2灰色预测模型GM(1,1)及其应用

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灰色预测模型GM(1,1)的适用性分析及在火灾风险预测中的应用

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灰色预测模型Ｇ（，１的适用性分析Ｍ１）及在火灾风险预测中的应用
陈子锦，王福亮，陆守香
（．中国科学技术大学统计与金融系，合肥２０２；１３０６２．中国科学技术大学火灾科学国家重点实验室，合肥２０２）３０７
为序列长度，对其进行一次累加生成处理得：
”
＝
再做一次差分，记为序列
”，
（）ｋ＋１：。（＋１ ‘ （）：－（１） ‘ ｋ）一。ｋ（１一ｅ）（。（）一ｕ０ｅ，。 ‘ １／）一
灰色系统理论建立以来，相关模型也逐渐走进了火灾科学研究者的视线，文献［］用灰关联，１文献［］用灰色Ｇ（，１２Ｍ１）模型预测我国的火灾损失，文献［ —５３］预测我国在今后的几年内的火灾形势，使用灰色Ｇ（，１Ｍ１）模型对火灾次数，人员伤亡和对灾变发生年做出了预测。该模型通过原始数据的累加可以消除一定的随机性，但它并不是一种万能方法，对于有些数据模型的解并不合理，于是用通过预测值和实际值的残差占实际值百分比来判断模型的好坏，后验差检验，或者用灰色关联度检验ｂ。下面将介绍一种方法，即通过观察分析数据就可以大概判断该模型适用与否。
∞

灰色理论GM(1,1)模型在农民人均收入预测中的应用

２１第１００３期总第３４２
பைடு நூலகம்
灰色理论Ｇ（，）型在农民人均收入预测中的应用Ｍ１１模
赵艳妮，郭华磊
（．西职业技术学院计算机科学系，西西安７００；２西安通信学院，陕西西安１陕陕１１０．
（．ｅａｔｔｆｍｐｔｒＳｉｎｅｈａｌｉｃｔｎｌＴｅｈｉａＣｉｇ，Ｘｉｎ７０（，Ｃｉａ．Ｘｉａｏ１ＤｐｒｍｅｉｏｔＣｏｕｅｃｅｃ，Ｓａ，ｘＶｏａｉａ＆ｏｃｎｃ１ｏｌｅｅａ１１）０ｈｎ；２ ’ ｎＣｍｍｕｉａｉｎＣｉｇ，Ｘ ’ ｎ７００，Ｃｔｎ）ｎｃｔｏｌｅ０ｅｉａ１１６ａｉ
有效的参考依据
关键词：色理论；灰ＧＭ（，）型；均收入；测１１模人预中图分类号：Ｐ８Ｔ１文献标识码：Ａ，文章编号：０４３３２１）３０３ — ２１０ — ７Ｘ（００１ — １１０
０引言
色预测和决策，灰色数列预测模型是对时间序列变量其的预测。ＧＭ（，）型是最常用的一种灰色模型，１１模由
一
近年来随着中央对 “ 三农 ” 的重视，村的补贴力度农
不断加强，民的收入不断增加，民种粮的积极性不农农
Ａｂｔｃ：Ｔｈｅ－ａｉｎｏｆａｍｅｓａｌｍｐｒａｔｔｃｎｌｇｎｅｉｈｉｔｅｍｅｓｒｄｌｖｌｆｇｕｔｒｅｓｒｔａｅｐｒｃｐｔｉｃｍｅｏｒｒｉｒｉｏｔｎｅｈｏｏｙｉｄｘｗｈｃｓｈａｕｅｅｅｄｃｌｕｅｄ — ａｆｏａｖｌｐｎｎｈｔｔｓｏａｍｅｓｌｅＦｒｃｓｉｇｔｅｆｒｒｐｒｃｐｔｎｏｎｔｅｆｔｒｅｒｉｈｉａｅｎｅｏｍｅｔａｄｔｅｓａｕｆｆｒｒｉ．ｏｅａｔｎｈａｍｅｅ－ａｉｉｃｍｅｉｈｕｕｅｙａｓｗｈｃｓｂｓｄｏｆａｆｒｒｐｒｃｐｔｎｏｅｏｎｏｎＨｅａｒｖｎｅｆｏｔｅｙａ０１ｔ０８ｂｅｎｆｇａｈｏｙＧＭ（１ａｍｅｓｅ－ａｉｉｃｍｆｏｅｔｗｎｉｎｎｐｏｉｃｒｍｈｅｒ２０ｏ２０ｙｍａｓｏｒｙｔｅｒａ１，）

灰色系统理论GM(1,1)预测模型的应用

来进行预测和解析，而灰色系统理论则可以弥补传统结构法建立模型的不足．本文研究了灰色系统理在人均年收入预测中的应用，作为应用实例，对云南省德宏州农民人均年纯收入建立了ＧＭ
（１，１）模型，并进行了残差修正．根据检验结果可知，所建立的残差修正ＧＭ（１，１）模型对农民人均年纯收入的短期动态变化趋势有良好的预测效果．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒａｉｓｉｎｇａｗａｒｄｓｔａｎｄａｒｄｏｆｔｈｅｆａｍｉｌｙｐｌａｎｎｉｎｇｏｆ” ＦｅｗｅｒＣｈｉｌｄｒｅｎＥｑｕａｌｓＦａｓｔｅｒＰｒｏｓｐｅｒｉｔｙ ”ｉｓｔｈｅｋｅｙｔｏｉｔｓａｔｔｒａｃｔｉｏｎａｎｄｔｉｍｅｌｉｎｅｓｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓｈｏｕｌｄｎｏｔｏｎｌｙｍａｔｃｈｔｈｅｎａｔｉｏｎａｌｉｓｆｃａｌｔｏｌｅｒａｎｃｅ，ｂｕｔａｌｓｏｓｔｉｍｕｌａｔｅｓｔｈｅｔｉｍｅｌｉｎｅｓｓａｎｄａｔｔｒａｃｔｉｏｎ．ＡｍｏｄｅｌｉＳｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｗｉｔｈｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｌｏｓｅａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅａｗａｒｄｓｔａｎｄａｒｄａｎｄｔｈｅｐｅｒｃａｐｉｔａｎｅｔａｎｎｕａｌｉｎｃｏｍｅｏｆｆａｒｍｅｒｓ．Ｔｈｅｐｅｒｃａｐｉｔａｎｅｔａｎｎｕａｌｉｎｃｏｍｅｏｆｆａｒｍｅｒｓｉｓａｆｆｅｃｔｅｄｂｙｍａｎｙｆａｃｔｏｒｓ，ｗｈｏｓｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｐａｒｔｌｙｋｎｏｗｎａｎｄｐａｔｌｒｙｕｎｋｎｏｗｎ，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｏｔｅｆｎｕｎａｂｌｅｔｏａｎａｌｙｚｅａｎｄｐｒｅｄｉｃｔｉｔ．ＴｈｅＧｒａｙｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙ，ｈｏｗｅｖ－ｅｒ，ｃａｎｍａｋｅｕｐｔｈｅｄｅｉｃｆｉｅｎｃｉｅｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒｅｙｓｙｓｔｅｍｔｏｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｏｆａｎｎｕａｌ

灰色预测GM(1,1)模型在环境空气质量变化趋势预测中的应用

123智能环保NO.10 2020智能城市 INTELLIGENT CITY 灰色预测GM（1，1）模型在环境空气质量变化趋势预测中的应用许发明1 李优良2 （1.中央民族大学，北京 100081；2.湖南泸溪县环境监测站，湖南泸溪 416100）摘要：利用灰色系统理论，以泸溪县环境空气自动监测数据为样本，构建GM（1，1）预测模型，分析预测该县“十四五”期间的环境空气质量变化趋势。

预测结果显示，该县未来5年环境空气质量将持续好转。

关键词：灰色模型；环境空气质量；趋势预测空气清新评估指标作为美丽中国建设评估指标体系的五类指标之一，包含细颗粒物（PM2.5）浓度、可吸入颗粒物（PM10）浓度、城市空气质量优良天数比例 3 个指标。

因此聚焦美丽中国建设评估指标，开展细颗粒物浓度、可吸入颗粒物浓度变化趋势预测，对于科学确定泸溪县“十四五”期间这两项控制目标值具有很好的参考意义。

泸溪县环境空气自动监测站2013年建站，2016年具备六参数全自动24 h监测能力，从当前有限数据，要开展该县“十四五”大气环境质量趋势预测，必须选择适当的预测方法，通过构建数理统计模型开展预测。

灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论[1]。

灰色预测是对灰色系统所做的预测，灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具[2]。

因此，尝试采用灰色系统理论来开展环境质量趋势预测工作[3]。

1 影响空气质量优良天数比例的因子识别为筛分出影响泸溪县环境空气质量的主要污染因子，我们对2016~2019年空气质量监测中的首要污染物，最大单项污染物和最大单项指数污染因子进行了分析与判别。

（1）环境空气中首要污染物占比统计分析。

通过数据统计，发现各年中细颗粒物（PM2.5）、可吸入颗粒物（PM10）和臭氧（O3）3个因子为我县的首要污染物，它们所引起的污染天数共149 d，其中细颗粒物作为首要污染物的天数最多，为112 d，占总天数的75.17%；臭氧作为首要污染物的天数居第2位，为23 d，占总天数的15.44%；可吸入颗粒物作为首要污染物的天数为14 d，占总天数的9.39%。

灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用

灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用随着科技的不断进步，预测模型在医疗方面得到了广泛的运用。

其中，灰色马尔科夫模型（Gray Markov Model，简称GM(1,1)模型）是一种较为常用的模型，具有较高的预测精度和实时性。

在我国肺结核高发国家的现状下，研究肺结核发病率的变化规律和预测肺结核发病率的趋势，具有重要的现实意义。

一、灰色马尔科夫模型简介灰色马尔科夫模型是将灰色系统理论与马尔科夫转移概率矩阵相结合所形成的一种新型预测模型。

该模型适用于样本量较小的情况下，可以根据序列中的数据，对序列未来的趋势进行预测。

GM(1,1)模型是灰色马尔科夫模型家族中的一员，它以低强度的可预测性和对非线性、小样本和不稳定时间序列的适应性为其主要优势。

二、肺结核发病率变化趋势分析2005年，我国肺结核发病率为93/10万，在此之后随着我国经济发展和卫生保健制度改革的实施，肺结核发病率呈下降趋势。

2010-2018年，我国肺结核发病率分别为65/10万、62/10万、58/10万、55/10万、53/10万、50/10万、47/10万、42/10万、39/10万。

可以看出，我国肺结核发病率在逐年下降，但下降幅度有所减缓。

1、建模：采用GM(1,1)模型对我国肺结核发病率进行预测。

将我国2005-2018年的肺结核发病率数据作为灰色马尔科夫模型的输入变量，以2019-2023年为预测年份。

2、模型训练：用我国2005-2018年的肺结核发病率数据训练GM(1,1)模型，得到预测公式。

在本次研究中，采用GM(1,1)模型的基本步骤如下：①数据一次累加生成新数据序列：$B={b(1),b(2),...,b(n)}$：$b(k)=\sum\limits_{j=1}^{k}x(j)$。

②用新的序列得出数据的矩阵形式:$$ \overset{\sim}{X}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(x(1)+x(2))&1 \\ -\frac{1}{2}(x(2)+x(3))&1 \\\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&\cdot \\ -\frac{1}{2}(x(n-1)+x(n))&1 \\ \end{bmatrix} $$③建立一阶常系数非齐次线性微分方程：$$\frac{d\overline{x}}{dt}+a\overline{x}=u(t)$$式中，$a$为灰色作用量或灰色关联系数，$u(t)$为输入序列。

改进的GM(1,1)灰色模型在大坝沉降预测中的应用

：
｛；，
ｆ’ ｝；…，ｆ，＝∑ ｘ｛；其中，／ｏ
系统预测模型Ｇ１１的定义型，Ｇ１１的灰Ｍ（，）即Ｍ（，）微分方程为：
部分大坝存在观测数据残缺或因处在施工蓄水
期而缺乏长期资料的现象，上述方法对大坝监测用资料进行分析存在局限性，而灰色模型具有要求样本数据少、原理简单、算方便、期预测精度高等运短优点，此不少学者将其应用于大坝沉降分析因中＿．文对传统的Ｇ１１模型进行了改进，ｌ本剖Ｍ（，）并
（，）ｍｄｌｓｉｅａｅｔｄｔｎｌＭ（，）ｍｄ１１１ｏｅｉｈｈｒｈｎｔａｉｏａＧ１１ｏｅ．ｇｔｈｒｉ
Ｋｙｗｒｓｇｅｅｒ；Ｇ１１ｅｏｄ：ｒｔｏｙｈｙＭ（，）Ｍｏｅ；ｄｍｓｔｅｅｔｒｄｔｎｄｌａｔｍｎｐｅｉｏｅｌｃｉ
（ｔｎｅｖｃｄＥｖｏｍｎＩｓｔｅｏＺｅｇｈｕＵｉｒｔ，ｅｇ０５０２Ｃｉ）Ｗａｒｓａｙａｎｉｎｅｔｎｔｕｈｎｚｏｎｅｉｎ小ｕ００，ｈｎｅＣｒｎｎｏｒｉｔｆｖｓｙ４ａＡｓａｔＩｖｗｏｅｅｃｎｙｏｔｄｉａＧ１１ｏｅ，ｈａｅｔｕｅＭ（，）ｍｄｌｒｍｔｅｓｅｔｂｔｃ：ｉｆｈｆｉｃｆｒｉｏｌＭ（，）ｍｄｌｔｓｐｐｒｅｐａｎｗＧ１１ｏｅｆｒｅｒｐｃｒｎｅｔｄｉｅａｔｎｉｓｓｏｈｅｓ

灰色模型GM(1,1)在渔货卸港量预测中的应用

灰色模型GM（1，1）在渔货卸港量预测中的应用采用灰色模型GM（1，1），依据五个渔港实际渔货卸港量资料，对渔港渔货卸港量进行预测，并与时间序列法的预测结果对比，结果表明该模型预测精度要优于时间序列法，可以在渔货卸港量预测中加以应用。

标签：渔货卸港量；灰色模型GM（1，1）；预测方法简介渔港是渔业生产的重要依托，是渔区经济社会发展的重要基础设施，如何选取优势渔港进行合理资金投入是我国渔港建设中面临的一个重要问题，渔货卸港量是衡量渔港规模大小以及发展能力的一项重要决策指标，科学准确地对渔货卸港量水平进行预测，对于合理进行渔港规划布局建设以及发掘优势渔港满足当地渔业需求具有更贴合实际的意义[1]。

目前在各地渔港的工程可行性研究报告中普遍采用时间序列法对渔货卸港量进行预测，将年份或者序号与卸港量分别作为回归方程的自变量和因变量，建立一元线性回归方程[2]，该方法需要较多年份资料令计算结果容易出现偏差。

灰色系统理论主要研究小样本不确定问题[3]，预测样本不需要有规律性分布，灰色模型GM（1，1）是灰色预测模型中得到最普遍应用的核心模型[4]，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在的规律，该模型在建模时不需要大量的数据就能取得较好的预测效果，已被广泛应用于经济管理、自然科学、农业科学、工程技术等各个领域[5]。

1 基本思路本文采用灰色系统理论中的GM（1.1）预测模型对渔港渔货卸港量进行预测，并与时间序列法的预测结果进行比较，结果表明采用灰色模型GM（1.1）的预测精度更高，预测结果更加接近实际值。

2 算例2.1 灰色模型GM（1，1）利用灰色模型GM（1，1），使用前阳一级渔港1996-2005年的渔货卸港量资料对2006年的渔货卸港量进行预测。

（见表1）2.1.1 卸港量累加序列的计算结果如下。

（见表2）2.1.2 分别建立矩阵B，y2.1.3 求逆矩阵2.1.4 根据计算估计值■和■：将■和■的值带入时间响应方程，得时间响应方程为：2.1.5 求出拟合值■（1）（i），根据■（1）（1）=■（0）（1），■（1）（2）=■（0）（2）+■（0）（1）…，进行后减运算还原，可依次得到■（0）（i）值，相关计算结果如表3所示。

GM(1,1)模型的适用范围

GM(1,1)模型的适用范围摘要GM(1,1)模型是一种常用的灰色系统数学模型，在许多领域得到了广泛的应用。

本文将介绍GM(1,1)模型的基本原理及其适用范围，并针对不同领域中GM(1,1)模型的具体应用进行详细讨论。

简介灰色系统理论是一种将统计学、数学和信息科学相结合的新兴跨学科领域，其研究的对象是具有不确定性、非完备信息的系统。

GM(1,1)模型是灰色系统理论中最常用的一种数学模型，用于预测和分析时间序列数据。

GM(1,1)模型的原理是基于灰色系统理论的灰色模型建模方法，该方法根据数据序列的变化规律，建立数据的动态变化模型，并通过建立灰色微分方程来进行预测。

GM(1,1)模型主要适用于简单的时间序列数据的预测和分析，具有简单、快速和高效等特点。

GM(1,1)模型的适用范围GM(1,1)模型适用于许多领域，主要包括以下几个方面：经济领域GM(1,1)模型在经济领域中的应用非常广泛，用于进行经济增长预测、市场趋势分析和投资策略制定等。

例如，可以将GM(1,1)模型应用于GDP季度数据的预测和分析，对经济增长趋势进行精确预测，为决策者提供科学依据。

工程领域GM(1,1)模型在工程领域中主要应用于生产和管理技术的改进、质量控制和生产计划制定等。

例如，可以将GM(1,1)模型应用于生产过程中某个指标的预测和分析，帮助工程师优化生产过程，提高生产效率。

自然科学领域GM(1,1)模型在自然科学领域中主要应用于气象、环境、水资源和地震等领域的数据分析和预测。

例如，可以将GM(1,1)模型应用于气象领域的气温预测和降雨量预测，为决策者提供准确的气象数据，为灾害防治提供科学依据。

社会科学领域GM(1,1)模型在社会科学领域中主要应用于人口、教育、医疗和农业等领域的数据分析和预测。

例如，可以将GM(1,1)模型应用于人口结构和教育发展趋势的预测和分析，帮助政府制定科学的人口和教育政策。

GM(1,1)模型的优缺点GM(1,1)模型具有以下优点：1.GM(1,1)模型具有简单、快速和高效等特点；2.GM(1,1)模型可以使用少量的数据进行分析和预测；3.GM(1,1)模型对数据的数量级和分布形态要求不高。

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§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用
蠕变是材料在高温下的一个重要性能。

处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。

高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。

过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。

而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。

如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

一、灰色模型GM （1，1）建模步骤如下：
（1）GM （1，1）代表一个白化形式的微分方程：
u aX dt
dX =+)1()
1( （1）式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；)
1(X
是原始数据)
0(X
的累加生成（AGO ）值。

（2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。

表示为：
∑==k
n n X k X
1
)0()
1()()( （2）
不直接采用原始数据)
0(X
建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，
然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。

（3）对GM （1，1），其数据矩阵为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]
2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3）向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a ,
N T
T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=α （4）（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为
a
u e a u X t X
at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1( （5）这就是要建立的灰色模型。

二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测
下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。

在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。

表中一次累加数列)()
1(k X
是根据断裂时间数列)()0(k X ，由公式（2）得到的。

例如，
∑==++==3
1
)0()
1(43.925.480.238.2)()3(n n X X。

按（3）构造矩阵⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=19.2118.12130
.7178
.3B ，T
N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=，代入（4），可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα，按（5）可得到模型（1）的解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X
，取t 为应力序数k 时，由 2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X
（6）即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X。

2、检验
当4,3,2,1=k 时，由（6）式得出]3.30,52.17,76.9,05.5[)1(ˆ)1(=+k X
，而由表中得出 ]58.27,28.16,43.9,18.5[)1()1(=+k X ，计算出平均相对误差为0.04，这一精度是相当理想的。

3、预测
由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生成数列中的各个数据。

特别是估计序数5以后的数据，就更有实际意义了。

轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少则几天，多则几年。

在重载荷的基础上减轻1公斤，试验时间将相应增加几百甚至几千小时。

根据已有重载荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要了。

下面，我们根据（6）式来预测载荷32 kg/mm 2的断裂时间。

它对应的序数为6，也就是要求出)6()
1(X 和)6()0(X 。

由（6）式得4.51)6()1(=X ，从表中查得=)5()
1(X 27.58再由)6()
0(X
=)6()1(X =-)5()1(X 23.82，
这说明，在载荷32 kg/mm 2下，此种材料大约经过2382小时断裂。