)椭圆(B)双曲线 (C)双曲线的一支(D)一条射线 解析:F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6, 因为|F1F2|=6,则点P的轨迹是一条射线.故选D. 2.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为( A ) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)
的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1,故选A. 3.(2019·合肥三模)已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,则实数a的值等于( B ) (A)2或10 (B)4或8 (C)6±2(D)6±2 解析:由∠MPN=可得∠MCN=2∠MPN=. 在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=, 可得点C(3,-)到直线MN,即直线l:x-y-a=0的距离为2sin=1. 所以=1,解得a=4或8.故选B. 4.(2019·临沂三模)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y-2)2=2所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( B ) (A) (B)2 (C)(D)2 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 由对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0. 圆x2+(y-2)2=2的圆心坐标为(0,2),半径为, 则圆心到渐近线的距离d==1,
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1.已知椭圆22 1102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( ) A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8 【解析】由24 2(10)()2 m m ---=，得8m =,故选：D 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离 心率为（ ) A B.12 C D ．2 3 【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a 所以e . 3.设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１ 答案:C 4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ) A B D 答案:D ５．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ） A 答案:Ｄ 6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么 12||PF PF +的最小值是（ ) Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ 7．双曲线22 1259 x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ ) A ．22或２ Ｂ.7 Ｃ．２２ Ｄ.2 【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．
圆锥曲线大题练习1.doc
1. 已知动直线 l 与椭圆 C: x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的 3 2 面积 S OPQ = 6 , 其中 O 为坐标原点 . 2 （Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值； （Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE S ODG S OEG 6 ?若存在，判断△ 2 DEG 的形状；若不存在，请说明理由 . 2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l ⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大 到小依次为 A ， B ， C ， D. （I ）设 e 1 ，求 BC 与 AD 的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由 3. 设 ，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上 运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线 交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹 方程。 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
圆锥曲线讲义(带答案)
个性化辅导授课教案 学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 圆锥曲线专题 课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段 年 月 日 时间段 教 学 内 容 圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12 F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题
平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题 17.0 圆锥曲线几何性质 如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心 率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用? PF t +PF2| =2a》￡沪2方程为椭圆， 椭圆方程的第一定义：PF1- PF2 =2a F I F2无轨迹， PF1 - PF2 =2a = F t F2以F"F2为端点的线段 |PF t _PF2| =2aYF t F2方程为双曲线 双曲线的第一定义：PF1 _PF2 =2a - F1F 2无轨迹 PF i -PF 2 =2a=F i F2以F i,F 2的一个端点的一条射线 圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线|的距离之比为常数e的点的轨迹.简言之就是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 点线距 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =￡，当c =0, a =b时）. a 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势 b =?,1 —e2、双曲线中b . e2 -1 . a a 圆锥曲线的焦半径公式如下图： 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点 17.1圆锥曲线中的精要结论: .其中e=c，椭圆中 a a ex a— ex
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二） 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410 . 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2： () ()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值； （2）求证：点Q 在一定直线上.
3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请 证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程； （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .
16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)
最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。 若该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则 三角形?PF 1F 2的面积等于______________．
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答） 1．已知椭圆2 2 :416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率; （2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆 221 2 x y += 的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为 22 1164 x y +=, 所以2 2 2 2 2 16,4,12从而a b c a b ===-=, 因此4,a c ==故椭圆C 的离心率2 c e a = =............4分 (II)由22 1, 416 y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,122 1 214M y y y k +==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k =-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2 221 2 2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===- --+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21 8 k =, 所以4k =±,....................12分 故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分 又圆221 2x y += 的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分 2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为 离心率e = F 的直线l 交