直线与圆锥曲线的位置关系综合应用(附详细答案)【打印讲义】

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(完整word版)直线与圆锥曲线的位置关系

教学过程一、复习预习1、椭圆的定义和几何性质2、双曲线、抛物线的定义和几何性质3、直线与圆锥曲线的位置关系4、点差法二、知识讲解考点1直线与圆锥曲线C 的位置关系将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。

（1）交点个数①当 a =0或a ≠0,⊿=0时，曲线和直线只有一个交点； ②当 a ≠0，⊿>0时，曲线和直线有两个交点； ③ 当⊿〈0 时，曲线和直线没有交点；（2）弦长公式:斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A (x 1，y 1)，B （x 2,y 2）,则21|| AB x x -=一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用.三、例题精析【例题1】【题干】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率.【答案】e =【解析】设()2211,),,(y x B y x A ，AB 的中点为),(00y x M ，代入椭圆方程得11222222221221=+=+by a x b y a x ，，两式相减，得1212221212y y x x a b x x y y ++-=--。

AB 的中点为),(00y x M 在直线l 上,0200=-∴y x ，012120222x x x y y y +==+，而22143x y +=，故2212b a =,则e =.【例题2】【题干】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1，。

直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ）求动点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若过点⎪⎭⎫⎝⎛1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段C D 的中点，求直线l 的方程.【答案】()12222±≠=+x y x ；012=-+y x【解析】（Ⅰ)由题意可得:()12222±≠=+x y x（Ⅱ）当直线l ⊥x 轴时,直线的方程为21=x ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,2126,21D C ，, 其中点不是N ，不合题意。

绝密资料高中数学直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

第55讲直线与圆锥曲线的位置关系一、课程标准1. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系2. 会求直线与圆锥曲线相交时的弦长3. 求圆锥曲线的中点弦二、基础知识回顾1、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由()0,0Ax By C F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2、弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·.3、中点弦所在直线的斜率圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k ，其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标三、自主热身、归纳总结椭圆x 29＋y 24＝1的位置关1、直线y ＝kx －k ＋1与系为( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】 A【解析】直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2、过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】 C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．3、过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条【答案】C【解析】过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．故选C .4、过点A(1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M ，N 两点，则|MN|＝____．【答案】26【解析】由题意可知直线方程为y ＝x －1，联立⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝2x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝4，∴可得|MN|＝2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2 6.5、设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为____．【答案】5【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋（ba）2＝ 5.四、例题选讲考点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝kx ＋2，椭圆C ：x 24＋y 2＝1.试问当k 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1) 有两个不重合的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点．【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋4y 2＝4，消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，依题意，得Δ＝(16k)2－4×(1＋4k 2)×12＝16(4k 2－3)． (1) 当Δ>0，即k<－32或k>32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2) 当Δ＝0，即k ＝±32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3) 当Δ<0，即－32<k<32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．变式1、若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C ：y 2＝x 恰好有一个公共点，求实数k 的取值集合．【解析】因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x有唯一一组实数解，消去y ，并整理得k 2x 2＋(4k －1)x ＋4＝0. ①当k ＝0时，解得x ＝4，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2；②当k≠0时，Δ＝(4k －1)2－4×4k 2＝－8k ＋1，令Δ＝0，解得k ＝18，此时原方程组有唯一解．综上，实数k 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，18.变式2 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－153，－1 【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－k 2≠0，k<0，Δ＝16k 2－4（1－k 2）×（－10）＞0，x 1＋x 2＝4k1－k2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1. 变式3、已知椭圆x 24＋y 2＝1，直线l ：y ＝x ＋35，则椭圆C 上点到直线l 距离的最大值为________，最小值为________．【答案】 21010【解析】先求与直线l ：y ＝x ＋35平行且与椭圆相切的直线m ，设直线m 的方程为x －y ＋t ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.因为直线m 与椭圆相切，所以Δ＝64t 2－80(t 2－1) ＝0，解得t ＝±5，即直线m 的直线方程为x －y ±5＝0，所以椭圆C 上点到直线l 距离的最大和最小值就是直线l ：y ＝x ＋35分别与两条平行线x －y ±5＝0之间的距离，故最小值是|35－5|2＝10，最大值是|35＋5|2＝210.变式4、（安徽蚌埠二中2019届模拟）已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．【解析】将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0①，Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．考点二圆锥曲线的弦长问题例2、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．【答案】553【解析】由题意知椭圆的右焦点F 2的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组()2221154y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得x 1＝53，x 2＝0，则||AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5×53＝553.变式1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD.当直线AB 的斜率为0时，AB ＝4.(1) 求椭圆的方程；(2) 若AB ＋CD ＝487，求直线AB 的方程．【解析】 (1) 由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2) ①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知AB ＋CD ＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以AB ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2.同理，CD ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12（k 2＋1）3k 2＋4，所以AB ＋CD ＝12（k 2＋1）3＋4k 2＋12（k 2＋1）3k 2＋4＝84（k 2＋1）2（3＋4k 2）（3k 2＋4）＝487，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.变式2、已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与抛物线C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P.(1) 若AF ＋BF ＝4，求直线l 的方程； (2) 若AP →＝3PB →，求AB 的长．【解析】 (1) 设直线l 的方程为y ＝32x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由抛物线焦半径公式可知AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋32＝4，所以x 1＋x 2＝52.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，y 2＝3x ，消去y 并整理，得9x 2＋(12m －12)x ＋4m 2＝0，则Δ＝(12m －12)2－144m 2>0，解得m<12，所以x 1＋x 2＝－12m －129＝52，解得m ＝－78，所以直线l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2) 设P(t ，0)，直线l 的方程为x ＝23y ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＋t ，y 2＝3x ，消去x 并整理，得y 2－2y －3t ＝0，则Δ＝4＋12t>0，解得t>－13，所以y 1＋y 2＝2，y 1y 1＝－3t. 因为AP →＝3PB →，所以y 1＝－3y 2，所以y 2＝－1，y 1＝3，所以y 1y 2＝－3，则AB ＝1＋49·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝133×4＋12＝4133.方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算． (3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．考点三求圆锥曲线的中点弦例3、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )，线段MN 的中点P (x 0，y 0)，则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝()041n ----＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN ；当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.因为点M ，N 在椭圆E 上，所以⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，整理得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，所以y 0x 0＝－n 4，即直线OP 的斜率为k O P ＝－n 4，因为直线OD 的斜率为k OD ＝－n4，所以直线OD 平分线段MN . 变式1、已知P(1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内的一点，经过点P 引一条弦交椭圆于A ，B 两点，且此弦被点P 平分，则此弦所在直线的方程为【答案】 x ＋2y －3＝0【解析】方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2－4k(k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，所以x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1.又因为x 1＋x 2＝2，所以4k （k －1）2k 2＋1＝2，解得k ＝－12，故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0.变式2、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在椭圆E上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设F 为椭圆E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过点F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN.【解析】 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(－4，n)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则2x 0＝x 1＋x 2，2y 0＝y 1＋y 2. 由(1) 可得F(－1，0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－（－1）＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN ；当n≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.因为点M ，N 在椭圆E 上，所以⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，①x 224＋y223＝1，②由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，又2x 0＝x 1＋x 2，2y 0＝y 1＋y 2，所以y 0x 0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n4，因为直线OD 的斜率为k OD ＝－n 4，所以直线OD 平分线段MN.方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数考点四圆锥曲线中的最值问题例4、已知动圆过定点(2,0)，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H ，点E (m,0)(m ＞0)为一个定点，过点E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交H 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)求轨迹H 的方程；(2)若m ＝1，且过点E 的两条直线相互垂直，求△EMN 的面积的最小值．【解析】(1)设动圆圆心的坐标为(x ，y )＝x 2＋4，化简得y 2＝4x ，所以动圆圆心的轨迹H 的方程为y 2＝4x .(2)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点，因为k 1k 2＝－1，所以AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由1214y k x y x=-⎧⎨=⎩，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2＝4k 21＋2.因为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1. 同理，可得N (2k 21＋1，－2k 1)．所以S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·()()2221122k k +-＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值 4.变式1、已知动圆过定点A(2，0)，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H ，点E(m ，0)(m>0)为一个定点，过点E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交H 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1) 求轨迹H 的方程；(2) 若m ＝1，且过点E 的两条直线相互垂直，求△EMN 的面积的最小值； (3) 若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．【解析】 (1) 设动圆圆心的坐标为(x ，y)，由题意知（x －2）2＋y 2＝x 2＋4，化简得y 2＝4x ，所以动圆圆心的轨迹H 的方程为y 2＝4x. (2) 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点，因为AB ⊥CD ，所以k 1k 2＝－1.设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，消去x 并整理，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2＝4k 21＋2.因为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1.同理，可得N(2k 21＋1，－2k 1)．所以S △EMN ＝12EM·EN＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·（2k 21）2＋（－2k 1）2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (3) 设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －m ），y 2＝4x ，消去x 并整理，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2m ＝4k 21＋2m.因为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ，2k 1. 同理，可得N ⎝⎛⎭⎫2k 22＋m ，2k 2，所以k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，所以直线MN 的方程为 y －2k 1＝k 1k 2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m)＋2，所以直线MN 过定点(m ，2)．变式2、已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且椭圆C 的顶点在圆M ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －222＝12上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB ，CD ，求|AB|＋|CD|的最小值．【解析】(1)由题意可知2b ＝2，b ＝1.又椭圆C 的顶点在圆M 上，则a ＝2，故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在或为零时，|AB|＋|CD|＝32；当直线AB 的斜率存在，且不为零时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，消去y ，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，故|AB|＝1＋k 2· （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22（k 2＋1）k 2＋2.同理可得|CD|＝22（k 2＋1）2k 2＋1，∴|AB|＋|CD|＝62（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1，则t ＞1，0＜1t ＜1，∴|AB|＋|CD|＝62t 2（2t －1）（t ＋1）＝62⎝⎛⎭⎫2－1t ⎝⎛⎭⎫1＋1t ＝62－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94，当0＜1t ＜1时，2＜－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≤94，∴823≤|AB|＋|CD|＜32，综上可知，823≤|AB|＋|CD|≤32，∴|AB|＋|CD|的最小值823 方法总结：1．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．2．最值问题的两类解法技巧(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．考点五圆锥曲线中的定点、定值问题例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．【解析】(1)∵直线过点(a ，0)和(0，1)，∴直线的方程为x ＋ay －a ＝0，∵直线与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|－a|1＋a 2＝63，解得a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：当直线AB 的斜率不存在时，设A(x 0，y 0)，则B(x 0，－y 0)，由k 1＋k 2＝2得y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝2，解得x 0＝－1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m(m≠1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒（kx 2＋m －1）x 1＋（kx 1＋m －1）x 2x 1x 2＝2，即(2－2k)x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k)(2m 2－2)＝(m －1)(－4km)，即(1－k)(m 2－1)＝－km(m －1)，由m≠1得(1－k)(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m(x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)．综上，直线AB 过定点(－1，－1)．变式1、如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】由已知得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋λPC →·PD →＝－2－λ＝－3，故存在常数λ＝1.综上可知，存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.变式2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A(a ，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．【解析】(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明：(方法1)由(1)，知A(2，0)，B(0，1)．设P(x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM|＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN|＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN|·|BM|＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， ∴|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值．(方法2)点P 在曲线⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 12＝1上，不妨设P(2cos θ，sin θ)，当θ≠k π且θ≠k π＋π2(k ∈Z)时，直线AP 的方程为y －0＝sin θ2（cos θ－1）(x －2)，令x ＝0，得y M ＝sin θ1－cos θ；直线BP 的方程为y －1＝sin θ－12cos θ(x －0)，令y ＝0，得x N ＝2cos θ1－sin θ，∴|AN |·|BM |＝2⎪⎪⎪⎪1－cos θ1－sin θ·⎪⎪⎪⎪1－sin θ1－cos θ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2（1－sin θ）（1－cos θ）（1－sin θ）（1－cos θ）＝2×2＝4(定值)．当θ＝k π或θ＝k π＋θ2(k ∈Z)时，M 、N 是定点，易得|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |＝4.方法总结：1．定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．2．圆锥曲线中定点、定值问题的解法 (1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． (2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．五、优化提升与真题演练1、（2018年高考浙江卷）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ，由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=，即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-，由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有03e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 3、（2020年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+= （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠. ∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,Q Q y∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 4、（2020年全国1卷）.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭5、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又2c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>, 所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <。

专题65 直线与圆锥曲线的位置关系(解析版)

专题65 直线与圆锥曲线的位置关系专题知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(1)当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0①直线与圆锥曲线__相交__； ①Δ＝0①直线与圆锥曲线__相切__； ①Δ＜0①直线与圆锥曲线__相离__．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点， ①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是__平行__； ①若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是__平行或重合__． 2．解决圆锥曲线问题的思路与方法(1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a ，b ，c 或p ，基本方法是利用定义或利用待定系数法求解．(2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类讨论、等价转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法．3．弦长问题求直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式：设两个交点为1122(,),(,)x y x y ，则弦长l =考点探究考向1 直线与圆锥曲线的位置关系【例】（2019徐州高三期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q 的坐标为(3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．【解析】（1）由32(3,),(3,0)3N Q ，得直线NQ 的方程为332y x =-．令0x =，得点B 的坐标为(0,3)-．所以椭圆的方程为22213x y a +=．将点N 的坐标3(3,)代入，得223()(3)213+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为3y kx =-．在3y kx =-中，令0y =，得3P x =，而点Q 是线段OP 的中点，所以3Q x =．所以直线BN 的斜率0(3)2302BN BQ k k k k--===-．联立223143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)830k x kx +-=，解得83M k x =．用2k 代k ，得2163316N kx k =+．又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =．故8316323k k ⨯=⨯，又0k >，解得6k =． xy O B N MPQ D所以直线BM的方程为y =方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得21433y y =+．将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ．故直线BM的方程为y x =．题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若①ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解析】 (1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2e ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c a ＝12，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为：x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B (6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2)，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1，得：y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k 23＋4k 2＝－1，即：(3＋4k 2)y 02－12ky 0＋(16k 2－12)＝0(*)·由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 20＝(6－8k 23＋4k 2)2＋(y 0－12k 3＋4k 2)2，即4＝(6－8k 23＋4k 2)2＋(12k 3＋4k 2)2－24k3＋4k 2y 0，即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0，所以k ＝0或y 0＝－2k 3＋4k 2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)．综上，直线l 的方程为y ＝0，y ＝±34(x ＋2)．考向2 圆锥曲线中的最值、范围问题【例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .(①)当直线的P A 斜率为12时，求①FMN 的外接圆的方程；(①)设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求①APQ的面积的最大值．【解析】 (1)由题意，得⎩⎨⎧c a ＝22，c ＋a2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k(x ＋4)，k>0，则M(0，4k)，所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，则N(0，－2k )．(i )当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M(0，2)，N(0，－4)，F(22，0)，因为MF①FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以①FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.(ii )联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋4），x 216＋y 28＝1，消去y并整理得，(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P (4－8k 21＋2k 2，8k1＋2k 2)，直线AN的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得，Q (8k 2－41＋2k 2，－8k1＋2k 2)，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以①APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k ≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，取“＝”．所以①APQ的面积的最大值为8 2. 题组训练1.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (1，32)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0.(1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．【解析】 (1)①e ＝c a ＝12，且过点P (1，32)，①⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a ＝2c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，①椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)则F 1M →＝(5，y 1)，F 2N →＝(3，y 2)，F 1M →·F 2N →＝15＋y 1y 2＝0，①y1y 2＝－15，又①MN ＝||y 2－y 1＝⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15||y 1＋||y 1≥215，当且仅当|y 1|2＝15时等号成立，①MN 的最小值为215. (3)圆心C 的坐标为(4，y 1＋y 22)，半径r ＝||y 2－y 12.圆C 的方程为(x －4)2＋(y －y 1＋y 22)2＝（y 2－y 1）24，整理得：x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0.①y 1y 2＝－15，①x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0.令y ＝0，得x 2－8x ＋1＝0，①x ＝4±15.①圆C 过定点(4±15，0)．2.（2019·如皋中学高三期中）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．【解析】（1）由题意可得，1b =，c e a ==，得22134a a -=，解24a =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-，同理得直线PB 的方程为 0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+，直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，线段MN 的中点004(4,)yx ，所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =，则2220200164(4)(1)y x x x -+=-，因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-，所以28(4)50x x -+-=，因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈．设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12||x x -=0825x <≤），所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2．考点3 中点弦问题【例】过点P (－1，1)作直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求直线AB 所在直线的方程．【解析】设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，①由①－①得y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）4（y 1＋y 2）＝－2×（－2）4×2＝12.①线段AB 所在直线的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.题组训练1.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解析】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，①b ＝23.①所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.考点4 探索性问题【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫43，b 3，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)因为椭圆过点P(43，b 3)，所以169a 2＋19＝1，解得a 2＝2，又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2，所以AF 2①F 2P ，即－bc ·b343－c ＝－1，所以b 2＝c(4－3c)．而b 2＝a 2－c 2＝2－c 2，所以c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1，故椭圆C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4pkx ＋2p 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋2k 2)(2p 2－2)＝8(1＋2k 2－p 2)＝0，即1＋2k 2＝p 2.设在x 轴上存在两点(s ，0)，(t ，0)，使其到直线l 的距离之积为1，则||ks ＋p k 2＋1·||kt ＋p k 2＋1＝||k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2k 2＋1＝1，即(st ＋1)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋3)k 2＋(s ＋t )kp ＋2＝0(**)．由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋1＝0s ＋t ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1t ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－1t ＝1，而(**)不恒成立．①当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝±2时，定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1·d 2＝(2－1)(2＋1)＝1.综上，存在两个定点(1，0)，(－1，0)，使其到直线l 的距离之积为定值1. 题组训练1.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，直线l ：x －my －1＝0(m ①R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点D (52，0)，连接BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)令m ＝0，则A(1，32)，B(1，－32)或者A(1，－32)，B(1，32)．当A(1，32)，B(1，－32)时，P(4，32)；当A(1，－32)，B(1，32)时，P(4，－32)，所以，满足题意的定直线l 2只能是x ＝4.下面证明点P 恒在直线x ＝4上．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为y 1，从而只要证明P(4，y 1)在直线BD 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my －1＝0，x 24＋y 23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0.①Δ＝144(1＋m 2)>0，①y 1＋y 2＝－6m4＋3m2，y 1y 2＝－94＋3m 2.①①k DB －k DP＝y 2－0x 2－52－y 1－04－52＝y 2my 2＋1－52－y 132＝32y 2－y 1（my 2－32）32（my 2－32）＝y 1＋y 2－23my 1y 2my 2－32.将①式代入上式，得k DB －k DP ＝0，所以k DB ＝k DP .①点P (4，y 1)恒在直线BD 上，从而直线l 1，直线BD 与直线l 2：x ＝4三线恒过同一点P ，所以存在一条定直线l 2：x ＝4使得点P 恒在直线l 2上．2.已知①22:1O x y +=和点M (4，2)．(1) 求以点M 为圆心，且被直线y=2x —1截得的弦长为4的①M 的方程；(2) 设P 为(1)中①M 上任一点，过点P 向①O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设圆方程为222(4)(2)x y r -+-=，①被直线y=2x —1截得的弦长为4，①2249r =+=，① ①M 的方程：（x —4）2+（y —2）2=9；（2）设P (x ，y )，假设存在定点R (m ，n )，使得PQ PR 为定值λ1λ=，平方、整理得222222x y mx ny m n +--++=222(1)x y λ+-．①点P 在①M 上，①x 2+y 2=8x+4y —11，代入得22842211x y mx ny m n +--++-=2(8412)x y λ+-．即得22(82)(42)(11)m x n y m n -+-++-=2(8412)x y λ+-（*）．由题意，上式对在①M 上任意的x ，y 都成立，则2222282=842=411=12m n m n λλλ⎧-⎪-⎨⎪+--⎩，，，解得=21=2m n λ=，，或21=55m n λ=，，．故存在定点R 1（2，1）或R 2 2155（，），使得PQ PR或4.。

直线与圆锥曲线的位置关系详解

直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.∵k 2≠0，∴x 1+x 2=22)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(4222-++k k k =8，∴k 2=1.∴△OAB 的重心的横坐标为x =3021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－2422121y y x x +⋅+ =－244⨯=－21. 由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0.答案：x +2y －8=0●典例剖析【例1】已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ =αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2π时的情况. 【例2】已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|. 请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ， y =k （x +1）ky 2+y －k =0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．消去x 后，整理得∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）.∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+ =214)1(2+k. ∵S △OAB =10， ∴10=21412+k.解得k =±61. 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.【例3】在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.剖析：设B 、C 两点关于直线y =kx +3对称，易得直线BC ：x =－ky +m ，由B 、C 两点关于直线y =kx +3对称可得m 与k 的关系式，而直线BC 与抛物线有两交点，∴Δ＞0，即可求得k 的范围.解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m . ∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++. 又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0，即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0. 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B 、C 两点在抛物线上得“Δ＞0”.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.（1）解法一：由y 2=4（x －1）知抛物线C 的焦点F 坐标为（2，0）.准线l 的方程为x =0.设动椭圆C 1的短轴的一个端点B 的坐标为（x 1，y 1）（x 1＞2，y 1≠0），点P （x ，y ），x =221+x ， x 1=2x －2， y =21y ， y 1=2y . ∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设点B 在准线x =0上的射影为点B ′，椭圆的中心为点O ′，则椭圆离心率e =||||BF O F '，由||||B B BF '=||||BF O F '，得22)2()222(22-+--x y x =22)2()222(222y x x +----，整理，化简得y 2=x －2（y ≠0），这就是点P 的轨迹方程.则 ∴解法二：抛物线y 2=4（x －1）焦点为F （2，0），准线l ：x =0.设P （x ，y ），∵P 为BF 中点，∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设椭圆C 1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，则c =（2x －2）－2=2x －4，b 2=（2y ）2=4y 2，∵（－c ）－（－ca 2）=2， ∴cc a 22-=2，即b 2=2c .∴4y 2=2（2x －4），即y 2=x －2（y ≠0），此即C 2的轨迹方程.x +y =m ， y 2=x －2m ＞47. 而当m =2时，直线x +y =2过点（2，0），这时它与曲线C 2只有一个交点，∴所求m 的取值范围是（47，2）∪（2，+∞）. ●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 解析：P （a ，b ）点在双曲线上，则有a 2－b 2=1，即（a +b ）（a －b ）=1.d =2||b a -=2，∴|a －b |=2.又P 点在右支上，则有a >b ，（2）解：由（y ≠0），得y 2+y －m +2=0，令Δ=1－4（－m +2）＞0，解得∴a －b =2.∴|a +b |×2=1，a +b =21. 答案：B2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，m 1≤1且m ＞0，得m ≥1.故本题应选C. 答案：C3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.解析：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入双曲线方程3x 2－y 2=1相减得直线AB 的斜率k AB =2121x x y y --=2121)(3y y x x ++ =2232121y y x x ++⨯=123⨯=6. 答案：64.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.解析：设过F （2p ，0）的直线为y =k （x －2p ），k ≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.答案：21p - α2sin 2p 5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y =kx +2，把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞26. 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ， y = 1242+-k k +2＝1222+k . x =1242+-k k ， y =1222+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21． 6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.解：设椭圆方程22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）， ∵e ＝23，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为224b x ＋22by ＝1. 把直线方程代入化简得5x 2－8x +4－4b 2＝0.设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51（4－4b 2）. 从参数方程（k ＜－26或k ＞26），∴y 1y 2＝（1－x 1）（1－x 2）＝1－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝51（1－4b 2）. 由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.解得b 2＝85，a 2＝25. ∴椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1. 7.已知直线y =（a +1）x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.y =（a +1）x －1， y 2=ax ，x =1，y =0.（2）当a ≠0时，方程组化为aa 1+y 2－y －1=0. x =－1， y =－1.若a a 1+≠0，即a ≠－1，令Δ=0，得1+4·aa 1+=0，解得a =－54，这时方程组恰有 x =－5，y =－2.综上所述，可知当a =0，－1，－54时，直线与曲线恰有一个公共点. ●思悟小结 1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥使其恰有一组解.（1）当a =0时，此方程组恰有一组解若aa 1+=0，即a =－1，方程组恰有一解解析：联立方程组一解曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d =2212))(1(x x k -+＝2212))(11(y y k -+. 再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.直线与圆锥曲线的位置关系●知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.●点击双基1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条2.已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（）A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.●典例剖析【例1】已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.【例2】已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.【例3】在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.●闯关训练1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为A.－21B.21C.±21 D.±2 2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（）A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）3.已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.5.求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.3，与直线x+y－1=0相交6.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为2于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.7.已知直线y=（a+1）x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值.。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

(word完整版)圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一)直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离(无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆:()222210x y a b a b+=>>为例(1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y )并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交,相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同,可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆:()222210x y a b a b -=>>为例：（1)联立直线与双曲线方程：222222y kx m b x a y a b=+⎧⎨-=⎩,消元代入后可得：()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>,所以消元后的方程一定是二次方程,但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。

所以要分情况进行讨论当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当2220b bb a k k a a ->⇒-<<时,常数项为()22220a m a b -+<,所以0∆>恒成立,此时直线与双曲线相交当2220b b a k k a -<⇒>或bk a <-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断：① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系,不能简单的凭公共点的个数来判定位置。

直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)

直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一.考点分析。

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、A =0、△ < 0.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q • +黑2）2或|AB|= Jl + p • Ivi -73!=+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐・上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 .二.考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）2 2椭圆C:务+^y2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆Ca b标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已当直线斜率不存在是，则AB=yi-y2.PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4C 的方程；（I ）求椭圆（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、关于点M I 的方程.B 点的坐〖答案〗解法一：22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为a b在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —c2=4.2所以椭圆C 的方程为x_92丄=1.4(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.2所以 Xj^—18k +9k =224 + 9k 2 解得k98 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.2 2=(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且即 8x-9y+25=0.由①一②得因为A 、代入③得所以直线 2X 12X 2(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,9 98y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9所求直线方程符合题意 .)l 的方程为 (经检验2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,曲线C i 的内切圆半径为迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C 2的标准方程;(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.M 是I 上异于椭圆中心的点.(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程;(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C 2为焦点在X 轴的椭圆;(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍1 1 2然成立；(2)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I由不等式放缩即可求出最小值 .2ab=475,〖答案〗(I)由题意得《 a b2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .J a 2+b232 2因此所求椭圆的标准方程为0+£ = 1. 5 4AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为a, b 的方程组，曲线C i(n) ( 1)假设y =kx(k 工0), A(X A,Y A).r 2区+解方程组｛5 4l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2所以OA 2Y A20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------2 2 2设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),当且仅当4 +5k 2=5 +4k 2时等号成立，即k = ±1时等号成立,40此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =40.92后2=245.9所以MO2，即x 2+y2、2 20(1 +k 2)=扎 --------因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y1一匚X ，因此X 2 + y 2 =入2 r20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y、2 20(x 2 +y 2) =h -------- 2 ------- T~4y +5x2又 X 2 +y2H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂4 5又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.45(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得2X A20 = 2，4+5k 2y A 220k— 24 +"2 2z 丄=1, 由｛5 4解得 I 1 L 1x,220k 2X M _5 +4k 22y M20 5 +所以OA2 =xA 中2 y A 220(1+k 2)=2~ 4+5kAB 2=4 OA80(1+ k 2) 4 +5k 2，OM220(1 + k 2) = 2~ 5 + 4k解法一：由于S A AMBT AB 2臥2 280(1+k )汽 20(1 +k )400(1 +k 2)22 2400(1+= 22f 22昭「4 + 5k 2+5 +1600(1 +k 2)2 <40 f—2 2— I81(1 + k 2)2l 9 丿J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB2 9综上所述，△ AMB的面积的最小值为409解法二：因为1OA2+OM 220(1+k )4+5k2+ ——4+5k2+5+4k220(1+ k)= 20*)5 + 4k29"20OA1+ --OMOA|[|OM[，OA J OM I当且仅当4 +5k2 =5 +4k2时等号成立，即k = ±1时等号成立, 40 此时△ AMB面积的最小值是S AAMB =—.9当k =0，S SMB =丄咒2翕咒2 =275>402当k不存在时，S AAMB=丄咒=2亦294O>一•9 40综上所述，△ AMB的面积的最小值为上.93.(广东省实验中学 2008届高三第三次模拟考试，理科， 20)已知抛物线 x2= — y，直线L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m € R且m^— 1)与抛物线交于 A，B两点•(1)当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界),并求该区域的面积•为直径的圆C上；并求(3)将抛物线x2= — y的图像按向量a = (4, 16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若g(x) =6lnx+m,问是否存在实数 m,使得y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•〖解析〗(1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应的面积，计算时可以整体代入；(2)证明抛物线的顶点在以线段 AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心的轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;(3)构造函数®(x) =g(x) - f(X)=x2 -8x +6In x + m，因为x^O，所以 y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数W(x)有两个正零点的问题，要对®(x)的单调性进行讨论，从而求出使得®(x)由两个正零点的m的取值范围x€( 0,(1)当m=0时，直线L 的方程为：y+3x+1=0,故所求区域2对应的不等式组为[y +x 乞0；[y + 3x + 1 > 0 y = -X e 2得x 2-3x-仁 0*) y + 3x+1 = 0贝x 2为方程(* 的两解，即 X t + X 2 = 3,X 1X 2 = — 1,X 2 - X t = = J 13/.所求区域面积亠X2设A (X 1,y 1), B(X 2,y 2),不妨x^X 1,则由*S =「(-x 2+3x +1 dx(X 33x 2Y x / 1 r -—+ ——+X l |x ： = (X 2 -X 1 1 --収13 2 丿1V 3、_13J13+ X2 ) -X 1X 2】+3(X 1 +X2)+1]2 丿(2)令k=y^,则直线L 的方程为y = kxm +1L2由* y X 得：X 2+ kx -1=0,方程有解，且x 1, x 2为其两解, y = kx -1 贝 y X 1 + X 2 = —k, X 1X 2 = -1,-1,设A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)/. OA ”OB = X 1X 2 + 丫』2 = X1X 2 +(X 1X 2 ) = —1 + 1 = 0.以AB 为直径的圆恒过抛物线顶点(0,0设以AB 为直径的圆的圆心坐标为(X, y),2 2milX 1 +X 2 k y 1 + y 2X 1 + X 2贝寸 X = ------ = 一一2(X 1 + X2 ) - 2X 1X 22 2 2 2 2 得y =-2x 2-1,即所求的圆心轨迹方程为y = -2x 2-1k 2—— 一1(3)依题意，f(x)=-x2+8x,令护(X)=g(x) -f(x) = x2-8x+6lnx + m.因为x> 0,要使函数f(X)与函数g (x)有且仅有2个不同的交点，则函数®(x) =x 2 -8x +61 nx +m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点平'6 ■■申(X) =2x -8 + -= 2空二g =2(x -1)(x -3)(x 〉0) x€( 1, (X)c0,®(x)是减函数 x€( 3,®'(x) >0,®(x)是增函数当 x=1 或 x=3 时，cp'(X)=0•••甲(x)极大值为申⑴=m-7;申(X)极小值为W(3) =m +6In3-15又因为当X70时，W(X)T 二当X T P时，申(X)T 邑所以要使W(x) =0有且仅有两个不同的正根，必须且只须『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0[◎(3) <0 [护(1)>0 t m+61 n3-15c0 [m-7A0•- m=7 或m =15 -61 n3.•••当m=7或m =15-61 n3.时，函数f (x)与g (x)的图象有且只有两个不同交点4. ( 2008年广东卷，文科，20)2 2设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2 =8( y- b).如图所示，过点2b2 b2F(0, b +2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i .(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2 )设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由标).〖解析〗(1)由已知可求出 G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出F i点的坐标，由椭圆方程也可以求出F i点的坐标，从而求出b =1，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA 'PB = 0 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.P,使得△ ABP (不必具体求出这些点的坐以P点的1 答案〗(1)由x2=8(y-b)得y=1x2+b ,81当y =b +2 得x = ±4，二G 点的坐标为(4,b +2) , y'= —x ,4过点G的切线方程为y-(b+2) =x-4即y=x + b-2，F i点的坐标为(b,0)，令y=0得x=2-b，二F i点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得2二2—b =b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+ y2=1和x2 =8(y-1)；2(2) •••过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 PA 以N PAB 为直角的RtAAB P 只有一个，同理二以N PBA 为直角的RUABP 只有一个。

数学(文)一轮教学案：第十章第4讲直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示命题探究1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元二次方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，则弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求出．3 圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0) k ＝b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．注意点直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.1．思维辨析(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )(3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327答案 A解析联立椭圆方程与直线方程，得ax 2＋b (1－x )2＝1，即(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，y1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－2b a ＋b ＝2aa ＋b ，AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，AB 中点与原点连线的斜率k ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.故选A.3．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________．答案 x －y －1＝0或x ＋y －1＝0解析设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8得k 2＝1，∴k ＝±1，∴l 的方程为：x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[考法综述] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1 直线与圆锥曲线的位置关系典例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，则实数a 的取值为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0 B ．{－1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－45，0 [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0x 1＋x 2＝4k 1－k2>0x 1x 2＝－101－k 2>0解得－153<k <－1.(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.故选A.[答案] (1)D (2)A【解题法】直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解．(3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2 直线与圆锥曲线的弦长问题典例2 已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1(a >2)．将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)，故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， ∴0≤m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，得|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22. 又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝2，当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时取等号．当m ＝±2时，满足0≤m 2<8. 故直线l 的方程为y ＝2x ±2.【解题法】直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3 中点弦问题典例3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863. 【解题法】弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75 C.97 D ．2答案 A解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938 C.6332 D.94答案 D解析由已知得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43答案 D解析由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.4．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10答案 B解析设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)，故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)．所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S△AFO＝12|OF|×y1＝12×14y1＝18y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1－y2.由98y1－y2＝98y1＋(－y2)≥298y1×(－y2)＝298×2＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c 的最大值为________．答案2 2解析直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为22，又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤22，即实数c的最大值为22.6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m2－1,2m)．由|FQ|＝2知(2m)2＋(2m2－1－1)2＝2，解得m2＝1或m2＝0(舍去)，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．解解法一：(1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24 ＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．解法二：(1)同解法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.10．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎨⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3.因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)．由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 11．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解 (1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1.同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．[错解][错因分析] 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．[正解] 设M (x M ，y M )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .设直线CD 的斜率为k ′，因为CD ⊥AB ，所以k ′＝－1k .同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2答案 B解析设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＝y 22－y 21x 22－x 21，由于点A ，C 都在双曲线上，故有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2－y 21－y 22b 2＝0，所以k 1k 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2>0.则2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k 1k 2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，所以e＝1＋b 2a 2＝3，故选B.3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. 答案 ①④解析由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．6．[2016·冀州中学热身]已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点的横坐标为x 0，则 x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3＝1＋t2，由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，②显然t ≠0，所以h ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋1，③ 当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，此时h ≤－3，不满足①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋⎝⎛⎭⎪⎫－1t ≥2，当且仅当t ＝－1时取等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.7. [2016·枣强中学周测]已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程；(2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．解 (1)左焦点坐标为F (－1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由∠AOB ＝60°，得圆心O 到直线l 的距离d ＝13，又d ＝|k |k 2＋1，∴|k |k 2＋1＝13，解得k ＝±22. ∴直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ>0得1＋2k 2>m 2①，且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2.∵△POQ 的重心恰好在圆x 2＋y 2＝49上， ∴(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4，即(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，即(1＋k 2)(x 1＋x 2)2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4. ∴16(1＋k 2)k 2m 2(1＋2k 2)2－16k 2m 21＋2k2＋4m 2＝4，化简得m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1，代入①式得2k 2>0，∴k ≠0，又m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1＝1＋4k 44k 2＋1＝1＋44k 2＋1k 4.∵k ≠0，∴m 2>1，∴m >1或m <－1.8．[2016·冀州中学预测]已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．解 (1)∵F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，∴不妨设F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∵椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，∴设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据已知得⎩⎨⎧c ＝4，c a ＝45，b 2＝a 2－c 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，a ＝5，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴P (m ，n )是椭圆E 上的点．∴m 225＋n 29＝1. ∵m 225＋n 29≤m 29＋n 29＝m 2＋n 29，∴m 2＋n 2≥9. ∵曲线M 是圆心为(0,0)，半径r ＝2的圆，圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2≤13<2，∴直线mx ＋ny ＝1与曲线M 有两个公共点．设直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长为l ，则l ＝22－1m 2＋n2. ∵m 225＋n 225≤m 225＋n 29＝1， ∴m 2＋n 2≤25.∴9≤m 2＋n 2≤25.∴125≤1m 2＋n 2≤19，∴179≤2－1m 2＋n 2≤4925. ∴173≤2－1m 2＋n 2≤75. ∴2173≤l ≤145.∴直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2173，145. 9．[2016·衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解 (1)由已知得焦点坐标为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝m 2＋1·(4m )2－4×(－4)＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.10．[2016·枣强中学模拟]已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时线段CD 的中点不是点N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2.②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×12＝－1.所以直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋2y －3＝0.11．[2016·衡水二中期末]已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知|EG |＝|ES |，∴|EG |＋|EC |＝|ES |＋|EC |＝62，又|GC |＝6<62，∴点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为62的椭圆．故动点E 的轨迹M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆M 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 218＋y 29＝1，消去y ，化简得3x 2＋4mx ＋2m 2－18＝0.∵直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点， ∴Δ＝16m 2－12(2m 2－18)>0，化简得m 2<27，解得－33<m <33， ∴x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2(m 2－9)3. ∵以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4(m 2－9)3－4m 23＋m 2＝0，解得m ＝±23，由于±23∈(－33，33)，∴符合题意的直线l 存在，所求的直线l 的方程为 y ＝x ＋23或y ＝x －2 3.12．[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan ∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．解 (1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)，当λ＝1时，MF →＝FN →， ∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c ，由M ，N 两点在椭圆上， ∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN →＝(0,2y 2)，AF →＝(c ＋4,0)，MN →·AF →＝0， ∴MN →⊥AF →.(2)当λ＝1时，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，∴AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063， ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22， ∴56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2，a 2＝6，b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(3)因为AM →·AN →·tan ∠MAN ＝2S △AMN ＝|AF ||y M －y N |＝63，由(2)知点F (2,0)，所以|AF |＝6，即得|y M －y N |＝ 3.当MN ⊥x 轴时，|y M －y N |＝|MN |＝2b 2a ＝2×26≠3，故直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．联立⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 26＋y 22＝1，得(1＋3k 2)y 2＋4ky －2k 2＝0，y M ＋y N ＝－4k 1＋3k 2，y M ·y N ＝－2k 21＋3k 2，∴|y M －y N |＝24k 4＋24k 21＋3k 2＝3，解得k ＝±1.此时，直线MN 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)答案 A解析由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1，x >0，y >0可得N ⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，x >0，y >0可得M (a ，b )，又F 1(－c,0)，则kMF 1＝ba ＋c，k ON ＝b 2a b 2＋c2，∵MF 1∥ON ， ∴b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，∴a b 2＋c 2＝b (a ＋c )，又b 2＝c 2－a 2，∴2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，∴2e 0－e 30＝2e 20－2，设f (x )＝x 3＋2x 2－2x －2，f ′(x )＝3x 2＋4x －2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，即f (x )在(1，＋∞)上至多有1个零点，f (1)＝1＋2－2－2<0，f (2)＝22＋4－22－2>0，∴1<e 0< 2.故选A.14．[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，得|PF 2|＝a －m ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴a －m ＝2c ，又由e 1＝c a ，e 2＝c m ，得a ＝c e 1，m ＝c e 2，从而有c e 1－c e 2＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1，由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1，可得13<e 1<12，令1－2e 1＝t ，则0<t <13，e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2.又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上为减函数，则0<t <13时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴0<t <13时，f (t )>43，故e 1e 2>13.15．[2016·衡水二中模拟]如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得2a ＝4，a ＝2c ，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，则M (4，y )，F (1,0)，其中－2≤x ≤2，∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2.∴|PF |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋3－34x 2＝14(x －4)2，|PM |2＝|x －4|2，|FM |2＝32＋y 2＝12－34x 2. ①若|PF |＝|FM |，则14(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝－2或x ＝4(舍去)，当x ＝－2时，P (－2,0)，此时P 、F 、M 三点共线，不符合题意，∴|PF |≠|FM |；②若|PM |＝|PF |，则(x －4)2＝14(x －4)2，解得x ＝4，不符合题意； ③若|PM |＝|FM |，则(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝4(舍去)或x ＝47，当x ＝47时，y ＝±3157，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，±3157，满足题意．综上可得，存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3157或⎝ ⎛⎭⎪⎫47，－3157，使得△FPM 为等腰三角形．16．[2016·枣强中学期末]如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，则b ＝c 2，又c 2＝a 2－b 2，所以4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。

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二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。

【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。

【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。

如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。

2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（）A 、5B 、10C 、9D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（）A 、)33,33(-B 、)3,3(-C 、⎥⎦⎤⎝⎛-0,33D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（）A 、双曲线x 2-y 2=1 B 、双曲线x 2-y 2=1的右支 C 、半圆x 2+y 2=1(x<0) D 、一段圆弧x 2+y 2=1(x>22)4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为5、椭圆191622=+yx在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBOS 四边形的最大值为题型一、最值及值域问题例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：24x y =的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF =。

（1）求椭圆C 1的方程；（2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线y ＝kx （k ＞0）与AB 相交于点D ，与椭圆C 1相交于点E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。

【跟踪训练1】【广东省肇庆市2013届高三一模】已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.（1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||Q S的取值范围.题型二：定点、定值问题例2.【湖北省八市2013届高三3月调考】已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，且,A C B C 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠．（Ⅰ）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线；（Ⅱ）当12m =-时，过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (,M Q 不重合)．求证直线M Q 与x 轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．例3.【北京市朝阳区2013届高三一模】已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>过点(2,0)A ,2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线A E ，A F 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段M N 的中点为P .记直线P B 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.【跟踪训练2】【浙江省金华十校2013届高三联考】题型三：圆锥曲线中的探究性问题例 4.【京市西城区2013届高三一模】如图，已知椭圆22143xy+=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段A B 的中点为G ，A B 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线A B 的斜率；（Ⅱ）记△G FD 的面积为1S ，△O ED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线A B ，使得12S S =？说明理由．【跟踪训练3】【福建省厦门市2013届高三3月质量检查】已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259xyC +=．（Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段O P 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”； “过圆222247x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222147x y+=的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．【练习与作业】相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OB OA OP +=，证明FQ OP .为定值并求出该值.2.【湖北省荆州市2013届高三3月第二次质量检查】已知圆Ｃ：＝８及点Ｆ（１，０），Ｐ为圆Ｃ上一动点，在同一坐标平面内的动点Ｍ满足：,││＝││．（１）求动点Ｍ的轨迹Ｅ的方程；（２）过点Ｆ作直线l 与（１）中轨迹Ｅ交于不同两点Ｒ，Ｓ，设＝λ，λ∈［－２，－１），求直线l 的纵截距的取值范围．3.【福建省南平市2013届高三毕业班质量检查】如图，设椭圆C :12222=+by ax （0a b >>）的离心率2e =M 、N 的距离O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B两点.（ⅰ）试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；（ⅱ）求AB 的最小值.【课题】直线与圆锥曲线的位置关系综合应用参考答案【基础训练】1、B 2、C 3、B 4、12003。

5、26 设P(4cos ϕ,3sin ϕ)(0<ϕ<2π))4(26)cos (sin 6cos 4321sin 3421πϕϕϕϕϕ+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆sn S S S OBP OAP APBO四边形，当ϕ=4π时,APBOS 四边形的最大值为26 【例1】【跟踪训练1】解：（1）椭圆的方程是221:132xyC +=. （4分）（2）由条件，知2||||M F M P =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. （7分）（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ，得()()222121121016y yy y y y -+-=，∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y=++≥=，当且仅当2121256y y=，即14y =±时等号成立.（11分）又||Q S =（12分）∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS =（13分）故||Q S的取值范围是)⎡+∞⎣. （14分）【例2】（Ⅰ）由题知：11y y m x x-+⋅= ，化简得：221(0)m x y x -+=≠ …………2分当1m <-时轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当1m =-时轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当10m -<<时轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当0m >时轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点； ……………………………6分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+，代入221(0)2xy x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-=12222ty y t -+=+，12212y y t -=+， ………………………………9分又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =- 代入221(0)2xy x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-=2122412kx x k+=+,21222212k x x k -=+， ……………………………9分Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分【例3】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214xy +=. …4分（Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141kk x x x x k k -+==++.直线A E ，A F 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y y P x x +--.所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯--21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k kk k k k k --+++=⨯--+++2241444kk -=⨯=-. ……………14分【跟踪训练2】【例4】（Ⅰ）解：依题意，直线A B 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ……1分将其代入22143xy+=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=． ……3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2122843kx x k -+=+． ……4分故点G 的横坐标为21224243x x kk +-=+．依题意，得2241434kk -=-+，解得 12k =±． 7分（Ⅱ）解：假设存在直线A B ，使得 12S S =，显然直线A B 不能与,x y轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343kkG k k -++． ……8分因为 D G A B ⊥，所以2223431443D kk k kx k +⨯=---+，解得 2243D kx k -=+，即 22(,0)43kD k -+．因为 △G FD ∽△O ED ，所以 12||||S S G D O D =⇔=． ………11分所以2243kk -+， ………12分整理得 2890k +=．因为此方程无解，所以不存在直线A B ，使得 12S S =． ………14分【跟踪训练3】解：本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分．（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=，（1） ……………………1分设线段O P 的垂直平分线与O P 相交于点M ，则M 00(,)22x y ，……2分椭圆22:1259xyC +=的右焦点(4,0)F ， M F O P ⊥Q ,∴1O P M F k k ⋅=-，∴002142y y x x -⋅=--， ∴2200080y x x +-=，（2）……………4分由（1），（2），解得0174x =，∴点P 的横坐标为174．…5分（Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y ab+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…6分证明如下：（ⅰ）当过点Q 与椭圆22221x y ab+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a =±，Q 点Q 在圆2222x y a b +=+上，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b=±恰好为过点Q 与椭圆22221x y ab+=相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．……7分（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y ab+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m -=-，由22221,(),x y ab y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=，整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，…9分Q 直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--=，整理得()()2222220makmnk n b--+-=，……11分∴221222n bk k m a-=-，点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上，∴2222m n a b +=+，……13分∴2222m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………14分【练习与作业】 1.2.3. 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2214xy +=………4分（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AO B ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =，将x y =代入1422=+y x，解得552±=x所以点O 到直线AB 的距离为552=d ；………6分② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2214xy +=联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+………8分因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k ，所以2222222448(1)1414m k m k m kk-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB的距离d =5=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅ 又因为OB OA ⋅2≤222ABOBOA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2………13分所以AB≥25A B d ≥=OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………14分解法二：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值，设()00,y x A ,①当直线OA 的斜率为0时，2=OA ，1=OB ，此时552=⋅=ABOB OA d同理，当直线OA 的斜率不存在时，552=d ………6分②当直线OA 的斜率存在且不为0时，设直线OA 的方程为kx y +=与椭圆C ：2214xy +=联立，解得144220+=k x ， 14)1(4)1(222202++=+=k k k x OA………8分同理，4)1(4222++=k k OB，所以451122=+OBOA………10分所以552=⋅ABOB OA ，即552=d ，综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）4174)1(202422222+++=+=k k k OBOAAB………12分21942012942022242+++=+++=kk k k k≥51649420=+………13分当且仅当221kk=，即1±=k 时，AB的最小值是554………14分。