一个适用于非线性板壳问题的广义变分原理
《广义变分原理》第一章
变分原理的定义和分类
举例
例如：
1 p ij eij d f i ui d p i ui dS min S 2
1 约束条件： eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
利用Lagrange乘子构造一个新的泛函：
1 eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
即为协调律
本构律仍为非泛函的约束条件。
结论：最小余能原理的极值条件反映了物体的 协调律。
第一节
变分描述
小结
小结：
变分描述和求解弹性力学边值问题成
为可能且有效，并可推广到塑性力学和连
续介质力学问题中去。同时也为各种数值
第三节
变分原理的优点
优点
3、能提供近似解
通常以某种积分加权平均形式去近似微分关
系式。
例如：对基本微分方程取逼近方程；对边
界方程采用某中范围内的放松。
4、提供某些问题精确解的上、下限
描述这一过程的定理统称为变分原理。
第二节
变分原理的定义和分类
分类
分类：
1、自然变分原理 (a)物理意义明确（例最小势能原理、最小余 能原理）; (b)约束条件; (c)极值原理。 且对自变函数的连续性和可导性有一定的要求。
2、广义变分原理
(a)某种程度上放松约束的变分原理； (b)驻值原理。
第二节
'
1 p ij (ui. j u j .i ) eij d i (ui u i )dS Stationary S 2
称为新的泛函的广义泛函。
浅谈变分原理
浅谈变分原理变分原理是一个优化理论，它能够在大量数值模型中求得最优解。
变分原理由拉普拉斯于1930年提出，用于对边界值问题和导数问题进行数学分析，逐渐发展成为优化理论，用于解决复杂优化问题。
变分原理是一种建立在数学分析基础上的优化方法，它建立在函数的可微性下，利用极点定理（即函数的零点就是函数的极大值或极小值点），对被求解的优化问题进行极大值或极小值求解，以达到求解最优解的目的。
从物理的角度来讲，变分原理是把被求解的目标函数（如动能或潜能）作为一个约束变量，把由原始变量构成的约束条件作为另外一个约束变量，在此基础上求解系统最小化或最大化的问题。
变分原理最主要的功能在于对复杂的非线性方程或微分方程进行数值模拟，可以用来解决许多复杂的优化问题，比如最短路径问题，能量最优结构优化问题，多尺度结构优化等。
变分原理的应用范围极为广泛，而且在众多的应用领域中都取得了很大的成功，运用变分原理可以计算出精确的最优解，从而提高工作效率和节省时间成本。
变分原理作为一种近代优化原理，在材料力学、结构力学两个领域中也得到了广泛应用。
它可以用来解决因果力学各种优化问题，比如最小力学设计、极限状态设计、最大力学功等，它还可以用来对结构安全性极限状态进行动力分析，进而求出最优的设计参数，从而节省大量的计算时间成本。
如今，变分原理在优化问题的求解上有了广泛的应用，解决了很多实际应用中的复杂问题，在研究及应用方面也取得了很大的进展，例如变分原理和深度学习结合可以更好地解决各种机器学习和生物信息学问题，也使得它在优化问题的求解上更加有效和精确。
总之，变分原理是一种强大的优化方法，能够快速有效地求得最优解，其应用范围非常广泛，在众多优化问题中都发挥了至关重要的作用，未来变分原理还将在优化问题求解上发挥更大的作用，为社会经济发展提供更多有益的支持。
(完整word版)理论力学课后答案第五章(周衍柏)(word文档良心出品)
第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比aq &更富有意义？ 5.4既然aq T &∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理
大庆石油学院学报第31卷第1期2007年2月JOURNAL OF DAOING PETROLEUM INSTITUTEVol.31No.1Feb.2007收稿日期：20060908；审稿人：刘成仁；编辑：任志平基金项目：国家自然科学基金项目（10272034）作者简介：樊 涛（1981-），女，博士生，主要从事本构理论及变分原理方面的研究.几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理樊 涛1，梁立孚1，周利剑2（1.哈尔滨工程大学建筑工程学院，黑龙江哈尔滨 150001； 2.大庆石油学院土木建筑工程学院，黑龙江大庆 163318）摘 要：非线性非保守系统弹性力学的广义变分原理不仅在有限元法和其它近似计算方法中得到广泛应用，而且可以方便地求得非线性非保守系统弹性力学问题的精确解.按照广义力和广义位移之间的对应关系，将几何非线性非保守系统弹性力学中的基本方程乘上相应的虚量，然后积分并代数相加，并考虑到体积力和面积力均为伴生力，建立了几何非线性非保守系统弹性力学中的三类变量的广义拟变分原理，进而将其退化为两类变量的广义拟变分原理和经典拟变分原理.关 键 词：几何非线性；非保守系统；弹性力学；拟变分原理中图分类号：O34 文献标识码：A 文章编号：10001891（2007）01012006各种自然现象和过程（含力学现象）通常由一组数理方程（偏微分方程、积分-微分方程或积分方程）及初边值条件描述，但人们通过长期的探索研究，发现这些现象和过程常常使系统的某一整体量（泛函）取驻值或极值，因而又可以用相应的变分原理描述.变分原理既体现了数学形式上的简洁优美，又体现了物理内容上的丰富深刻，更具有工程应用上的价值，代表了数学与物理的交融与贯通，以及理论与实用的结合与统一.特别是自20世纪60年代起，有限元法的兴起与蓬勃发展，使作为其主要理论基础的变分原理又重新焕发了青春，取得了长足的发展［1-6］.但是，关于非线性系统和非保守系统变分原理的研究较少.非线性系统方面，BUFLER H 提出了放松连续性要求的非线弹性广义变分原理［7］；OGDEN R W 也在非线弹性变分原理方面作了研究［8］；钱伟长建立了几何非线性理论最小位能原理、余能原理和2种广义变分原理［9］；郭仲衡建立了非线性弹性理论变分原理的统一理论［10］；梁立孚利用“凑合法”推导了有限位移理论的各级变分原理［11］；郑泉水提出了非线性弹性理论的泛变分原理［12］.非保守系统方面，以Leipholz 为代表，提出广义自共轭的概念，建立了广义的Hamilton 原理，给出了著名的Leipholz 杆模型；刘殿魁等提出了弹性非保守系统的一般拟变分原理［13］；黄玉盈建立了非保守系统自激振动的拟固有频率变分原理［14］；梁立孚等建立了非保守系统两类变量的广义拟变分原理，并应用第一类两类变量广义拟余能原理，给出同时求解一个典型的伴生力非保守系统的内力和变形两类变量的计算方法［15］.非保守系统变分原理，一是建立非保守系统的广义变分原理困难，二是应用非保守系统的广义变分原理解决实际科学和工程问题困难.拟采用文献［15，16］的方法，建立几何非线性非保守系统弹性力学中的三类变量的广义拟变分原理，进而将其退化为两类变量的广义拟变分原理和经典拟变分原理.1 三类变量的广义拟变分原理给出几何非线性弹性力学的基本方程，其中平衡条件为［（!I]+U I ，]）S ]K ］，K + F I=0，在V 中，（!I ，]+U I ，]）S ]K N K - P I=0，在S "上{，（a ）（b ）·021·几何条件为E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l2U I ，J U I ，K =0，在V 中，U I - U I =0，在S U 上{，（c ）（c ）本构方程为S JK =D JKMN E MN ，在V 中，（e ）或E JK =C JKMN S MN ，在V 中，（f ）式中：!IJ 为Kroncker 符号；S JK 为Kirchhoff 应力张量分量；E JK 为Green 应变张量分量；U I 为初始构形中的位移分量； F I为体力分量； P I为面力分量；D JKMN为几何非线性时Lagrange 描述下的弹性系数张量分量；CJKMN为几何非线性时Lagrange 描述下的柔度系数张量分量；N K 为法向矢量分量；“，”为对空间坐标变量的导数；S "为力边界；S U 为位移边界；V 为空间域.根据广义力和广义位移的对应关系，将式（a ~e ）乘上相应的虚量，然后积分并代数相加，可得皿V｛［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K + F I ｝!U I +（E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l 2U I ，J U I ，K ）!S ()JK c V +皿V（S JK-D JKMN E MN ）!E JK c V -lS "［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I］!U I c S +lS U（U I- U I ）!［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］c S =0.（l ）利用S JK 的对称性，并应用散度定理，得-l2皿V（U J ，K +U K ，J +U I ，J U I ，K ）!S JK c V =-皿V!IJ+U I ，J ）U I ，K!S JK -l2U I ，J U I ，K !S []JK c V =皿V-U I ，K!［（!IJ+U I ，J）S JK］+U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JK c V =-皿V｛U I!［（!IJ+U I ，J ）S JK ］｝，K c V +皿VU I!［（!IJ+U I ，J）S JK］，K+U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JKc V =-l S "+S UU I!［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］c S +皿VU I!［!IJ+U I ，J ）S JK ］，K +U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JK c V .（2）将式（2）代入式（l ），得皿V｛U I!［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K !U I +U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S JK +E JK !S JK +S JK !E JK -D JKMN E MN !E JK + F I !U I ｝c V -lS "｛（!IJ +U I ，J）S JK N K !U I +U I !［（!IJ +U I ，J ）S JK N K ］- P I !U I｝c S -l S UU I !［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］c S =0.（3）式（3）可进一步表示为!皿V｛［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I+l 2U I ，J U I ，K S JK +E JK S JK -l2D JKMN E JK E MN+ F I U I ｝c V -!l S "［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I ］U I c S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］c S -皿VU I! F Ic V -l S "U I! PIc S =0.（4）将式（4）简记为·l 2l ·第l 期 樊 涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理!"3-!O -!P =0，（5）式中："3=皿V ｛［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I + F I U I +l 2D JKMN E JK E MN ｝d V -lS#［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I ］U I d S -l S UU I ［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］d S ；!O =皿VU I! FId V ；!P =l S #U I! P Id S .如果应用Green 定理，得皿V［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K!U I d V =l S #+S U（!IJ+U I ，J ）S JK N K !U I d S -皿V（!IJ +U I ，J ）S JK !U I ，Kd V =l S #+S U（!IJ+U I ，J）S JK N K !U I d S -皿VS JK !l 2U J ，K+l 2U K ，J +l2U I ，J U I ，()K d V .（6）将式（6）代入式（l ），并改变泛函中各项的符号，可得皿V［S JK !l 2U J ，K +l 2U K ，J +l 2U I ，J U I ，()K +l 2U J ，K+l 2U K ，J +l2U I ，J U I ，()K !S JK -E JK !S JK -S JK !E JK +D JKMN E MN !E JK - F I !U I］d V -l S #PI!U Id S -l S U｛（!IJ+U I ，J ）S JK N K !U I +U I !［（!IJ +U I ，J ）S JK N K ］- U I !［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］｝d S =0.（7）式（7）可进一步表示为!｛皿V l 2D JKMN E JK E MN -S JK E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J _l 2U I ，J U I ，()K - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI- U I ）（!IJ +U I ，J）S JKN Kd S ｝+皿VU I! F Id V +l S #U I! P Id S =0.（8）将式（8）简记为!$3+!O +!P =0，（9）式中：$3=皿Vl 2D JKMN E JK E MN -S JK E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l 2U I ，J U I ，()K - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI-U I ）（!IJ +U I ，J ）S JK N K d S .这里将式（5）称为几何非线性非保守系统弹性力学三类变量的广义拟余能原理，将式（9）称为几何非线性非保守系统弹性力学三类变量的广义拟势能原理.由式（5）和式（9）可得"3+$3=0.（l0）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（l0）均成立.2 三类变量的广义拟变分原理的退化令式（4）精确满足式（f ），经整理可将式（4）退化为!皿Vl 2C JKMNS JK S MN +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I+l 2U I ，J U I ，K S JK + F I !U {}I d V -!lS #［（!IJ+U I ，J ）S JK N K - P I ］U I d S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］d S -皿VU I! F Id V -l S #U I! PId S =0.（ll ）·22l ·大 庆 石 油 学 院 学 报 第3l 卷 2007年将式（11）简记为!"21-!O -!P =0，（12）式中："21=皿V 12C JKMNS JK S MN +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I + F I U I +12U I ，J U I ，K S {}JK d V -lS #［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I］U Id S -l S UU I［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］d S .令式（8）精确满足式（f ），经整理可将式（8）退化为!｛皿VS JK12U J ，K+12U K ，J+12U I ，J U I ，()K -12C JKMN S JK S MN- F I U []I d V -l S #PIU Id S -lS U（U I- U I）（!IJ+U I ，J）S JKN K d S ｝+皿VU I! F Id V +l S #U I! PId S =0.（13）将式（13）简记为!$21+!O +!P =0，（14）式中：$21=皿VS JK12U J ，K+12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12C JKMN S JK S MN - F I U []I d V -l S #P I U I d S -lS U （U I - U ）（!IJ +U I ，J）S JK N K d S .式（12）和式（14）是以Kirchhoff 应力张量和位移为变量的、几何非线性非保守系统弹性力学两类变量的不完全广义拟变分原理.这里将式（12）称为几何非线性非保守系统弹性力学第一类两类变量的广义拟余能原理，将式（14）称为几何非线性非保守系统弹性力学第一类两类变量的广义拟势能原理.由式（12）和式（14）可得"21+$21=0.（15）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（15）均成立.如果令式（4）精确满足式（e ），经整理可将式（4）退化为!皿V12D JKMNE JK E MN +［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN ］，K U I+12U I ，J U I ，K D JKMN E MN + F I U {}I d V -!lS #［（!IJ+U I ，J ）D JKMN E MN N K - P I ］U I d S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K ］d S -皿VU I! F Id V -l S #U I! PId S =0.（16）将式（16）简记为!"22-!O -!P =0，（17）式中："22=皿V｛12D JKMNE JK E MN +［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN ］，K U I +F I U I +12U I ，J U I ，K D JKMN E MN ｝d V -lS#［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN N K - P I］U I d S -l S UU I ［（!IJ+U I ，J）D JKMN E MN N K ］d S .令式（8）精确满足式（e ），经整理可将式（8）退化为!｛皿VDJKMNE MN 12U J ，K +12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12D JKMN E JK E MN - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（U I- U I ）（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K d S ｝+皿VU I! FId V +l S #U I! PId S =0.（18）将式（18）简记为·321·第1期 樊 涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理!"22+!O +!P =0，（19）式中："22=皿VDJKMN E MN 12U J ，K +12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12D JKMN E JK E MN - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI-U I ）（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K d S .式（17）和式（19）是以Green 应变张量和位移为变量的、几何非线性非保守系统弹性力学两类变量的不完全广义拟变分原理.这里将式（17）称为几何非线性非保守系统弹性力学第二类两类变量的广义拟余能原理，将式（19）称为几何非线性非保守系统弹性力学第二类两类变量的广义拟势能原理.由式（17）和式（19）可得$22+"22=0.（20）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（20）均成立.令式（4）精确满足式（a ），（b ），（f ），经整理可将式（4）退化为!皿V12C JKMN S JK S MN+12U I ，J U I ，K S ()JK d V -l S UU I （!IJ+U I ，J）S JK N K d []S -皿VU I! F Id V -l S #U I! P Id S =0.（21）将式（21）简记为!$1-!O -!P =0，（22）式中：$1=皿V12CJKMN S JK S MN+12U I ，J U I ，K S ()JK d V -lS UU I （!IJ +U I ，J ）S JK N K d S .式（22）的先决条件为式（a ），（b ），其为几何非线性非保守系统的拟余能原理.令式（8）精确满足式（c ）和式（d ），可将式（8）退化为!皿V12D JKMNE JK E MN -F I U ()Id V -l S #PIU Id []S +皿VU I! FId V +l S #U I! P Id S =0.（23）将式（23）简记为!"1+!O +!P =0，（24）式中："1=皿V12DJKMNE JK E MN -F I U ()Id V -l S #PIU Id S .式（24）的先决条件为式（c ），（d ），其为几何非线性非保守系统的拟势能原理.参考文献：［1］ ODEN J T ，REDDY J N.Variationai method in theoreticai mechanics ［M ］.New York ：Springer-Veriag ，1983.［2］ WASHIZU K.Variationai method in eiasticity and piastisity ［M ］.New York ：Pergamon Press ，1982.［3］ 胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用［M ］.北京：科学出版社，1981.［4］ 钱伟长.变分法和有限元［M ］.北京：科学出版社，1980.［5］ ABOBCK/7H ，AIPEEB H ，IEPylA A .BapIaIIO lpI IIl T OpII lp -IOCTI I T OpII O OJO K［M ］.MaCKBa ：HAyKA ，1978.［6］ 郭仲衡.非线性弹性理论［M ］.北京：科学出版社，1980.［7］ BUFLER H.Generaiized variationai principies with reiaxed continuity reguirements for certain noniinear probiems with an appiication to noniin-·421·大 庆 石 油 学 院 学 报 第31卷 2007年ear eiasticity［J］.Computer Methods in Appiied Mechanics and Engineering，1979，19（2）：235-255.［8］OGDEN R W.A note on variationai theorems in noniinear eiastostatics［J］.Math.Proc.Camb.Phii.Soc.，1975（77）：609-615.［9］钱伟长.大位移非线性弹性理论的变分原理和广义变分原理［J］.应用力学和数学，1988，9（1）：1-11.［10］郭仲衡.非线性弹性理论变分原理的统一理论［J］.应用数学和力学，1980，1（1）：11-29.［11］梁立孚，章梓茂.推导弹性力学变分原理的一种凑合法（续）［J］.哈尔滨船舶工程学院学报，1985，6（4）：1-12.［12］郑泉水.非线性弹性理论的泛变分原理［J］.应用数学和力学，1984，5（2）：205-216.［13］刘殿魁，张其浩.弹性理论中非保守问题的一般拟变分原理［J］.力学学报，1981（6）：562-570.［14］黄玉盈，王武久.弹性非保守系统的拟固有频率变分原理及其应用［J］.固体力学学报，1987（2）：127-136.［15］梁立孚，刘殿魁，宋海燕.非保守系统的两类变量的广义拟变分原理［J］.中国科学（G辑），2005，35（2）：201-212.［16］梁立孚，胡海昌.一般力学中三类变量的广义变分原理［J］.中国科学（A辑），2000，30（12）：（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（1130-1135.（上接第119页）式中：!2=121-!+"2!2+"!+!#$其中式（16）和式（18）是分式形式的椭圆函数解，是其它方法没有得到过的$式（9），（10），（11），（13），（15），（16），（18）是常微分方程式（4）的所有可能的解$把相应的具体参数代入解的表达式中，即可写出2+1维Bousenisg方程式（1）的精确行波解$2 结束语利用3阶多项式完全判别系统，求得了2+1维Bousenisg方程的大量精确行波解，其中包括有理函数型解、三角函数周期解、Jacobi椭圆函数双周期解，这些解中有一些是从未得到过的.更重要的是，式（4）的全部精确解得以求出.参考文献：［1］范恩贵，张鸿庆.非线性耦合标量场方程的精确解［J］.物理学报，1998，47（7）：1064-1070.［2］闫振亚，张鸿庆.一类非线性演化方程的显式行波解［J］.物理学报，1999，48（1）：1-5.［3］王心宜，越南.耦合标量场论中的新孤子解［J］.物理学报，1991，40（3）：359-364.［4］WANG X Y，XU B C，TAYLOR P L.Exact soiiton soiutions for a ciass of coupied fieids eguation［J］.Phys Lett A，1993，173（1）：30-32.［5］王明亮，白雪.齐次平衡原则与BTs［J］.兰州大学学报，2000，36（3）：12-17.［6］关伟，张鸿庆.求解非线性方程的双曲函数法［J］.高校应用数学学报（A辑），2001，16（2）：163-168.［7］李志斌，张善卿.非线性波方程准确孤立波解的符号计算［J］.数学物理学报，1997，17（1）：81-89.［8］张鸿庆，范恩贵.2+1维kadom tsev-petviashviii方程的Backiund变换和精确解［J］.大连理工大学学报，1997，37（6）：624-626.［9］刘成仕，杜兴华.耦合Kiein-Gordon-Schrodinger方程的新的精确解［J］.物理学报，2005，54（3）：1039-1044.［10］LIU Cheng-shi.Traveiing wave soiutions of tripie Sine-Gordon eguation［J］.Chinese Physics Letters，2004，21（12）：2369-2371.［11］ZHENG C L，CHEN L .A generaiized mapping approach and new traveiing wave soiutions to（2+1）-dimensionai Bousenisg eguation.［J］.Commu.in Theor.Phys.，2004，41（5）：671-674.·521·第1期樊涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理。
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
世界著名科学家钱伟长简介
世界著名科学家钱伟长简介钱伟长，世界著名的科学家、教育家，杰出的社会活动家，中国科学院院士。
钱伟长兼长应用数学、力学、物理学、中文信息学，在弹性力学、变分原理、摄动方法等领域有重要成就。
下面是为大家整理的世界著名科学家钱伟长简介，希望大家喜欢！钱伟长，是我们常说的三钱之一，是世界闻名的科学家、教育家和社会活动家。
钱伟长在1931年考入清华大学，之后在多个领域内取得巨大的成就，成为年度感动中国人物。
钱伟长简介，1931年，钱伟长以物理5分、数学和化学总分20, 中文和历史两个满分的成绩考入清华大学。
在九一八事变发生后，钱伟长决定弃文从理，改学物理学。
1940年钱伟长到加拿大留学，主学弹性力学。
1941到1942年，钱伟长主要研究雷达波导管内电抗和固支受拉方板的振动，1942年获得多伦多大学的应用数学系博士。
在1942年到1946年期间，钱伟长在美国加州理工学院喷射推进研究所任总工程师，是世界导弹之父冯卡门的学生。
钱伟长从事了火箭弹道、火箭空气动力学设计、气象火箭以及人造卫星轨道、降落伞等多个科学领域的研究，发表了世界上第一篇奇异摄动理论论文，成为该领域奠基人。
1946年，钱伟长归国，成为清华大学、北京大学和燕京大学的教授。
1954年到1958年，任我国第一届人民代表大会代表。
同时钱伟长成为中国民主同盟多届名誉主席，先后担任上海大学、南京大学、南京航空航天大学、江南大学和暨南大学校长。
钱伟长的主要成就在物理学、应用数学、中文信息学方向，另外在弹性力学、摄动方法和变分原理领域也取得卓越成就。
钱伟长简介里了解到钱伟长对力学贡献很大，是力学奠基者之一。
并且钱伟长对中国教育事业十分关心，为人很谦逊，成为后辈的楷模。
钱伟长最大的贡献钱伟长是我国著名的科学家，被称为是中国的“力学之父”“应用数学之父”，他一生精于学术，一心报国，为我国的科学研究和发展做出了巨大的贡献，那么，钱伟长最大的贡献是什么呢？钱伟长的贡献并不局限于某一个领域，他对于我国的力学研究、力学教学、数学应用以及高等教育都有着突出的贡献。
几何非线性非保守系统弹性动力学两类变量的广义拟变分原理的应用
素法和其 它近似计算方法 中得到广泛应 用，而且可以方便地求得 非线性非保 守 系统弹性动力学问题 的精确解 。文章
应用几何 非线性 非保 守系统弹性动力学 中的第一类两类变量广义拟余能原理 ， 究 了一个典型 的非保 守动力 学系统 研 边值问题 的动态特性 ，并给 出同时求解一个典型的几何非线性非保 守系统的内力和变形两类变量的计算 方法。 关键词 ：几何非线性 ；非保 守系统 ；弹性动 力学；拟余能原理
内力 和变形 两类 变量 的计 算方 法 。
性理论变分原理的统一理— 论 ；梁立孚等利用“ 凑合
法” ，推导出有限位移理论的各级变分原理［ ５ １ 。郑泉
水提 出 了非 线性 弹性理 论 的泛变分 原理 ［ ６ １ 。 非保 守 系统 方 面 ，国外 以 Ｌｉｈｌ为代 表 ，提 ｅｐ ｏ ｚ 出广 义 自共 轭 的概 念 ，建 立 了广 义 的 Ｈａ ｌｎ原 ｍｉｏ ｔ 理 ，给 出 了著名 的 Ｌｉｈｌ杆模 型 。我 国学 者 也作 ｅ ｏ ｐ ｚ
计算 方法ｔ ９ ］ 。 在弹 性动力 学 的变 分原理 方 面罗 恩和邢 京 堂分 别 做 了大量 的工 作［－。 】１ ｏ３ １ 刘 殿 魁 等 对 非 保 守 系统 拟 变 分原 理 和 广 义 拟 变 分 原理 在 近 似计 算 中 的应 用 做 了 系统 的研 究 用； 罗 恩对 几 何 非 线 性 保 守 系统 弹性 动 力 学 变 分 原 理 和 广 义变 分 原 理 在 近似 计 算 中的 应 用 做 了系 统 的
第４ 期
樊
涛等 ：几何非线性非保 守系统 弹性动力学两类变量的广义拟变分原理 的应用
考虑如图 １ 所示的悬索桥 ， 设其有如图 ２的单
。＝
（
薄板／扁壳大挠度问题的新型广义变分原理
薄板／扁壳大挠度问题的新型广义变分原理
蒋友谅
【期刊名称】《机械工程学报》
【年(卷),期】1993(29)3
【总页数】8页(P28-35)
【关键词】变分法;薄板;壳体;弹性力学;大挠度
【作者】蒋友谅
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O342
【相关文献】
1.弹性薄板大挠度问题两类变量的广义变分原理 [J], 刘宗民;梁立孚;宋海燕
2.大挠度剪切理论下复合材料夹层圆柱扁壳的广义傅里叶级数解法 [J], 张志民;刘宏增;张恒
3.夹层扁壳大挠度的广义变分原理 [J], 蒋友谅
4.只含两个独立变量的扁壳大挠度问题修正的海林格-赖斯内变分泛函 [J], 钱仍
5.扁壳大挠度的三类变量广义势能原理 [J], 蒋友谅
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一个适用于非线性板壳问题的广义变分原理
陈南;陈绍汀;杜庆华
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】1991(8)4
【摘要】本文在现时拉格朗日(UL)描述下推导了适用于有限变形及率敏感非弹性材料的广义变分原理。
以位移率和应变率为独立变量使它较适于在非弹性材料的板壳问题中应用。
并推导了两种率敏感塑性模型(Bodner和Perzyna)的统一的计算增量表达形式。
【总页数】5页(P77-81)
【关键词】非线性;板壳;广义;变分原理
【作者】陈南;陈绍汀;杜庆华
【作者单位】东南大学;西安交通大学;清华大学
【正文语种】中文
【中图分类】TU330.1
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1.Mindlin板几何非线性分析的广义变分原理 [J], 干洪
2.层合板壳问题的哈密顿体系与哈密顿型广义变分原理 [J], 邹贵平
3.非线性液固耦合系统的一个广义变分原理 [J], 邹时智;黄玉盈
4.开孔簿板非线性分析的数学模型和广义变分原理 [J], 程昌钧;杨骁
5.薄板／扁壳大挠度问题的新型广义变分原理 [J], 蒋友谅
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