变分原理基础_讲义

变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。

概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。

本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。

2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。

对这一能量特征举几个简例。

例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。

弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。

用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。

现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。

系统势能p ∏是位移∆的二次式。

由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。

显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。

换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。

根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。

例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。

根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。

式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。

为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。

换一个角度，求c ∏的一阶及二阶导数，得ppc X dx M MX M EIdXd 11111111)(1∆+=+=∏⎰δ(11)11212>=∏δdXd c(12)由于真解满足式(7)，代入式(11)，得01=∏dXd c ，故知余能c ∏为驻值。

根据式(12)，又知余能c ∏为极小值。

3 基本能量原理两个基本原理：最小势能原理和最小余能原理。

对应于结构力学中的位移法和力法两种基本解法对应于弹性力学中的位移法和力法两种基本解法最小势能原理――在弹性平衡问题中，与一切满足位移边界条件（包括几何方程和位移边界条件）的可能位移相比，真实位移使势能为极小值。

最小余能原理――在几何连续问题中，与一切满足平衡条件（包括平衡微分程和外力边界条件）的可能应力（或可能内力）相比，真实应力（或真实内力）使余能为极小值。

基本能量原理提出得最早，起初是从物理概念上自然提出的，也称为自然能量原理。

其中的最小势能原理以位移为基本变量，最小余能原理以应力为基本变量。

总之，基本能量原理是取单类变量（位移或应力）作为基本变量的能量原理。

4广义变分原理结构力学和弹性力学中的混合解法其基本变量是混合型的，例如混合选取位移}{σ作为基本变量，又{u和应力}如混合选取位移}{σ作为基本变量。

总之，在混合解法中所选{ε、应力}{u、应变}取的基本变量不是单类变量，而是多类变量。

广义变分原理与之对应，在能量原理中也有混合变分原理，也称多类变量变分原理，也称广义变分原理，由基本能量原理推广而得到的能量原理。

广义变分原理中最常用的有两个，即Hellinger-Reissner变分原理（H－R原理）和胡海昌一鹫津变分原理（H－W原理）。

其中H－R原理以位移}{u和应力}{σ作为基本变量，H－W原理以位移}{σ作为基本变量。

{ε、应力}{u、应变}由基本能量原理推广而得到的能量原理。

5能量原理的外部和内部的对应关系学习能量原理时，要注意左右沟通、前后呼应，清晰地了解其中的经纬脉络和来龙去脉。

现指出以下几种对应关系，包括与其他学科之间的关系以及内部内容之间的关系。

1. 能量原理与泛函变分原理的对应关系本书讨论弹性结构静力分析的能量原理。

与它相关的学科还有结构动力分析的哈密尔顿原理，塑性力学的变分原理，流体力学某些问题的变分原理，最优控制问题的变分原理。

这些属于不同学科的原理各具特色，但在数学上都归属于泛函变分原理。

这里是个别与一般、具体与抽象的关系。

学习能量原理时要与泛函变分原理相联系，借鉴其通用的概念和方法，扩大视野。

(外部)2. 能量变分形式与微分方程形式的等价关系讨论弹性结构静力分析问题有两种表达形式。

通常作法是用微分方程和边界条件来表述，属于微分方程形式。

另一作法是用能量极值或驻值问题来表述，属于能量变分形式。

在一定条件下，能量变分形式与微分方程形式是等价的。

要了解两种形式的等价性及其适用条件。

对两种形式要进行沟通，由此及彼，能进能出。

还要比较其异同，了解其优点和缺点。

(内部)3. 能量解法与传统解法的对偶关系在传统解法中，我们学过位移法、力法和混合法。

在能量解法中，分别由势能原理、余能原理和广义变分原理导出的解法实际上与位移法、力法、混合法是等价的。

它们之间形成一种对偶关系。

运用对偶关系来学习能量原理，将收到事半功倍、学一知二的效果。

(内部)4.能量变分原理与近似解法（里兹法、有限元法）的源流关系有限元已经发展为广泛采用的工程分析工具，而能量原理是其理论基础。

有限元的发展离不开能量原理的指导，也丰富了原理的内容。

它们之间是源与流的关系。

欣赏源时要远望着流，欣赏流时要上溯到源。

5.各类能量原理之间的变换关系能量原理有多种类型，本书主要介绍其中四类，即最小势能、余能原理，H －R和H－W原理。

它们都归结为各自的能量驻值条件，可用统一形式来表述。

既要了解四类能量原理的各自特点，又要了解它们之间的相互关系，特别是由此及彼的变换关系。

把四类能量原理编成一个网，四通八达。

这样掌握的知识才能灵活驾取，运用自如。

参考文献[1] 胡海昌，弹性力学的变分原理及其应用，科学出版社，1981。

[2] 钱伟长，变分法及有限元（上册），科学出版社，1980。

[3] Washizu K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press,1968, 1975, 1982 (1,2,3版)[4] 龙驭球,包世华. 结构力学教程(Ⅱ).北京: 高等教育出版社,2001[5] 卓永寿.弹塑性力学中的广义变分原理：2002年,第2版[6] 熊祝华,刘子廷.弹性力学变分原理：1988年[7] 罗建辉.弹性力学求解体系研究.湖南大学博士学位论文：2003年[8] 龙驭球，变分原理•有限元•壳体分析，辽宁科技出版社，1987。

[9] 彭旭麟，罗汝梅，变分法及其应用，华中工学院出版社，1983。

第一章 变分原理的基本概念-------能量原理与泛函变分原理的对应关系、泛函、变分的概念从数学角度看，能量原理属于泛函变分原理。

前者是典型的力学范例，后者是一般的数学形式。

为了说明数学概念的物理背景，我们结合梁的最小势能原理这个简例，引出泛函、变分和变分方法等概念。

1 一个简例――梁的最小势能原理例1—1梁的最小势能原理图1—1所示为一等截面简支梁，其抗弯刚度EI 为常数，梁上有分布荷载)(x q 作用。

按位移法求解。

以挠度函数)(x v 作为基本变量，求)(x v 的真解。

首先介绍通常作法。

由基本变量)(x v 可导出曲率κ和弯矩M 表示式2222d v dxd v M E Idxκ=-=- (13)利用平衡微分方程，可得到关于v 的控制微分方程：44=-q dxv d EI(14)边界条件分为两类，位移边界条件为0,0,0x v x l v ==== (15)力的边界条件为22220,0,0d v x M EIdxd v x l M EIdx==-===-=(16)根据微分方程(13)以及边界条件(14)和(15)即可求出)(x v 。

其次介绍能量法。

这里按最小势能原理来叙述。

图3按照位移法思路，仍以挠度)(x v 作为基本变量。

令)(x v 事先满足位移边界条件(14)。

隐含了位移的连续性。

这种位移称为可能位移。

写出弹性系统的势能p ∏的表达式，p ∏由梁的应变能U 和荷载的势能p U 两部分组成：dx dx vd EI dx k EI U ll222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰(17a)qvdxUlp⎰-=0(17b)dxqv dxv d EI UU lpp⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=∏⎰22202(17c)在各种可能位移中，真实位移使势能为极小值=∏p 极值 真实位移即由势能极值条件求出。

2 由能量引出泛函的概念力学中的能量驻值原理，在数学中概括为泛函变分原理。

首先介绍泛函的概念，并与函数的概念加以比较。

式(17)中的三个能量U ，P U 和p ∏有一个共同特点，它们的值都依赖于所选取的函数)(x v 。

每给定一个函数)(x v ，就可确定它们的一个对应值，这是一种函数与变量之间的对应关系，自变量是函数，因变量是变量。

这种对应关系叫做泛函关系，而称p U U ,和p ∏为泛函，即以函数集)}({x v 为定义域的三个泛函，分别记为)]([)],([x v U x v U p 和)]([x v p ∏。

一般来说，设)}({x v 是已给的函数集。

如果对其中任一函数)(x v ，∏恒有某个确定的值与之对应，则称∏是依赖于)}({x v 的一个泛函，记为)]([x v ∏。

换句话说，泛函∏是依赖于函数)(x v 的函数，简言之，是函数的函数。

其中的函数)(x v 称为自变函数。

在上例中，挠度v 扮演了两个角色：在同一个挠度曲线上，v 是坐标x 的函数，v 因x 而变。

对于能量∏来说，)(x v 是∏的自变函数，∏因)(x v 而变。